---
title: "ลำดับและอนุกรม (Sequences and Series): สูตร ตัวอย่าง และการลู่เข้า"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/limits/sequences-series/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-17
---

> ลำดับและอนุกรมคืออะไร สรุปสูตรครบ: ลำดับเลขคณิต (arithmetic sequence) ลำดับเรขาคณิต (geometric sequence) ซิกมา ลิมิตของลำดับ ε–N อนุกรมอนันต์ (infinite series) การทดสอบการลู่เข้า ratio test, comparison test, integral test อนุกรมกำลัง (power series) และอนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor series) พร้อมตัวอย่างและแล็บโต้ตอบ

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/limits/sequences-series/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# ลำดับและอนุกรม (Sequences and Series): สูตร ตัวอย่าง และการลู่เข้า

// บทที่ 3.1 · ลิมิต · Sequences & Series


ลำดับคือตัวเลขที่เรียงกันเป็นแถว อนุกรมคือการบวกตัวเลขเหล่านั้นต่อกันไปเรื่อย ๆ คำถามใหญ่ของบทนี้มีข้อเดียว: บวกไปไม่สิ้นสุดแล้วได้ค่าจำกัดหรือไม่ คำตอบอยู่บนลิมิตจากหน้าก่อน และนำไปสู่อนุกรมเทย์เลอร์ เครื่องมือที่วิศวกรใช้ประมาณ sin, eˣ และทำวงจรไม่เชิงเส้นให้เป็นเชิงเส้น หน้านี้มีแล็บให้ลองทุกหัวข้อ

สรุปใน 30 วินาที

- เลขคณิต: $a_n = a_1 + (n-1)d,\ S_n = \tfrac{n}{2}(a_1 + a_n)$ · เรขาคณิต: $a_n = a_1 r^{n-1},\ S_n = a_1\tfrac{1 - r^n}{1 - r}$

- อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ลู่เข้า ⇔ $|r| < 1$ และ $S = \tfrac{a_1}{1 - r}$

- $\sum a_n$ ลู่เข้า ⇔ ลำดับผลบวกย่อย $S_n$ ลู่เข้า · $a_n \not\to 0$ ⇒ ลู่ออก แต่ $a_n \to 0$ ยังไม่พอ ($\sum 1/n$ ลู่ออก)

- $f(x) = \sum \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k$ ภายในรัศมีการลู่เข้า: ฐานของการประมาณเชิงวิศวกรรมทั้งหมด

มีฉบับเต็มแล้ว: หน้านี้เป็นฉบับสรุปหน้าเดียว ถ้าต้องการเรียนลึกถึงระดับมหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม ไปที่ ลำดับและอนุกรมครบชุด 10 หน้า ซึ่งแยกบท การทดสอบการลู่เข้า อนุกรมสลับ อนุกรมกำลัง อนุกรมเทย์เลอร์ และ อนุกรมโลรองต์ พร้อมแล็บ 12 ชุดและแนวข้อสอบ 60 ข้อ

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง แคลคูลัส · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี

## ลำดับและอนุกรมคืออะไร พื้นฐาน

ลำดับ (sequence) คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนนับ ใส่ $n = 1, 2, 3, \dots$ แล้วได้ค่า $a_1, a_2, a_3, \dots$ เขียนย่อว่า $\{a_n\}$ ส่วน อนุกรม (series) คือผลบวกของพจน์ในลำดับ ถ้าบวกจำกัดจำนวนเรียกว่าอนุกรมจำกัด ถ้าบวกไม่สิ้นสุดเรียกว่าอนุกรมอนันต์ (infinite series) ซึ่งต้องนิยามผ่านลิมิต เพราะเราบวกจำนวนอนันต์ตัวจริง ๆ ไม่ได้

ลำดับกำหนดได้สองแบบ: สูตรพจน์ทั่วไป (explicit formula) เช่น $a_n = 3n - 1$ คำนวณพจน์ไหนก็ได้ทันที และความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) เช่น $a_1 = 2,\ a_{n+1} = a_n + 3$ ต้องรู้พจน์ก่อนหน้าจึงหาพจน์ถัดไปได้ แบบหลังพบบ่อยในงานวิศวกรรม เช่นตัวกรองดิจิทัล วิธีนิวตัน และวงจรบันได

สามพฤติกรรมพื้นฐาน: ลำดับเลขคณิตโตเป็นเส้นตรง (ลู่ออก) ลำดับเรขาคณิตที่ $|r| < 1$ ลดลงสู่ 0 และลำดับสลับเครื่องหมาย $(-1)^n/n$ แกว่งเข้าหา 0 จนอยู่ในแถบ ε ตลอดไป

S1 Sequence ลำดับ

$$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}:\ a_1, a_2, a_3, \dots \qquad a_{n+1} = g(a_n)$$

ฟังก์ชัน $\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ · กำหนดด้วยสูตรพจน์ทั่วไปหรือความสัมพันธ์เวียนเกิด

S2 Series & partial sums อนุกรมและผลบวกย่อย

$$S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n,\qquad \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\to\infty} S_N$$

อนุกรมลู่เข้า (convergent) ถ้าลิมิตนี้มีค่าจำกัด มิฉะนั้นลู่ออก (divergent)

ตัวอย่าง S-1 · สองวิธีเขียนลำดับเดียวกัน

### เขียน $2, 5, 8, 11, \dots$ เป็นสูตรพจน์ทั่วไปและแบบเวียนเกิด แล้วหา $a_{50}$ และ $S_4$

- ผลต่างระหว่างพจน์คงที่เท่ากับ 3: เวียนเกิด $a_1 = 2,\ a_{n+1} = a_n + 3$

- พจน์ทั่วไป: $a_n = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1$ ตรวจ: $a_1 = 2,\ a_4 = 11$ ✓

- $a_{50} = 3(50) - 1 = 149$ (แบบเวียนเกิดต้องคำนวณ 49 ครั้ง สูตรพจน์ทั่วไปทำครั้งเดียว)

- $S_4 = 2 + 5 + 8 + 11 = 26$ คืออนุกรมของลำดับนี้ถึงพจน์ที่ 4

$a_n = 3n - 1,\ a_{50} = 149,\ S_4 = 26$

## แล็บลำดับ: พจน์ ลิมิต ผลบวกย่อย และใยแมงมุม พื้นฐาน

พิมพ์สูตรเองหรือกดตัวอย่าง แล็บจะบอกว่าเป็นเลขคณิตหรือเรขาคณิต เพิ่มหรือลด มีขอบเขตหรือไม่ และลู่เข้าสู่อะไร ลองเลื่อน ε แล้วดูว่า N ที่ทำให้ “ทุกพจน์หลังจากนี้อยู่ในแถบ” เปลี่ยนไปอย่างไร ในโหมดเวียนเกิด กด “ใยแมงมุม” เพื่อดูว่าทำไมบางลำดับวิ่งเข้าจุดตรึงและบางลำดับแกว่งเป็นวัฏจักร

## ลำดับเลขคณิตและอนุกรมเลขคณิต (Arithmetic) พื้นฐาน

ลำดับเลขคณิตเพิ่มขึ้นทีละเท่ากันเสมอ ค่าคงที่นี้เรียกว่าผลต่างร่วม (common difference) $d$ กราฟของพจน์จึงเรียงเป็นเส้นตรง สูตรผลบวกมาจากเทคนิคของเกาส์: เขียนผลบวกไปข้างหน้าและย้อนกลับ บวกกันได้ $n$ คู่ที่แต่ละคู่เท่ากับ $a_1 + a_n$

S3 Arithmetic sequence ลำดับเลขคณิต

$$a_n = a_1 + (n - 1)d,\qquad d = a_{n+1} - a_n$$

S4 Arithmetic series อนุกรมเลขคณิต

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}\left[2a_1 + (n - 1)d\right]$$

อนุกรมเลขคณิตอนันต์ลู่ออกเสมอ (ยกเว้นทุกพจน์เป็น 0)

ตัวอย่าง S-2

### (ก) ลำดับเลขคณิตมี $a_5 = 17,\ a_{12} = 45$ หา $S_{20}$ (ข) กองท่อร้อยสายไฟเรียงเป็นชั้น ชั้นล่าง 20 ท่อ ชั้นถัดขึ้นไปน้อยลงชั้นละ 1 จนชั้นบนสุดมี 1 ท่อ มีท่อกี่ท่อ

- (ก) $a_{12} - a_5 = 7d = 28 \Rightarrow d = 4$ และ $a_1 = a_5 - 4d = 17 - 16 = 1$

- $S_{20} = \tfrac{20}{2}\left[2(1) + 19(4)\right] = 10(78) = 780$

- (ข) จำนวนท่อคือ $1 + 2 + \cdots + 20 = \tfrac{20}{2}(1 + 20) = 210$ ท่อ

(ก) $780$ (ข) $210$ ท่อ · สูตร $1 + 2 + \cdots + n = \tfrac{n(n+1)}{2}$ พิสูจน์ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ได้

## ลำดับเรขาคณิตและอนุกรมเรขาคณิต (Geometric) พื้นฐาน

ลำดับเรขาคณิตคูณด้วยค่าคงที่เท่ากันทุกครั้ง เรียกว่าอัตราส่วนร่วม (common ratio) $r$ นี่คือลำดับที่สำคัญที่สุดในวิศวกรรม เพราะการเติบโตหรือการลดลงแบบ “เป็นสัดส่วนกับค่าปัจจุบัน” มีอยู่ทุกที่ ตั้งแต่ดอกเบี้ยทบต้น การคายประจุของตัวเก็บประจุที่สุ่มวัดเป็นช่วง ๆ ไปจนถึงผลตอบสนองของระบบดิจิทัล

ที่มาของสูตรผลบวก: ให้ $S_n = a + ar + \cdots + ar^{n-1}$ คูณด้วย $r$ ได้ $rS_n = ar + \cdots + ar^{n}$ ลบกันพจน์กลางหายหมด เหลือ $S_n - rS_n = a - ar^n$ จึงได้ $S_n = a\frac{1 - r^n}{1 - r}$ เมื่อ $n \to \infty$ และ $|r| < 1$ พจน์ $r^n \to 0$

S5 Geometric sequence ลำดับเรขาคณิต

$$a_n = a_1 r^{\,n-1},\qquad r = \frac{a_{n+1}}{a_n}$$

$|r| < 1$ ลู่เข้าสู่ 0 · $r = 1$ คงที่ · $r = -1$ แกว่ง · $|r| > 1$ ลู่ออก

S6 Finite geometric series อนุกรมเรขาคณิต n พจน์

$$S_n = a_1\,\frac{1 - r^n}{1 - r}\quad (r \ne 1)$$

S7 Infinite geometric series อนุกรมเรขาคณิตอนันต์

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_1 r^{\,n-1} = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \cdots = \frac{a_1}{1 - r}\quad \text{เมื่อ } |r| < 1$$

$|r| \ge 1$ ลู่ออก · สูตรเดียวกันนี้คือ $\frac{1}{1 - x} = \sum x^n$ ที่เป็นแม่ของอนุกรมกำลังทั้งหมด

บทพิสูจน์ด้วยภาพ: แบ่งครึ่งพื้นที่ไปเรื่อย ๆ ชิ้นทั้งหมดเติมเต็มสี่เหลี่ยมหนึ่งหน่วยพอดี ผลบวกย่อย $S_n = 1 - (\tfrac12)^n$ เข้าใกล้ 1 แต่ไม่เคยเกิน

ตัวอย่าง S-3

### ลำดับเรขาคณิตมี $a_2 = 6$ และ $a_5 = 162$ หา $r,\ a_1$ และ $S_6$

- $\dfrac{a_5}{a_2} = r^3 = \dfrac{162}{6} = 27 \Rightarrow r = 3$

- $a_1 = a_2/r = 2$

- $S_6 = 2\cdot\dfrac{1 - 3^6}{1 - 3} = 2\cdot\dfrac{-728}{-2} = 728$

$r = 3,\ a_1 = 2,\ S_6 = 728$

ตัวอย่าง S-4 · อนุกรมเรขาคณิตอนันต์

### (ก) แสดงว่า $0.999\ldots = 1$ (ข) เขียน $0.\overline{36}$ เป็นเศษส่วน (ค) ปล่อยลูกบอลจากความสูง 10 m ทุกครั้งที่กระทบพื้นจะเด้งขึ้น 60% ของความสูงเดิม ลูกบอลเคลื่อนที่ได้ระยะทางรวมเท่าไร

- (ก) $0.999\ldots = 0.9 + 0.09 + 0.009 + \cdots$ มี $a_1 = 0.9,\ r = 0.1$ จึงได้ $\dfrac{0.9}{1 - 0.1} = 1$ ทั้งสองเป็นจำนวนเดียวกัน ไม่ใช่ “เกือบ 1”

- (ข) $0.3636\ldots = 0.36 + 0.0036 + \cdots = \dfrac{0.36}{1 - 0.01} = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}$

- (ค) ขาลงครั้งแรก 10 m จากนั้นแต่ละการเด้งมีขาขึ้นและขาลงเท่ากัน: $6 + 3.6 + 2.16 + \cdots$ เป็นอนุกรมเรขาคณิต $a_1 = 6,\ r = 0.6$

- ระยะรวม $= 10 + 2\cdot\dfrac{6}{1 - 0.6} = 10 + 2(15) = 40\ \text{m}$

(ก) $1$ (ข) $\tfrac{4}{11}$ (ค) $40\ \text{m}$: เด้งนับครั้งไม่ถ้วนแต่ระยะทางมีขอบเขต

## สัญลักษณ์ซิกมาและสูตรผลบวก (Sigma Notation) พื้นฐาน

สัญลักษณ์ $\sum$ (ซิกมา) ย่อการบวกยาว ๆ ให้สั้น ตัวแปร $k$ ใต้ซิกมาเป็นแค่ตัวนับ เปลี่ยนชื่อเป็น $i$ หรือ $j$ ก็ได้ค่าเดิม สูตรผลบวกกำลังของจำนวนนับด้านล่างใช้บ่อยมากในการหาอินทิกรัลจำกัดเขตด้วยผลบวกรีมันน์ และทุกสูตรพิสูจน์ได้ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

S8 Sigma properties สมบัติของซิกมา

$$\sum_{k=1}^{n}(c\,a_k \pm b_k) = c\sum_{k=1}^{n}a_k \pm \sum_{k=1}^{n}b_k,\qquad \sum_{k=1}^{n} c = nc$$

ระวัง: $\sum a_k b_k \ne \left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right)$

S9 Power sums สูตรผลบวกกำลังของจำนวนนับ

$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\qquad \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$$

S10 Telescoping sum ผลบวกแบบหักล้าง

$$\sum_{k=1}^{n}\left(b_k - b_{k+1}\right) = b_1 - b_{n+1}$$

เทคนิค: แยกเศษส่วนย่อยก่อน พจน์กลางจะหักล้างกันหมด

ตัวอย่าง S-5 · กล้องส่องทางไกล

### หา $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}$ และ $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}$

- แยกเศษส่วนย่อย: $\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$

- $S_n = \left(1 - \tfrac12\right) + \left(\tfrac12 - \tfrac13\right) + \cdots + \left(\tfrac1n - \tfrac{1}{n+1}\right) = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$

- $\lim_{n\to\infty} \dfrac{n}{n+1} = 1$

$S_n = \dfrac{n}{n+1}$ และอนุกรมอนันต์ $= 1$

## ลิมิตของลำดับ: ลู่เข้าและลู่ออก (Convergence) กลาง

ลำดับลู่เข้า (converges) สู่ $L$ ถ้าพจน์เข้าใกล้ $L$ และอยู่ใกล้ตลอดไป นิยามแบบเป๊ะเหมือน ε–δ ในหน้าลิมิต แต่ใช้ N แทน δ เพราะ n เป็นจำนวนนับที่วิ่งไปอนันต์: ไม่ว่าจะให้แถบ ε แคบแค่ไหน ต้องหา N ที่ทำให้ทุกพจน์หลังจาก N อยู่ในแถบนั้นได้ ลองทำในแล็บด้านบนได้เลย

ข่าวดีคือ ถ้า $a_n = f(n)$ และ $\lim_{x\to\infty} f(x) = L$ แล้ว $\lim_{n\to\infty} a_n = L$ ด้วย เทคนิคทั้งหมดจากหน้าลิมิต (หารด้วยกำลังสูงสุด โลปิตาล ค่า e) จึงใช้กับลำดับได้ทันที (บทกลับไม่จริง เช่น $\sin(\pi n) = 0$ ทุก n แต่ $\sin(\pi x)$ ไม่มีลิมิต)

S11 ε–N definition นิยามลิมิตของลำดับ

$$\lim_{n\to\infty} a_n = L \iff \forall\varepsilon > 0\ \exists N:\ n \ge N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon$$

ลำดับที่ไม่ลู่เข้าเรียกว่าลู่ออก: โตไม่มีขอบเขต ($\to \pm\infty$) หรือแกว่งไม่นิ่ง เช่น $(-1)^n$

S12 Standard sequence limits ลิมิตมาตรฐานที่ต้องจำ

$$r^n \to 0\ (|r| < 1),\quad \sqrt[n]{n} \to 1,\quad \left(1 + \tfrac{x}{n}\right)^n \to e^x,\quad \frac{\ln n}{n} \to 0,\quad \frac{n^p}{b^n} \to 0\ (b > 1),\quad \frac{b^n}{n!} \to 0$$

ลำดับความเร็วการโต: $\ln n \ll n^p \ll b^n \ll n! \ll n^n$

S13 Monotone convergence ทฤษฎีบทลำดับทางเดียว

$$a_n \nearrow\ \text{และ}\ a_n \le M\ \ \Rightarrow\ \ \{a_n\}\ \text{ลู่เข้า}$$

เพิ่มขึ้นและมีขอบเขตบน (หรือลดลงและมีขอบเขตล่าง) ต้องลู่เข้า ใช้กับลำดับเวียนเกิดเสมอ

S14 Squeeze for sequences แซนด์วิช

$$b_n \le a_n \le c_n,\ b_n, c_n \to L \Rightarrow a_n \to L$$

เช่น $\left|\frac{\sin n}{n}\right| \le \frac1n \to 0$

ตัวอย่าง S-6 · ลิมิตของลำดับ

### (ก) $\lim \dfrac{3n^2 + 1}{2n^2 - n}$ (ข) $\lim \dfrac{n}{2^n}$ (ค) $\lim\left(1 + \dfrac{2}{n}\right)^n$

- (ก) หารด้วย $n^2$: $\dfrac{3 + 1/n^2}{2 - 1/n} \to \dfrac{3}{2}$

- (ข) รูป ∞/∞ ใช้โลปิตาลกับ $f(x) = x/2^x$: $\lim \dfrac{1}{2^x\ln 2} = 0$ จึงได้ $\lim n/2^n = 0$ (เลขชี้กำลังโตเร็วกว่าพหุนามเสมอ)

- (ค) จาก S12 ที่ $x = 2$: $\left(1 + \tfrac{2}{n}\right)^n \to e^2 \approx 7.389$

(ก) $\tfrac32$ (ข) $0$ (ค) $e^2$

ตัวอย่าง S-7 · ลำดับเวียนเกิดกับทฤษฎีบทลำดับทางเดียว

### $a_1 = \sqrt2,\ a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ ลู่เข้าหรือไม่ ถ้าลู่เข้า ลิมิตเท่าไร

- พจน์แรก ๆ: 1.4142, 1.8478, 1.9616, 1.9904, 1.9976, … ดูเหมือนเพิ่มขึ้นเข้าหา 2

- มีขอบเขต $a_n < 2$ ทุก n และเพิ่มขึ้น $a_{n+1} > a_n$ ทุก n: ทั้งสองข้อพิสูจน์ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (ถ้า $a_k < 2$ แล้ว $a_{k+1} = \sqrt{2 + a_k} < \sqrt4 = 2$)

- เพิ่มขึ้นและมีขอบเขต จึงลู่เข้าตาม S13 ให้ลิมิตเป็น $L$

- ใส่ลิมิตทั้งสองข้างของความสัมพันธ์: $L = \sqrt{2 + L} \Rightarrow L^2 - L - 2 = 0 \Rightarrow (L - 2)(L + 1) = 0$ ตัด $L = -1$ เพราะทุกพจน์เป็นบวก

ลู่เข้าสู่ $L = 2$ · ข้อควรระวัง: ต้องพิสูจน์ว่าลู่เข้าก่อน แล้วค่อยแก้ $L = g(L)$ (ถ้าข้ามขั้นแรก อาจได้ “ลิมิต” ของลำดับที่ลู่ออก)

## อนุกรมอนันต์ลู่เข้าเมื่อไร: การทดสอบการลู่เข้า (Convergence Tests) กลาง

อนุกรมส่วนใหญ่หาผลบวกจริงไม่ได้ แต่บอกได้ว่าลู่เข้าหรือลู่ออก ซึ่งในงานวิศวกรรมสำคัญกว่า เพราะถ้าลู่เข้า เราตัดอนุกรมที่จำนวนพจน์จำกัดแล้วประมาณค่าได้ ถ้าลู่ออก การคำนวณจะพังไม่ว่าจะบวกกี่พจน์ ด่านแรกของทุกอนุกรมคือ nth-term test

S15 nth-term (divergence) test ทดสอบพจน์ที่ n

$$\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0\ \text{(หรือไม่มีค่า)} \ \Rightarrow\ \sum a_n\ \text{ลู่ออก}$$

ถ้า $a_n \to 0$ สรุปไม่ได้ ต้องใช้การทดสอบอื่นต่อ

1 อนุกรม p ฮาร์มอนิก">
S16 p-series อนุกรม p

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\ \text{ลู่เข้า} \iff p > 1$$

$p = 1$ คือฮาร์มอนิก ลู่ออก · $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$

S17 Integral test ทดสอบด้วยปริพันธ์

$$a_n = f(n),\ f \searrow,\ f > 0:\ \sum a_n \sim \int_1^{\infty} f(x)\,dx$$

อนุกรมกับอินทิกรัลไม่ตรงกัน ลู่เข้าหรือลู่ออกเหมือนกันเท่านั้น

S18 Comparison tests การเปรียบเทียบ

$$0 \le a_n \le b_n:\ \textstyle\sum b_n\ \text{ลู่เข้า} \Rightarrow \sum a_n\ \text{ลู่เข้า};\qquad \lim\frac{a_n}{b_n} = c > 0 \Rightarrow \text{เหมือนกัน}$$

เปรียบเทียบกับอนุกรม p หรือเรขาคณิตที่รู้คำตอบแล้ว

S19 Ratio test ทดสอบอัตราส่วน

$$\rho = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|:\ \rho < 1\ \text{ลู่เข้า},\ \rho > 1\ \text{ลู่ออก},\ \rho = 1\ \text{สรุปไม่ได้}$$

เหมาะกับ $n!$ และ $c^n$

S20 Root test ทดสอบราก

$$\rho = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}:\ \text{เกณฑ์เดียวกับ ratio test}$$

เหมาะกับพจน์รูป $(\cdots)^n$

S21 Alternating series test อนุกรมสลับ (ไลบ์นิซ)

$$\sum (-1)^{n+1} b_n,\ b_n \searrow 0 \Rightarrow \text{ลู่เข้า},\quad |S - S_N| \le b_{N+1}$$

ความคลาดเคลื่อนไม่เกินพจน์แรกที่ตัดทิ้ง

S22 Absolute vs conditional สัมบูรณ์กับมีเงื่อนไข

$$\textstyle\sum |a_n|\ \text{ลู่เข้า} \Rightarrow \sum a_n\ \text{ลู่เข้า (absolutely)}$$

ลู่เข้าแต่ $\sum|a_n|$ ลู่ออก = มีเงื่อนไข (สลับลำดับพจน์แล้วผลบวกเปลี่ยนได้)

ทำไมการทดสอบด้วยปริพันธ์ใช้ได้: ผลบวกคือพื้นที่แท่งกว้าง 1 หน่วย ซ้าย: แท่งของ $\sum 1/n$ อยู่เหนือ $y = 1/x$ และพื้นที่ใต้กราฟโตแบบ ln ไม่มีขอบเขต ขวา: แท่งของ $\sum 1/n^2$ (ตั้งแต่ n = 2) อยู่ใต้ $y = 1/x^2$ ซึ่งมีพื้นที่จำกัด

### ผังเลือกการทดสอบ (เรียงตามลำดับที่ควรลอง)

① พจน์เข้าใกล้ 0 ไหมไม่ → ลู่ออกทันที (S15) · ใช่ → ไปต่อ

② รูปที่รู้คำตอบเรขาคณิต $ar^n$ (S7) · อนุกรม p $1/n^p$ (S16) · กล้องส่องทางไกล (S10)

③ มี $n!$ หรือ $c^n$ใช้ ratio test (S19) · ทั้งก้อนยกกำลัง n ใช้ root test (S20)

④ เศษส่วนพหุนาม รากที่สองlimit comparison กับ $1/n^p$ โดย p = ดีกรีส่วน − ดีกรีเศษ (S18)

⑤ เครื่องหมายสลับทดสอบ $\sum|a_n|$ ก่อน ถ้าลู่ออกใช้อนุกรมสลับ (S21, S22)

⑥ f(n) อินทิเกรตได้ทดสอบด้วยปริพันธ์ (S17) เช่น $1/(n\ln n)$

ตัวทดสอบด้านล่างมีตัวอย่าง 14 อนุกรมพร้อมเหตุผลแบบเต็ม และพิมพ์อนุกรมของตัวเองได้ เส้นสีฟ้าคือผลบวกย่อย $S_n$ จุดสีส้มคือพจน์ $a_n$ สังเกตว่าอนุกรมที่ลู่ออกช้า ๆ อย่างฮาร์มอนิกและ $\sum 1/(n\ln n)$ ดูเหมือนนิ่งบนหน้าจอ นี่คือเหตุผลที่ต้องมีการทดสอบทางคณิตศาสตร์ ไม่ใช่แค่บวกด้วยคอมพิวเตอร์

ตัวอย่าง S-8 · เลือกการทดสอบให้ถูก

### ทดสอบการลู่เข้า: (ก) $\sum \dfrac{n}{2^n}$ (ข) $\sum \dfrac{1}{n^2 + 1}$ (ค) $\sum \dfrac{n}{n + 1}$ (ง) $\sum \dfrac{n!}{n^n}$ (จ) $\sum \dfrac{3n + 5}{n^3 - 2}\ (n \ge 2)$

- (ก) มี $2^n$ ใช้ ratio test: $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{n + 1}{2n} \to \tfrac12 < 1$ ลู่เข้า (ผลบวก = 2)

- (ข) $\dfrac{1}{n^2 + 1} < \dfrac{1}{n^2}$ และ $\sum 1/n^2$ ลู่เข้า จึงลู่เข้าโดยการเปรียบเทียบ

- (ค) $\dfrac{n}{n + 1} \to 1 \ne 0$ ลู่ออกด้วย nth-term test ไม่ต้องทำอย่างอื่น

- (ง) ratio test: $\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\dfrac{n^n}{n!} = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n = \dfrac{1}{(1 + 1/n)^n} \to \dfrac1e < 1$ ลู่เข้า

- (จ) ดีกรีส่วน − ดีกรีเศษ = 3 − 1 = 2 เทียบกับ $1/n^2$: $\lim \dfrac{(3n + 5)/(n^3 - 2)}{1/n^2} = \lim\dfrac{3n^3 + 5n^2}{n^3 - 2} = 3 > 0$ และ $\sum 1/n^2$ ลู่เข้า จึงลู่เข้า

(ก) ลู่เข้า (ข) ลู่เข้า (ค) ลู่ออก (ง) ลู่เข้า (จ) ลู่เข้า

ตัวอย่าง S-9 · อนุกรมสลับและขอบเขตความคลาดเคลื่อน

### อนุกรม $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \tfrac14 + \cdots$ ลู่เข้าแบบใด ถ้าบวก 10 พจน์ ความคลาดเคลื่อนไม่เกินเท่าไร

- $b_n = 1/n$ ลดลงและเข้าใกล้ 0 จึงลู่เข้า (S21)

- $\sum |a_n| = \sum 1/n$ ลู่ออก จึงลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข (S22)

- ผลบวกจริงคือ $\ln 2 \approx 0.693147$ (จากอนุกรมของ $\ln(1 + x)$ ที่ $x = 1$) และ $S_{10} \approx 0.645635$

- ขอบเขต: $|S - S_{10}| \le b_{11} = \tfrac{1}{11} \approx 0.0909$ ค่าจริงคลาด $0.0475$ อยู่ในขอบเขต ✓

ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ความคลาดเคลื่อนหลัง 10 พจน์ไม่เกิน $1/11$ (ลู่เข้าช้ามาก: ต้องใช้ราวครึ่งล้านพจน์จึงได้ทศนิยม 6 ตำแหน่ง)

## อนุกรมกำลังและรัศมีการลู่เข้า (Power Series) กลาง

อนุกรมกำลังคือ “พหุนามที่ยาวไม่สิ้นสุด” $\sum c_n (x - a)^n$ มันลู่เข้าเสมอในช่วงที่สมมาตรรอบ $a$ ความกว้างครึ่งหนึ่งของช่วงนี้คือรัศมีการลู่เข้า (radius of convergence) $R$ หาได้ด้วย ratio test ส่วนที่ปลายช่วง $x = a \pm R$ ต้องทดสอบแยกเสมอ ภายในช่วงเราหาอนุพันธ์และอินทิเกรตทีละพจน์ได้ จึงสร้างอนุกรมใหม่จากอนุกรมเรขาคณิตได้มากมาย

S23 Power series อนุกรมกำลัง

$$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n = c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \cdots$$

S24 Radius of convergence รัศมีการลู่เข้า

$$R = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|,\qquad |x - a| < R\ \text{ลู่เข้า},\ |x - a| > R\ \text{ลู่ออก}$$

$R = \infty$: ลู่เข้าทุก x · ปลายช่วงทดสอบแยก

S25 Term-by-term calculus หาอนุพันธ์และอินทิเกรตทีละพจน์

$$\frac{d}{dx}\sum c_n x^n = \sum n c_n x^{n-1},\qquad \int \sum c_n x^n\,dx = C + \sum \frac{c_n}{n+1}x^{n+1}\quad (R\ \text{เท่าเดิม})$$

ตัวอย่าง S-10 · ช่วงลู่เข้าและอนุกรมใหม่จากเรขาคณิต

### (ก) หาช่วงลู่เข้าของ $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^n}{n}$ (ข) หาอนุกรมของ $\ln(1 + x)$ และ $\arctan x$

- (ก) $R = \lim \dfrac{1/n}{1/(n+1)} = 1$ ลู่เข้าเมื่อ $|x| < 1$

- ปลายช่วง: $x = 1$ ได้ $\sum 1/n$ ลู่ออก · $x = -1$ ได้ $\sum (-1)^n/n$ ลู่เข้า (อนุกรมสลับ) ช่วงลู่เข้าคือ $[-1, 1)$

- (ข) เริ่มจาก $\dfrac{1}{1 + t} = 1 - t + t^2 - \cdots$ (เรขาคณิต $r = -t$) อินทิเกรตจาก 0 ถึง x: $\ln(1 + x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$

- แทน $t$ ด้วย $t^2$: $\dfrac{1}{1 + t^2} = 1 - t^2 + t^4 - \cdots$ อินทิเกรต: $\arctan x = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \cdots$ ที่ $x = 1$ ได้สูตรของไลบ์นิซ $\tfrac{\pi}{4} = 1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots$

(ก) $[-1, 1)$ และอนุกรมนี้คือ $-\ln(1 - x)$ (ข) ทั้งสองมี $R = 1$

## อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอริน (Taylor & Maclaurin Series) กลาง

ถ้าอยากได้พหุนามที่ “เหมือน” $f(x)$ ที่สุดรอบจุด $a$ ให้บังคับค่าฟังก์ชันและอนุพันธ์ทุกอันดับที่ $a$ ให้ตรงกัน ผลคือสัมประสิทธิ์ $c_k = f^{(k)}(a)/k!$ อนุกรมที่ได้เรียกว่าอนุกรมเทย์เลอร์ และเมื่อ $a = 0$ เรียกว่าอนุกรมแมคลอริน พหุนามที่ตัดไว้ $n$ พจน์ $P_n(x)$ คือสิ่งที่วิศวกรใช้จริง พร้อมเศษเหลือ (remainder) ที่บอกว่าคลาดเคลื่อนไม่เกินเท่าไร ต้องใช้อนุพันธ์จากบทที่ 4 (ย้อนมาอ่านส่วนนี้หลังเรียนอนุพันธ์ได้)

S26 Taylor series อนุกรมเทย์เลอร์

$$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots$$

$a = 0$: อนุกรมแมคลอริน · $P_1(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$ คือเส้นสัมผัส (linearization)

S27 Maclaurin series table ตารางอนุกรมแมคลอรินที่ใช้บ่อย

$$\begin{aligned} e^x &= 1 + x + \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^3}{3!} + \cdots & (R = \infty) \\ \sin x &= x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \cdots & (R = \infty) \\ \cos x &= 1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \cdots & (R = \infty) \\ \ln(1 + x) &= x - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{3} - \cdots & (-1 < x \le 1) \\ (1 + x)^{\alpha} &= 1 + \alpha x + \tfrac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots & (|x| < 1) \\ \tfrac{1}{1 - x} &= 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots & (|x| < 1) \end{aligned}$$

S28 Lagrange remainder เศษเหลือแบบลากรองจ์

$$R_n(x) = f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1},\quad |R_n(x)| \le \frac{M\,|x - a|^{n+1}}{(n+1)!}$$

$c$ อยู่ระหว่าง $a$ กับ $x$ · $M = \max|f^{(n+1)}|$ บนช่วงนั้น

พหุนามแมคลอรินของ $\sin x$: $P_1 = x$ ใช้ได้เฉพาะใกล้ 0 ยิ่งเพิ่มดีกรี ช่วงที่แนบสนิทยิ่งกว้าง เพราะ $R = \infty$

แล็บด้านล่างคำนวณสัมประสิทธิ์เทย์เลอร์แบบแม่นตรงด้วยการหาอนุพันธ์อัตโนมัติ พิมพ์ฟังก์ชันอะไรก็ได้ เลือกจุดกระจาย a และดีกรี n แล้วดูทั้งความคลาดเคลื่อนจริงและขอบเขตลากรองจ์ ลอง $\ln(1 + x)$ ที่ $x = 1.5$: อยู่นอกรัศมี R = 1 เพิ่มดีกรีเท่าไรก็ไม่เข้าใกล้ ส่วน $1/(1 + x^2)$ ซึ่งเรียบทุกจุดบนเส้นจำนวนจริงก็มี R = 1 เพราะมีโพลที่ $x = \pm j$ บนระนาบเชิงซ้อน (ดูจำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์)

ตัวอย่าง S-11 · ประมาณค่าพร้อมขอบเขตความคลาดเคลื่อน

### (ก) ประมาณ $e^{0.1}$ ด้วย $P_3$ และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อน (ข) ประมาณ $\sqrt{1.02}$ และ $\ln 1.05$

- (ก) $P_3(0.1) = 1 + 0.1 + \dfrac{0.01}{2} + \dfrac{0.001}{6} = 1.1051667$

- ขอบเขต: $f^{(4)}(c) = e^c \le e^{0.1} < 1.11$ จึงได้ $|R_3| \le \dfrac{1.11\,(0.1)^4}{4!} \approx 4.6\times10^{-6}$

- ค่าจริง $e^{0.1} = 1.1051709$ คลาด $4.25\times10^{-6}$ อยู่ในขอบเขต ✓ (ทศนิยมถูก 5 ตำแหน่งด้วยการบวก 4 พจน์)

- (ข) $\sqrt{1 + x} \approx 1 + \tfrac{x}{2} - \tfrac{x^2}{8}$: $\sqrt{1.02} \approx 1 + 0.01 - 0.00005 = 1.00995$ (จริง 1.0099505)

- $\ln(1 + x) \approx x - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{3}$: $\ln 1.05 \approx 0.05 - 0.00125 + 0.0000417 = 0.0487917$ (จริง 0.0487902)

$e^{0.1} \approx 1.1051667$ คลาดไม่เกิน $4.6\times10^{-6}$ · $\sqrt{1.02} \approx 1.00995$ · $\ln 1.05 \approx 0.04879$

## การประยุกต์: แคลคูลัสและคณิตศาสตร์วิศวกรรม กลาง

ลำดับและอนุกรมไม่ได้อยู่แค่ในข้อสอบ วงจร สัญญาณ ระบบควบคุม และเศรษฐศาสตร์วิศวกรรมใช้สามแนวคิดนี้ตลอด: ลำดับเวียนเกิดที่ลู่เข้าสู่จุดตรึง อนุกรมเรขาคณิต และการประมาณด้วยเทย์เลอร์

| งานวิศวกรรม | ลำดับ / อนุกรมที่อยู่เบื้องหลัง |

| วงจรบันไดตัวต้านทาน สายส่ง | ลำดับเวียนเกิด $R_{n+1} = R + (R \parallel R_n)$ ลู่เข้าสู่จุดตรึง |

| ตัวกรองดิจิทัล EMA ใน PLC และไมโครคอนโทรลเลอร์ | $y[n] = \alpha y[n-1] + (1 - \alpha)x[n]$ ผลตอบสนองคืออนุกรมเรขาคณิต เสถียร ⇔ $|\alpha| < 1$ |

| มูลค่าปัจจุบันของโครงการ เช่นโซลาร์รูฟท็อป | อนุกรมเรขาคณิตของเงินที่ประหยัดได้แต่ละปีหักลดด้วยอัตราคิดลด |

| มุมเล็ก ลูกตุ้ม แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอด | เทย์เลอร์อันดับหนึ่ง $\sin\theta \approx \theta$, $e^{x} \approx 1 + x$ (linearization) |

| ความไวของกำลังไฟฟ้าต่อแรงดัน | $(1 + x)^n \approx 1 + nx$: แรงดันเพิ่ม 3% กำลัง $V^2/R$ เพิ่มราว 6% |

| รูปคลื่นสี่เหลี่ยม ฮาร์มอนิก THD | อนุกรมฟูริเยร์: อนุกรมของฟังก์ชัน sin และ cos |

| หารากของสมการในวงจรไม่เชิงเส้น | วิธีนิวตัน-ราฟสัน $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$ คือลำดับเวียนเกิด |

| อินทิกรัลจำกัดเขต การหาพื้นที่ด้วยคอมพิวเตอร์ | ผลบวกรีมันน์ $\sum f(x_k)\Delta x$ และสูตร $\sum k^2$ |

วงจรบันไดตัวต้านทาน: ความต้านทานรวมของบันได n ขั้นเป็นลำดับเวียนเกิดที่ลู่เข้าสู่อัตราส่วนทองคำ $\varphi R$ ใช้เป็นแบบจำลองสายส่งและสายเคเบิลยาว

ตัวอย่าง S-12 · วงจรบันไดตัวต้านทาน

### บันไดแต่ละขั้นมีตัวต้านทานอนุกรม $R = 10\ \Omega$ และตัวต้านทานขนานลงกราวด์ $R = 10\ \Omega$ หาความต้านทานรวมของบันไดอนันต์ และบันได 5 ขั้นคลาดจากค่าอนันต์กี่เปอร์เซ็นต์

- ขั้นสุดท้ายขั้นเดียว: $R_1 = R + R = 2R$ · เพิ่มอีกขั้นด้านหน้า: $R_{n+1} = R + \dfrac{R\,R_n}{R + R_n}$ (ตัวต้านทานอนุกรมบวกกับตัวขนานที่ขนานกับบันไดที่เหลือ)

- ในหน่วย R: $2 \to \tfrac53 \to \tfrac{13}{8} \to \tfrac{34}{21} \to \tfrac{89}{55} \to \cdots$ ลดลงและมีขอบเขตล่าง จึงลู่เข้า (เศษและส่วนคือเลขฟีโบนัชชี ดูบทพิสูจน์ด้วยอุปนัย)

- จุดตรึง: $x = R + \dfrac{Rx}{R + x} \Rightarrow x^2 - Rx - R^2 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1 + \sqrt5}{2}R \approx 1.618R$

- $R_\infty = 16.180\ \Omega$ และ $R_5 = \tfrac{89}{55}(10) = 16.182\ \Omega$ คลาด $\dfrac{16.1818 - 16.1803}{16.1803} \approx 0.009\%$

$R_{eq} = \tfrac{1 + \sqrt5}{2}(10) \approx 16.18\ \Omega$ · บันไดแค่ 5 ขั้นก็คลาดไม่ถึง 0.01% (ลู่เข้าแบบเรขาคณิต)

ตัวอย่าง S-13 · ตัวกรองดิจิทัล (EMA) ของสัญญาณเซนเซอร์

### ตัวกรอง $y[n] = 0.8\,y[n-1] + 0.2\,x[n]$ เริ่มจาก $y[-1] = 0$ ป้อนขั้นบันได $x[n] = 1$ หา $y[n]$ ค่าสุดท้าย และต้องใช้กี่ตัวอย่างจึงถึง 95%

- คลี่ความสัมพันธ์: $y[n] = 0.2\left(1 + 0.8 + 0.8^2 + \cdots + 0.8^n\right)$ เป็นอนุกรมเรขาคณิต $n + 1$ พจน์

- $y[n] = 0.2\cdot\dfrac{1 - 0.8^{n+1}}{1 - 0.8} = 1 - 0.8^{n+1}$ ค่าสุดท้าย $y[\infty] = 1$ (อัตราขยาย DC = 1)

- ถึง 95%: $0.8^{n+1} \le 0.05 \Rightarrow n + 1 \ge \dfrac{\ln 0.05}{\ln 0.8} = 13.4$ จึงต้อง $n + 1 = 14$ ตัวอย่าง ($y[13] = 0.956$)

- เสถียรภาพ: ถ้าสัมประสิทธิ์ $|\alpha| \ge 1$ อนุกรมลู่ออก ตัวกรองจะแกว่งหรือโตไม่หยุด เป็นเงื่อนไขเดียวกับโพลอยู่ในวงกลมหนึ่งหน่วยของการแปลง z

$y[n] = 1 - 0.8^{n+1} \to 1$ · ถึง 95% ที่ตัวอย่างที่ 14 · ใช้ในการปรับสภาพสัญญาณและ ADC

ตัวอย่าง S-14 · เศรษฐศาสตร์วิศวกรรมและการประมาณเชิงเส้น

### (ก) โซลาร์รูฟท็อปประหยัดค่าไฟปีละ 12,000 บาท นาน 20 ปี อัตราคิดลด 5% ต่อปี มูลค่าปัจจุบันรวมเท่าไร (ข) แรงดันจ่ายตัวต้านทานเพิ่มขึ้น 3% กำลังเพิ่มขึ้นกี่เปอร์เซ็นต์

- (ก) เงินปีที่ k มีมูลค่าปัจจุบัน $\dfrac{12000}{1.05^k}$ รวม $k = 1$ ถึง 20 เป็นอนุกรมเรขาคณิต $a_1 = \tfrac{12000}{1.05},\ r = \tfrac{1}{1.05}$

- $PV = 12000\cdot\dfrac{1 - 1.05^{-20}}{0.05} = 12000 \times 12.4622 \approx 149{,}547$ บาท (เทียบกับเงินสด 240,000 บาทที่ไม่คิดลด)

- (ข) $P = V^2/R$ เมื่อ $V \to 1.03V$: $P \to (1.03)^2 P$ ใช้ $(1 + x)^2 \approx 1 + 2x$ ได้ $+6\%$ (ค่าจริง $1.0609$ คือ $+6.09\%$)

(ก) ≈ 149,547 บาท (ดูการคิดคุ้มทุนในเศรษฐศาสตร์ระบบโซลาร์) (ข) ≈ 6% · กฎหัวแม่มือ: ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์คูณด้วยเลขชี้กำลัง

ตัวอย่าง S-15 · จากผลบวกสู่อินทิกรัล

### ใช้ผลบวกรีมันน์ด้านขวา $n$ ช่วงประมาณ $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ หาค่าเมื่อ $n = 10$ และลิมิตเมื่อ $n \to \infty$

- $\Delta x = \tfrac1n,\ x_k = \tfrac{k}{n}$: $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2\frac1n = \frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2$

- ใช้ S9: $S_n = \dfrac{1}{n^3}\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$

- $n = 10$: $S_{10} = \dfrac{11\cdot 21}{600} = 0.385$ · $\lim_{n\to\infty} S_n = \dfrac{2}{6} = \dfrac13$

$S_{10} = 0.385$ และอินทิกรัล $= \tfrac13$: นิยามของอินทิกรัลจำกัดเขตคือลิมิตของอนุกรม

หน้าถัดไป: อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ พิสูจน์สูตร S9 ขอบเขตของลำดับใน S-7 และสูตรฟีโบนัชชีของวงจรบันไดใน S-12 อย่างเป็นระบบ · เรียนลึกต่อ: ลำดับและอนุกรมครบชุด (บทที่ 26)

## คำถามที่พบบ่อย

ลำดับกับอนุกรมต่างกันอย่างไร?
ลำดับ (sequence) คือรายการตัวเลขเรียงกัน $a_1, a_2, a_3, \dots$ ส่วนอนุกรม (series) คือผลบวกของพจน์ในลำดับ $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ เช่น ลำดับ 1, 1/2, 1/4, … ลู่เข้าสู่ 0 แต่อนุกรม 1 + 1/2 + 1/4 + ⋯ ลู่เข้าสู่ 2 อนุกรมอนันต์คือลิมิตของลำดับผลบวกย่อย $S_n$

อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ลู่เข้าเมื่อไร และผลบวกเท่าไร?
อนุกรม $a + ar + ar^2 + \cdots$ ลู่เข้าก็ต่อเมื่อ $|r|
ถ้า lim aₙ = 0 แล้วอนุกรม Σaₙ ลู่เข้าเสมอไหม?
ไม่เสมอ เงื่อนไข $a_n \to 0$ จำเป็นแต่ไม่พอ ตัวอย่างคืออนุกรมฮาร์มอนิก $\sum 1/n$ ซึ่งพจน์เข้าใกล้ 0 แต่ผลบวกโตแบบ $\ln n$ ไม่มีขอบเขต ในทางกลับกัน ถ้า $a_n$ ไม่เข้าใกล้ 0 อนุกรมลู่ออกแน่นอน (nth-term test)

ควรเลือกใช้ ratio test หรือการทดสอบแบบไหนก่อน?
เริ่มจาก nth-term test (พจน์ไม่เข้าใกล้ 0 = ลู่ออก) แล้วดูรูป: อนุกรมเรขาคณิตหรืออนุกรม p ตอบได้ทันที มีแฟกทอเรียลหรือ $c^n$ ใช้ ratio test ยกกำลัง n ทั้งก้อนใช้ root test เป็นเศษส่วนของพหุนามใช้ limit comparison กับ $1/n^p$ เครื่องหมายสลับใช้ alternating series test ถ้า ratio test ได้ 1 แปลว่าสรุปไม่ได้ต้องใช้วิธีอื่น

วิศวกรใช้อนุกรมเทย์เลอร์ทำอะไร?
ใช้ประมาณฟังก์ชันซับซ้อนด้วยพหุนาม เช่น $\sin\theta \approx \theta$ เมื่อมุมเล็ก $e^x \approx 1 + x$ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ การทำให้เป็นเชิงเส้นรอบจุดทำงาน (linearization) ในแบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอดและทรานซิสเตอร์ การควบคุมระบบไม่เชิงเส้น และการคำนวณ sin, eˣ ในไมโครคอนโทรลเลอร์

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**ลำดับกับอนุกรมต่างกันอย่างไร?**
ลำดับ (sequence) คือรายการตัวเลขเรียงกัน $a_1, a_2, a_3, \dots$ ส่วนอนุกรม (series) คือผลบวกของพจน์ในลำดับ $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ เช่น ลำดับ 1, 1/2, 1/4, … ลู่เข้าสู่ 0 แต่อนุกรม 1 + 1/2 + 1/4 + ⋯ ลู่เข้าสู่ 2 อนุกรมอนันต์คือลิมิตของลำดับผลบวกย่อย $S_n$

**อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ลู่เข้าเมื่อไร และผลบวกเท่าไร?**
อนุกรม $a + ar + ar^2 + \cdots$ ลู่เข้าก็ต่อเมื่อ $|r| < 1$ และผลบวกคือ $\dfrac{a}{1 - r}$ ถ้า $|r| \ge 1$ จะลู่ออก เช่น 0.999… = 0.9/(1 − 0.1) = 1

**ถ้า lim aₙ = 0 แล้วอนุกรม Σaₙ ลู่เข้าเสมอไหม?**
ไม่เสมอ เงื่อนไข $a_n \to 0$ จำเป็นแต่ไม่พอ ตัวอย่างคืออนุกรมฮาร์มอนิก $\sum 1/n$ ซึ่งพจน์เข้าใกล้ 0 แต่ผลบวกโตแบบ $\ln n$ ไม่มีขอบเขต ในทางกลับกัน ถ้า $a_n$ ไม่เข้าใกล้ 0 อนุกรมลู่ออกแน่นอน (nth-term test)

**ควรเลือกใช้ ratio test หรือการทดสอบแบบไหนก่อน?**
เริ่มจาก nth-term test (พจน์ไม่เข้าใกล้ 0 = ลู่ออก) แล้วดูรูป: อนุกรมเรขาคณิตหรืออนุกรม p ตอบได้ทันที มีแฟกทอเรียลหรือ $c^n$ ใช้ ratio test ยกกำลัง n ทั้งก้อนใช้ root test เป็นเศษส่วนของพหุนามใช้ limit comparison กับ $1/n^p$ เครื่องหมายสลับใช้ alternating series test ถ้า ratio test ได้ 1 แปลว่าสรุปไม่ได้ต้องใช้วิธีอื่น

**วิศวกรใช้อนุกรมเทย์เลอร์ทำอะไร?**
ใช้ประมาณฟังก์ชันซับซ้อนด้วยพหุนาม เช่น $\sin\theta \approx \theta$ เมื่อมุมเล็ก $e^x \approx 1 + x$ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ การทำให้เป็นเชิงเส้นรอบจุดทำงาน (linearization) ในแบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอดและทรานซิสเตอร์ การควบคุมระบบไม่เชิงเส้น และการคำนวณ sin, eˣ ในไมโครคอนโทรลเลอร์