--- title: "อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction): หลักการ วิธีพิสูจน์ และตัวอย่าง" url: https://modsengineeringmath.com/learn/limits/mathematical-induction/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-26 --- > อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์คืออะไร หลักการโดมิโน กรณีฐาน (base case) ขั้นอุปนัย (inductive step) แม่แบบเขียนพิสูจน์ทีละขั้น ตัวอย่างพิสูจน์สูตรผลบวก การหารลงตัว อสมการ อุปนัยแบบเข้ม (strong induction) การประยุกต์ในแคลคูลัส ลาปลาซ และวิศวกรรม พร้อมตัวตรวจแบบโต้ตอบและบทพิสูจน์ผิดที่พบบ่อย ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/limits/mathematical-induction/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction): หลักการ วิธีพิสูจน์ และตัวอย่าง // บทที่ 3.2 · ลิมิต · Mathematical Induction ตรวจสูตรด้วยตัวเลขร้อยค่าก็ยังไม่ใช่บทพิสูจน์ เพราะจำนวนนับมีไม่สิ้นสุด อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์แก้ปัญหานี้ด้วยสองขั้น: พิสูจน์ว่าตัวแรกจริง และพิสูจน์ว่า “ถ้าตัวหนึ่งจริง ตัวถัดไปก็จริง” เหมือนผลักโดมิโนตัวแรกในแถวที่ไม่มีที่สิ้นสุด หน้านี้สอนตั้งแต่หลักการ แม่แบบการเขียน ไปจนถึงการใช้จริงในแคลคูลัส ลาปลาซ และระบบดิจิทัล พร้อมเครื่องมือตรวจบทพิสูจน์และเกมหาจุดผิด สรุปใน 30 วินาที - ต้องการพิสูจน์ $P(n)$ ทุก $n \ge n_0$: กรณีฐาน $P(n_0)$ จริง + ขั้นอุปนัย $P(k) \Rightarrow P(k+1)$ ทุก $k \ge n_0$ - ในขั้นอุปนัย “สมมติ” $P(k)$ ได้เลย (สมมติฐานการอุปนัย) แล้วต้องใช้มันให้เห็นชัดตอนแสดง $P(k+1)$ - สูตรผลบวก: ขั้นอุปนัยคือแสดงว่า $g(k+1) - g(k) = f(k+1)$ · การหารลงตัว: แยก $f(k+1)$ ให้เห็นก้อน $f(k)$ · อสมการ: ใช้สมมติฐานแล้วต่อด้วยโซ่อสมการ - ต้องย้อนหลายขั้น (ฟีโบนัชชี) ใช้อุปนัยแบบเข้มพร้อมกรณีฐานหลายค่า ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง แคลคูลัส · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี ## อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์คืออะไร: หลักโดมิโน พื้นฐาน ลองดูสูตร $n^2 + n + 41$ ที่ $n = 0, 1, 2, \dots$ ได้ 41, 43, 47, 53, 61, … เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด ตรวจต่อไปจนถึง $n = 39$ ก็ยังเป็นจำนวนเฉพาะครบ 40 ค่า แต่ที่ $n = 40$ ได้ $1681 = 41^2$ การ “เห็นรูปแบบ” จากตัวอย่างจึงไม่ใช่บทพิสูจน์ ในภาษาทั่วไปเรียกการสรุปจากตัวอย่างว่าการให้เหตุผลแบบอุปนัย (inductive reasoning) แต่อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical induction) เป็นการให้เหตุผลแบบนิรนัยที่รัดกุม 100% ชื่อคล้ายกันแต่คนละเรื่อง นึกถึงโดมิโนเรียงเป็นแถวยาวไม่สิ้นสุด จะมั่นใจว่าล้มหมดทุกตัวได้ด้วยสองเงื่อนไข: ตัวแรกล้ม และทุกตัวที่ล้มจะชนตัวถัดไปให้ล้มด้วย ขาดข้อใดข้อหนึ่งไม่ได้ ลองปิดกรณีฐานหรือทำให้ขั้นอุปนัยพังที่ k = 4 ในแล็บด้านล่าง โครงสร้างของอุปนัย: กรณีฐานจุดชนวน ขั้นอุปนัยส่งต่อความจริงจากตัวหนึ่งไปตัวถัดไปซ้ำได้ไม่สิ้นสุด I1 Principle of mathematical induction หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ $$\Big[\,P(n_0)\ \wedge\ \forall k \ge n_0:\ \big(P(k) \Rightarrow P(k+1)\big)\Big] \ \Longrightarrow\ \forall n \ge n_0:\ P(n)$$ $P(n_0)$ = กรณีฐาน (base case) · $P(k)$ ที่สมมติ = สมมติฐานการอุปนัย (inductive hypothesis) · $P(k) \Rightarrow P(k+1)$ = ขั้นอุปนัย (inductive step) I2 Well-ordering principle หลักการจัดอันดับดี $$\varnothing \ne S \subseteq \mathbb{N} \ \Rightarrow\ S\ \text{มีสมาชิกน้อยที่สุด}$$ สมมูลกับอุปนัย: ถ้ามี n ที่ P(n) เท็จ จะมี “ตัวผิดตัวแรก” m แต่ P(m − 1) จริง ขั้นอุปนัยจึงบังคับให้ P(m) จริง ขัดแย้ง I3 Strong induction อุปนัยแบบเข้ม $$\big[P(n_0) \wedge \cdots \wedge P(k)\big] \Rightarrow P(k+1)$$ สมมติทุกค่าก่อนหน้า · ถ้าขั้นอุปนัยย้อนไป m ขั้น ต้องมีกรณีฐาน m ค่า ## แม่แบบเขียนพิสูจน์ 4 ขั้น (ใช้ได้ทุกข้อ) พื้นฐาน นักศึกษาส่วนใหญ่ไม่ได้เสียคะแนนเพราะพีชคณิตผิด แต่เพราะเขียนโครงสร้างไม่ครบ เช่นไม่บอกว่า P(n) คืออะไร หรือเขียน P(k+1) แล้ว “ทำสองข้างให้เท่ากัน” ซึ่งเป็นการสมมติสิ่งที่จะพิสูจน์ ใช้แม่แบบนี้ทุกครั้ง: แม่แบบ: พิสูจน์ว่า P(n) จริงทุก $n \ge n_0$ - นิยาม ให้ $P(n)$ แทนข้อความ “…” (เขียนให้ชัดว่าแทนค่า n แล้วได้ประโยคอะไร) - กรณีฐาน เมื่อ $n = n_0$: คำนวณทั้งสองข้างแยกกัน แล้วแสดงว่าเท่ากัน (หรือเป็นจริงตามความสัมพันธ์) ดังนั้น $P(n_0)$ จริง - สมมติฐานการอุปนัย สมมติว่า $P(k)$ จริงสำหรับจำนวนเต็ม $k \ge n_0$ บางค่า นั่นคือ … (เขียน P(k) ออกมาเต็ม ๆ) - ขั้นอุปนัย จะแสดงว่า $P(k+1)$ จริง คือ … (เขียนเป้าหมาย) เริ่มจากด้านซ้ายของ P(k+1) จัดรูปให้เห็นก้อนที่อยู่ใน P(k) ใช้สมมติฐาน (เขียนกำกับว่า “โดยสมมติฐานการอุปนัย”) แล้วจัดรูปจนได้ด้านขวาของ P(k+1) สรุป: โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ $P(n)$ จริงสำหรับทุกจำนวนเต็ม $n \ge n_0$ ∎ ภาพช่วยให้ “เห็น” สูตร $1 + 2 + \cdots + n = \tfrac{n(n+1)}{2}$ แต่อุปนัยคือสิ่งที่พิสูจน์ได้ทุก n โดยไม่ต้องวาดรูป และใช้ได้กับสูตรที่วาดรูปไม่ได้ ตัวอย่าง I-1 · ใช้แม่แบบเต็มรูป ### พิสูจน์ว่า $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ สำหรับทุกจำนวนนับ $n$ - นิยาม ให้ $P(n)$ แทน $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ - กรณีฐาน $n = 1$: ซ้าย $= 1$ ขวา $= \dfrac{1\cdot 2}{2} = 1$ เท่ากัน $P(1)$ จริง - สมมติฐาน สมมติว่า $P(k)$ จริงสำหรับ $k \ge 1$ บางค่า: $1 + 2 + \cdots + k = \dfrac{k(k+1)}{2}$ - เป้าหมาย ต้องแสดงว่า $1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$ - ขั้นอุปนัย $\underbrace{1 + 2 + \cdots + k}_{\text{ก้อนของ } P(k)} + (k+1) = {\dfrac{k(k+1)}{2}} + (k+1)$ (โดยสมมติฐานการอุปนัย) - $= \dfrac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$ ตรงกับเป้าหมาย $P(k+1)$ จริง - สรุป โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ $P(n)$ จริงทุก $n \ge 1$ ∎ สังเกตเทคนิคหลัก: “ดึงพจน์สุดท้ายออก” แล้วส่วนที่เหลือคือด้านซ้ายของ P(k) พอดี สีน้ำเงิน = บรรทัดที่ใช้สมมติฐาน ต้องมีอย่างน้อยหนึ่งจุดเสมอ ## ตัวตรวจอุปนัย: ทดลองกรณีฐานและขั้นอุปนัยด้วยตัวเลข พื้นฐาน เลือกข้อความ ตารางจะตรวจ P(n) ทีละค่า (ซึ่งยังไม่ใช่บทพิสูจน์) ส่วนล่างแสดงขั้นอุปนัยแบบตัวแปร k ที่เป็นบทพิสูจน์จริง เลื่อนแถบเพื่อแทน k เป็นตัวเลขแล้วดูว่าแต่ละบรรทัดทำอะไร ในโหมด “สูตรผลบวกของฉัน” พิมพ์พจน์ f(k) และสูตรที่อ้าง g(n) ระบบจะตรวจกรณีฐานและขั้นอุปนัย $g(k+1) - g(k) = f(k+1)$ ถ้าเป็นพหุนามจะออกใบรับรองว่าพิสูจน์แล้วจริง ## พิสูจน์สูตรผลบวก (Summation Formulas) พื้นฐาน I4 Inductive step for sums ขั้นอุปนัยของสูตรผลบวก $$\sum_{i=n_0}^{k+1} f(i) = \sum_{i=n_0}^{k} f(i) + f(k+1) \quad\Rightarrow\quad P(k) \Rightarrow P(k+1) \iff g(k+1) = g(k) + f(k+1)$$ ใช้ได้กับ $\sum k,\ \sum k^2,\ \sum k^3$ (S9) อนุกรมเรขาคณิต และผลบวกแบบหักล้าง ตัวอย่าง I-2 ### พิสูจน์ $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ - กรณีฐาน $n = 1$: ซ้าย $= 1$ ขวา $= \dfrac{1\cdot2\cdot3}{6} = 1$ จริง - สมมติ $\sum_{i=1}^{k} i^2 = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ ต้องแสดง $\sum_{i=1}^{k+1} i^2 = \dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$ - $\sum_{i=1}^{k+1} i^2 = {\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}} + (k+1)^2 = \dfrac{(k+1)\left[k(2k+1) + 6(k+1)\right]}{6}$ (ดึง $k + 1$ เป็นตัวร่วม อย่ากระจายทั้งหมด) - $= \dfrac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6} = \dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$ ✓ ตรงกับเป้าหมาย จริงทุก $n \ge 1$ · เคล็ดลับ: เขียนเป้าหมายไว้ก่อน แล้วรู้ว่าต้องแยกตัวประกอบให้ได้ $(k+2)(2k+3)$ ตัวอย่าง I-3 · อนุกรมเรขาคณิต ### พิสูจน์ว่า $1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1} = \dfrac{r^n - 1}{r - 1}$ เมื่อ $r \ne 1$ แล้วตีความเมื่อ $r = 2$ - กรณีฐาน $n = 1$: ซ้าย $= 1$ ขวา $= \dfrac{r - 1}{r - 1} = 1$ จริง - สมมติจริงที่ $n = k$: $1 + r + \cdots + r^{k} = {\dfrac{r^k - 1}{r - 1}} + r^k = \dfrac{r^k - 1 + r^{k+1} - r^k}{r - 1} = \dfrac{r^{k+1} - 1}{r - 1}$ ✓ - เมื่อ $r = 2$: $1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-1} = 2^n - 1$ คือค่าสูงสุดของเลขฐานสอง n บิต เช่น ADC 12 บิตมีรหัส 0 ถึง $2^{12} - 1 = 4095$ จริงทุก $n \ge 1$ (เทียบกับที่มาด้วยการคูณ r แล้วลบในหน้าลำดับและอนุกรม) ## พิสูจน์การหารลงตัว (Divisibility) พื้นฐาน เป้าหมายคือเขียน $f(k+1)$ ให้อยู่ในรูป “ค่าคงที่ × $f(k)$ + ส่วนที่หารลงตัวชัดเจน” แล้วใช้สมมติฐานว่า $f(k)$ หารลงตัว อย่าลืมว่า “a หาร b ลงตัว” เขียนเป็นสมการได้ว่า $b = am$ สำหรับจำนวนเต็ม m บางตัว ซึ่งจัดการด้วยพีชคณิตได้ง่ายกว่า I5 Divisibility step แม่แบบขั้นอุปนัยของการหารลงตัว $$m \mid f(k)\ \ (f(k) = mq) \quad\text{และ}\quad f(k+1) = c\,f(k) + m\,t \ \Rightarrow\ m \mid f(k+1)$$ ตัวอย่าง I-4 ### พิสูจน์ว่า (ก) $3 \mid 4^n - 1$ (ข) $6 \mid n^3 - n$ สำหรับทุกจำนวนนับ $n$ - (ก) กรณีฐาน: $4^1 - 1 = 3$ หารด้วย 3 ลงตัว · สมมติ $4^k - 1 = 3m$ - $4^{k+1} - 1 = 4\cdot 4^k - 1 = 4(4^k - 1) + 3 = 4{(3m)} + 3 = 3(4m + 1)$ หารด้วย 3 ลงตัว ✓ - (ข) กรณีฐาน: $1^3 - 1 = 0 = 6\cdot 0$ ✓ · สมมติ $k^3 - k = 6m$ - $(k+1)^3 - (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 = {(k^3 - k)} + 3k(k+1)$ - $k(k+1)$ เป็นผลคูณของจำนวนเต็มสองตัวติดกัน จึงเป็นจำนวนคู่ $= 2t$ ดังนั้น $3k(k+1) = 6t$ และ $(k+1)^3 - (k+1) = 6m + 6t = 6(m + t)$ ✓ ทั้งสองจริงทุก $n \ge 1$ · (ข) ใช้ข้อเท็จจริงเสริมว่าจำนวนเต็มติดกันสองตัวมีตัวหนึ่งเป็นคู่ บทพิสูจน์อุปนัยหลายข้อต้องใช้ความรู้อื่นประกอบแบบนี้ ## พิสูจน์อสมการ (Inequalities) กลาง อสมการต่างจากสมการตรงที่ปลายทางไม่ต้องได้ด้านขวาของ P(k+1) พอดี แค่ต้อง “มากกว่าหรือเท่ากับ” ก็พอ โครงสร้างจึงเป็นโซ่: ซ้ายของ P(k+1) → แยกก้อน P(k) → ใช้สมมติฐาน (เกิด > ตรงนี้) → อสมการช่วยที่ใช้เงื่อนไขของ k → ขวาของ P(k+1) เงื่อนไขของ k ในขั้นสุดท้ายคือสิ่งที่บอกว่ากรณีฐานต้องเริ่มที่เท่าไร I6 Inequality chain โซ่อสมการ $$L(k+1) = \cdots\, L(k) \cdots\ \overset{\text{IH}}{>}\ \cdots\, R(k) \cdots\ \ge\ R(k+1)$$ IH = inductive hypothesis · ขั้น ≥ สุดท้ายมักต้องใช้ $k \ge$ ค่าหนึ่ง = 1+nx linear lower bound อสมการเบอร์นูลลี"> I7 Bernoulli's inequality อสมการเบอร์นูลลี $$(1 + x)^n \ge 1 + nx\qquad (x \ge -1,\ n \in \mathbb{N})$$ ขอบเขตล่างเชิงเส้นของการเติบโตแบบทบต้น = เทย์เลอร์อันดับหนึ่ง ตัวอย่าง I-5 · กรณีฐานไม่ได้เริ่มที่ 1 ### พิสูจน์ว่า $2^n > n^2$ สำหรับทุก $n \ge 5$ - ทำไมเริ่มที่ 5: $n = 2, 3, 4$ ได้ $4 = 4,\ 8 < 9,\ 16 = 16$ ไม่จริง ($n = 1$ จริงแต่ห่วงโซ่ขาดตอน) - กรณีฐาน $n = 5$: $2^5 = 32 > 25 = 5^2$ จริง - สมมติ $2^k > k^2$ สำหรับ $k \ge 5$ จะแสดง $2^{k+1} > (k+1)^2$ - $2^{k+1} = 2\cdot 2^k > 2{k^2}$ (สมมติฐาน) - เหลือแสดง $2k^2 \ge (k+1)^2 \iff k^2 - 2k - 1 \ge 0 \iff (k-1)^2 \ge 2$ จริงเมื่อ $k \ge 3$ (โดยเฉพาะ $k \ge 5$) จึงได้ $2^{k+1} > 2k^2 \ge (k+1)^2$ ✓ จริงทุก $n \ge 5$ · ขั้นอุปนัยใช้ได้ตั้งแต่ k = 3 แต่ P(3) และ P(4) เป็นเท็จ กรณีฐานจึงต้องเป็นตัวแรกที่จริงแล้วโซ่ไม่ขาด คือ 5 ตัวอย่าง I-6 · อสมการเบอร์นูลลีกับการเติบโตทบต้น ### พิสูจน์ $(1 + x)^n \ge 1 + nx$ เมื่อ $x \ge -1$ แล้วใช้แสดงว่าระบบที่โต 5% ต่อรอบ หลัง 10 รอบโตอย่างน้อย 50% - กรณีฐาน $n = 1$: $1 + x \ge 1 + x$ จริง (เท่ากัน) - สมมติ $(1 + x)^k \ge 1 + kx$ เนื่องจาก $1 + x \ge 0$ คูณทั้งสองข้างแล้วเครื่องหมายไม่กลับ: $(1 + x)^{k+1} \ge {(1 + kx)}(1 + x)$ - $= 1 + (k+1)x + kx^2 \ge 1 + (k+1)x$ เพราะ $kx^2 \ge 0$ ✓ - ที่ $x = 0.05,\ n = 10$: $1.05^{10} \ge 1 + 10(0.05) = 1.5$ (ค่าจริง $1.629$) จุดที่ต้องระวังคือเงื่อนไข $x \ge -1$ ใช้ตอนคูณอสมการ $(1 + x)^n \ge 1 + nx$ · ด้านขวาคือเทย์เลอร์อันดับหนึ่งของด้านซ้าย อสมการบอกว่าการประมาณเชิงเส้นไม่เคยเกินค่าจริงเมื่อ $x \ge -1$ ## อุปนัยแบบเข้มและลำดับเวียนเกิด (Strong Induction) กลาง เจาะลึกอุปนัยแบบเข้มหน้าใหม่ อุปนัยแบบเข้ม (Strong Induction) 26.12 มีตัวอย่าง 17 ข้อ (แสตมป์ จำนวนเฉพาะ ฟีโบนัชชี เกม merge sort ระบบควบคุม) กฎจำนวนกรณีฐาน และแล็บ 11 ชุด เช่น ทดลองลดกรณีฐานแล้วดูบทพิสูจน์พัง และเกมเรียงบรรทัดบทพิสูจน์ ลำดับเวียนเกิดเป็นคู่หูโดยธรรมชาติของอุปนัย: นิยามพจน์ถัดไปจากพจน์ก่อนหน้า ก็พิสูจน์สมบัติของพจน์ถัดไปจากพจน์ก่อนหน้า ถ้าความสัมพันธ์ย้อนไปมากกว่าหนึ่งขั้น เช่น $F_{k+1} = F_k + F_{k-1}$ ต้องใช้อุปนัยแบบเข้ม (I3) และตรวจกรณีฐานให้ครบจำนวนขั้นที่ย้อน ตัวอย่าง I-7 · แบบเข้ม ### (ก) แสตมป์ราคา 4 และ 5 บาท แสดงว่ารวมได้ทุกราคา $n \ge 12$ บาท (ข) ฟีโบนัชชี $F_1 = F_2 = 1,\ F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$ แสดงว่า $F_n < 2^n$ - (ก) กรณีฐานสี่ค่า: $12 = 4 + 4 + 4,\ 13 = 4 + 4 + 5,\ 14 = 4 + 5 + 5,\ 15 = 5 + 5 + 5$ - ขั้นอุปนัย: ให้ $k \ge 15$ และสมมติว่าทุกราคา 12 ถึง k รวมได้ ราคา $k + 1 = (k - 3) + 4$ และ $12 \le k - 3 \le k$ จึงรวมได้ตามสมมติฐาน เติมแสตมป์ 4 บาทอีกดวง ✓ (ต้องย้อน 4 ขั้น จึงต้องมีกรณีฐาน 4 ค่า) - (ข) กรณีฐานสองค่า: $F_1 = 1 < 2$ และ $F_2 = 1 < 4$ - สมมติ $F_j < 2^j$ ทุก $j \le k$ ($k \ge 2$): $F_{k+1} = {F_k} + {F_{k-1}} < 2^k + 2^{k-1} < 2^k + 2^k = 2^{k+1}$ ✓ (ก) ทุกราคา ≥ 12 บาท (11 บาทรวมไม่ได้) (ข) $F_n < 2^n$ ทุก n ตัวอย่าง I-8 · ขอบเขตของลำดับเวียนเกิด (ใช้คู่กับทฤษฎีบทลำดับทางเดียว) ### $a_1 = \sqrt2,\ a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ พิสูจน์ว่า $0 < a_n < 2$ และ $a_{n+1} > a_n$ ทุก n ดูตัวอย่างคู่กันในหน้าลำดับ - กรณีฐาน: $0 < a_1 = \sqrt2 \approx 1.414 < 2$ - สมมติ $0 < a_k < 2$: $a_{k+1} = \sqrt{2 + {a_k}} < \sqrt{2 + 2} = 2$ และ $a_{k+1} > \sqrt2 > 0$ ✓ จึงได้ $0 < a_n < 2$ ทุก n - เพิ่มขึ้น: $a_{n+1} > a_n \iff 2 + a_n > a_n^2 \iff (a_n - 2)(a_n + 1) < 0$ ซึ่งจริงเพราะ $0 < a_n < 2$ จากข้อก่อน (ไม่ต้องอุปนัยซ้ำ) เพิ่มขึ้นและมีขอบเขต จึงลู่เข้า และลิมิตคือ 2 (ดูทฤษฎีบทลำดับทางเดียว S13) ## อุปนัยในแคลคูลัส: อนุพันธ์ ลาปลาซ และอินทิกรัล กลาง สูตรแคลคูลัสหลายสูตรที่เขียนด้วย “n” ถูกพิสูจน์ด้วยอุปนัยทั้งสิ้น รูปแบบที่พบบ่อยคือขั้นอุปนัยใช้กฎผลคูณ (product rule) หรือการอินทิเกรตทีละส่วน (integration by parts) เพื่อลดกรณี $k + 1$ ลงเหลือกรณี $k$ I8 Power rule (n ∈ ℕ) อนุพันธ์ของ xⁿ $$\frac{d}{dx}x^n = n\,x^{n-1}$$ ขั้นอุปนัย: $x^{k+1} = x\cdot x^k$ แล้วใช้กฎผลคูณ I9 nth derivative of 1/x อนุพันธ์อันดับ n ของ 1/x $$\frac{d^n}{dx^n}\,\frac1x = \frac{(-1)^n\, n!}{x^{n+1}}$$ I10 Laplace of tⁿ การแปลงลาปลาซของ tⁿ $$\mathcal{L}\{t^n\} = \int_0^{\infty} t^n e^{-st}\,dt = \frac{n!}{s^{n+1}}$$ ขั้นอุปนัย: อินทิเกรตทีละส่วนได้ $\mathcal{L}\{t^{k+1}\} = \tfrac{k+1}{s}\mathcal{L}\{t^k\}$ I11 Leibniz rule อนุพันธ์อันดับ n ของผลคูณ $$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$$ โครงสร้างเดียวกับทฤษฎีบททวินาม พิสูจน์ด้วยอุปนัยและ $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$ ตัวอย่าง I-9 · กฎยกกำลังของอนุพันธ์ ### ใช้กฎผลคูณพิสูจน์ $\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ ทุก $n \ge 1$ - กรณีฐาน $n = 1$: $\dfrac{d}{dx}x = 1 = 1\cdot x^0$ จริง (ได้จากนิยามอนุพันธ์โดยตรง) - สมมติ $\dfrac{d}{dx}x^k = kx^{k-1}$ แล้ว $\dfrac{d}{dx}x^{k+1} = \dfrac{d}{dx}\left(x\cdot x^k\right) = 1\cdot x^k + x\cdot{kx^{k-1}}$ (กฎผลคูณ + สมมติฐาน) - $= x^k + kx^k = (k+1)x^k$ ✓ จริงทุก n ∈ ℕ · กฎนี้คือฐานของสูตรอนุพันธ์ทั้งหมดของพหุนาม และของการหาอนุพันธ์อนุกรมกำลังทีละพจน์ ตัวอย่าง I-10 · อนุพันธ์อันดับ n ### พิสูจน์ $\dfrac{d^n}{dx^n}\dfrac1x = \dfrac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}$ แล้วหาสัมประสิทธิ์เทย์เลอร์ของ $1/x$ รอบ $x = 1$ ไปที่แล็บเทย์เลอร์ - กรณีฐาน $n = 1$: $\dfrac{d}{dx}x^{-1} = -x^{-2} = \dfrac{(-1)^1 1!}{x^2}$ จริง - สมมติจริงที่ k: $\dfrac{d^{k+1}}{dx^{k+1}}\dfrac1x = \dfrac{d}{dx}{\left[(-1)^k k!\,x^{-(k+1)}\right]} = (-1)^k k!\cdot(-(k+1))x^{-(k+2)} = \dfrac{(-1)^{k+1}(k+1)!}{x^{k+2}}$ ✓ - สัมประสิทธิ์เทย์เลอร์ที่ $a = 1$: $c_n = \dfrac{f^{(n)}(1)}{n!} = (-1)^n$ จึงได้ $\dfrac1x = 1 - (x - 1) + (x - 1)^2 - \cdots$ (อนุกรมเรขาคณิตที่ $r = -(x - 1)$, $R = 1$) $f^{(n)}(x) = (-1)^n n!\,x^{-(n+1)}$ · อุปนัยทำให้เราได้ “สูตรของอนุพันธ์ทุกอันดับ” ซึ่งเป็นสิ่งที่อนุกรมเทย์เลอร์ต้องการ ตัวอย่าง I-11 · ตารางลาปลาซมาจากไหน ### พิสูจน์ $\mathcal{L}\{t^n\} = \dfrac{n!}{s^{n+1}}$ สำหรับ $n \ge 0$ และ $s > 0$ - กรณีฐาน $n = 0$: $\mathcal{L}\{1\} = \int_0^{\infty} e^{-st}dt = \dfrac1s = \dfrac{0!}{s^1}$ จริง - สมมติ $\mathcal{L}\{t^k\} = \dfrac{k!}{s^{k+1}}$ อินทิเกรตทีละส่วนด้วย $u = t^{k+1},\ dv = e^{-st}dt$: - $\mathcal{L}\{t^{k+1}\} = \Big[-\dfrac{t^{k+1}e^{-st}}{s}\Big]_0^{\infty} + \dfrac{k+1}{s}\int_0^{\infty}t^k e^{-st}dt = 0 + \dfrac{k+1}{s}\cdot{\dfrac{k!}{s^{k+1}}}$ (พจน์ขอบเป็นศูนย์เพราะ $e^{-st}$ ชนะพหุนาม) - $= \dfrac{(k+1)!}{s^{k+2}}$ ✓ จริงทุก $n \ge 0$ ดูตารางการแปลงลาปลาซ · ที่ $s = 1$ ได้ $\int_0^\infty t^n e^{-t}dt = n!$ (ฟังก์ชันแกมมา) ## อุปนัยในคณิตศาสตร์วิศวกรรมและงานวิศวกรรม กลาง ทุกครั้งที่ระบบ “ทำซ้ำ” ไม่ว่าจะเป็นตัวอย่างสัญญาณในระบบดิจิทัล รอบของลูปโปรแกรม ขั้นของวงจรบันได หรือการคูณเฟสเซอร์ซ้ำ อุปนัยคือเครื่องมือที่บอกว่าสูตรสำหรับรอบที่ n ถูกต้องเสมอ I12 De Moivre's theorem ทฤษฎีบทเดอมัวฟร์ $$(\cos\theta + j\sin\theta)^n = \cos n\theta + j\sin n\theta$$ ขั้นอุปนัยใช้สูตรผลบวกมุม · กำลังของเฟสเซอร์หมุนมุมทีละ θ I13 Discrete-time state สถานะของระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง $$\mathbf{x}[n+1] = A\,\mathbf{x}[n] \ \Rightarrow\ \mathbf{x}[n] = A^n\,\mathbf{x}[0]$$ พื้นฐานของการควบคุมดิจิทัลและปริภูมิสถานะ I14 Loop invariant ข้อความคงที่ของลูป $$\text{Inv}(0)\ \wedge\ \big(\text{Inv}(k) \Rightarrow \text{Inv}(k+1)\big) \Rightarrow \text{Inv}(n)\ \text{เมื่อจบลูป}$$ อุปนัยในรูปของโปรแกรม: พิสูจน์ว่าโค้ด PLC หรือเฟิร์มแวร์ให้ผลถูกทุกจำนวนรอบ ตัวอย่าง I-12 · วงจรบันไดกับเลขฟีโบนัชชี ### บันไดตัวต้านทาน (R = 1 Ω) มี $R_1 = 2,\ R_{n+1} = 1 + \dfrac{R_n}{1 + R_n}$ พิสูจน์ว่า $R_n = \dfrac{F_{2n+1}}{F_{2n}}$ - กรณีฐาน: $\dfrac{F_3}{F_2} = \dfrac21 = 2 = R_1$ จริง - สมมติ $R_k = \dfrac{F_{2k+1}}{F_{2k}}$ แทนลงในความสัมพันธ์แล้วคูณเศษและส่วนด้วย $F_{2k}$: $R_{k+1} = \dfrac{1 + 2R_k}{1 + R_k} = \dfrac{F_{2k} + 2{F_{2k+1}}}{F_{2k} + {F_{2k+1}}}$ - ใช้ $F_{m+1} = F_m + F_{m-1}$: ส่วน $= F_{2k+2}$ และเศษ $= F_{2k+2} + F_{2k+1} = F_{2k+3}$ จึงได้ $R_{k+1} = \dfrac{F_{2k+3}}{F_{2k+2}}$ ✓ $R_n = F_{2n+1}/F_{2n}$ ทุก n · อัตราส่วนเลขฟีโบนัชชีลู่เข้าสู่ $\varphi = \tfrac{1 + \sqrt5}{2}$ จึงได้ $R_\infty = \varphi R$ ตรงกับตัวอย่าง S-12 ตัวอย่าง I-13 · เฟสเซอร์และระบบดิจิทัล ### (ก) พิสูจน์ทฤษฎีบทเดอมัวฟร์ (ข) ระบบเคลื่อนที่ความเร็วคงที่สุ่มตัวอย่างทุก T วินาที $\begin{bmatrix}p\\v\end{bmatrix}_{n+1} = \begin{bmatrix}1 & T\\0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}p\\v\end{bmatrix}_n$ หาสถานะหลัง n ตัวอย่าง - (ก) กรณีฐาน $n = 1$ ชัดเจน · สมมติจริงที่ k: $(\cos\theta + j\sin\theta)^{k+1} = {(\cos k\theta + j\sin k\theta)}(\cos\theta + j\sin\theta)$ - $= (\cos k\theta\cos\theta - \sin k\theta\sin\theta) + j(\sin k\theta\cos\theta + \cos k\theta\sin\theta) = \cos(k+1)\theta + j\sin(k+1)\theta$ ✓ - (ข) เดาจาก $A^2 = \begin{bmatrix}1 & 2T\\0 & 1\end{bmatrix}$: ข้อความ $A^n = \begin{bmatrix}1 & nT\\0 & 1\end{bmatrix}$ กรณีฐาน n = 1 จริง - $A^{k+1} = {A^k}A = \begin{bmatrix}1 & kT\\0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & T\\0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & (k+1)T\\0 & 1\end{bmatrix}$ ✓ ดังนั้น $p_n = p_0 + nT\,v_0,\ v_n = v_0$ (ก) $(\cos\theta + j\sin\theta)^n = \cos n\theta + j\sin n\theta$ (ข) $p_n = p_0 + nTv_0$: เดาสูตรจากกรณีเล็ก แล้วยืนยันด้วยอุปนัย เป็นวิธีทำงานจริงของวิศวกร (ดูเมทริกซ์ยกกำลัง) ตัวอย่าง I-14 · ความถูกต้องของโปรแกรม (loop invariant) ### โค้ดสะสมผลรวม s := 0; FOR k := 1 TO n DO s := s + k; END_FOR (Structured Text บน PLC) พิสูจน์ว่าจบลูปแล้ว $s = n(n+1)/2$ และนับจำนวนสายเชื่อมแบบจุดต่อจุดระหว่าง n สถานี - ข้อความคงที่ของลูป: “หลังจบรอบที่ k ค่า $s = k(k+1)/2$” · ก่อนเข้าลูป (k = 0): $s = 0 = 0\cdot1/2$ จริง - สมมติจริงหลังรอบที่ k รอบถัดไปทำ $s := s + (k+1)$ จึงได้ ${\tfrac{k(k+1)}{2}} + (k+1) = \tfrac{(k+1)(k+2)}{2}$ จริงหลังรอบที่ k + 1 · ลูปจบที่ k = n จึงได้ $s = n(n+1)/2$ - สายเชื่อม: เครือข่าย k สถานีที่ต่อถึงกันทุกคู่มี $L_k$ เส้น เพิ่มสถานีใหม่ต้องลากสายไปหาทุกสถานีเดิมอีก k เส้น: $L_{k+1} = L_k + k$ และ $L_1 = 0$ อุปนัยให้ $L_n = \tfrac{n(n-1)}{2}$ เช่น 10 สถานีต้องใช้ 45 เส้น เหตุผลที่ระบบใหญ่เปลี่ยนไปใช้บัสหรือฟิลด์บัส $s = n(n+1)/2$ · $L_n = n(n-1)/2$ · การพิสูจน์ loop invariant คืออุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ที่ใช้ตรวจโค้ดPLCและเฟิร์มแวร์ที่ต้องปลอดภัย ## บทพิสูจน์ผิดที่พบบ่อย: เกมหาจุดผิด ขั้นสูง วิธีฝึกที่ได้ผลที่สุดคือหาจุดผิดในบทพิสูจน์ที่ดูถูกต้อง แต่ละข้อด้านล่างมีบรรทัดที่ผิดหนึ่งบรรทัด คลิกบรรทัดที่คิดว่าผิดแล้วอ่านเหตุผล ทั้งห้าข้อครอบคลุมความผิดพลาดหลักทั้งหมด: ขั้นอุปนัยไม่ครอบคลุม k เล็ก ลืมกรณีฐาน กรณีฐานไม่พอสำหรับอุปนัยแบบเข้ม สรุปจากตัวอย่าง และอสมการช่วยที่ใช้ไม่ได้ทุก k | ข้อผิดพลาด | ตัวอย่างที่เห็นบ่อย | วิธีแก้ | | ไม่นิยาม P(n) | เขียน “สมมติจริงที่ k” โดยไม่บอกว่าอะไรจริง | เขียน P(k) ออกมาเต็ม ๆ ทุกครั้ง | | สมมติสิ่งที่จะพิสูจน์ | เขียนสมการ P(k+1) แล้วจัดรูปสองข้างจนได้ 0 = 0 | เริ่มจากด้านซ้ายเพียงด้านเดียว แล้วไปให้ถึงด้านขวา | | ไม่ได้ใช้สมมติฐาน | พิสูจน์ P(k+1) ได้โดยไม่แตะ P(k) เลย | ถ้าไม่ได้ใช้ แปลว่าพิสูจน์ตรงได้หรือมีอะไรผิด ทำเครื่องหมายบรรทัดที่ใช้ | | ตรวจกรณีฐานแบบแทนค่าทั้งสมการ | “แทน n = 1: 1 = 1 จริง” โดยไม่แสดงสองข้าง | คำนวณซ้ายและขวาแยกกัน แล้วเปรียบเทียบ | | กรณีฐานผิดค่า | เริ่มที่ n = 1 ทั้งที่ข้อความจริงตั้งแต่ n = 5 | ดูว่าขั้นอุปนัยต้องการ k ≥ เท่าไร แล้วหาค่าแรกที่จริงและต่อเนื่อง | | ย้อนสองขั้นแต่มีกรณีฐานค่าเดียว | ฟีโบนัชชี การแยกตัวประกอบ | อุปนัยแบบเข้ม: กรณีฐานเท่าจำนวนขั้นที่ย้อน | ## ฝึกเขียนพิสูจน์ให้ได้คะแนนเต็ม (สำหรับนักศึกษาและครู) พื้นฐาน การพิสูจน์เป็นทักษะ ไม่ใช่พรสวรรค์ ฝึกตามลำดับนี้แล้วจะเห็นว่าโจทย์ส่วนใหญ่ใช้แม่แบบเดียวกัน ต่างกันแค่ “ลูกเล่นพีชคณิต” ในขั้นอุปนัย - เริ่มจากสูตรผลบวก (I-1 ถึง I-3) เพราะขั้นอุปนัยตายตัว: ดึงพจน์สุดท้ายออก ใช้สมมติฐาน แยกตัวประกอบ - ต่อด้วยการหารลงตัว (I-4) ฝึกเขียน “หารลงตัว” เป็นสมการ $b = am$ และแยก $f(k+1)$ ให้เห็น $f(k)$ - อสมการ (I-5, I-6) ฝึกเขียนโซ่อสมการ และตอบให้ได้ว่าทำไมกรณีฐานต้องเริ่มที่ค่านั้น - แบบเข้มและลำดับเวียนเกิด (I-7, I-8) ฝึกนับว่าต้องย้อนกี่ขั้นและต้องมีกรณีฐานกี่ค่า - ประยุกต์ (I-9 ถึง I-14) ฝึก “เดาสูตรจากกรณีเล็ก แล้วพิสูจน์” ซึ่งเป็นวิธีที่วิศวกรใช้จริง | เกณฑ์ให้คะแนน (ตัวอย่าง 4 คะแนน) | ได้คะแนนเมื่อ | | 1 · นิยามและกรณีฐาน | เขียน P(n) ชัดเจน คำนวณสองข้างของ $P(n_0)$ แยกกันถูกต้อง | | 1 · สมมติฐานการอุปนัย | เขียน “สมมติ P(k) จริงสำหรับ $k \ge n_0$ บางค่า” พร้อมข้อความเต็ม และเขียนเป้าหมาย P(k+1) | | 1 · ใช้สมมติฐาน | มีบรรทัดที่แทนก้อนของ P(k) ด้วยสมมติฐานอย่างชัดเจน | | 1 · พีชคณิตและข้อสรุป | จัดรูปถูกจนได้ด้านขวาของ P(k+1) และสรุปด้วยหลักอุปนัย | สำนวนภาษาไทยที่ใช้ในข้อสอบได้เลย: “ให้ $P(n)$ แทนข้อความ …” · “เมื่อ $n = 1$ จะได้ว่า … ดังนั้น $P(1)$ เป็นจริง” · “สมมติว่า $P(k)$ เป็นจริง สำหรับจำนวนนับ $k$ บางจำนวน นั่นคือ …” · “จะแสดงว่า $P(k+1)$ เป็นจริง” · “โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ $P(n)$ เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ $n$” กลับไปที่ ลำดับและอนุกรม (ฉบับสรุป) หรือ ลำดับและอนุกรมครบชุด เพื่อใช้สูตรที่พิสูจน์แล้วกับการทดสอบการลู่เข้าและอนุกรมเทย์เลอร์ หรือไปต่อที่อนุพันธ์ ซึ่งใช้กฎยกกำลัง I8 ที่พิสูจน์ในหน้านี้ ## คำถามที่พบบ่อย อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มีกี่ขั้นตอน? สองขั้นหลัก: (1) กรณีฐาน (base case) แสดงว่าข้อความ $P(n_0)$ จริง (2) ขั้นอุปนัย (inductive step) สมมติว่า $P(k)$ จริงสำหรับ $k \ge n_0$ ใด ๆ แล้วแสดงว่า $P(k+1)$ จริง เมื่อทำครบสองขั้นจึงสรุปว่า $P(n)$ จริงทุก $n \ge n_0$ เวลาเขียนตอบในข้อสอบนิยมแบ่งเป็น 4 ส่วน: นิยาม P(n), กรณีฐาน, สมมติฐานการอุปนัย และขั้นอุปนัยพร้อมข้อสรุป ทำไมต้องตรวจกรณีฐาน ถ้าขั้นอุปนัยพิสูจน์ได้แล้ว? เพราะขั้นอุปนัยบอกแค่ว่า “ถ้า P(k) จริง แล้ว P(k+1) จริง” ไม่ได้บอกว่ามีตัวไหนจริงตั้งแต่แรก ตัวอย่าง: สูตรผิด $1 + \cdots + n = (n^2 + n + 2)/2$ ผ่านขั้นอุปนัยได้ แต่ที่ n = 1 ได้ 2 ≠ 1 เหมือนแถวโดมิโนที่ตั้งชิดกันดีแต่ไม่มีใครผลักตัวแรก อุปนัยแบบเข้ม (strong induction) ต่างจากแบบธรรมดาอย่างไร? แบบธรรมดาสมมติแค่ P(k) แบบเข้มสมมติว่า P(n₀), P(n₀+1), …, P(k) จริงทั้งหมด แล้วพิสูจน์ P(k+1) ใช้เมื่อขั้นถัดไปต้องอาศัยค่าก่อนหน้าหลายค่า เช่นลำดับฟีโบนัชชี $F_{k+1} = F_k + F_{k-1}$ หรือการแยกตัวประกอบเฉพาะ ถ้าย้อนไปสองขั้นต้องตรวจกรณีฐานสองค่า พิสูจน์อสมการด้วยอุปนัยทำอย่างไร? เริ่มจากด้านซ้ายของ P(k+1) แยกส่วนที่เป็นด้านซ้ายของ P(k) ออกมา ใช้สมมติฐานแทนด้วยด้านขวา (เครื่องหมาย > หรือ ≥ ปรากฏตรงนี้) แล้วแสดงต่อว่าค่าที่ได้มากกว่าหรือเท่ากับด้านขวาของ P(k+1) ขั้นสุดท้ายมักต้องใช้เงื่อนไขของ k เช่น $k \ge 3$ ซึ่งเป็นตัวกำหนดว่ากรณีฐานต้องเริ่มที่ค่าใด อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ใช้ทำอะไรในแคลคูลัสและวิศวกรรม? ใช้พิสูจน์สูตรที่ต้องจริงทุก n เช่น สูตรผลบวก Σk² ที่ใช้หาอินทิกรัลด้วยผลบวกรีมันน์ กฎอนุพันธ์ $d(x^n)/dx = nx^{n-1}$ การแปลงลาปลาซ $\mathcal{L}\{t^n\} = n!/s^{n+1}$ ทฤษฎีบทเดอมัวฟร์ของเฟสเซอร์ กำลังของเมทริกซ์ในระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง ขอบเขตของลำดับเวียนเกิด และความถูกต้องของโปรแกรมที่มีลูป (loop invariant) มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มีกี่ขั้นตอน?** สองขั้นหลัก: (1) กรณีฐาน (base case) แสดงว่าข้อความ $P(n_0)$ จริง (2) ขั้นอุปนัย (inductive step) สมมติว่า $P(k)$ จริงสำหรับ $k \ge n_0$ ใด ๆ แล้วแสดงว่า $P(k+1)$ จริง เมื่อทำครบสองขั้นจึงสรุปว่า $P(n)$ จริงทุก $n \ge n_0$ เวลาเขียนตอบในข้อสอบนิยมแบ่งเป็น 4 ส่วน: นิยาม P(n), กรณีฐาน, สมมติฐานการอุปนัย และขั้นอุปนัยพร้อมข้อสรุป **ทำไมต้องตรวจกรณีฐาน ถ้าขั้นอุปนัยพิสูจน์ได้แล้ว?** เพราะขั้นอุปนัยบอกแค่ว่า “ถ้า P(k) จริง แล้ว P(k+1) จริง” ไม่ได้บอกว่ามีตัวไหนจริงตั้งแต่แรก ตัวอย่าง: สูตรผิด $1 + \cdots + n = (n^2 + n + 2)/2$ ผ่านขั้นอุปนัยได้ แต่ที่ n = 1 ได้ 2 ≠ 1 เหมือนแถวโดมิโนที่ตั้งชิดกันดีแต่ไม่มีใครผลักตัวแรก **อุปนัยแบบเข้ม (strong induction) ต่างจากแบบธรรมดาอย่างไร?** แบบธรรมดาสมมติแค่ P(k) แบบเข้มสมมติว่า P(n₀), P(n₀+1), …, P(k) จริงทั้งหมด แล้วพิสูจน์ P(k+1) ใช้เมื่อขั้นถัดไปต้องอาศัยค่าก่อนหน้าหลายค่า เช่นลำดับฟีโบนัชชี $F_{k+1} = F_k + F_{k-1}$ หรือการแยกตัวประกอบเฉพาะ ถ้าย้อนไปสองขั้นต้องตรวจกรณีฐานสองค่า **พิสูจน์อสมการด้วยอุปนัยทำอย่างไร?** เริ่มจากด้านซ้ายของ P(k+1) แยกส่วนที่เป็นด้านซ้ายของ P(k) ออกมา ใช้สมมติฐานแทนด้วยด้านขวา (เครื่องหมาย > หรือ ≥ ปรากฏตรงนี้) แล้วแสดงต่อว่าค่าที่ได้มากกว่าหรือเท่ากับด้านขวาของ P(k+1) ขั้นสุดท้ายมักต้องใช้เงื่อนไขของ k เช่น $k \ge 3$ ซึ่งเป็นตัวกำหนดว่ากรณีฐานต้องเริ่มที่ค่าใด **อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ใช้ทำอะไรในแคลคูลัสและวิศวกรรม?** ใช้พิสูจน์สูตรที่ต้องจริงทุก n เช่น สูตรผลบวก Σk² ที่ใช้หาอินทิกรัลด้วยผลบวกรีมันน์ กฎอนุพันธ์ $d(x^n)/dx = nx^{n-1}$ การแปลงลาปลาซ $\mathcal{L}\{t^n\} = n!/s^{n+1}$ ทฤษฎีบทเดอมัวฟร์ของเฟสเซอร์ กำลังของเมทริกซ์ในระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง ขอบเขตของลำดับเวียนเกิด และความถูกต้องของโปรแกรมที่มีลูป (loop invariant)