---
title: "การประยุกต์พีชคณิตเชิงเส้นทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/engineering-applications/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-14
---

> พีชคณิตเชิงเส้นในงานวิศวกรรมจริงพร้อมตัวเลข ไฟฟ้า: เมทริกซ์อุบัติการณ์ KCL KVL และ G = AYAᵀ การไหลของกำลังแบบ DC การสอบเทียบเซนเซอร์ด้วยกำลังสองน้อยสุด · เครื่องกล: ระบบมวล-สปริงหลายองศาอิสระ ค่าเฉพาะคือความถี่ธรรมชาติ วิธีสติฟเนส · โยธา: โครงถักด้วยวิธีจุดต่อแบบเมทริกซ์ ชิ้นส่วนแกน การปรับแก้งานระดับ และสมดุลการจราจร พร้อมแล็บโครงถักและแล็บโหมดการสั่น

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/engineering-applications/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# การประยุกต์พีชคณิตเชิงเส้นทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา

// บทที่ 7.8 · พีชคณิตเชิงเส้น · Engineering Applications


ทุกครั้งที่วิศวกรมีหลายสิ่งที่ผูกกันเป็นเครือข่าย ไม่ว่าจะเป็นโนดในวงจร บัสในระบบไฟฟ้า มวลในเครื่องจักร จุดต่อในโครงถัก หรือหมุดในงานสำรวจ ผลลัพธ์คือระบบสมการเชิงเส้น หน้านี้รวบรวมงานจริงจากสามสาขาที่ใช้เครื่องมือในชุดนี้ทั้งหมด: การลดแถว อินเวอร์ส ค่าเฉพาะ และกำลังสองน้อยสุด พร้อมแล็บโครงถักและแล็บโหมดการสั่นให้ลองเปลี่ยนค่าเอง สูตรใช้รหัส G

สรุปใน 30 วินาที

- เครือข่าย + สมดุลทุกจุด = $A\mathbf x = \mathbf b$ (KCL, ΣF = 0, การอนุรักษ์ปริมาณรถ)

- เมทริกซ์ความนำ $G = AYA^T$ กับเมทริกซ์สติฟเนส $K = A^TkA$ มีโครงสร้างเดียวกัน

- การสั่น: $(K - \omega^2M)\boldsymbol\phi = 0$ ค่าเฉพาะคือความถี่ธรรมชาติ

- ข้อมูลเกิน: $A^TA\hat{\mathbf x} = A^T\mathbf b$ (กำลังสองน้อยสุด)

## วิศวกรรมไฟฟ้า: เมทริกซ์อุบัติการณ์ การไหลของกำลัง และการสอบเทียบ กลาง

หน้าประยุกต์ในวิศวกรรมไฟฟ้ามีเมช โนด เฟสเซอร์ สองพอร์ต และ Y-bus ครบแล้ว หัวข้อนี้เพิ่มมุมมองที่เป็นระบบที่สุด คือเขียนวงจรทั้งวงด้วยเมทริกซ์อุบัติการณ์ ซึ่งเป็นวิธีที่โปรแกรมจำลองวงจรอย่าง SPICE ใช้จริง

G1 Incidence matrix formulation เมทริกซ์อุบัติการณ์

$$\text{KCL: } A\mathbf i = \mathbf 0,\quad \text{KVL: } \mathbf v = A^T\mathbf e,\quad \mathbf i = Y\mathbf v + \mathbf j_s \ \Rightarrow\ \underbrace{AYA^T}_{G}\,\mathbf e = -A\mathbf j_s$$

$A$ (โนด × กิ่ง) มี +1 ที่โนดที่กระแสออก −1 ที่โนดที่กระแสเข้า · $Y$ = เมทริกซ์ทแยงของความนำกิ่ง · $\mathbf e$ = แรงดันโนด

G2 DC power flow การไหลของกำลังแบบ DC

$$\mathbf P = B'\boldsymbol\theta,\qquad P_{ij} = \frac{\theta_i - \theta_j}{X_{ij}}$$

ประมาณจากสมการโหลดโฟลว์จริง (แรงดัน 1 pu, ไม่คิด R, มุมเล็ก) ใช้วางแผนระบบส่งและวิเคราะห์ความมั่นคง N−1

G3 Least squares กำลังสองน้อยสุด

$$\min\|A\mathbf x - \mathbf b\|^2 \Rightarrow A^TA\,\hat{\mathbf x} = A^T\mathbf b$$

ตัวอย่าง G-1 · สร้าง G = AYAᵀ

### แหล่งกระแส 2 A ป้อนโนด 1 · กิ่ง: $G_a = 1$ S (โนด 1–กราวด์), $G_b = 0.5$ S (โนด 1–โนด 2), $G_c = 0.25$ S (โนด 2–กราวด์)

- เมทริกซ์อุบัติการณ์ (แถว = โนด 1, 2 · หลัก = กิ่ง a, b, c โดยกำหนดทิศกระแสจากโนดเลขน้อยไปมาก/กราวด์)

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix},\quad Y = \operatorname{diag}(1,\ 0.5,\ 0.25)$$

-
$$G = AYA^T = \begin{bmatrix} 1 + 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 + 0.25 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.75 \end{bmatrix}$$

- แก้ $G\mathbf e = \mathbf i_s = (2, 0)$: $\det G = 0.875$

$$e_1 = \frac{2(0.75)}{0.875} = 1.714\ \text{V},\qquad e_2 = \frac{0.5(2)}{0.875} = 1.143\ \text{V}$$

$e_1 = 1.714$ V, $e_2 = 1.143$ V · G ที่ได้ตรงกับ “กฎการมอง” ทแยง = ผลรวมความนำที่ต่อโนด นอกทแยง = ลบความนำร่วม A1

ตรวจ KCL โนด 2: $0.5(1.714 - 1.143) = 0.286 = 0.25(1.143)$ ✓

ตัวอย่าง G-2 · การไหลของกำลังแบบ DC ระบบ 3 บัส

### บัส 1 เป็นสแล็ก (θ₁ = 0) · $X_{12} = 0.1,\ X_{13} = 0.2,\ X_{23} = 0.25$ pu · โหลดบัส 2 = 0.8 pu บัส 3 = 0.6 pu

- ตัดแถว-หลักของสแล็กออก $B'_{22} = \tfrac1{0.1} + \tfrac1{0.25} = 14$, $B'_{33} = \tfrac1{0.2} + \tfrac1{0.25} = 9$, $B'_{23} = -4$

$$\begin{bmatrix} 14 & -4 \\ -4 & 9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\theta_2\\\theta_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-0.8\\-0.6\end{bmatrix}$$

-
$$\theta_2 = \frac{-0.8(9) - (-4)(-0.6)}{110} = -0.0873,\qquad \theta_3 = \frac{14(-0.6) - (-4)(-0.8)}{110} = -0.1055\ \text{rad}$$

-
$$P_{12} = \frac{0 + 0.0873}{0.1} = 0.873,\quad P_{13} = \frac{0.1055}{0.2} = 0.527,\quad P_{23} = \frac{-0.0873 + 0.1055}{0.25} = 0.073\ \text{pu}$$

สแล็กจ่าย 1.4 pu แยกไปสายต่าง ๆ ตามความต้านทานไฟฟ้าจินตภาพ ไม่ใช่เส้นทางที่สั้นที่สุด

ตรวจบัส 2: เข้า 0.873 − ออก 0.073 = 0.8 ✓ · บัส 3: 0.527 + 0.073 = 0.6 ✓

ตัวอย่าง G-3 · สอบเทียบเทอร์โมคัปเปิลด้วยกำลังสองน้อยสุด

### อุณหภูมิ 0, 25, 50, 75, 100 °C อ่านได้ 0.02, 1.02, 2.05, 3.03, 4.10 mV หาเส้นตรง $y = ax + b$

- 5 สมการ 2 ตัวไม่รู้ $A = \begin{bmatrix} x_i & 1\end{bmatrix}$ ใช้ G3

$$A^TA = \begin{bmatrix} \sum x^2 & \sum x \\ \sum x & n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18750 & 250 \\ 250 & 5\end{bmatrix},\quad A^T\mathbf y = \begin{bmatrix} 765.25 \\ 10.22\end{bmatrix}$$

-
$$a = \frac{5(765.25) - 250(10.22)}{5(18750) - 250^2} = \frac{1271.25}{31250} = 0.04068,\qquad b = \frac{10.22 - 250a}{5} = 0.010$$

$y = 0.04068x + 0.010$ mV ความไว 40.7 µV/°C ใกล้ค่ามาตรฐานของเทอร์โมคัปเปิลชนิด K (≈ 41 µV/°C)

## วิศวกรรมเครื่องกล: การสั่นหลายองศาอิสระและวิธีสติฟเนส ขั้นสูง

G4 Free vibration of MDOF systems การสั่นอิสระหลายองศาอิสระ

$$M\ddot{\mathbf x} + K\mathbf x = \mathbf 0,\quad \mathbf x = \boldsymbol\phi\sin\omega t \ \Rightarrow\ (K - \omega^2M)\boldsymbol\phi = \mathbf 0,\quad \det(K - \omega^2M) = 0$$

ค่าเฉพาะ $\omega^2$ → ความถี่ธรรมชาติ $f = \omega/2\pi$ · เวกเตอร์เฉพาะ $\boldsymbol\phi$ → รูปโหมด · ทบทวนค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ

G5 Spring / bar element ชิ้นส่วนสปริงหรือแท่งรับแรงตามแกน

$$k_e = \frac{EA}{L}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1\end{bmatrix},\qquad K = \sum_e (\text{วาง } k_e \text{ ลงตำแหน่งของโนดตัวเอง})$$

G6 Stiffness equation สมการสติฟเนส

$$K\mathbf u = \mathbf F$$

ตัดแถว-หลักของจุดยึดออกก่อนแก้ (K เต็มเป็นเอกฐานเพราะโครงสร้างลอยตัวได้) · เป็นหัวใจของวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์

ตัวอย่าง G-4 · มวล-สปริง 2 องศาอิสระ

### $m_1 = m_2 = 1$ kg, $k_1 = k_2 = 100$ N/m (ผนัง–$k_1$–$m_1$–$k_2$–$m_2$) หาความถี่ธรรมชาติและรูปโหมด

-
$$K = \begin{bmatrix} k_1 + k_2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 200 & -100 \\ -100 & 100\end{bmatrix},\quad M = I$$

-
$$\det(K - \lambda I) = \lambda^2 - 300\lambda + 10000 = 0 \Rightarrow \lambda = 150 \mp 50\sqrt5 = 38.20,\ 261.80$$

- $\omega = \sqrt\lambda$: $\omega_1 = 6.18$ rad/s (0.98 Hz), $\omega_2 = 16.18$ rad/s (2.58 Hz)

- รูปโหมดจากแถวแรก $(200 - \lambda)\phi_1 = 100\phi_2$: $\boldsymbol\phi_1 = [1,\ 1.618]$, $\boldsymbol\phi_2 = [1,\ -0.618]$

โหมด 1: เคลื่อนทิศเดียวกัน มวลบนแกว่งมากกว่า 1.618 เท่า · โหมด 2: สวนทางกัน (อัตราส่วนทองคำปรากฏเพราะค่าเฉพาะมี √5)

ตัวอย่าง G-5 · ประกอบเมทริกซ์สติฟเนส

### แท่งสองท่อนต่ออนุกรม ยึดที่โนด 1 · $k_1 = EA/L = 2000$ kN/m, $k_2 = 1000$ kN/m · แรง 30 kN ดึงที่โนด 3

- ประกอบ (G5)

$$K = \begin{bmatrix} 2000 & -2000 & 0 \\ -2000 & 3000 & -1000 \\ 0 & -1000 & 1000\end{bmatrix}$$

- ตัดแถว-หลักที่ 1 ($u_1 = 0$)

$$\begin{bmatrix} 3000 & -1000 \\ -1000 & 1000\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_2\\u_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\30\end{bmatrix} \Rightarrow u_2 = 0.015,\ u_3 = 0.045\ \text{m}$$

ยืด 15 mm และ 45 mm · แรงในแท่ง: $2000(0.015) = 30$ kN และ $1000(0.03) = 30$ kN เท่ากันตามที่ควร (อนุกรม) · ความแข็งรวม $30/0.045 = 667$ kN/m = $(1/k_1 + 1/k_2)^{-1}$ ✓

## แล็บโหมดการสั่น: มวล-สปริง และอาคาร 3 ชั้นแบบง่าย

ปรับมวลและความแข็งของสปริง แล็บจะแก้ $\det(K - \omega^2M) = 0$ ด้วยวิธีจาโคบีบนเมทริกซ์สมมาตร $M^{-1/2}KM^{-1/2}$ แสดงความถี่ธรรมชาติและรูปโหมดพร้อมภาพเคลื่อนไหว แบบ 3 มวลเทียบได้กับอาคาร 3 ชั้นที่พื้นเป็นมวลและเสาเป็นสปริงแรงเฉือน

## วิศวกรรมโยธา: โครงถัก งานระดับ และเครือข่ายจราจร กลาง

G7 Truss by the method of joints โครงถักด้วยวิธีจุดต่อ

$$\sum F_x = 0,\ \sum F_y = 0 \text{ ทุกจุดต่อ} \Rightarrow A\mathbf f = \mathbf b,\qquad m + r = 2j \ (\text{ดีเทอร์มิเนตสถิต})$$

หลักของชิ้นส่วนมีโคไซน์แสดงทิศ $(\cos\theta, \sin\theta)$ ที่จุดต้น และค่าตรงข้ามที่จุดปลาย · $m + r > 2j$ อินดีเทอร์มิเนต ต้องใช้วิธีสติฟเนส (G5–G6)

G8 Leveling adjustment ปรับแก้งานระดับ

$$H_j - H_i = \Delta h_{ij} + v_{ij},\quad \min\sum v^2 \Rightarrow A^TA\hat{\mathbf H} = A^T\mathbf b$$

G9 Network flow balance สมดุลเครือข่ายจราจร/ท่อ

$$\text{เข้า} = \text{ออก ทุกทางแยก} \Rightarrow A\mathbf x = \mathbf b,\ \operatorname{rank}A < n \Rightarrow \text{มีตัวแปรอิสระ}$$

ตัวอย่าง G-6 · โครงถักสามเหลี่ยม

### A(0,0) หมุด · C(6,0) ลูกกลิ้ง · B(3,4) รับแรง 10 kN ลง หาแรงในชิ้นส่วน

- ทิศของ AB: $(3, 4)/5$ · BC: $(3, -4)/5$ · AC: $(1, 0)$ · ตัวไม่รู้ $F_{AB}, F_{BC}, F_{AC}, A_x, A_y, C_y$ (6 ตัว = 2 × 3 จุด)

- จุด A: $0.6F_{AB} + F_{AC} + A_x = 0$, $0.8F_{AB} + A_y = 0$ · จุด B: $-0.6F_{AB} + 0.6F_{BC} = 0$, $-0.8F_{AB} - 0.8F_{BC} = 10$ · จุด C: $-0.6F_{BC} - F_{AC} = 0$, $0.8F_{BC} + C_y = 0$

- จากจุด B: $F_{AB} = F_{BC} = -6.25$ kN · แทนกลับ: $F_{AC} = 3.75$ kN, $A_y = C_y = 5$ kN, $A_x = 0$

AB และ BC อัด 6.25 kN · AC ดึง 3.75 kN · ลองในแล็บด้านล่าง (เลือกสามเหลี่ยม ตั้ง P = 10)

## แล็บโครงถัก: วิธีจุดต่อในรูปเมทริกซ์

แล็บสร้างเมทริกซ์ $[A\,|\,\mathbf b]$ จากรูปทรงจริงทุกครั้งที่เปลี่ยนแรง แล้วแก้ด้วยการกำจัดแบบเกาส์ เส้นสีน้ำเงินคือแรงดึง ส้มคือแรงอัด ลองย้ายจุดที่แรงกระทำแล้วดูว่าชิ้นส่วนไหนเปลี่ยนจากดึงเป็นอัด และชิ้นส่วนไหนกลายเป็นชิ้นที่ไม่รับแรง (zero-force member)

ตัวอย่าง G-7 · ปรับแก้งานระดับ

### หมุด A สูง 100.000 m วัดได้ A→B +2.003, B→C +1.498, A→C +3.506 m หาระดับ B และ C

- 3 สมการ 2 ตัวไม่รู้ (ปิดวงคลาด $2.003 + 1.498 - 3.506 = -0.005$ m)

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\ \mathbf b = \begin{bmatrix} 102.003 \\ 1.498 \\ 103.506\end{bmatrix}$$

-
$$A^TA = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2\end{bmatrix},\quad A^T\mathbf b = \begin{bmatrix} 100.505 \\ 105.004\end{bmatrix}$$

-
$$H_B = \frac{2(100.505) + 105.004}{3} = 102.0047,\qquad H_C = \frac{100.505 + 2(105.004)}{3} = 103.5043\ \text{m}$$

$H_B = 102.0047$ m, $H_C = 103.5043$ m ความคลาด 5 mm ถูกกระจายเท่า ๆ กันให้ทุกการวัด (1.67 mm ต่อเส้น)

ตัวอย่าง G-8 · เครือข่ายจราจรมีคำตอบไม่จำกัด

### วงเดินรถทางเดียว A→B→C→D→A รถเข้า-ออกที่ทางแยก (คัน/ชม.): A เข้า 300 ออก 100 · B เข้า 200 ออก 400 · C เข้า 350 ออก 150 · D เข้า 100 ออก 300

- ให้ $x_1 = AB,\ x_2 = BC,\ x_3 = CD,\ x_4 = DA$ เขียนเข้า = ออก

$$x_1 - x_4 = 200,\quad x_1 - x_2 = 200,\quad x_2 - x_3 = -200,\quad x_3 - x_4 = 200$$

- ลดแถวแล้วพบแถวศูนย์ (แรงก์ 3) → ตัวแปรอิสระหนึ่งตัว ให้ $x_4 = t$

$$x_1 = t + 200,\quad x_2 = t,\quad x_3 = t + 200$$

ปริมาณรถในวงหมุนเวียนได้อิสระ (t ≥ 0) ข้อมูลแค่นี้หาไม่ได้ว่าถนน DA มีรถกี่คัน ต้องติดตั้งเครื่องนับเพิ่มหนึ่งจุด · ถ้าปิดถนน DA (t = 0) BC ก็ว่างด้วย ขณะที่ AB และ CD ต้องรับ 200 คัน/ชม.

## อ่านต่อ

- เครื่องมือที่ใช้ในหน้านี้: ลดแถวและแรงก์ · กำลังสองน้อยสุด · ค่าเฉพาะ · แล็บเมทริกซ์

- วงจรและระบบไฟฟ้ากำลังเชิงลึก: ประยุกต์ในวิศวกรรมไฟฟ้า · ระบบไฟฟ้ากำลัง

- แรงและโครงสร้างด้วยเวกเตอร์: ระบบแรงและสมดุล

- G. Strang, Introduction to Linear Algebra (บท Applications: graphs, networks, least squares) · Hibbeler, Structural Analysis (truss, stiffness method) · Chopra, Dynamics of Structures (MDOF modes)

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมงานโครงสร้างและงานวงจรใช้เมทริกซ์เหมือนกัน?
เพราะทั้งคู่คือเครือข่ายที่ต้องสมดุลทุกจุดต่อ วงจรใช้ KCL (ผลรวมกระแสเป็นศูนย์) โครงสร้างใช้ผลรวมแรงเป็นศูนย์ เมื่อเขียนครบทุกจุดได้ระบบสมการ Ax = b และเมทริกซ์ความนำของวงจรกับเมทริกซ์สติฟเนสของโครงสร้างมีรูปแบบเดียวกัน คือสมมาตร ทแยงเด่น และสร้างจาก AᵀKA

ค่าเฉพาะเกี่ยวกับการสั่นอย่างไร?
ระบบมวล-สปริงหลายองศาอิสระมีสมการ Mẍ + Kx = 0 ลองคำตอบ x = φ sin ωt ได้ (K − ω²M)φ = 0 ซึ่งคือปัญหาค่าเฉพาะ ค่าเฉพาะ ω² ให้ความถี่ธรรมชาติ และเวกเตอร์เฉพาะ φ คือรูปโหมดการสั่น อาคารหลายชั้นและเพลาเครื่องจักรวิเคราะห์ด้วยวิธีนี้

ระบบสมการที่มีสมการมากกว่าตัวไม่รู้ใช้ทำอะไร?
ใช้กับข้อมูลที่วัดซ้ำและมีความคลาดเคลื่อน เช่น งานระดับที่วัดเกินจำนวนหมุด หรือสอบเทียบเซนเซอร์หลายจุด ไม่มีคำตอบที่ตรงทุกสมการ จึงหาคำตอบที่ผลรวมกำลังสองของความคลาดเคลื่อนน้อยสุดด้วยสมการปกติ AᵀAx = Aᵀb

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**ทำไมงานโครงสร้างและงานวงจรใช้เมทริกซ์เหมือนกัน?**
เพราะทั้งคู่คือเครือข่ายที่ต้องสมดุลทุกจุดต่อ วงจรใช้ KCL (ผลรวมกระแสเป็นศูนย์) โครงสร้างใช้ผลรวมแรงเป็นศูนย์ เมื่อเขียนครบทุกจุดได้ระบบสมการ Ax = b และเมทริกซ์ความนำของวงจรกับเมทริกซ์สติฟเนสของโครงสร้างมีรูปแบบเดียวกัน คือสมมาตร ทแยงเด่น และสร้างจาก AᵀKA

**ค่าเฉพาะเกี่ยวกับการสั่นอย่างไร?**
ระบบมวล-สปริงหลายองศาอิสระมีสมการ Mẍ + Kx = 0 ลองคำตอบ x = φ sin ωt ได้ (K − ω²M)φ = 0 ซึ่งคือปัญหาค่าเฉพาะ ค่าเฉพาะ ω² ให้ความถี่ธรรมชาติ และเวกเตอร์เฉพาะ φ คือรูปโหมดการสั่น อาคารหลายชั้นและเพลาเครื่องจักรวิเคราะห์ด้วยวิธีนี้

**ระบบสมการที่มีสมการมากกว่าตัวไม่รู้ใช้ทำอะไร?**
ใช้กับข้อมูลที่วัดซ้ำและมีความคลาดเคลื่อน เช่น งานระดับที่วัดเกินจำนวนหมุด หรือสอบเทียบเซนเซอร์หลายจุด ไม่มีคำตอบที่ตรงทุกสมการ จึงหาคำตอบที่ผลรวมกำลังสองของความคลาดเคลื่อนน้อยสุดด้วยสมการปกติ AᵀAx = Aᵀb