--- title: "ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ (Eigenvalues & Eigenvectors)" url: https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/eigenvalues/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-12 --- > วิธีหาค่าเฉพาะ (eigenvalue) และเวกเตอร์เฉพาะ (eigenvector) ทีละขั้น สมการลักษณะเฉพาะ det(A − λI) = 0 สูตรลัด 2×2 ตัวอย่าง 3×3 ค่าซ้ำ ภาวะไม่ครบ (defective) ค่าเชิงซ้อน การทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม Aⁿ เมทริกซ์สมมาตร เคย์ลีย์-แฮมิลตัน e^{At} และเสถียรภาพของวงจร พร้อมแล็บ 2×2 แบบลากได้ ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/eigenvalues/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ (Eigenvalues & Eigenvectors) // บทที่ 7.6 · พีชคณิตเชิงเส้น · Eigenvalues & Eigenvectors เมทริกซ์ส่วนใหญ่หมุนและบิดเวกเตอร์ แต่จะมีบางทิศที่ถูกยืดหรือหดอย่างเดียวโดยไม่เปลี่ยนแนว ทิศนั้นคือเวกเตอร์เฉพาะ อัตราการยืดคือค่าเฉพาะ ในวงจรไฟฟ้าค่าเฉพาะคือขั้วที่กำหนดว่าระบบตอบสนองเร็วแค่ไหน แกว่งหรือไม่ และเสถียรไหม หน้านี้พาไปตั้งแต่วิธีหาแบบโจทย์สอบจนถึง $e^{At}$ สูตรใช้รหัส E สรุปใน 30 วินาที - $A\mathbf v = \lambda\mathbf v,\ \mathbf v \ne \mathbf 0$: $\mathbf v$ ไม่เปลี่ยนแนว ถูกคูณด้วย $\lambda$ อย่างเดียว - หา $\lambda$ จาก $\det(A - \lambda I) = 0$ แล้วหา $\mathbf v$ จาก $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ - 2×2: $\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\lambda + \det A = 0$ · ตรวจ: $\sum\lambda = \operatorname{tr}A$, $\prod\lambda = \det A$ - มีเวกเตอร์เฉพาะอิสระครบ $n$ ตัว ทำ $A = PDP^{-1}$ ได้ แล้ว $A^k = PD^kP^{-1}$ ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย ## ความหมาย: ทิศที่ไม่ถูกหมุน พื้นฐาน ลองลากเวกเตอร์ $\mathbf v$ (ดำ) ไปรอบวงกลม แล้วดูผล $A\mathbf v$ (ส้ม) ส่วนใหญ่ $A\mathbf v$ ชี้ไปคนละทิศกับ $\mathbf v$ แต่จะมีบางทิศที่ $A\mathbf v$ อยู่บนเส้นเดียวกับ $\mathbf v$ พอดี เส้นประสีเขียวคือทิศเหล่านั้น E1 Eigenvalue and eigenvector นิยามค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ $$A\mathbf v = {\lambda}\mathbf v, \qquad \mathbf v \ne \mathbf 0$$ $\lambda$ (แลมบ์ดา) คือค่าเฉพาะ หรือค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) · $\mathbf v$ คือเวกเตอร์เฉพาะ (eigenvector) · $\lambda \gt 1$ ยืด · $0 \lt \lambda \lt 1$ หด · $\lambda \lt 0$ กลับทิศ · $\lambda = 0$ บีบเป็นศูนย์ · เวกเตอร์เฉพาะคูณค่าคงที่ไม่เป็นศูนย์ใด ๆ ยังเป็นเวกเตอร์เฉพาะ ## สมการลักษณะเฉพาะ พื้นฐาน ย้ายข้างได้ $A\mathbf v - \lambda\mathbf v = (A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ นี่คือระบบเอกพันธ์ ต้องการคำตอบที่ $\mathbf v \ne \mathbf 0$ ซึ่งมีได้ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ $A - \lambda I$ ไม่มีอินเวอร์ส (L7) นั่นคือดีเทอร์มิแนนต์ต้องเป็นศูนย์ E2 Characteristic equation สมการลักษณะเฉพาะ $$\det(A - \lambda I) = 0, \qquad p(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \lambda^n - (\operatorname{tr}A)\lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^n\det A$$ $A - \lambda I$ คือลบ $\lambda$ ออกจากเส้นทแยงหลักเท่านั้น · พหุนามดีกรี $n$ จึงมีราก $n$ ตัว (นับซ้ำ รวมจำนวนเชิงซ้อน) E3 2×2 shortcut สูตรลัด 2×2 $$\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\,\lambda + \det A = 0 \ \Rightarrow\ \lambda = \frac{\operatorname{tr}A \pm \sqrt{(\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A}}{2}$$ สำหรับ $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$: $\operatorname{tr}A = a + d,\ \det A = ad - bc$ · ตัวในรากเป็นบวก: ค่าจริงต่างกัน · เป็นศูนย์: ค่าซ้ำ · เป็นลบ: ค่าเชิงซ้อนคู่สังยุค E4 2×2 eigenvector shortcut เวกเตอร์เฉพาะ 2×2 แบบเร็ว $$\mathbf v = \begin{pmatrix} b \\ \lambda - a \end{pmatrix} \ (b \ne 0) \qquad \text{หรือ} \qquad \mathbf v = \begin{pmatrix} \lambda - d \\ c \end{pmatrix} \ (c \ne 0)$$ ได้จากแถวแรกของ $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$: $(a - \lambda)v_1 + bv_2 = 0$ · ถ้า $b = c = 0$ เมทริกซ์เป็นทแยงมุม เวกเตอร์เฉพาะคือ $(1,0)$ และ $(0,1)$ ## วิธีหาทีละขั้น พื้นฐาน ขั้น 1เขียน $A - \lambda I$ → ขั้น 2$\det = 0$ แก้หา $\lambda$ → ขั้น 3แต่ละ $\lambda$ ลดแถว $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ ขั้นที่ 4 ที่ห้ามข้าม: ตรวจ $A\mathbf v = \lambda\mathbf v$ และ $\sum\lambda = \operatorname{tr}A$ ใช้เวลาไม่ถึงนาทีแต่จับข้อผิดพลาดได้เกือบทุกจุด ตัวอย่าง E-1 · 2×2 ครบทุกขั้น ### หาค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของ $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ - $\operatorname{tr}A = 4 + 3 = 7,\ \det A = 12 - 2 = 10$ แทนสูตรลัด E3 $$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \ \Rightarrow\ (\lambda - 5)(\lambda - 2) = 0 \ \Rightarrow\ {\lambda_1 = 5},\ {\lambda_2 = 2}$$ - $\lambda_1 = 5$: ลบ 5 ออกจากทแยงแล้วลดแถว ต้องได้แถวศูนย์ $$A - 5I = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1} \begin{pmatrix} {-1} & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \ \Rightarrow\ -v_1 + v_2 = 0 \ \Rightarrow\ {\mathbf v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}}$$ - $\lambda_2 = 2$ $$A - 2I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - R_1} \begin{pmatrix} {2} & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \ \Rightarrow\ 2v_1 + v_2 = 0 \ \Rightarrow\ {\mathbf v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}}$$ - ตรวจด้วยการคูณจริง $$A\mathbf v_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} = 5\mathbf v_1 ✓, \qquad A\mathbf v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = 2\mathbf v_2 ✓$$ $\lambda = 5$ คู่กับ $(1, 1)$ และ $\lambda = 2$ คู่กับ $(1, -2)$ (หรือพหุคูณใดก็ได้ เช่น $(-1, 2)$) ตรวจเร็ว: $5 + 2 = 7 = \operatorname{tr}A$ ✓ · $5 \times 2 = 10 = \det A$ ✓ · ใช้สูตรลัด E4: $\lambda = 5$ ได้ $(b, \lambda - a) = (1, 1)$ ✓ ## ตัวอย่าง 3×3 ค่าเฉพาะต่างกันทั้งหมด กลาง 3×3 ได้พหุนามดีกรีสาม เทคนิคสำคัญคืออย่ากระจายทุกอย่างทันที ให้หาตัวร่วมระหว่างทาง และถ้าแยกตัวประกอบไม่ออก ให้ลองแทนตัวหารของพจน์คงที่ (ทฤษฎีบทรากตรรกยะ) ตัวอย่าง E-2 · 3×3 ### หาค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของ $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 6 & -1 & 0 \\ -1 & -2 & -1 \end{pmatrix}$ - กระจาย $\det(A - \lambda I)$ ตามแถว 1 E2 $$\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 & 1 \\ 6 & -1 - \lambda & 0 \\ -1 & -2 & -1 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)(\lambda + 1)^2 - 2\,[-6(1 + \lambda)] + 1\,[-12 - (1 + \lambda)]$$ - กระจายแล้วรวมพจน์ $$= (-\lambda^3 - \lambda^2 + \lambda + 1) + (12\lambda + 12) + (-\lambda - 13) = -\lambda^3 - \lambda^2 + 12\lambda$$ - ดึง $-\lambda$ ออกแล้วแยกตัวประกอบ $$-\lambda(\lambda^2 + \lambda - 12) = -\lambda(\lambda + 4)(\lambda - 3) = 0 \ \Rightarrow\ {\lambda = 0,\ 3,\ -4}$$ - $\lambda = 3$: ลดแถว $A - 3I$ L4 $$\begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\ 6 & -4 & 0 \\ -1 & -2 & -4 \end{pmatrix} \to \cdots \to \begin{pmatrix} {1} & 0 & 1 \\ 0 & {1} & \tfrac32 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{aligned} v_1 &= -v_3 \\ v_2 &= -\tfrac32v_3 \end{aligned}$$ เลือก $v_3 = -2$ ให้เป็นจำนวนเต็ม: ${\mathbf v = (2, 3, -2)}$ - ทำแบบเดียวกันกับ $\lambda = 0$ และ $\lambda = -4$ $$\lambda = 0:\ {\mathbf v = (1, 6, -13)}, \qquad \lambda = -4:\ {\mathbf v = (-1, 2, 1)}$$ $\lambda = 3,\ 0,\ -4$ คู่กับ $(2, 3, -2),\ (1, 6, -13),\ (-1, 2, 1)$ ตรวจ: $3 + 0 - 4 = -1 = \operatorname{tr}A = 1 - 1 - 1$ ✓ · $3\cdot0\cdot(-4) = 0 = \det A$ ✓ (มีค่าเฉพาะศูนย์ จึงไม่มีอินเวอร์ส) · $A(-1, 2, 1)^T = (4, -8, -4)^T = -4(-1, 2, 1)^T$ ✓ ## สมบัติที่ใช้ตรวจและลัดคำตอบ กลาง E6 Trace and determinant ผลบวกและผลคูณของค่าเฉพาะ $$\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr}A, \qquad \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n = \det A$$ E7 Eigenvalues of related matrices ค่าเฉพาะของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง ($\mathbf v$ เดิม ยกเว้น $A^T$) $$\begin{array}{c|ccccccc} \text{เมทริกซ์} & A & A^k & A^{-1} & A + cI & kA & p(A) & A^T \\ \hline \text{ค่าเฉพาะ} & \lambda & \lambda^k & 1/\lambda & \lambda + c & k\lambda & p(\lambda) & \lambda \end{array}$$ เมทริกซ์สามเหลี่ยมหรือทแยงมุม: ค่าเฉพาะคือสมาชิกบนเส้นทแยงหลักเลย · $A^T$ มีค่าเฉพาะเท่าเดิมแต่เวกเตอร์เฉพาะต่างกัน E13 Similarity invariance เมทริกซ์คล้ายมีค่าเฉพาะเท่ากัน $$B = P^{-1}AP \ \Rightarrow\ \det(B - \lambda I) = \det(A - \lambda I)$$ เปลี่ยนตัวแปรสถานะ (เช่น เลือก $i_L, v_C$ หรือ $q, i$) ค่าเฉพาะ ซึ่งก็คือขั้วของวงจร ไม่เปลี่ยน E5 Algebraic vs geometric multiplicity ภาวะรากซ้ำเชิงพีชคณิตและเชิงเรขาคณิต $$1 \le \underbrace{\dim N(A - \lambda I)}_{\text{เชิงเรขาคณิต}} \le \underbrace{\text{จำนวนครั้งที่ราก } \lambda \text{ ซ้ำ}}_{\text{เชิงพีชคณิต}}$$ เชิงเรขาคณิต $= n - \operatorname{rank}(A - \lambda I)$ = จำนวนเวกเตอร์เฉพาะอิสระของค่านั้น ## ค่าเฉพาะซ้ำ: ครบหรือไม่ครบ กลาง เมื่อรากซ้ำ จำนวนเวกเตอร์เฉพาะอาจเท่ากับจำนวนที่ซ้ำ (ครบ ทำเป็นทแยงมุมได้) หรือน้อยกว่า (ไม่ครบ เรียก defective) ตัดสินด้วยแรงก์ของ $A - \lambda I$ ตัวอย่าง E-3 · รากซ้ำที่มีเวกเตอร์ครบ ### หาค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของ $A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -6 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}$ - สมการลักษณะเฉพาะ (กระจายแล้ว) $$-\lambda^3 - \lambda^2 + 21\lambda + 45 = 0$$ - ลองแทนตัวหารของ 45: $\lambda = 5$ ได้ $-125 - 25 + 105 + 45 = 0$ ✓ หารสังเคราะห์ออก $$-(\lambda - 5)(\lambda^2 + 6\lambda + 9) = -(\lambda - 5)(\lambda + 3)^2 \ \Rightarrow\ {\lambda = 5},\ {\lambda = -3\ (\text{ซ้ำสองครั้ง})}$$ - $\lambda = -3$: ทุกแถวของ $A + 3I$ เป็นพหุคูณของแถวแรก แรงก์ 1 จึงมีตัวแปรอิสระ $3 - 1 = 2$ ตัว E5 $$A + 3I = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -6 \\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} {1} & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow v_1 = -2v_2 + 3v_3$$ $${\mathbf v = v_2\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + v_3\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}$$ - $\lambda = 5$: ลดแถว $A - 5I$ ได้ ${\mathbf v = (1, 2, -1)}$ $\lambda = -3$ ซ้ำสองครั้งและมีเวกเตอร์เฉพาะอิสระสองตัว $(-2,1,0), (3,0,1)$ ส่วน $\lambda = 5$ คู่กับ $(1, 2, -1)$ ครบ 3 ตัว ทำเป็นทแยงมุมได้ ตรวจ: $5 - 3 - 3 = -1 = \operatorname{tr}A$ ✓ · $5(-3)(-3) = 45 = \det A$ ✓ ตัวอย่าง E-4 · รากซ้ำที่เวกเตอร์ไม่ครบ (defective) ### เทียบ $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ กับ $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ - ทั้งคู่เป็นสามเหลี่ยม ค่าเฉพาะคือเส้นทแยง: $\lambda = 2$ ซ้ำสองครั้ง E7 - $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ แรงก์ 1 ได้ $v_2 = 0$ เวกเตอร์เฉพาะมีแค่ $(1, 0)$ แนวเดียว - $B - 2I = O$ แรงก์ 0 ทุกเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์เฉพาะ ได้สองตัวอิสระ $A$ ไม่ครบ (defective) ทำเป็นทแยงมุมไม่ได้ ต้องใช้รูปแบบจอร์แดน (E18) ส่วน $B$ ครบ ในวงจร RLC กรณีนี้คือหน่วงวิกฤต (critically damped) ที่ผลตอบสนองมีพจน์ $te^{\lambda t}$ ## ค่าเฉพาะเชิงซ้อน: การหมุนและการแกว่ง กลาง ถ้าตัวในรากของ E3 เป็นลบ ค่าเฉพาะเป็นเชิงซ้อน ไม่มีทิศจริงทิศไหนที่ไม่ถูกหมุน (ลองกด “หมุน” ในแล็บด้านบน) ในวงจรคือระบบที่แกว่ง E8 Complex eigenvalues of a real matrix ค่าเฉพาะเชิงซ้อนของเมทริกซ์จริง $$\lambda = \sigma \pm j\omega, \qquad \mathbf v_{\bar\lambda} = \overline{\mathbf v_\lambda}, \qquad \begin{pmatrix} \sigma & -\omega \\ \omega & \sigma \end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$ มาเป็นคู่สังยุคเสมอ (เวกเตอร์ก็สังยุคกัน) · $|\lambda| = r$ คืออัตราขยาย $\theta = \arg\lambda$ คือมุมหมุน · ในระบบพลวัต $\sigma$ คืออัตราลด $\omega$ คือความถี่แกว่ง (rad/s) ตัวอย่าง E-5 · ค่าเฉพาะเชิงซ้อน ### หาค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของ $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ - $\operatorname{tr}A = 4,\ \det A = 3 + 2 = 5$ E3 $$\lambda^2 - 4\lambda + 5 = 0 \ \Rightarrow\ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2} = {2 \pm j}$$ - $\lambda = 2 + j$ ใช้สูตรลัด $(b, \lambda - a)$ E4 $${\mathbf v = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 + j \end{pmatrix}}$$ - ตรวจแถวที่ 2 ของ $(A - \lambda I)\mathbf v$: $1\cdot(-2) + (3 - 2 - j)(1 + j) = -2 + (1 - j)(1 + j) = -2 + 2 = 0$ ✓ $\lambda = 2 \pm j$ · $\mathbf v = (-2,\ 1 \pm j)$ (เครื่องหมายตรงกัน) โปรแกรมบางตัวตอบ $(-1 + j,\ 1)$ ซึ่งเท่ากับ $\tfrac{1 - j}{2}$ คูณคำตอบของเรา จึงถูกทั้งคู่ · $|\lambda| = \sqrt5$ การแปลงนี้หมุน $\arctan(1/2) \approx 26.6^\circ$ และขยาย $\sqrt5$ เท่าในพิกัดที่เหมาะสม ## การทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม และ Aⁿ กลาง ถ้ามีเวกเตอร์เฉพาะอิสระครบ $n$ ตัว ให้ใช้เป็นแกนพิกัดใหม่ ในพิกัดนั้นการแปลง $A$ เหลือแค่ยืดหดตามแกน คือเมทริกซ์ทแยงมุม $D$ งานยาก ๆ อย่างยกกำลังร้อยครั้งจึงเหลือแค่ยกกำลังตัวเลขบนเส้นทแยง E9 Diagonalization การทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม $$A = PDP^{-1}, \qquad P = \begin{pmatrix} | & & | \\ \mathbf v_1 & \cdots & \mathbf v_n \\ | & & | \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}$$ เรียงหลักของ $P$ ให้ตรงลำดับกับ $\lambda$ ใน $D$ · ทำได้ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์เฉพาะอิสระครบ $n$ ตัว · ค่าเฉพาะต่างกันทั้งหมดรับประกันว่าทำได้ E10 Powers via diagonalization ยกกำลังผ่านทแยงมุม $$A^k = PD^kP^{-1} = P\begin{pmatrix} \lambda_1^k & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n^k \end{pmatrix}P^{-1}$$ ใช้กับ $f(A)$ ใด ๆ ได้ เช่น $e^{At} = Pe^{Dt}P^{-1}$ · เมื่อ $k$ ใหญ่ ค่าเฉพาะที่ $|\lambda|$ ใหญ่สุดครอบงำ (dominant) ตัวอย่าง E-6 · สูตรทั่วไปของ Aⁿ ### หา $A^n$ ของ $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ (ตัวอย่าง E-1) - จาก E-1 วางเวกเตอร์เฉพาะเป็นหลัก E9 $$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \frac{1}{-3}\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac13\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ - ยกกำลังเฉพาะเส้นทแยง E10 $$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}\frac13\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac13\begin{pmatrix} 5^n & 2^n \\ 5^n & -2\cdot2^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $A^n = \dfrac13\begin{pmatrix} 2\cdot5^n + 2^n & 5^n - 2^n \\ 2\cdot5^n - 2\cdot2^n & 5^n + 2\cdot2^n \end{pmatrix}$ ตรวจ $n = 1$: $\tfrac13\begin{pmatrix} 12 & 3 \\ 6 & 9 \end{pmatrix} = A$ ✓ · $n = 3$: $\begin{pmatrix} 86 & 39 \\ 78 & 47 \end{pmatrix}$ ตรงกับการคูณตรงสามครั้ง ✓ ## เมทริกซ์สมมาตรและทฤษฎีบทสเปกตรัม ขั้นสูง เมทริกซ์สมมาตรพบบ่อยในวิศวกรรม (เมทริกซ์เมชและโนดของวงจรที่ไม่มีแหล่งจ่ายไม่อิสระ เมทริกซ์ความแข็งแกร่ง เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม) และมีสมบัติที่ดีที่สุด E11 Spectral theorem ทฤษฎีบทสเปกตรัม ($A = A^T$) $$A = Q\Lambda Q^T = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i\,\mathbf q_i\mathbf q_i^T, \qquad Q^TQ = I$$ ค่าเฉพาะเป็นจำนวนจริงทุกตัว · เวกเตอร์เฉพาะของค่าต่างกันตั้งฉากกัน · ทำเป็นทแยงมุมได้เสมอด้วยเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก (ไม่ต้องหาอินเวอร์ส ใช้ทรานสโพส) E12 Definiteness test ความเป็นบวกแน่นอน $$\mathbf x^TA\mathbf x \gt 0 \ \ \forall\mathbf x \ne \mathbf 0 \iff \text{ค่าเฉพาะทุกตัวของ } A = A^T \text{ เป็นบวก}$$ กำลังที่ตัวต้านทานในวงจรดูดกลืน $P = \mathbf i^TR\,\mathbf i \gt 0$ เมทริกซ์ความต้านทานเมชของวงจรตัวต้านทานล้วนจึงบวกแน่นอนเสมอ ใช้พิสูจน์ว่าวงจรแบบนี้มีคำตอบเดียวเสมอ ตัวอย่าง E-7 · แยกสเปกตรัม ### เขียน $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ ในรูป $Q\Lambda Q^T$ - $\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$ ได้ $\lambda = 3, 1$ คู่กับ $(1, 1)$ และ $(1, -1)$ ซึ่งตั้งฉากกันจริง: $1 - 1 = 0$ - ทำให้ยาว 1 (หารด้วย $\sqrt2$) แล้ววางเป็นหลักของ $Q$ E11 $$Q = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \Lambda = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $A = Q\Lambda Q^T$ และเพราะค่าเฉพาะ $3, 1$ เป็นบวกทั้งคู่ $A$ จึงบวกแน่นอน E12 ## ทฤษฎีบทเคย์ลีย์-แฮมิลตัน ขั้นสูง E14 Cayley–Hamilton theorem เมทริกซ์ทุกตัวเป็นรากของพหุนามลักษณะเฉพาะของตัวเอง $$p(\lambda) = \det(\lambda I - A) \ \Rightarrow\ p(A) = O, \qquad \text{2×2: } A^2 - (\operatorname{tr}A)A + (\det A)I = O$$ ใช้ลดกำลังสูงให้เหลือดีกรี $n - 1$ และหาอินเวอร์สโดยไม่ลดแถว I14 ตัวอย่าง E-8 · หา A⁻¹ ด้วยเคย์ลีย์-แฮมิลตัน ### ใช้ $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ - จาก E-1: $p(\lambda) = \lambda^2 - 7\lambda + 10$ จึง $A^2 - 7A + 10I = O$ E14 - คูณ $A^{-1}$ ทั้งสองข้าง: $A - 7I + 10A^{-1} = O$ $$A^{-1} = \frac{7I - A}{10} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$$ $A^{-1} = \tfrac{1}{10}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ ตรงกับสูตร 2×2 และยังได้ $A^2 = 7A - 10I = \begin{pmatrix} 18 & 7 \\ 14 & 11 \end{pmatrix}$ โดยไม่ต้องคูณเมทริกซ์ ## ค่าเฉพาะกับระบบพลวัต: $e^{At}$ และเสถียรภาพ ขั้นสูง นี่คือเหตุผลหลักที่วิศวกรไฟฟ้าต้องรู้จักค่าเฉพาะ วงจร RLC มอเตอร์ และระบบควบคุมเขียนเป็นสมการสถานะ $\dot{\mathbf x} = A\mathbf x$ ได้ คำตอบประกอบจาก “โหมด” ซึ่งแต่ละโหมดคือเวกเตอร์เฉพาะที่โตหรือหดตาม $e^{\lambda t}$ E15 Solution of ẋ = Ax by modes คำตอบในรูปโหมด $$\mathbf x(t) = e^{At}\mathbf x(0) = \sum_{i=1}^{n}c_i\,e^{\lambda_it}\,\mathbf v_i, \qquad \mathbf x(0) = \sum c_i\mathbf v_i \ \ (\mathbf c = P^{-1}\mathbf x(0))$$ $e^{At} = Pe^{Dt}P^{-1}$ เมื่อทำเป็นทแยงมุมได้ · ค่าคงตัวเวลาของโหมดจริงคือ $\tau_i = -1/\lambda_i$ E16 Stability criterion เกณฑ์เสถียรภาพ $$\dot{\mathbf x} = A\mathbf x \text{ เสถียรเชิงเส้นกำกับ} \iff \operatorname{Re}\lambda_i \lt 0 \ \text{ทุก } i$$ ค่าเฉพาะของ $A$ คือขั้วของฟังก์ชันถ่ายโอน ต้องอยู่ครึ่งระนาบซ้ายของระนาบ s (ระบบไม่ต่อเนื่อง $\mathbf x_{k+1} = A\mathbf x_k$ ต้องการ $|\lambda_i| \lt 1$) ดูภาพขั้วบนระนาบ s ได้ที่ แล็บระบบอันดับสอง ตัวอย่าง E-9 · แก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์คู่ ### แก้ $\dot{\mathbf x} = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}\mathbf x$ เมื่อ $\mathbf x(0) = (2, 0)$ - $\operatorname{tr} = -6,\ \det = 8$: $\lambda^2 + 6\lambda + 8 = 0$ ได้ $\lambda = -2, -4$ คู่กับ $(1, 1)$ และ $(1, -1)$ - กระจายค่าเริ่มต้นบนเวกเตอร์เฉพาะ: $c_1(1,1) + c_2(1,-1) = (2, 0)$ ได้ $c_1 = c_2 = 1$ E15 - $$\mathbf x(t) = e^{-2t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + e^{-4t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$ $x_1 = e^{-2t} + e^{-4t},\ x_2 = e^{-2t} - e^{-4t}$ ทั้งสองโหมดลดลง ระบบเสถียร ($\lambda \lt 0$) โหมด $(1,1)$ ช้ากว่า ($\tau = 0.5$) จึงเหลืออยู่นานกว่า E18 Jordan form (defective case) รูปแบบจอร์แดน $$A = PJP^{-1}, \quad J = \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \ \Rightarrow\ e^{Jt} = e^{\lambda t}\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ เมื่อเวกเตอร์เฉพาะไม่ครบ ใช้เวกเตอร์เฉพาะวางนัยทั่วไป $(A - \lambda I)\mathbf w = \mathbf v$ เป็นที่มาของพจน์ $te^{\lambda t}$ ในวงจรหน่วงวิกฤต E17 Power iteration วิธีกำลัง (หาค่าเฉพาะเด่นเชิงตัวเลข) $$\mathbf x_{k+1} = \frac{A\mathbf x_k}{\lVert A\mathbf x_k\rVert} \ \longrightarrow\ \mathbf v_{\max}, \qquad \lambda_{\max} \approx \frac{\mathbf x_k^TA\mathbf x_k}{\mathbf x_k^T\mathbf x_k}$$ ตัวอย่าง $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ เริ่ม $(1, 0)$ อัตราส่วนที่ได้ $4,\ 4.5,\ 4.78,\ 4.91,\ 4.96 \to 5$ ลู่เข้าเร็วตาม $|\lambda_2/\lambda_1| = 0.4$ ต่อรอบ หลักการเดียวกับ PageRank ของ Google ## ติดตรงไหน ดูตรงนี้ อาการที่พบบ่อยและวิธีแก้ - ลดแถว $A - \lambda I$ แล้วไม่มีแถวศูนย์ → $\lambda$ ผิด กลับไปตรวจสมการลักษณะเฉพาะ - ได้เวกเตอร์เฉพาะ $\mathbf 0$ → ผิดตามนิยาม เลือกตัวแปรอิสระเป็นค่าไม่ศูนย์ - คำตอบไม่ตรงเฉลย → อาจต่างกันแค่ตัวคูณ ตรวจด้วย $A\mathbf v = \lambda\mathbf v$ - ลบ $\lambda$ ทุกช่อง → ผิด ลบเฉพาะเส้นทแยงหลัก ($A - \lambda I$) - ผลบวกค่าเฉพาะไม่เท่าเทรซ → มีจุดผิดแน่นอน E6 - 3×3 แยกตัวประกอบไม่ออก → แทนตัวหารของพจน์คงที่ $(\pm1, \pm2, \dots)$ หาราก แล้วหารสังเคราะห์ - ค่าเชิงซ้อนแล้วงง → หาเวกเตอร์ของค่าเดียว อีกค่าเป็นสังยุคของมัน E8 ## เครื่องคิดเลขค่าเฉพาะแสดงวิธีทำ ใส่เมทริกซ์ 2×2 ถึง 4×4 เครื่องจะหาพหุนามลักษณะเฉพาะแบบแม่นตรง หารากตรรกยะแบบแม่นตรง (รากอื่นแสดงเป็นรูปรากที่สองหรือทศนิยม รวมค่าเชิงซ้อน) และหาเวกเตอร์เฉพาะด้วยการลดแถว $A - \lambda I$ พร้อมบอกภาวะรากซ้ำทั้งสองแบบ ## ต่อยอดไปหน้าถัดไป ตัวอย่างวงจรจริงที่ใช้ค่าเฉพาะ ตั้งแต่วงจร RLC ที่ค่าเฉพาะบอกว่าหน่วงเกิน หน่วงวิกฤต หรือแกว่ง ไปจนถึงองค์ประกอบสมมาตรในระบบสามเฟส ซึ่งแท้จริงคือเวกเตอร์เฉพาะของเมทริกซ์อิมพีแดนซ์ อยู่ในหน้า ประยุกต์ในวิศวกรรมไฟฟ้า ## ต่อยอด: ค่าเฉพาะในระบบควบคุมสมัยใหม่ ค่าเฉพาะของเมทริกซ์ A คือขั้วของระบบ ดูต่อที่ปริภูมิสถานะและ e^(At) ความสามารถควบคุมได้และสังเกตได้ (แรงก์) และการวางขั้วด้วยป้อนกลับสถานะ ซึ่งใช้เคย์ลีย์-แฮมิลตันในสูตรแอคเคอร์มันน์ ## คำถามที่พบบ่อย หาเวกเตอร์เฉพาะแล้วลดแถวได้ทุกแถวไม่เป็นศูนย์ ทำอย่างไร? แปลว่าค่า $\lambda$ ที่ใช้ผิด เพราะเมื่อ $\lambda$ เป็นค่าเฉพาะจริง $\det(A - \lambda I) = 0$ ลดแถวแล้วต้องมีแถวศูนย์อย่างน้อยหนึ่งแถวเสมอ ให้กลับไปตรวจสมการลักษณะเฉพาะและการแยกตัวประกอบ เวกเตอร์เฉพาะที่ได้ไม่ตรงกับเฉลย ผิดไหม? ไม่จำเป็นต้องผิด เวกเตอร์เฉพาะคูณด้วยค่าคงที่ใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ก็ยังเป็นเวกเตอร์เฉพาะ เช่น $(1, 2)$, $(2, 4)$ และ $(-1, -2)$ ใช้แทนกันได้ ตรวจด้วย $A\mathbf v = \lambda\mathbf v$ จะรู้ทันที ค่าเฉพาะเป็นศูนย์ได้ไหม แล้วเวกเตอร์เฉพาะเป็นศูนย์ได้ไหม? ค่าเฉพาะเป็นศูนย์ได้ (แปลว่าเมทริกซ์ไม่มีอินเวอร์ส) แต่เวกเตอร์เฉพาะเป็นเวกเตอร์ศูนย์ไม่ได้ตามนิยาม เพราะ $A\mathbf 0 = \lambda\mathbf 0$ จริงกับทุก $\lambda$ จึงไม่ให้ข้อมูลอะไร ค่าเฉพาะเกี่ยวกับวงจรไฟฟ้าอย่างไร? ค่าเฉพาะของเมทริกซ์สถานะ $A$ คือขั้ว (poles) ของวงจร ส่วนจริงบอกอัตราการลดลง ส่วนจินตภาพบอกความถี่การแกว่ง ถ้าทุกค่ามีส่วนจริงเป็นลบ วงจรเสถียร ค่าเฉพาะจริงสองตัวคือหน่วงเกิน ค่าเชิงซ้อนคู่คือหน่วงน้อยแบบแกว่ง มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **หาเวกเตอร์เฉพาะแล้วลดแถวได้ทุกแถวไม่เป็นศูนย์ ทำอย่างไร?** แปลว่าค่า $\lambda$ ที่ใช้ผิด เพราะเมื่อ $\lambda$ เป็นค่าเฉพาะจริง $\det(A - \lambda I) = 0$ ลดแถวแล้วต้องมีแถวศูนย์อย่างน้อยหนึ่งแถวเสมอ ให้กลับไปตรวจสมการลักษณะเฉพาะและการแยกตัวประกอบ **เวกเตอร์เฉพาะที่ได้ไม่ตรงกับเฉลย ผิดไหม?** ไม่จำเป็นต้องผิด เวกเตอร์เฉพาะคูณด้วยค่าคงที่ใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ก็ยังเป็นเวกเตอร์เฉพาะ เช่น $(1, 2)$, $(2, 4)$ และ $(-1, -2)$ ใช้แทนกันได้ ตรวจด้วย $A\mathbf v = \lambda\mathbf v$ จะรู้ทันที **ค่าเฉพาะเป็นศูนย์ได้ไหม แล้วเวกเตอร์เฉพาะเป็นศูนย์ได้ไหม?** ค่าเฉพาะเป็นศูนย์ได้ (แปลว่าเมทริกซ์ไม่มีอินเวอร์ส) แต่เวกเตอร์เฉพาะเป็นเวกเตอร์ศูนย์ไม่ได้ตามนิยาม เพราะ $A\mathbf 0 = \lambda\mathbf 0$ จริงกับทุก $\lambda$ จึงไม่ให้ข้อมูลอะไร **ค่าเฉพาะเกี่ยวกับวงจรไฟฟ้าอย่างไร?** ค่าเฉพาะของเมทริกซ์สถานะ $A$ คือขั้ว (poles) ของวงจร ส่วนจริงบอกอัตราการลดลง ส่วนจินตภาพบอกความถี่การแกว่ง ถ้าทุกค่ามีส่วนจริงเป็นลบ วงจรเสถียร ค่าเฉพาะจริงสองตัวคือหน่วงเกิน ค่าเชิงซ้อนคู่คือหน่วงน้อยแบบแกว่ง