--- title: "ประยุกต์พีชคณิตเชิงเส้นในวิศวกรรมไฟฟ้า: รูปแบบโจทย์ที่เจอเสมอ" url: https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/ee-applications/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-12 --- > รวมรูปแบบโจทย์วิศวกรรมไฟฟ้าที่ใช้เมทริกซ์ เขียนสมการเมชและโนดด้วยการมอง แหล่งจ่ายไม่อิสระ วงจร AC เฟเซอร์ ปริภูมิสถานะวงจร RLC กับค่าเฉพาะ วงจร RC สองชั้น เมทริกซ์ ABCD สองพอร์ต องค์ประกอบสมมาตร การแปลงคลาร์กและพาร์ก และ Y-bus พร้อมวิธีทำทีละขั้นและวงจรประกอบ ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/ee-applications/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # ประยุกต์พีชคณิตเชิงเส้นในวิศวกรรมไฟฟ้า: รูปแบบโจทย์ที่เจอเสมอ // บทที่ 7.7 · พีชคณิตเชิงเส้น · Applications in Electrical Engineering โจทย์วงจรและระบบไฟฟ้ามีรูปแบบตายตัวไม่กี่แบบ เมื่อเห็นวงจรแล้วรู้ว่าจะได้เมทริกซ์หน้าตาแบบไหน และควรใช้เครื่องมือใด (คราเมอร์ อินเวอร์ส ลดแถว หรือค่าเฉพาะ) โจทย์ก็เหลือแค่การคำนวณ หน้านี้รวบรวมรูปแบบเหล่านั้นตั้งแต่วงจร DC ปี 1 จนถึงระบบไฟฟ้ากำลังและอิเล็กทรอนิกส์กำลัง สูตรใช้รหัส A สรุปใน 30 วินาที - วงจรตัวต้านทาน + แหล่งจ่ายอิสระ: $R\mathbf I = \mathbf V$ หรือ $G\mathbf V = \mathbf I$ เขียนได้ด้วยการมอง เมทริกซ์สมมาตร - มีแหล่งจ่ายไม่อิสระ: เมทริกซ์ไม่สมมาตร · วงจร AC: สมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน · หลังลาปลาซ: สมาชิกเป็นพหุนามของ $s$ - วงจรมี L และ C: $\dot{\mathbf x} = A\mathbf x + B\mathbf u$ ค่าเฉพาะของ $A$ คือขั้ว บอกการหน่วงและการแกว่ง - สองพอร์ตต่อเรียง = คูณเมทริกซ์ ABCD · สามเฟสไม่สมดุล = แปลงด้วยเมทริกซ์ Fortescue ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย ## ตารางรูปแบบโจทย์: เห็นวงจรแล้วรู้ว่าจะใช้อะไร | สถานการณ์ | รูปเมทริกซ์ | เครื่องมือที่เหมาะ | ดู | | วงจร DC หลายลูป ถามกระแสลูปเดียว | $R\mathbf I = \mathbf V$ สมมาตร | คราเมอร์ (2 ดีเทอร์มิแนนต์) | A1 | | วงจร DC หลายโนด แหล่งจ่ายกระแส | $G\mathbf V = \mathbf I$ สมมาตร | ลดแถว / อินเวอร์ส | A2 | | วงจรเดิม เปลี่ยนแหล่งจ่ายหลายแบบ | $\mathbf x = A^{-1}\mathbf b$ | อินเวอร์สครั้งเดียว / LU | I-6 | | มีแหล่งจ่ายไม่อิสระ | ไม่สมมาตร | คราเมอร์ / ลดแถว | A3 | | วงจร AC สถานะคงตัว | $\mathbf Z\mathbf I = \mathbf V$ เชิงซ้อน | คราเมอร์เชิงซ้อน | A4 | | หาฟังก์ชันถ่ายโอน | สมาชิกเป็นพหุนาม $s$ | คราเมอร์ $H = \Delta_k/\Delta$ | C8 | | ผลตอบสนองชั่วครู่ RLC | $\dot{\mathbf x} = A\mathbf x + B\mathbf u$ | ค่าเฉพาะ เวกเตอร์เฉพาะ | A5 | | วงจรต่อเรียงหลายชั้น สายส่ง | ABCD | คูณเมทริกซ์ | A7 | | ฟอลต์ ระบบสามเฟสไม่สมดุล | Fortescue | แปลงฐาน (ค่าเฉพาะของเมทริกซ์วนรอบ) | A8 | | ควบคุมมอเตอร์ อินเวอร์เตอร์ | คลาร์ก พาร์ก | เมทริกซ์หมุน (เชิงตั้งฉาก) | A9 | | การไหลของกำลัง ฟอลต์ในระบบใหญ่ | Y-bus, Z-bus | เมทริกซ์ห่าง LU | A10 | ## การวิเคราะห์เมชด้วยการมอง พื้นฐาน เขียน KVL รอบทุกเมชโดยให้กระแสเมชวนทิศเดียวกัน (ตามเข็มนาฬิกา) จะได้รูปแบบที่ตายตัว จนเขียนเมทริกซ์ได้โดยไม่ต้องเขียน KVL ทีละสมการ A1 Mesh equations by inspection สมการเมชด้วยการมอง (วงจรตัวต้านทาน + แหล่งแรงดันอิสระ) $$R\,\mathbf I = \mathbf V, \qquad r_{kk} = \sum R \text{ รอบเมช } k, \quad r_{kj} = -\sum R \text{ ที่ใช้ร่วมระหว่าง } k, j, \quad V_k = \sum \text{แหล่งจ่ายที่ดันตามทิศ } I_k$$ ทุกเมชวนทิศเดียวกัน · $R$ สมมาตรและบวกแน่นอน E12 · แหล่งจ่ายที่ขั้วบวกอยู่ด้านที่กระแสเมชไหลออก นับเป็นบวก · มีแหล่งกระแสให้ใช้ซูเปอร์เมช (supermesh) หรือเพิ่มสมการเงื่อนไข ตัวอย่าง A-1 · วงจรสามเมชจากหน้าคราเมอร์ ด้วยการมองและอินเวอร์ส ### วงจร: 24 V, $R_1 = 2$, $R_2 = 4$ (ร่วม 1–2), $R_3 = 2$, $R_4 = 6$ (ร่วม 2–3), $R_5 = 3\ \Omega$ (ดูรูปวงจร) หากระแสเมชทั้งหมดและกระแสผ่าน $R_2$, $R_4$ - มองวงจรแล้วเขียนได้ทันที A1 $$\begin{pmatrix} 2+4 & -4 & 0 \\ -4 & 4+2+6 & -6 \\ 0 & -6 & 6+3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ - อินเวอร์ส ($\det R = 288$) คำนวณด้วยแอดจอยต์ I3 $$R^{-1} = \frac{1}{288}\begin{pmatrix} 72 & 36 & 24 \\ 36 & 54 & 36 \\ 24 & 36 & 56 \end{pmatrix}$$ - $\mathbf b$ มีค่าแค่ตัวแรก จึงได้ 24 เท่าของหลักแรก $$\mathbf I = \frac{24}{288}\begin{pmatrix} 72 \\ 36 \\ 24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\text{ A}$$ $I_1 = 6,\ I_2 = 3,\ I_3 = 2$ A · กระแสผ่าน $R_2 = I_1 - I_2 = 3$ A และผ่าน $R_4 = I_2 - I_3 = 1$ A $R^{-1}$ สมมาตรด้วย (อินเวอร์สของเมทริกซ์สมมาตรสมมาตรเสมอ) · ความต้านทานที่แหล่งจ่ายมองเห็น $= 1/(R^{-1})_{11} = 288/72 = 4\ \Omega$ ตรวจ: $24/4 = 6$ A ✓ ## การวิเคราะห์โนดด้วยการมอง พื้นฐาน A2 Nodal equations by inspection สมการโนดด้วยการมอง (ตัวต้านทาน + แหล่งกระแสอิสระ) $$G\,\mathbf V = \mathbf I, \qquad g_{kk} = \sum G \text{ ที่ต่อกับโนด } k, \quad g_{kj} = -\sum G \text{ ระหว่างโนด } k, j, \quad I_k = \sum \text{กระแสที่ฉีดเข้าโนด } k$$ $G = 1/R$ หน่วยซีเมนส์ · ถ้าเศษส่วนเยอะ ให้คูณทั้งระบบด้วย ค.ร.น. ของตัวส่วนก่อน คำตอบไม่เปลี่ยน · วงจรบันได (ladder) ได้เมทริกซ์สามแนวทแยง (tridiagonal) แก้ได้เร็วด้วยการแทนค่าต่อเนื่อง วงจรบันไดสามโนด กราวด์อยู่ด้านล่าง ตัวอย่าง A-2 · วงจรบันไดสามโนด ### หาแรงดันโนด $v_1, v_2, v_3$ - ความนำ: $G_a = 1,\ G_b = 0.5,\ G_c = 0.25,\ G_d = 0.5,\ G_e = 0.5$ S เขียนด้วยการมอง A2 $$\begin{pmatrix} 1 + 0.5 & -0.5 & 0 \\ -0.5 & 0.5 + 0.25 + 0.5 & -0.5 \\ 0 & -0.5 & 0.5 + 0.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ - คูณทั้งระบบด้วย 4 กำจัดทศนิยม $$\begin{pmatrix} 6 & -2 & 0 \\ -2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ - สามแนวทแยง จึงแทนค่าต่อเนื่องจากแถวล่าง: แถว 3 ได้ $v_2 = 2v_3$ · แถว 2: $-2v_1 + 10v_3 - 2v_3 = 0$ ได้ $v_1 = 4v_3$ - แถว 1: $6(4v_3) - 2(2v_3) = 20v_3 = 40$ $$v_3 = 2,\quad v_2 = 4,\quad v_1 = 8\ \text{V}$$ $\mathbf v = (8,\ 4,\ 2)$ V KCL โนด 1: กระแสลง $R_a$ $= 8$ A ผ่าน $R_b$ $= (8 - 4)/2 = 2$ A รวม 10 A ✓ · การใช้ $G^{-1}$ กับแหล่งจ่ายหลายแบบดูที่ ตัวอย่าง I-6 A11 Modified nodal analysis (MNA) การวิเคราะห์โนดดัดแปลง (สิ่งที่ SPICE ทำ) $$\begin{pmatrix} G & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathbf v \\ \mathbf i_V \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf i_s \\ \mathbf e \end{pmatrix}$$ เพิ่มกระแสของแหล่งแรงดันเป็นตัวแปรใหม่ $\mathbf i_V$ ทำให้รองรับแหล่งแรงดันและแหล่งไม่อิสระทุกแบบ เมทริกซ์ใหญ่แต่ห่าง (sparse) แก้ด้วย LU L9 ## วงจรที่มีแหล่งจ่ายไม่อิสระ กลาง A3 Dependent sources แหล่งจ่ายไม่อิสระทำให้เมทริกซ์ไม่สมมาตร $$\text{เขียน KVL/KCL ตามปกติ} \to \text{ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรควบคุมไปซ้าย} \to R\mathbf I = \mathbf V \text{ แต่ } R \ne R^T$$ ห้ามใช้ “การมอง” ตรง ๆ กับตัวควบคุม ต้องเขียน KVL ก่อนแล้วจัดรูป · วงจรแบบนี้ไม่เป็นส่วนกลับ (non-reciprocal) เช่นวงจรจำลองทรานซิสเตอร์และออปแอมป์ แหล่งแรงดันควบคุมด้วยกระแส (CCVS) ค่า $2I_1$ โวลต์ ขั้วบวกด้านล่าง จึงดันกระแสตามทิศ $I_2$ ตัวอย่าง A-3 · CCVS ในเมชที่สอง ### หา $I_1$ และ $I_2$ - KVL เมช 1 (ปกติ): $2I_1 + 4(I_1 - I_2) = 12$ → $6I_1 - 4I_2 = 12$ - KVL เมช 2: แรงดันตกบนตัวต้านทาน = แรงดันที่แหล่งไม่อิสระดันขึ้น $$4(I_2 - I_1) + 4I_2 = 2I_1 \ \Rightarrow\ {-6}I_1 + 8I_2 = 0$$ - เมทริกซ์ไม่สมมาตร ($-4 \ne -6$) A3 แก้ด้วยคราเมอร์ C2 $$\begin{pmatrix} 6 & -4 \\ -6 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \Delta = 48 - 24 = 24$$ $$I_1 = \frac{(12)(8) - (-4)(0)}{24} = 4, \qquad I_2 = \frac{(6)(0) - (12)(-6)}{24} = 3$$ $I_1 = 4$ A · $I_2 = 3$ A · แหล่งไม่อิสระมีแรงดัน $2I_1 = 8$ V ตรวจเมช 2: $4(3 - 4) + 4(3) = 8 = 2I_1$ ✓ ## วงจร AC แบบเฟเซอร์ กลาง A4 Phasor mesh/nodal equations สมการเมช/โนดแบบเฟเซอร์ $$\mathbf Z\,\mathbf I = \mathbf V, \qquad Z_R = R,\quad Z_L = j\omega L,\quad Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -\frac{j}{\omega C}$$ กฎการมองใช้ได้เหมือน A1 แต่ใช้อิมพีแดนซ์ · $\mathbf Z$ สมมาตรแต่เป็นเชิงซ้อน (ไม่ใช่เฮอร์มิเชียน) · กำลังเชิงซ้อนที่แหล่งจ่ายส่งให้วงจร $S = \tfrac12\mathbf V^T\overline{\mathbf I}$ เมื่อใช้ค่ายอด (ถ้าใช้ค่า RMS ไม่ต้องมี $\tfrac12$) · ตัวอย่างเต็มอยู่ที่ C-5 ## วงจร RLC ในปริภูมิสถานะและค่าเฉพาะ กลาง → ขั้นสูง เลือกตัวแปรที่ “มีความจำ” เป็นสถานะ คือกระแสตัวเหนี่ยวนำและแรงดันตัวเก็บประจุ แล้วเขียนอนุพันธ์ของแต่ละตัว จะได้ระบบอันดับหนึ่งในรูปเมทริกซ์ ค่าเฉพาะของ $A$ คือขั้วตัวเดียวกับที่ได้จาก $\Delta(s) = 0$ RLC อนุกรม สถานะ $\mathbf x = (i_L,\ v_C)$ A5 Series RLC in state space RLC อนุกรมในปริภูมิสถานะ $$\frac{d}{dt}\begin{pmatrix} i_L \\ v_C \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} -R/L & -1/L \\ 1/C & 0 \end{pmatrix}}_{A}\begin{pmatrix} i_L \\ v_C \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1/L \\ 0 \end{pmatrix}u, \qquad \lambda^2 + \frac{R}{L}\lambda + \frac{1}{LC} = 0$$ $$\omega_n = \frac{1}{\sqrt{LC}},\quad \zeta = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}},\quad \lambda_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1}$$ $\operatorname{tr}A = -R/L = -2\zeta\omega_n$ (การหน่วง) · $\det A = 1/LC = \omega_n^2$ E6 · $\zeta \gt 1$ จริงต่างกัน (หน่วงเกิน) · $\zeta = 1$ ซ้ำ (วิกฤต, defective) · $\zeta \lt 1$ เชิงซ้อน (หน่วงน้อย แกว่ง) ดูแล็บ ระบบอันดับสอง ตัวอย่าง A-4 · ผลตอบสนองธรรมชาติของ RLC ด้วยเวกเตอร์เฉพาะ ### $R = 6\ \Omega,\ L = 1$ H, $C = 0.2$ F, $u = 0$ เริ่มต้น $i_L(0) = 0,\ v_C(0) = 4$ V หา $i_L(t)$ และ $v_C(t)$ - แทนค่าใน A5: $A = \begin{pmatrix} -6 & -1 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}$, $\operatorname{tr} = -6$, $\det = 5$ A5 $$\lambda^2 + 6\lambda + 5 = (\lambda + 1)(\lambda + 5) = 0 \ \Rightarrow\ \lambda = -1,\ -5$$ - เวกเตอร์เฉพาะด้วยสูตรลัด $(b,\ \lambda - a)$ โดย $a = -6,\ b = -1$ E4 $$\lambda = -1:\ \mathbf v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 + 6 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix}, \qquad \lambda = -5:\ \mathbf v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ -5 + 6 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$ - กระจายค่าเริ่มต้น $c_1(1, -5) + c_2(1, -1) = (0, 4)$ ได้ $c_1 = -1,\ c_2 = 1$ E15 $$\begin{pmatrix} i_L \\ v_C \end{pmatrix} = -e^{-t}\begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix} + e^{-5t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$ $i_L(t) = -e^{-t} + e^{-5t}$ A · $v_C(t) = 5e^{-t} - e^{-5t}$ V (หน่วงเกิน $\zeta = 3\sqrt{0.2} \approx 1.34$) ตรวจ $i_L = C\,dv_C/dt = 0.2(-5e^{-t} + 5e^{-5t}) = -e^{-t} + e^{-5t}$ ✓ · ถ้าเปลี่ยนเป็น $R = 2\ \Omega$ จะได้ $\lambda^2 + 2\lambda + 5 = 0$, $\lambda = -1 \pm j2$: แกว่งที่ 2 rad/s ใต้เปลือก $e^{-t}$ ($\zeta \approx 0.447$) ## วงจร RC สองชั้น: ค่าเฉพาะคือค่าคงตัวเวลา ขั้นสูง วงจรเดียวกับ ตัวอย่าง C-6 คราวนี้มองผ่านปริภูมิสถานะ จะเห็นว่าค่าเฉพาะกับขั้วจากฟังก์ชันถ่ายโอนเป็นตัวเดียวกัน และเวกเตอร์เฉพาะบอก “รูปร่าง” ของแต่ละโหมดด้วย A6 Two-stage RC ladder RC สองชั้น ($R_1 = R_2 = R,\ C_1 = C_2 = C,\ \tau = RC$) $$\dot{\mathbf v} = \frac{1}{\tau}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\mathbf v + \frac{1}{\tau}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}u, \qquad \lambda\tau = \frac{-3 \pm \sqrt5}{2} = -0.382,\ -2.618$$ ค่าคงตัวเวลาของโหมด $\tau_i = -1/\lambda_i = 2.618\tau$ และ $0.382\tau$ · ผลคูณ $= \tau^2$ ($= 1/\det A$) ผลบวก $= 3\tau$ ตัวอย่าง A-5 · อ่านความหมายของเวกเตอร์เฉพาะ ### หาเวกเตอร์เฉพาะของ $\tau A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ แล้วตีความ - $\operatorname{tr} = -3,\ \det = 1$: $\mu^2 + 3\mu + 1 = 0$ ได้ $\mu = -0.382,\ -2.618$ (โดย $\mu = \lambda\tau$) - สูตรลัด $(b, \mu - a) = (1,\ \mu + 2)$ E4 $$\mu = -0.382:\ \mathbf v_{\text{ช้า}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1.618 \end{pmatrix}, \qquad \mu = -2.618:\ \mathbf v_{\text{เร็ว}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -0.618 \end{pmatrix}$$ โหมดช้า: ตัวเก็บประจุทั้งสองตัวเปลี่ยนแรงดันไปทางเดียวกัน (ชาร์จทั้งวงจร) · โหมดเร็ว: แรงดันสวนทางกัน (ประจุไหลถ่ายเทระหว่างสองตัวเก็บประจุผ่าน $R_2$) จึงหายไปเร็วกว่าเกือบ 7 เท่า $A$ สมมาตร เวกเตอร์เฉพาะจึงตั้งฉากกัน: $(1)(1) + (1.618)(-0.618) = 1 - 1 = 0$ ✓ E11 ## วงจรสองพอร์ตและเมทริกซ์ ABCD กลาง วงจรที่มีขาเข้าและขาออกอย่างละคู่ (ตัวกรอง สายส่ง หม้อแปลง แอมป์) อธิบายด้วยเมทริกซ์ 2×2 ได้ ข้อดีของเมทริกซ์ ABCD (transmission parameters) คือต่อเรียงกัน = คูณเมทริกซ์ตามลำดับ A7 ABCD (transmission) matrix เมทริกซ์ ABCD $$\begin{pmatrix} V_1 \\ I_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} V_2 \\ I_2 \end{pmatrix}, \quad \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & Z \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{\text{อนุกรม } Z}, \quad \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ Y & 1 \end{pmatrix}}_{\text{ขนาน } Y}, \quad T_{\text{รวม}} = T_1T_2\cdots T_k$$ $I_2$ นิยามไหลออกจากพอร์ต 2 · วงจรส่วนกลับ (R, L, C, หม้อแปลง) มี $AD - BC = 1$ · อัตราขยายแรงดันเปิดวงจร $V_2/V_1 = 1/A$ · พารามิเตอร์ Z และ Y สัมพันธ์กันด้วย $\mathbf Y = \mathbf Z^{-1}$ ตัวอย่าง A-6 · ต่อเรียงตัวแบ่งแรงดันสองชั้น ### แต่ละชั้นคือ $Z = 10\ \Omega$ อนุกรม ตามด้วย $Y = 0.05$ S (20 Ω) ขนาน หา ABCD ของหนึ่งชั้นและสองชั้น แล้วหาอัตราขยายแรงดันเมื่อปลายเปิด - หนึ่งชั้น = อนุกรมคูณขนาน (ตามลำดับที่สัญญาณผ่าน) A7 $$T = \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0.05 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.5 & 10 \\ 0.05 & 1 \end{pmatrix}$$ - สองชั้นต่อเรียง = $T^2$ $$T^2 = \begin{pmatrix} 1.5(1.5) + 10(0.05) & 1.5(10) + 10(1) \\ 0.05(1.5) + 1(0.05) & 0.05(10) + 1(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.75 & 25 \\ 0.125 & 1.5 \end{pmatrix}$$ หนึ่งชั้น $V_2/V_1 = 1/1.5 = 0.667$ (ตรงกับตัวแบ่ง $20/30$) · สองชั้น $1/2.75 = 0.364$ ไม่ใช่ $0.667^2 = 0.444$ เพราะชั้นที่สองโหลดชั้นแรก เมทริกซ์จัดการผลโหลดให้อัตโนมัติ $\det T = 1.5 - 0.5 = 1$ และ $\det T^2 = 4.125 - 3.125 = 1$ ✓ (วงจรส่วนกลับ และสอดคล้องกับ $\det(AB) = \det A\det B$) ## องค์ประกอบสมมาตรในระบบสามเฟส ขั้นสูง ระบบสามเฟสที่ไม่สมดุล (เช่นเกิดฟอลต์เฟสเดียวลงดิน) แยกเป็นสามระบบสมดุลได้ด้วยการแปลง Fortescue ให้ $a = 1\angle120^\circ = -\tfrac12 + j\tfrac{\sqrt3}{2}$ ซึ่งมีสมบัติ $a^3 = 1$ และ $1 + a + a^2 = 0$ A8 Symmetrical components (Fortescue) การแปลงองค์ประกอบสมมาตร $$\begin{pmatrix} V_a \\ V_b \\ V_c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} V_0 \\ V_1 \\ V_2 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} V_0 \\ V_1 \\ V_2 \end{pmatrix} = \frac13\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} V_a \\ V_b \\ V_c \end{pmatrix}$$ ใช้ได้ทั้งแรงดันและกระแส · 0 = ลำดับศูนย์ 1 = ลำดับบวก 2 = ลำดับลบ · อินเวอร์สคือสังยุคทรานสโพสหารสาม ($\tfrac{1}{\sqrt3}\mathbf A$ เป็นยูนิแทรี) A12 Why it works: eigenvectors of the phase-impedance matrix เหตุผลเบื้องหลัง: เวกเตอร์เฉพาะ $$\mathbf Z_{abc} = \begin{pmatrix} Z_s & Z_m & Z_m \\ Z_m & Z_s & Z_m \\ Z_m & Z_m & Z_s \end{pmatrix} \ \Rightarrow\ \mathbf A^{-1}\mathbf Z_{abc}\mathbf A = \begin{pmatrix} Z_s + 2Z_m & & \\ & Z_s - Z_m & \\ & & Z_s - Z_m \end{pmatrix}$$ หลักของ $\mathbf A$ คือ $(1,1,1)$, $(1, a^2, a)$, $(1, a, a^2)$ เป็นเวกเตอร์เฉพาะของ $\mathbf Z_{abc}$ พอดี จึงทำเป็นทแยงมุมได้ E9 ได้อิมพีแดนซ์ลำดับศูนย์ $Z_0 = Z_s + 2Z_m$ และลำดับบวก/ลบ $Z_1 = Z_2 = Z_s - Z_m$ วงจรสามเฟสที่ผูกกันจึงแยกเป็นสามวงจรอิสระ ตัวอย่าง A-7 · ฟอลต์เฟสเดียวลงดิน ### กระแสฟอลต์ $I_a = 30\angle0^\circ$ A, $I_b = I_c = 0$ หาองค์ประกอบสมมาตรของกระแส - คูณด้วยเมทริกซ์ผกผัน A8 $$\begin{pmatrix} I_0 \\ I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = \frac13\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 30 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac13\begin{pmatrix} 30 \\ 30 \\ 30 \end{pmatrix}$$ $I_0 = I_1 = I_2 = 10\angle0^\circ$ A นี่คือเหตุผลที่ฟอลต์เฟสเดียวลงดินต่อวงจรลำดับศูนย์ บวก และลบอนุกรมกัน และ $I_f = 3I_0$ ระบบสมดุลลำดับบวก $V_a = 100,\ V_b = 100a^2,\ V_c = 100a$ จะได้ $V_1 = \tfrac13(100 + a\cdot100a^2 + a^2\cdot100a) = 100$ และ $V_0 = V_2 = 0$ เพราะ $1 + a + a^2 = 0$ ✓ ## การแปลงคลาร์กและพาร์ก (ควบคุมมอเตอร์) ขั้นสูง อินเวอร์เตอร์ขับมอเตอร์ทุกตัวที่ใช้การควบคุมแบบ field-oriented (FOC) ทำการแปลงสองขั้นนี้หลายหมื่นครั้งต่อวินาที เพื่อเปลี่ยนสัญญาณไซน์สามเฟสให้กลายเป็นค่าคงที่สองค่าที่ควบคุมด้วย PI ได้ง่าย A9 Clarke and Park transforms การแปลงคลาร์ก (abc → αβ) และพาร์ก (αβ → dq) $$\begin{pmatrix} v_\alpha \\ v_\beta \end{pmatrix} = \frac23\begin{pmatrix} 1 & -\tfrac12 & -\tfrac12 \\ 0 & \tfrac{\sqrt3}{2} & -\tfrac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_a \\ v_b \\ v_c \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} v_d \\ v_q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_\alpha \\ v_\beta \end{pmatrix}$$ รูปแบบคงขนาด (amplitude-invariant) · ระบบสมดุล $v_a = V_m\cos\theta$ จะได้ $v_\alpha = V_m\cos\theta,\ v_\beta = V_m\sin\theta$ แล้ว $v_d = V_m,\ v_q = 0$ เป็นค่าคงที่ · เมทริกซ์พาร์กเป็นเชิงตั้งฉาก อินเวอร์สจึงเป็นแค่ทรานสโพส M5 · รูปแบบคงกำลัง (power-invariant) ใช้ $\sqrt{2/3}$ แทน $2/3$ ทำให้เมทริกซ์ 3×3 ทั้งก้อนเป็นเชิงตั้งฉาก ## Y-bus และ Z-bus ในระบบไฟฟ้ากำลัง ขั้นสูง A10 Bus admittance matrix เมทริกซ์แอดมิตแตนซ์บัส $$\mathbf I_{\text{bus}} = \mathbf Y_{\text{bus}}\mathbf V_{\text{bus}}, \qquad Y_{kk} = \sum_{\text{ต่อกับบัส } k} y, \quad Y_{kj} = -y_{kj}, \qquad \mathbf Z_{\text{bus}} = \mathbf Y_{\text{bus}}^{-1}$$ คือการวิเคราะห์โนด A2 ด้วยแอดมิตแตนซ์เชิงซ้อน · ระบบจริงมีหลายพันบัสแต่แต่ละบัสต่อกับไม่กี่บัส $\mathbf Y_{\text{bus}}$ จึงห่างมาก (sparse) · ถ้าไม่มีกิ่งใดลงกราวด์ ผลรวมแต่ละแถวเป็น 0 $\mathbf Y_{\text{bus}}$ เอกฐาน หา $\mathbf Z_{\text{bus}}$ ไม่ได้ · การกำจัดบัสที่ไม่มีโหลด (Kron reduction) คือ Schur complement D14 ตัวอย่าง A-8 · สร้าง Y-bus สามบัส ### สายส่ง $y_{12} = -j10$, $y_{13} = -j4$, $y_{23} = -j5$ pu และเครื่องกำเนิดที่บัส 1 มีแอดมิตแตนซ์ลงกราวด์ $y_{10} = -j5$ pu เขียน $\mathbf Y_{\text{bus}}$ - ทแยง = ผลรวมแอดมิตแตนซ์ทุกตัวที่ต่อกับบัส (รวมกิ่งลงกราวด์) A10 $$Y_{11} = -j(10 + 4 + 5) = -j19, \quad Y_{22} = -j(10 + 5) = -j15, \quad Y_{33} = -j(4 + 5) = -j9$$ - นอกทแยง = ลบแอดมิตแตนซ์ระหว่างบัส $$\mathbf Y_{\text{bus}} = \begin{pmatrix} -j19 & j10 & j4 \\ j10 & -j15 & j5 \\ j4 & j5 & -j9 \end{pmatrix}$$ ได้ $\mathbf Y_{\text{bus}}$ สมมาตร ถ้าตัด $y_{10}$ ออก แถวที่ 1 จะรวมเป็น $-j14 + j10 + j4 = 0$ ทุกแถวรวมเป็นศูนย์ เมทริกซ์จะเอกฐานทันที ## สรุป: ภาษาเมทริกซ์ ↔ ภาษาวงจร | ภาษาเมทริกซ์ | ความหมายในวงจร | | $\det A = 0$ | เขียนสมการซ้ำ / ขาดกิ่งลงกราวด์ / วงจรลอย ไม่มีคำตอบเดียว | | $A$ สมมาตร | วงจรส่วนกลับ (reciprocal) ไม่มีแหล่งไม่อิสระ | | $A$ บวกแน่นอน | วงจรดูดกลืนพลังงาน (passive) มีคำตอบเดียวเสมอ | | หลักที่ $j$ ของ $A^{-1}$ | ผลตอบสนองทุกจุดเมื่อมีแหล่งจ่ายหนึ่งหน่วยที่ตำแหน่ง $j$ | | $\Delta(s) = \det(sI - A) = 0$ | สมการลักษณะเฉพาะ ขั้วของวงจร | | ค่าเฉพาะจริงลบ / เชิงซ้อน / ส่วนจริงบวก | หน่วงเกิน / แกว่ง / ไม่เสถียร | | เวกเตอร์เฉพาะ | รูปร่างของโหมด (สัดส่วนกระแสและแรงดันในโหมดนั้น) | | คูณเมทริกซ์ ABCD | ต่อวงจรเรียงกัน รวมผลโหลดอัตโนมัติ | | เปลี่ยนฐานให้เป็นทแยงมุม | แยกระบบที่ผูกกันให้เป็นระบบย่อยอิสระ (องค์ประกอบสมมาตร โหมด) | ## ลองกับวงจรของคุณ เขียนเมทริกซ์จากวงจรด้วยการมอง แล้วใส่ในเครื่องคิดเลขด้านล่าง เลือก “แก้ระบบ” เพื่อหากระแสหรือแรงดัน หรือ “ค่าเฉพาะ” เพื่อดูขั้วของวงจรจากเมทริกซ์สถานะ ## ต่อยอด: แบบจำลองปริภูมิสถานะของวงจร วงจร RLC ในรูปเมทริกซ์คือแบบจำลองปริภูมิสถานะของระบบควบคุม ส่วนการแปลงคลาร์ก-พาร์กใช้ในการควบคุมมอเตอร์ BLDC แบบ FOC ในเมคาทรอนิกส์ และอินเวอร์เตอร์ต่อกริดในการควบคุมตัวแปลงกำลัง ## คำถามที่พบบ่อย ทำไมเมทริกซ์เมชของวงจรตัวต้านทานล้วนสมมาตร? เพราะตัวต้านทานที่อยู่ร่วมระหว่างเมช i กับ j ปรากฏในสมการของทั้งสองเมชด้วยค่าเดียวกัน $r_{ij} = r_{ji} = -R_{\text{ร่วม}}$ วงจรแบบนี้เป็นวงจรส่วนกลับ (reciprocal) ถ้ามีแหล่งจ่ายไม่อิสระ ความสมมาตรจะหายไป ค่าเฉพาะของวงจร RLC บอกอะไร? ค่าเฉพาะของเมทริกซ์สถานะคือขั้วของวงจร ถ้าเป็นจริงลบต่างกันคือหน่วงเกิน จริงลบซ้ำกันคือหน่วงวิกฤต เชิงซ้อนคู่ส่วนจริงลบคือหน่วงน้อยแบบแกว่ง ส่วนจริงบอกอัตราการลดลง ส่วนจินตภาพบอกความถี่แกว่ง Y-bus หาอินเวอร์สไม่ได้เมื่อไร? เมื่อไม่มีกิ่งใดต่อลงกราวด์เลย ผลรวมสมาชิกในแต่ละแถวเป็นศูนย์ เวกเตอร์ (1, 1, …, 1) จึงทำให้ Y-bus คูณแล้วเป็นศูนย์ ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ ต้องมีกิ่งลงกราวด์อย่างน้อยหนึ่งกิ่ง เช่นอิมพีแดนซ์ของเครื่องกำเนิดไฟฟ้า จึงจะได้ Z-bus องค์ประกอบสมมาตรเกี่ยวกับค่าเฉพาะอย่างไร? เมทริกซ์อิมพีแดนซ์ของสายส่งสามเฟสที่สมมาตร (ค่าตัวเองเท่ากัน ค่าร่วมเท่ากัน) มีเวกเตอร์เฉพาะคือหลักของเมทริกซ์ Fortescue พอดี การแปลงเป็นองค์ประกอบสมมาตรจึงทำให้เมทริกซ์เป็นทแยงมุม แยกวงจรลำดับศูนย์ บวก และลบออกจากกันได้ มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **ทำไมเมทริกซ์เมชของวงจรตัวต้านทานล้วนสมมาตร?** เพราะตัวต้านทานที่อยู่ร่วมระหว่างเมช i กับ j ปรากฏในสมการของทั้งสองเมชด้วยค่าเดียวกัน $r_{ij} = r_{ji} = -R_{\text{ร่วม}}$ วงจรแบบนี้เป็นวงจรส่วนกลับ (reciprocal) ถ้ามีแหล่งจ่ายไม่อิสระ ความสมมาตรจะหายไป **ค่าเฉพาะของวงจร RLC บอกอะไร?** ค่าเฉพาะของเมทริกซ์สถานะคือขั้วของวงจร ถ้าเป็นจริงลบต่างกันคือหน่วงเกิน จริงลบซ้ำกันคือหน่วงวิกฤต เชิงซ้อนคู่ส่วนจริงลบคือหน่วงน้อยแบบแกว่ง ส่วนจริงบอกอัตราการลดลง ส่วนจินตภาพบอกความถี่แกว่ง **Y-bus หาอินเวอร์สไม่ได้เมื่อไร?** เมื่อไม่มีกิ่งใดต่อลงกราวด์เลย ผลรวมสมาชิกในแต่ละแถวเป็นศูนย์ เวกเตอร์ (1, 1, …, 1) จึงทำให้ Y-bus คูณแล้วเป็นศูนย์ ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ ต้องมีกิ่งลงกราวด์อย่างน้อยหนึ่งกิ่ง เช่นอิมพีแดนซ์ของเครื่องกำเนิดไฟฟ้า จึงจะได้ Z-bus **องค์ประกอบสมมาตรเกี่ยวกับค่าเฉพาะอย่างไร?** เมทริกซ์อิมพีแดนซ์ของสายส่งสามเฟสที่สมมาตร (ค่าตัวเองเท่ากัน ค่าร่วมเท่ากัน) มีเวกเตอร์เฉพาะคือหลักของเมทริกซ์ Fortescue พอดี การแปลงเป็นองค์ประกอบสมมาตรจึงทำให้เมทริกซ์เป็นทแยงมุม แยกวงจรลำดับศูนย์ บวก และลบออกจากกันได้