--- title: "กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) แก้ระบบสมการด้วยดีเทอร์มิแนนต์" url: https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/cramers-rule/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-25 --- > กฎของคราเมอร์ครบ สูตร x = Δx/Δ สำหรับ 2×2 และ 3×3 วิธีแทนหลักด้วยค่าคงที่ ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 ใช้กับจำนวนเชิงซ้อนและตัวแปร s ได้ พร้อมโจทย์วงจรที่เจอบ่อย หากระแสเมชเดียวในวงจรสามลูป วงจร AC เฟเซอร์ และฟังก์ชันถ่ายโอน ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/cramers-rule/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) แก้ระบบสมการด้วยดีเทอร์มิแนนต์ // บทที่ 7.5 · พีชคณิตเชิงเส้น · Cramer's Rule กฎของคราเมอร์ให้สูตรตรงของตัวแปรแต่ละตัว ไม่ต้องลดแถว ไม่ต้องหาอินเวอร์ส เหมาะที่สุดกับโจทย์วงจร 2–3 ลูปที่ถามกระแสเพียงตัวเดียว และใช้ได้ทั้งกับตัวเลขจริง อิมพีแดนซ์เชิงซ้อน และตัวแปร $s$ ของลาปลาซ สูตรใช้รหัส C สรุปใน 30 วินาที - $x_i = \Delta_i/\Delta$ โดย $\Delta = \det A$ และ $\Delta_i$ คือ $\det$ ของ $A$ ที่แทนหลักที่ $i$ ด้วย $\mathbf b$ - ใช้ได้เมื่อ $A$ จัตุรัสและ $\Delta \ne 0$ เท่านั้น - หาตัวแปรเดียวใช้ดีเทอร์มิแนนต์แค่สองตัว จึงเร็วมากสำหรับโจทย์วงจรที่ถามกระแสลูปเดียว - ใช้กับอิมพีแดนซ์เชิงซ้อนและตัวแปร $s$ ได้ และ $\Delta(s) = 0$ คือสมการลักษณะเฉพาะของวงจร ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย ## สูตรกฎของคราเมอร์ พื้นฐาน ขั้นตอนมีแค่สามอย่าง: หา $\Delta$ ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ แทนหลักของตัวแปรที่ต้องการด้วยค่าคงที่ทางขวาแล้วหาดีเทอร์มิแนนต์ใหม่ แล้วหารกัน C1 Cramer's rule กฎของคราเมอร์ $$x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta} = \frac{\det A_i}{\det A}, \qquad \Delta = \det A \ne 0$$ $A_i$ คือ $A$ ที่แทนหลักที่ $i$ ด้วย $\mathbf b$ ทั้งหลัก หลักอื่นคงเดิม · ตัวอย่างสำหรับ 3×3: $$A_2 = \begin{pmatrix} a_{11} & {b_1} & a_{13} \\ a_{21} & {b_2} & a_{23} \\ a_{31} & {b_3} & a_{33} \end{pmatrix}$$ C2 Cramer's rule for 2×2 สูตรสำเร็จสองตัวแปร $$\begin{aligned} a_1x + b_1y &= c_1 \\ a_2x + b_2y &= c_2 \end{aligned} \ \Rightarrow\ x = \frac{\begin{vmatrix} {c_1} & b_1 \\ {c_2} & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} = \frac{c_1b_2 - b_1c_2}{a_1b_2 - b_1a_2}, \quad y = \frac{\begin{vmatrix} a_1 & {c_1} \\ a_2 & {c_2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} = \frac{a_1c_2 - c_1a_2}{a_1b_2 - b_1a_2}$$ ตัวอย่าง C-1 · 2×2 ### แก้ $\begin{aligned} 3x + 2y &= 7 \\ x - y &= -1 \end{aligned}$ - $$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -3 - 2 = -5$$ - แทนหลัก $x$ และหลัก $y$ ด้วย $(7, -1)$ C2 $$\Delta_x = \begin{vmatrix} {7} & 2 \\ {-1} & -1 \end{vmatrix} = -7 + 2 = -5, \qquad \Delta_y = \begin{vmatrix} 3 & {7} \\ 1 & {-1} \end{vmatrix} = -3 - 7 = -10$$ - $$x = \frac{-5}{-5} = 1, \qquad y = \frac{-10}{-5} = 2$$ $(x, y) = (1, 2)$ ตรวจ: $3 + 4 = 7$ ✓ · $1 - 2 = -1$ ✓ ## กฎของคราเมอร์ 3×3 พื้นฐาน C3 Cramer's rule for 3×3 สามตัวแปร $$x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, \quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta}, \qquad \Delta_x = \begin{vmatrix} {b_1} & a_{12} & a_{13} \\ {b_2} & a_{22} & a_{23} \\ {b_3} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix},\ \dots$$ ใช้ดีเทอร์มิแนนต์ 3×3 สี่ตัว หาด้วยซาร์รัส D2 หรือกระจายตามหลักที่มีศูนย์ D4 · ตรวจคำตอบด้วยการแทนกลับทุกครั้ง ตัวอย่าง C-2 · 3×3 ครบทุกตัวแปร ### แก้ $\begin{aligned} 2x + y - z &= 1 \\ x - y + 2z &= 5 \\ 3x + 2y + z &= 10 \end{aligned}$ - $\Delta$ ด้วยซาร์รัส: ลงขวา $(2)(-1)(1) + (1)(2)(3) + (-1)(1)(2) = 2$ · ขึ้นขวา $(-1)(-1)(3) + (2)(2)(2) + (1)(1)(1) = 12$ $$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 12 = -10$$ - แทนหลักที่ 1 ด้วย $(1, 5, 10)$: ลงขวา $-1 + 20 - 10 = 9$ · ขึ้นขวา $10 + 4 + 5 = 19$ $$\Delta_x = \begin{vmatrix} {1} & 1 & -1 \\ {5} & -1 & 2 \\ {10} & 2 & 1 \end{vmatrix} = 9 - 19 = -10$$ - แทนหลักที่ 2: ลงขวา $10 + 6 - 10 = 6$ · ขึ้นขวา $-15 + 40 + 1 = 26$ $$\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & {1} & -1 \\ 1 & {5} & 2 \\ 3 & {10} & 1 \end{vmatrix} = 6 - 26 = -20$$ - แทนหลักที่ 3: ลงขวา $-20 + 15 + 2 = -3$ · ขึ้นขวา $-3 + 20 + 10 = 27$ $$\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & {1} \\ 1 & -1 & {5} \\ 3 & 2 & {10} \end{vmatrix} = -3 - 27 = -30$$ - $$x = \frac{-10}{-10} = 1, \qquad y = \frac{-20}{-10} = 2, \qquad z = \frac{-30}{-10} = 3$$ $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ ตรวจ: $2 + 2 - 3 = 1$ ✓ · $1 - 2 + 6 = 5$ ✓ · $3 + 4 + 3 = 10$ ✓ ## ทำไมสูตรนี้ถูก กลาง พิสูจน์ได้ในสองบรรทัดด้วยสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ ให้ $X_i$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่แทนหลักที่ $i$ ด้วย $\mathbf x$ แล้ว $AX_i$ จะมีหลักที่ $i$ เป็น $A\mathbf x = \mathbf b$ และหลักอื่นเป็นหลักของ $A$ ตามเดิม นั่นคือ $AX_i = A_i$ C4 Proof sketch ที่มาของสูตร $$AX_i = A_i \ \Rightarrow\ \det A\cdot\det X_i = \det A_i, \qquad \det X_i = x_i \ (\text{กระจายตามแถว } i) \ \Rightarrow\ x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$$ C6 Relation to the adjugate คราเมอร์คือแอดจอยต์คูณ b $$\mathbf x = A^{-1}\mathbf b = \frac{\operatorname{adj}A\,\mathbf b}{\det A}, \qquad x_i = \frac{\sum_j C_{ji}b_j}{\det A} = \frac{\det A_i}{\det A}$$ $\sum_j C_{ji}b_j$ คือการกระจายโคแฟกเตอร์ของ $A_i$ ตามหลักที่ $i$ พอดี คราเมอร์กับอินเวอร์สจึงให้คำตอบเท่ากันเสมอ ## เมื่อ Δ = 0 กลาง C5 When Δ = 0 กรณีดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ $$\Delta = 0 \ \Rightarrow\ \text{คราเมอร์ใช้ไม่ได้: ไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบไม่จำกัด}$$ ถ้า $\Delta = 0$ แต่มี $\Delta_i \ne 0$ สักตัว แน่ใจได้ว่าไม่มีคำตอบ · ถ้าทุก $\Delta_i = 0$ ยังสรุปไม่ได้ (ตั้งแต่ 3×3 ขึ้นไป) ต้องลดแถว L6 ตัวอย่าง C-3 · ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ทุกตัว แต่ไม่มีคำตอบ ### พิจารณา $\begin{aligned} x + y + z &= 1 \\ x + y + z &= 2 \\ x + y + z &= 3 \end{aligned}$ - $\Delta = 0$ เพราะสามแถวเท่ากัน และ $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ มีสองหลักที่เป็น $(1,1,1)$ เหมือนกัน จึงเป็นศูนย์ทั้งหมด D9 - แต่สมการพูดว่า $x + y + z$ เท่ากับ 1, 2 และ 3 พร้อมกัน ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ระบบไม่มีคำตอบ ทั้งที่ “$0/0$” ทุกตัว บทเรียนคือ $\Delta = 0$ ให้หันไปลดแถวทันที ## คราเมอร์กับพารามิเตอร์: โจทย์สอบเข้ามหาวิทยาลัย พื้นฐาน → กลาง เมื่อสัมประสิทธิ์มีตัวแปร $k$ คราเมอร์ให้คำตอบเป็นสูตรของ $k$ ทันที ค่า $k$ ที่ทำให้ $\Delta = 0$ คือจุดที่ต้องแยกพิจารณา ห้ามตัดตัวประกอบร่วมทิ้งก่อนตรวจกรณีนั้น C10 Cramer with a parameter คราเมอร์เมื่อมีพารามิเตอร์ $$\Delta(k) \ne 0 \Rightarrow x_i = \frac{\Delta_i(k)}{\Delta(k)};\qquad \Delta(k_0) = 0 \Rightarrow \text{แทน } k_0 \text{ แล้วลดแถว (ไม่มีคำตอบหรือไม่จำกัด)}$$ สำหรับ 2×2: $\Delta = 0$ และ $\Delta_x \ne 0$ หรือ $\Delta_y \ne 0$ ⇒ ไม่มีคำตอบ · $\Delta = \Delta_x = \Delta_y = 0$ ⇒ ไม่จำกัด (ถ้าไม่ใช่เมทริกซ์ศูนย์) · 3×3 ต้องลดแถวตรวจเสมอ ดู C5 และ ทฤษฎีบทรูเช-กาเปลลี R7 ตัวอย่าง C-7 · พารามิเตอร์ k ### ระบบ $\begin{aligned} kx + y &= 1 \\ x + ky &= 1 \end{aligned}$ แยกกรณีตามค่า $k$ และหาคำตอบเมื่อมีคำตอบเดียว - $$\Delta = \begin{vmatrix} k & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix} = k^2 - 1,\qquad \Delta_x = \begin{vmatrix} {1} & 1 \\ {1} & k \end{vmatrix} = k - 1,\qquad \Delta_y = \begin{vmatrix} k & {1} \\ 1 & {1} \end{vmatrix} = k - 1$$ - $k \ne \pm1$: C10 $$x = y = \frac{k - 1}{(k - 1)(k + 1)} = \frac{1}{k + 1}$$ - $k = 1$: $\Delta = \Delta_x = \Delta_y = 0$ สองสมการเป็น $x + y = 1$ เส้นเดียวกัน → คำตอบไม่จำกัด $(t, 1 - t)$ - $k = -1$: $\Delta = 0$ แต่ $\Delta_x = -2 \ne 0$ → $-x + y = 1$ กับ $x - y = 1$ ขนานกัน → ไม่มีคำตอบ $k \ne \pm1$: $x = y = \tfrac{1}{k + 1}$ · $k = 1$: ไม่จำกัด · $k = -1$: ไม่มีคำตอบ กับดัก: ถ้าตัด $(k - 1)$ ทิ้งตั้งแต่แรกจะได้สูตร $\tfrac{1}{k + 1}$ ที่ดูเหมือนใช้ได้ที่ $k = 1$ (ได้ $\tfrac12$) แต่จริง ๆ ที่ $k = 1$ มีคำตอบไม่จำกัด $(\tfrac12, \tfrac12)$ เป็นเพียงหนึ่งในนั้น · ฝึกเพิ่มที่ ชุด A ข้อ A9–A10 ## โจทย์วงจรที่เจอบ่อย: หากระแสลูปเดียวในวงจรสามลูป พื้นฐาน รูปแบบนี้ออกสอบแทบทุกเทอม เขียนสมการเมชด้วยการมอง (by inspection): สมาชิกทแยง = ผลรวมความต้านทานรอบลูปนั้น สมาชิกนอกทแยง = ลบความต้านทานที่ใช้ร่วมกัน ด้านขวา = ผลรวมแหล่งจ่ายที่ดันกระแสไปทางเดียวกับลูป (ดูที่มาเต็มใน A1) กระแสเมชทั้งสามวนตามเข็มนาฬิกา $R_2$ อยู่ร่วมเมช 1–2 และ $R_4$ อยู่ร่วมเมช 2–3 ตัวอย่าง C-4 · หาเฉพาะ I₂ ### จากวงจรข้างบน หากระแส $I_2$ ที่ไหลผ่าน $R_3$ - เขียนเมทริกซ์ด้วยการมอง: ทแยง $2 + 4 = 6$, $4 + 2 + 6 = 12$, $6 + 3 = 9$ · นอกทแยง $-4$ (R₂), $-6$ (R₄) $$\begin{pmatrix} 6 & -4 & 0 \\ -4 & 12 & -6 \\ 0 & -6 & 9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ - $\Delta$ กระจายตามแถว 1 (มีศูนย์หนึ่งตัว) D4 $$\Delta = 6\begin{vmatrix} 12 & -6 \\ -6 & 9 \end{vmatrix} - (-4)\begin{vmatrix} -4 & -6 \\ 0 & 9 \end{vmatrix} + 0 = 6(108 - 36) + 4(-36) = 432 - 144 = 288$$ - แทนหลักที่ 2 ด้วย $(24, 0, 0)$ แถว 3 เหลือ 9 ตัวเดียวที่ตำแหน่ง (3,3) กระจายตามแถว 3 ได้เลย C1 $$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 6 & {24} & 0 \\ -4 & {0} & -6 \\ 0 & {0} & 9 \end{vmatrix} = +9\begin{vmatrix} 6 & 24 \\ -4 & 0 \end{vmatrix} = 9(0 + 96) = 864$$ - $$I_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{864}{288} = 3\ \text{A}$$ $I_2 = 3$ A ใช้ดีเทอร์มิแนนต์แค่สองตัว (ถ้าหาครบจะได้ $I_1 = 6$ A, $I_3 = 2$ A) ตรวจกำลัง: แหล่งจ่าย $24 \times 6 = 144$ W · ตัวต้านทาน $2(6)^2 + 4(3)^2 + 2(3)^2 + 6(1)^2 + 3(2)^2 = 72 + 36 + 18 + 6 + 12 = 144$ W ✓ ## คราเมอร์กับจำนวนเชิงซ้อน: วงจร AC กลาง ในสถานะคงตัวไซน์ (sinusoidal steady state) ตัวเหนี่ยวนำมีอิมพีแดนซ์ $jX_L$ และตัวเก็บประจุ $-jX_C$ สมการเมชหน้าตาเหมือน DC ทุกอย่าง แค่ตัวเลขเป็นเชิงซ้อน กฎของคราเมอร์ใช้ได้ตรง ๆ C7 Works over complex numbers and in s ใช้กับเชิงซ้อนและตัวแปร s ได้ $$\mathbf Z\,\mathbf I = \mathbf V \ \Rightarrow\ I_k = \frac{\Delta_k}{\Delta}, \qquad \Delta,\ \Delta_k \in \mathbb C \ \text{หรือเป็นพหุนามของ } s$$ คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ด้วยกฎของจำนวนเชิงซ้อน $j^2 = -1$ แล้วหาร (คูณด้วยสังยุคของตัวส่วน) ตอบในรูปเชิงขั้ว $|I|\angle\theta$ วงจร AC สองเมช ค่าอิมพีแดนซ์ที่ความถี่ใช้งาน ตัวเก็บประจุอยู่ร่วมทั้งสองเมช ตัวอย่าง C-5 · กระแสเมชในวงจร AC ### หา $\mathbf I_1$ และ $\mathbf I_2$ ของวงจรข้างบน - ทแยง: $4 - j4$ และ $-j4 + j8 + 4 = 4 + j4$ · นอกทแยง: $-(-j4) = +j4$ $$\begin{pmatrix} 4 - j4 & j4 \\ j4 & 4 + j4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathbf I_1 \\ \mathbf I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix}$$ - ดีเทอร์มิแนนต์เชิงซ้อน ใช้ $(4 - j4)(4 + j4) = 16 + 16$ และ $(j4)^2 = -16$ $$\Delta = (4 - j4)(4 + j4) - (j4)(j4) = 32 - (-16) = 48$$ - แทนหลักแล้วหาร C7 $$\mathbf I_1 = \frac{\begin{vmatrix} {10} & j4 \\ {0} & 4 + j4 \end{vmatrix}}{48} = \frac{40 + j40}{48}, \qquad \mathbf I_2 = \frac{\begin{vmatrix} 4 - j4 & {10} \\ j4 & {0} \end{vmatrix}}{48} = \frac{-j40}{48}$$ - แปลงเป็นเชิงขั้ว $$\mathbf I_1 = 0.833 + j0.833 = 1.18\angle 45^\circ\ \text{A}, \qquad \mathbf I_2 = -j0.833 = 0.833\angle{-90^\circ}\ \text{A}$$ $\mathbf I_1 = 1.18\angle45^\circ$ A · $\mathbf I_2 = 0.833\angle{-90^\circ}$ A ตรวจ KVL เมช 2: แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ $(-j4)(\mathbf I_1 - \mathbf I_2) = (-j4)(0.833 + j1.667) = 6.67 - j3.33$ V เท่ากับ $(4 + j8)\mathbf I_2 = 6.67 - j3.33$ V ✓ ## คราเมอร์ในโดเมน s: ฟังก์ชันถ่ายโอนและสมการลักษณะเฉพาะ ขั้นสูง หลังแปลงลาปลาซ (ทบทวนที่ การแปลงลาปลาซ) ตัวเก็บประจุกลายเป็น $1/sC$ สมการโนดหรือเมชกลายเป็นเมทริกซ์ที่สมาชิกเป็นพหุนามของ $s$ คราเมอร์ให้ฟังก์ชันถ่ายโอนเป็นอัตราส่วนดีเทอร์มิแนนต์ และรากของ $\Delta(s)$ คือขั้วของวงจร C8 Transfer function and natural frequencies ฟังก์ชันถ่ายโอนและความถี่ธรรมชาติ $$H(s) = \frac{X_k(s)}{U(s)} = \frac{\Delta_k(s)/U(s)}{\Delta(s)}, \qquad \Delta(s) = 0 \ \text{คือสมการลักษณะเฉพาะ ให้ขั้วของวงจร}$$ วงจรกรองผ่านต่ำ RC สองชั้น ให้ $\tau = RC$ ตัวอย่าง C-6 · หาฟังก์ชันถ่ายโอนด้วยคราเมอร์ ### หา $H(s) = V_2(s)/U(s)$ ของวงจร RC สองชั้น - KCL ที่โนด 1 และ 2 ในโดเมน s แล้วคูณทุกพจน์ด้วย $R$ (ใช้ $sRC = \tau s$) $$\begin{aligned} \tfrac{V_1 - U}{R} + sCV_1 + \tfrac{V_1 - V_2}{R} &= 0 \\ \tfrac{V_2 - V_1}{R} + sCV_2 &= 0 \end{aligned} \ \Rightarrow\ \begin{pmatrix} 2 + \tau s & -1 \\ -1 & 1 + \tau s \end{pmatrix}\begin{pmatrix} V_1 \\ V_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} U \\ 0 \end{pmatrix}$$ - $$\Delta(s) = (2 + \tau s)(1 + \tau s) - 1 = \tau^2s^2 + 3\tau s + 1$$ - หา $V_2$ โดยแทนหลักที่ 2 C8 $$V_2 = \frac{\begin{vmatrix} 2 + \tau s & {U} \\ -1 & {0} \end{vmatrix}}{\Delta(s)} = \frac{U}{\tau^2s^2 + 3\tau s + 1}$$ - ขั้วคือรากของ $\Delta(s) = 0$ $$\tau s = \frac{-3 \pm \sqrt5}{2} \ \Rightarrow\ s_1 = -\frac{0.382}{\tau},\quad s_2 = -\frac{2.618}{\tau}$$ $H(s) = \dfrac{1}{\tau^2s^2 + 3\tau s + 1}$ ขั้วจริงลบสองตัว ระบบหน่วงเกิน (overdamped) ค่าคงตัวเวลา $2.618\tau$ และ $0.382\tau$ (สังเกตอัตราส่วนทองคำ $\varphi^2 = 2.618$) ขั้วสองตัวนี้คือค่าเฉพาะของเมทริกซ์สถานะของวงจรเดียวกันพอดี ดูการคำนวณอีกมุมใน การประยุกต์: RC สองชั้น ## ข้อดี ข้อจำกัด และต้นทุนการคำนวณ กลาง C9 Computational cost ต้นทุนการคำนวณ $$\text{คราเมอร์ครบทุกตัวแปร} = (n + 1) \text{ ดีเทอร์มิแนนต์ } n\times n \qquad \text{เทียบ} \qquad \text{เกาส์} \approx \tfrac{n^3}{3} \text{ การคูณ}$$ ทำมือ 2×2 และ 3×3 คราเมอร์สะดวกที่สุด · หาตัวแปรเดียวใช้แค่ 2 ดีเทอร์มิแนนต์ · ตั้งแต่ 4×4 ขึ้นไปให้ลดแถว · คอมพิวเตอร์ไม่ใช้คราเมอร์แก้ระบบใหญ่ | ใช้คราเมอร์เมื่อ | เลี่ยงคราเมอร์เมื่อ | | 2–3 ตัวแปร ทำมือ | 4 ตัวแปรขึ้นไป | | ต้องการตัวแปรเดียว เช่น กระแสลูปเดียว | $\Delta = 0$ หรือใกล้ศูนย์มาก | | สัมประสิทธิ์เป็นตัวอักษร เช่น $R$, $s$, $k$ ต้องการสูตรทั่วไป | สมการไม่เท่าตัวแปร | | อิมพีแดนซ์เชิงซ้อน 2×2 | ต้องการความแม่นยำเชิงตัวเลขในโปรแกรม | ## เครื่องคิดเลขคราเมอร์แสดงวิธีทำ เลือกโหมด “แก้ระบบ” ใส่ $A$ และ $\mathbf b$ ถ้า $\det A \ne 0$ เครื่องจะแสดง $\Delta$, $\Delta_1, \Delta_2, \dots$ และคำตอบเป็นเศษส่วน พร้อมวิธีลดแถวให้เทียบ ## ต่อยอดไปหน้าถัดไป ตัวอย่าง C-6 แสดงว่า $\Delta(s) = 0$ ให้ขั้วของวงจร คำถามเดียวกันในภาษาเมทริกซ์คือ “ค่า $\lambda$ ใดทำให้ $\det(A - \lambda I) = 0$” นั่นคือ ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ ซึ่งบอกว่าวงจรตอบสนองเร็ว ช้า หรือแกว่งแค่ไหน ระบบที่ใหญ่กว่า 3×3 หรือต้องแก้ในโปรแกรม ให้ใช้ วิธีเชิงตัวเลข: LU จาโคบี เกาส์-ไซเดล แทนคราเมอร์ ส่วนการตัดสินว่ามีคำตอบหรือไม่เมื่อ $\Delta = 0$ ใช้ แรงก์ · ฝึกโจทย์ที่ แนวข้อสอบ 45 ข้อ และอ่านบทความ กฎของคราเมอร์ใช้อย่างไร และเมื่อไรไม่ควรใช้ (English) ## คำถามที่พบบ่อย กฎของคราเมอร์ใช้ไม่ได้เมื่อไร? เมื่อ $\Delta = \det A = 0$ หรือเมื่อเมทริกซ์ไม่จัตุรัส (จำนวนสมการไม่เท่าจำนวนตัวแปร) ระบบที่ $\Delta = 0$ อาจไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบไม่จำกัด ต้องตรวจด้วยการลดแถว ถ้า Δ = 0 และ Δx = Δy = Δz = 0 แปลว่ามีคำตอบไม่จำกัดใช่ไหม? ไม่เสมอไป สำหรับ 2×2 ที่ไม่ใช่เมทริกซ์ศูนย์ใช่ แต่ตั้งแต่ 3×3 ขึ้นไปไม่จริง เช่น $x + y + z = 1,\ x + y + z = 2,\ x + y + z = 3$ มีดีเทอร์มิแนนต์ทุกตัวเป็นศูนย์ แต่ระบบไม่มีคำตอบ ต้องลดแถวตรวจเสมอ คราเมอร์กับอินเวอร์สต่างกันอย่างไร? ให้คำตอบเท่ากันเสมอ คราเมอร์คือการเขียนสูตรอินเวอร์สแบบแอดจอยต์คูณกับ b ทีละตัวแปร ข้อดีคือหาตัวแปรเดียวได้โดยไม่ต้องหาอินเวอร์สทั้งเมทริกซ์ เหมาะกับโจทย์ที่ถามกระแสเพียงลูปเดียว ใช้คราเมอร์กับวงจร AC ได้ไหม? ได้ ทุกขั้นตอนใช้แค่บวก ลบ คูณ หาร จึงใช้กับอิมพีแดนซ์จำนวนเชิงซ้อนได้ตรง ๆ คำนวณดีเทอร์มิแนนต์แบบเชิงซ้อนแล้วหาร ตอบในรูปเชิงขั้ว (ขนาดและมุม) มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **กฎของคราเมอร์ใช้ไม่ได้เมื่อไร?** เมื่อ $\Delta = \det A = 0$ หรือเมื่อเมทริกซ์ไม่จัตุรัส (จำนวนสมการไม่เท่าจำนวนตัวแปร) ระบบที่ $\Delta = 0$ อาจไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบไม่จำกัด ต้องตรวจด้วยการลดแถว **ถ้า Δ = 0 และ Δx = Δy = Δz = 0 แปลว่ามีคำตอบไม่จำกัดใช่ไหม?** ไม่เสมอไป สำหรับ 2×2 ที่ไม่ใช่เมทริกซ์ศูนย์ใช่ แต่ตั้งแต่ 3×3 ขึ้นไปไม่จริง เช่น $x + y + z = 1,\ x + y + z = 2,\ x + y + z = 3$ มีดีเทอร์มิแนนต์ทุกตัวเป็นศูนย์ แต่ระบบไม่มีคำตอบ ต้องลดแถวตรวจเสมอ **คราเมอร์กับอินเวอร์สต่างกันอย่างไร?** ให้คำตอบเท่ากันเสมอ คราเมอร์คือการเขียนสูตรอินเวอร์สแบบแอดจอยต์คูณกับ b ทีละตัวแปร ข้อดีคือหาตัวแปรเดียวได้โดยไม่ต้องหาอินเวอร์สทั้งเมทริกซ์ เหมาะกับโจทย์ที่ถามกระแสเพียงลูปเดียว **ใช้คราเมอร์กับวงจร AC ได้ไหม?** ได้ ทุกขั้นตอนใช้แค่บวก ลบ คูณ หาร จึงใช้กับอิมพีแดนซ์จำนวนเชิงซ้อนได้ตรง ๆ คำนวณดีเทอร์มิแนนต์แบบเชิงซ้อนแล้วหาร ตอบในรูปเชิงขั้ว (ขนาดและมุม)