--- title: "การแปลงลาปลาซผกผัน (Inverse Laplace Transform) ครบทุกกรณี" url: https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/inverse-laplace-transform/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-14 --- > การแปลงลาปลาซผกผันภาษาไทยละเอียดระดับตำรา Ogata: นิยามและอินทิกรัลบรอมวิช ความเป็นหนึ่งเดียว เศษส่วนย่อยกรณีโพลเดี่ยว โพลเชิงซ้อน โพลซ้ำ เศษส่วนไม่แท้ วิธีปิดตัวประกอบของเฮวิไซด์ สูตรอนุพันธ์ เติมกำลังสองสมบูรณ์ เทียบสัมประสิทธิ์ ตัวหน่วงเวลา คอนโวลูชัน เรซิดิว ทฤษฎีบทการกระจายของเฮวิไซด์ MATLAB residue และ Python พร้อมโจทย์ฝึก 12 ข้อและเครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำทีละขั้น ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/inverse-laplace-transform/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # การแปลงลาปลาซผกผัน (Inverse Laplace Transform) ครบทุกกรณี // บทที่ 8.5 · การแปลงลาปลาซ · Inverse Laplace Transform การแปลงไปข้างหน้าใช้ตารางและคุณสมบัติก็พอ แต่การแปลงกลับคือที่ที่คะแนนหายในห้องสอบ หน้านี้เรียงเนื้อหาแบบตำรา Ogata: เริ่มจากนิยามและอินทิกรัลบรอมวิช แล้วไล่ทุกกรณีของเศษส่วนย่อย โพลเดี่ยว โพลเชิงซ้อน โพลซ้ำ เศษส่วนไม่แท้ ตัวหน่วงเวลา จากนั้นวิธีทางเลือก (เทียบสัมประสิทธิ์ คอนโวลูชัน เรซิดิว) ทฤษฎีบทการกระจายของเฮวิไซด์ การใช้ MATLAB/Python และโจทย์ฝึก 12 ข้อ ทุกตัวอย่างลองในเครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำได้ สูตรใช้รหัส V สรุปใน 30 วินาที - ทำให้เป็นเศษส่วนแท้ (หารยาว) → แยกตัวประกอบตัวส่วน → เลือกรูปเศษส่วนย่อยตามชนิดโพล → หาสัมประสิทธิ์ → เปิดตาราง - โพลเดี่ยว $-p_k$: $a_k = [(s+p_k)F(s)]_{s=-p_k}$ → $a_ke^{-p_kt}$ - โพลซ้ำอันดับ r: $b_{r-k} = \tfrac{1}{k!}\tfrac{d^k}{ds^k}[(s+p)^rF]_{s=-p}$ → $\tfrac{t^{j-1}}{(j-1)!}e^{-pt}$ - โพลเชิงซ้อน: เติมกำลังสอง $(s+a)^2 + \omega^2$ → $e^{-at}(A\cos\omega t + B\sin\omega t)$ ระดับพื้นฐาน ปี 2กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท ## นิยาม ความเป็นหนึ่งเดียว และภาพรวมวิธีหา พื้นฐาน V1 Inverse Laplace transform การแปลงผกผัน $$f(t) = \mathcal L^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty}F(s)\,e^{st}\,ds,\quad t > 0,\ c > \operatorname{Re}(\text{ทุกโพล})$$ ความเป็นหนึ่งเดียว (ทฤษฎีบทของ Lerch): ฟังก์ชันต่อเนื่องสองตัวที่มีการแปลงลาปลาซเท่ากันเป็นฟังก์ชันเดียวกันสำหรับ $t \ge 0$ เราจึงแปลงกลับด้วยการ “เปิดตาราง” ได้อย่างมั่นใจ | วิธี | ใช้เมื่อ | หัวข้อ | | เปิดตารางตรง ๆ | F(s) อยู่ในรูปมาตรฐานอยู่แล้ว | ตารางท้ายหน้า | | เศษส่วนย่อย + ปิดตัวประกอบ (Heaviside) | ฟังก์ชันตรรกยะ โพลเดี่ยว · วิธีหลัก | กรณีที่ 1 | | เติมกำลังสองสมบูรณ์ | โพลเชิงซ้อน | กรณีที่ 2 | | สูตรอนุพันธ์ | โพลซ้ำ | กรณีที่ 3 | | หารยาว | ดีกรีเศษ ≥ ดีกรีส่วน | กรณีที่ 4 | | เลื่อนเวลา | มี $e^{-sT}$ | กรณีที่ 5 | | เทียบสัมประสิทธิ์ / แทนค่า s | ตรวจคำตอบ หรือคิดมือแบบไม่ใช้จำนวนเชิงซ้อน | วิธีทางเลือก | | คอนโวลูชัน | ผลคูณของสองฟังก์ชันที่รู้ตัวผกผัน | วิธีทางเลือก | | เรซิดิว (บรอมวิช) | ทฤษฎี ทุกกรณีในสูตรเดียว | ขั้นสูง | ## รูปทั่วไปของ F(s) และหลักของเศษส่วนย่อย พื้นฐาน ในงานวิศวกรรม $F(s)$ เกือบทั้งหมดเป็นอัตราส่วนของพหุนามสองตัว (Ogata ใช้สัญลักษณ์ $B(s)/A(s)$) V2 Rational F(s) รูปทั่วไป $$F(s) = \frac{B(s)}{A(s)} = K\,\frac{(s+z_1)(s+z_2)\cdots(s+z_m)}{(s+p_1)(s+p_2)\cdots(s+p_n)},\quad m < n$$ $-p_k$ คือโพล $-z_i$ คือซีโร่ (เครื่องหมายแบบ Ogata) · ถ้า $m \ge n$ ต้องหารยาวก่อน (กรณีที่ 4) V3 Partial-fraction rules กฎการตั้งรูปเศษส่วนย่อย $$\begin{array}{ll} (s + p) & \to\ \dfrac{a}{s+p} \\[6pt] (s + p)^r & \to\ \dfrac{b_1}{s+p} + \dfrac{b_2}{(s+p)^2} + \cdots + \dfrac{b_r}{(s+p)^r} \\[6pt] (s+\alpha)^2 + \omega^2 & \to\ \dfrac{A(s+\alpha) + B\omega}{(s+\alpha)^2 + \omega^2}\ \text{ หรือ }\ \dfrac{K}{s + \alpha - j\omega} + \dfrac{\bar K}{s + \alpha + j\omega} \end{array}$$ จำนวนค่าคงที่ที่ต้องหา = ดีกรีของตัวส่วนเสมอ ใช้นับตรวจว่าตั้งรูปครบ ## กรณีที่ 1: โพลเดี่ยวจริงทั้งหมด (Distinct Real Poles) พื้นฐาน V4 Heaviside cover-up วิธีปิดตัวประกอบ $$F(s) = \sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{s + p_k},\qquad a_k = \Big[(s + p_k)F(s)\Big]_{s = -p_k},\qquad f(t) = \sum_{k=1}^{n}a_ke^{-p_kt}$$ ที่มา: คูณทั้งสองข้างด้วย $(s+p_k)$ แล้วแทน $s = -p_k$ ทุกพจน์อื่นมี $(s + p_k)$ จึงเป็นศูนย์ เหลือ $a_k$ ตัวเดียว · $a_k$ คือเรซิดิวของ $F$ ที่ $-p_k$ V5 Using A′(s) สูตรอนุพันธ์ตัวส่วน $$a_k = \frac{B(-p_k)}{A'(-p_k)}$$ สะดวกเมื่อตัวส่วนยังไม่แยกตัวประกอบหรือมีดีกรีสูง V6 Quick checks ตรวจคำตอบเร็ว $$f(0^+) = \sum a_k = \lim_{s\to\infty}sF(s)$$ ถ้า $n - m \ge 2$ ผลรวมของ $a_k$ ต้องเป็นศูนย์ ตัวอย่าง V-1 · Ogata ตัวอย่างพื้นฐาน ### $F(s) = \dfrac{s+3}{(s+1)(s+2)}$ - $$F(s) = \frac{a_1}{s+1} + \frac{a_2}{s+2}$$ - ปิด $(s+1)$ แล้วแทน $s = -1$ V4 $$a_1 = \left[\frac{s+3}{{\cancel{(s+1)}}(s+2)}\right]_{s=-1} = \frac{2}{1} = 2$$ - ปิด $(s+2)$ แล้วแทน $s = -2$ $$a_2 = \left[\frac{s+3}{(s+1)}\right]_{s=-2} = \frac{1}{-1} = -1$$ - $$f(t) = 2e^{-t} - e^{-2t},\quad t \ge 0$$ $f(t) = 2e^{-t} - e^{-2t}$ ตรวจ V6: $f(0^+) = 2 - 1 = 1 = \lim_{s\to\infty}\tfrac{s(s+3)}{(s+1)(s+2)}$ ✓ ตัวอย่าง V-2 · สามโพล ด้วยสูตร A′(s) ### $F(s) = \dfrac{5s+3}{s^3 + 6s^2 + 11s + 6}$ - แยกตัวประกอบ: ลอง $s = -1$: $-1 + 6 - 11 + 6 = 0$ ✓ หารได้ $s^2 + 5s + 6 = (s+2)(s+3)$ $$A(s) = (s+1)(s+2)(s+3),\qquad A'(s) = 3s^2 + 12s + 11$$ - ใช้ $a_k = B(-p_k)/A'(-p_k)$ V5 $$a_1 = \frac{-5+3}{3-12+11} = \frac{-2}{2} = -1,\quad a_2 = \frac{-10+3}{12-24+11} = \frac{-7}{-1} = 7,\quad a_3 = \frac{-15+3}{27-36+11} = \frac{-12}{2} = -6$$ - $$f(t) = -e^{-t} + 7e^{-2t} - 6e^{-3t}$$ $f(t) = -e^{-t} + 7e^{-2t} - 6e^{-3t}$ ตรวจ V6: $n - m = 2$ ผลรวมต้องเป็นศูนย์: $-1 + 7 - 6 = 0$ ✓ ## กรณีที่ 2: โพลเชิงซ้อนสังยุค (Complex-Conjugate Poles) กลาง มีสองวิธีที่ให้คำตอบเดียวกัน วิธีเติมกำลังสองไม่ต้องใช้จำนวนเชิงซ้อนเลย เหมาะกับการคิดมือ ส่วนวิธีเรซิดิวเชิงซ้อนให้รูปแอมพลิจูด-มุมเฟสโดยตรง และเป็นสิ่งที่เครื่องคิดเลขกับ MATLAB ทำ V7 Completing the square เติมกำลังสองสมบูรณ์ $$\frac{A(s+\alpha) + B\omega}{(s+\alpha)^2 + \omega^2}\ \longrightarrow\ e^{-\alpha t}\left(A\cos\omega t + B\sin\omega t\right)$$ ขั้นตอน: $s^2 + bs + c = (s + \tfrac b2)^2 + (c - \tfrac{b^2}{4})$ ได้ $\alpha = b/2,\ \omega = \sqrt{c - b^2/4}$ แล้วเขียนตัวเศษใหม่ในรูป $A(s + \alpha) + B\omega$ V8 Complex residue form รูปแอมพลิจูด-มุมเฟส $$\frac{K}{s + \alpha - j\omega} + \frac{\bar K}{s + \alpha + j\omega}\ \longrightarrow\ 2|K|\,e^{-\alpha t}\cos\left(\omega t + \angle K\right),\quad K = \Big[(s + \alpha - j\omega)F(s)\Big]_{s = -\alpha + j\omega}$$ หา K ตัวเดียวพอ อีกตัวเป็นสังยุค · เทียบกับ V7: $A = 2\operatorname{Re}K,\ B = -2\operatorname{Im}K$ ตัวอย่าง V-3 · Ogata: เติมกำลังสอง ### $F(s) = \dfrac{2s + 12}{s^2 + 2s + 5}$ - ดิสคริมิแนนต์ $4 - 20 < 0$ → โพลเชิงซ้อน $-1 \pm 2j$ เติมกำลังสอง $$s^2 + 2s + 5 = (s+1)^2 + 2^2$$ - จัดตัวเศษเป็น $A(s+1) + B\cdot 2$ V7 $$2s + 12 = 2(s + 1) + 10 = 2(s+1) + 5\cdot 2$$ - $$F(s) = 2\,\frac{s+1}{(s+1)^2 + 2^2} + 5\,\frac{2}{(s+1)^2 + 2^2}$$ - $$f(t) = e^{-t}\left(2\cos 2t + 5\sin 2t\right)$$ $f(t) = 2e^{-t}\cos 2t + 5e^{-t}\sin 2t,\ t \ge 0$ ตัวอย่าง V-4 · ข้อเดิมด้วยเรซิดิวเชิงซ้อน ### $F(s) = \dfrac{2s + 12}{s^2 + 2s + 5}$ ในรูปแอมพลิจูด-มุมเฟส - ปิด $(s + 1 - 2j)$ แล้วแทน $s = -1 + 2j$ V8 $$K = \left[\frac{2s+12}{s + 1 + 2j}\right]_{s=-1+2j} = \frac{10 + 4j}{4j} = \frac{(10 + 4j)(-j)}{4} = 1 - 2.5j$$ - $$|K| = \sqrt{1 + 6.25} = \frac{\sqrt{29}}{2},\qquad \angle K = \tan^{-1}\frac{-2.5}{1} = -68.20^\circ$$ - $$f(t) = 2|K|e^{-t}\cos(2t + \angle K) = \sqrt{29}\,e^{-t}\cos\left(2t - 68.20^\circ\right)$$ $\sqrt{29}e^{-t}\cos(2t - 68.2^\circ)$ เท่ากับคำตอบ V-3 ทุกประการ ($A = 2\operatorname{Re}K = 2,\ B = -2\operatorname{Im}K = 5$) ตัวอย่าง V-5 · โพลจริง + คู่เชิงซ้อน (ผลตอบสนองขั้นบันไดของระบบอันดับสอง) ### $F(s) = \dfrac{10}{s(s^2 + 4s + 13)}$ - $$\frac{10}{s(s^2+4s+13)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^2 + 4s + 13},\qquad A = \left[\frac{10}{s^2+4s+13}\right]_{s=0} = \frac{10}{13}$$ - เทียบสัมประสิทธิ์ $10 = A(s^2 + 4s + 13) + (Bs + C)s$: ที่ $s^2$: $A + B = 0$ → $B = -\tfrac{10}{13}$ · ที่ $s$: $4A + C = 0$ → $C = -\tfrac{40}{13}$ - เติมกำลังสอง $(s+2)^2 + 3^2$ และ $Bs + C = -\tfrac{10}{13}(s + 4) = -\tfrac{10}{13}\left[(s+2) + \tfrac23\cdot 3\right]$ - $$f(t) = \frac{10}{13} - \frac{10}{13}e^{-2t}\cos 3t - \frac{20}{39}e^{-2t}\sin 3t$$ $f(t) = \tfrac{10}{13}\left[1 - e^{-2t}\left(\cos 3t + \tfrac23\sin 3t\right)\right]$ เข้าสู่ $\tfrac{10}{13}$ แบบแกว่งหน่วง ตรวจ: $f(0) = \tfrac{10}{13}(1 - 1) = 0$ ✓ · ค่าสุดท้าย $\lim_{s\to0}sF = \tfrac{10}{13}$ ✓ ## กรณีที่ 3: โพลซ้ำ (Multiple Poles) กลาง V9 Multiple-pole coefficients สัมประสิทธิ์ของโพลซ้ำอันดับ r $$\frac{B(s)}{A(s)} = \frac{b_r}{(s+p)^r} + \frac{b_{r-1}}{(s+p)^{r-1}} + \cdots + \frac{b_1}{s+p} + (\text{พจน์ของโพลอื่น})$$ $$b_r = \Big[(s+p)^rF(s)\Big]_{s=-p},\qquad b_{r-k} = \frac{1}{k!}\left\{\frac{d^k}{ds^k}\Big[(s+p)^rF(s)\Big]\right\}_{s=-p},\quad k = 1, \dots, r-1$$ ที่มา: $(s+p)^rF(s) = b_r + b_{r-1}(s+p) + \cdots + b_1(s+p)^{r-1} + \cdots$ คืออนุกรมเทย์เลอร์รอบ $-p$ สัมประสิทธิ์จึงได้จากอนุพันธ์ (เหมือนสูตรเรซิดิวอันดับ m) V10 Time terms แปลงกลับพจน์โพลซ้ำ $$\frac{1}{(s+p)^j}\ \longrightarrow\ \frac{t^{j-1}}{(j-1)!}e^{-pt}$$ V11 Repeated complex poles โพลเชิงซ้อนซ้ำ $$\frac{1}{(s^2+\omega^2)^2}\ \longrightarrow\ \frac{\sin\omega t - \omega t\cos\omega t}{2\omega^3}$$ หรือใช้ V9 กับเรซิดิวเชิงซ้อน หรือคอนโวลูชัน P-11 ตัวอย่าง V-6 · Ogata: โพลอันดับสาม ### $F(s) = \dfrac{s^2 + 2s + 3}{(s+1)^3}$ - $$F(s) = \frac{b_3}{(s+1)^3} + \frac{b_2}{(s+1)^2} + \frac{b_1}{s+1},\qquad (s+1)^3F(s) = s^2 + 2s + 3$$ - $k = 0$: แทน $s = -1$ V9 $$b_3 = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 2$$ - $k = 1$: อนุพันธ์ครั้งเดียว $$b_2 = \left[\frac{d}{ds}(s^2 + 2s + 3)\right]_{s=-1} = \left[2s + 2\right]_{s=-1} = 0$$ - $k = 2$: อนุพันธ์สองครั้งหาร $2!$ $$b_1 = \frac{1}{2!}\left[\frac{d^2}{ds^2}(s^2 + 2s + 3)\right]_{s=-1} = \frac{2}{2} = 1$$ - ใช้ V10: $\tfrac{2}{(s+1)^3} \to t^2e^{-t}$ และ $\tfrac{1}{s+1} \to e^{-t}$ $$f(t) = t^2e^{-t} + 0 + e^{-t} = \left(t^2 + 1\right)e^{-t}$$ $f(t) = (1 + t^2)e^{-t},\ t \ge 0$ ทางลัด: แทน $u = s + 1$ ได้ $s^2 + 2s + 3 = u^2 + 2$ ดังนั้น $F = \tfrac{1}{u} + \tfrac{2}{u^3}$ ตรงกัน ✓ ตัวอย่าง V-7 · โพลเดี่ยว + โพลซ้ำ ### $F(s) = \dfrac{s+3}{(s+1)(s+2)^2}$ - $$F = \frac{a}{s+1} + \frac{b_1}{s+2} + \frac{b_2}{(s+2)^2}$$ - โพลเดี่ยว: $a = \left[\dfrac{s+3}{(s+2)^2}\right]_{s=-1} = \dfrac{2}{1} = 2$ - โพลซ้ำ: $(s+2)^2F = \dfrac{s+3}{s+1}$ $$b_2 = \left[\frac{s+3}{s+1}\right]_{s=-2} = \frac{1}{-1} = -1,\qquad b_1 = \left[\frac{d}{ds}\frac{s+3}{s+1}\right]_{s=-2} = \left[\frac{-2}{(s+1)^2}\right]_{s=-2} = -2$$ - $$f(t) = 2e^{-t} - 2e^{-2t} - te^{-2t}$$ $f(t) = 2e^{-t} - (2 + t)e^{-2t}$ ตรวจ: $n - m = 2$ → สัมประสิทธิ์ของพจน์ $1/(s+p)$ รวมกันเป็นศูนย์: $2 + (-2) = 0$ ✓ · $f(0) = 2 - 2 = 0$ ✓ ตัวอย่าง V-8 · โพลซ้ำที่จุดกำเนิด ### $F(s) = \dfrac{1}{s^2(s+1)}$ - $s^2F = \dfrac{1}{s+1}$: $b_2 = 1,\ b_1 = \left[\dfrac{-1}{(s+1)^2}\right]_{s=0} = -1$ · โพล −1: $a = \left[\dfrac{1}{s^2}\right]_{s=-1} = 1$ - $$F = \frac{1}{s^2} - \frac{1}{s} + \frac{1}{s+1} \ \Rightarrow\ f(t) = t - 1 + e^{-t}$$ $f(t) = t - 1 + e^{-t}$ คือผลตอบสนองแรมป์ของระบบอันดับหนึ่ง ตามหลังแรมป์อยู่ 1 หน่วยในสถานะคงตัว ## กรณีที่ 4: เศษส่วนไม่แท้ (deg B ≥ deg A) กลาง V12 Improper F(s) หารยาวก่อน $$\frac{B(s)}{A(s)} = Q(s) + \frac{R(s)}{A(s)},\quad \mathcal L^{-1}\{c_0 + c_1s + c_2s^2 + \cdots\} = c_0\,\delta(t) + c_1\,\delta'(t) + c_2\,\delta''(t) + \cdots$$ ผลหาร $Q(s)$ ให้อิมพัลส์และอนุพันธ์ของอิมพัลส์ ส่วนเศษ $R/A$ เป็นเศษส่วนแท้ แยกตามกรณีที่ 1–3 · ทบทวนการหารยาวพหุนามได้ที่บทอินทิกรัล ตัวอย่าง V-9 · Ogata: ดีกรีเศษมากกว่าส่วน ### $G(s) = \dfrac{s^3 + 5s^2 + 9s + 7}{(s+1)(s+2)}$ - ตัวส่วน $s^2 + 3s + 2$ หารยาว: $s^3 + 5s^2 + 9s + 7 = (s + 2)(s^2 + 3s + 2) + (s + 3)$ $$G(s) = s + 2 + \frac{s + 3}{(s+1)(s+2)}$$ - เศษที่เหลือคือ V-1: $\dfrac{s+3}{(s+1)(s+2)} = \dfrac{2}{s+1} - \dfrac{1}{s+2}$ - ใช้ V12: $s \to \delta'(t)$, $2 \to 2\delta(t)$ $$g(t) = \frac{d}{dt}\delta(t) + 2\delta(t) + 2e^{-t} - e^{-2t},\quad t \ge 0^-$$ $g(t) = \delta'(t) + 2\delta(t) + 2e^{-t} - e^{-2t}$ ## กรณีที่ 5: มีตัวหน่วงเวลา e^(−sT) กลาง V13 Delayed terms พจน์ที่มีตัวหน่วง $$\mathcal L^{-1}\{e^{-sT}G(s)\} = g(t - T)\,u(t - T),\qquad g = \mathcal L^{-1}\{G\}$$ อย่ารวม $e^{-sT}$ เข้าไปในเศษส่วนย่อย ให้แยกพจน์ตามตัวหน่วง แปลงกลับส่วนตรรกยะแต่ละก้อน แล้วเลื่อนทีละก้อน ตัวอย่าง V-10 · หน่วงหนึ่งก้อน ### $F(s) = \dfrac{e^{-2s}}{s(s+1)}$ - $$G(s) = \frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1} \ \Rightarrow\ g(t) = 1 - e^{-t}$$ - เลื่อนไป 2 หน่วย V13 $$f(t) = \left[1 - e^{-(t-2)}\right]u(t - 2)$$ เป็นศูนย์จนถึง $t = 2$ แล้วชาร์จขึ้นแบบเอกซ์โพเนนเชียล ตัวอย่าง V-11 · ผลต่างของสองก้อน ### $F(s) = \dfrac{1 - e^{-s}}{s^2}$ - $$F = \frac{1}{s^2} - e^{-s}\frac{1}{s^2} \ \Rightarrow\ f(t) = t\,u(t) - (t - 1)\,u(t - 1)$$ แรมป์ที่หยุดโตที่ $t = 1$: $f = t$ เมื่อ $0 \le t < 1$ และ $f = 1$ เมื่อ $t \ge 1$ ## วิธีทางเลือก: เทียบสัมประสิทธิ์และแทนค่า s พื้นฐาน V14 Equating coefficients เทียบสัมประสิทธิ์ $$B(s) = \sum_k a_k\frac{A(s)}{s + p_k} + \cdots \quad\Rightarrow\quad \text{เทียบสัมประสิทธิ์ของ } s^0, s^1, \dots \text{ หรือแทน } s \text{ หลายค่า}$$ ใช้ร่วมกับการปิดตัวประกอบเพื่อหาตัวที่เหลือ โดยเฉพาะตัวเศษ $Bs + C$ ของตัวประกอบกำลังสอง ตัวอย่าง V-12 · ไม่แตะจำนวนเชิงซ้อนเลย ### $F(s) = \dfrac{s+1}{s(s^2 + 2s + 2)}$ - $$\frac{s+1}{s(s^2+2s+2)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^2 + 2s + 2},\qquad A = \left[\frac{s+1}{s^2+2s+2}\right]_{s=0} = \frac12$$ - เทียบ: $s + 1 = \tfrac12(s^2 + 2s + 2) + Bs^2 + Cs$ · $s^2$: $\tfrac12 + B = 0$ → $B = -\tfrac12$ · $s$: $1 + C = 1$ → $C = 0$ - เติมกำลังสอง $(s+1)^2 + 1$ และ $-\tfrac12 s = -\tfrac12(s+1) + \tfrac12$ $$F = \frac{1/2}{s} - \frac12\cdot\frac{s+1}{(s+1)^2 + 1} + \frac12\cdot\frac{1}{(s+1)^2+1}$$ - $$f(t) = \frac12 - \frac12e^{-t}\cos t + \frac12e^{-t}\sin t$$ $f(t) = \tfrac12\left[1 - e^{-t}(\cos t - \sin t)\right]$ ## วิธีทางเลือก: คอนโวลูชัน กลาง V15 Inverse of a product แปลงกลับผลคูณ $$\mathcal L^{-1}\{F(s)G(s)\} = \int_0^t f(\tau)\,g(t - \tau)\,d\tau$$ ตัวอย่าง V-13 ### $\mathcal L^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s+a)}\right\}$ - $F = 1/s \to 1,\ G = 1/(s+a) \to e^{-at}$ $$\int_0^t 1\cdot e^{-a(t-\tau)}\,d\tau = e^{-at}\left[\frac{e^{a\tau}}{a}\right]_0^t = \frac{1 - e^{-at}}{a}$$ $\dfrac{1}{a}\left(1 - e^{-at}\right)$ ตรงกับตารางแถว 17 ## เรซิดิว อินทิกรัลบรอมวิช และทฤษฎีบทการกระจายของเฮวิไซด์ ขั้นสูง ทุกวิธีข้างต้นเป็นกรณีพิเศษของสูตรเดียว: ปิดเส้นบรอมวิชด้วยครึ่งวงกลมทางซ้าย (บทตั้งของจอร์แดนทำให้ส่วนโค้งหายเมื่อ $F(s) \to 0$) อินทิกรัลจึงเท่ากับผลรวมเรซิดิวของ $F(s)e^{st}$ ดูภาพและที่มาที่หน้า 8.1 V16 Residue inversion แปลงกลับด้วยเรซิดิว $$f(t) = \sum_{k}\operatorname{Res}_{s = s_k}\left[F(s)e^{st}\right],\qquad \operatorname{Res}_{s_k} = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{s\to s_k}\frac{d^{\,m-1}}{ds^{m-1}}\left[(s - s_k)^mF(s)e^{st}\right]$$ V17 Heaviside expansion theorem ทฤษฎีบทการกระจายของเฮวิไซด์ $$\mathcal L^{-1}\left\{\frac{B(s)}{A(s)}\right\} = \sum_{k=1}^{n}\frac{B(s_k)}{A'(s_k)}e^{s_kt}\quad(\text{โพลเดี่ยวทั้งหมด } s_k)$$ ตัวอย่าง V-14 · เรซิดิวกับโพลซ้ำ ### $F(s) = \dfrac{1}{s(s+1)^2}$ ด้วย V16 - โพลเดี่ยวที่ 0 $$\operatorname{Res}_{0} = \left[\frac{e^{st}}{(s+1)^2}\right]_{s=0} = 1$$ - โพลอันดับ 2 ที่ −1: อนุพันธ์หนึ่งครั้งของ $e^{st}/s$ (กฎผลหาร) $$\operatorname{Res}_{-1} = \left[\frac{d}{ds}\frac{e^{st}}{s}\right]_{s=-1} = \left[\frac{te^{st}}{s} - \frac{e^{st}}{s^2}\right]_{s=-1} = -te^{-t} - e^{-t}$$ $f(t) = 1 - e^{-t} - te^{-t}$ ไม่ต้องตั้งรูปเศษส่วนย่อยเลย แต่ต้องหาอนุพันธ์ที่มี $t$ อยู่ข้างใน ## ตรวจด้วย MATLAB และ Python กลาง ตำรา Ogata ใช้คำสั่ง residue ของ MATLAB ตลอดเล่ม ผลลัพธ์คือ r (สัมประสิทธิ์) p (โพล) และ k (ผลหารจากการหารยาว) ตัวอย่างนี้คือ V-4 และ V-6 % MATLAB / Octave num = [2 12]; den = [1 2 5]; [r, p, k] = residue(num, den) % r = 1.0000 - 2.5000i ; 1.0000 + 2.5000i (K ของโพล -1+2i และสังยุค) % p = -1.0000 + 2.0000i ; -1.0000 - 2.0000i % k = [] [r, p, k] = residue([1 2 3], conv([1 1], conv([1 1], [1 1]))) % r = 1 ; 0 ; 2 → 1/(s+1) + 0/(s+1)^2 + 2/(s+1)^3 (กำลังเรียงจากต่ำไปสูง) syms s t ilaplace((2*s + 12)/(s^2 + 2*s + 5)) % exp(-t)*(2*cos(2*t) + 5*sin(2*t)) # Python from scipy.signal import residue r, p, k = residue([2, 12], [1, 2, 5]) import sympy as sp s, t = sp.symbols('s t', positive=True) F = (s**2 + 2*s + 3)/(s + 1)**3 sp.apart(F, s) # 1/(s + 1) + 2/(s + 1)**3 sp.inverse_laplace_transform(F, s, t) # (t**2 + 1)*exp(-t) ข้อควรระวัง: residue คำนวณเชิงตัวเลข โพลซ้ำอาจคลาดเล็กน้อยจนถูกมองเป็นโพลเดี่ยวสองตัวที่ใกล้กันมาก ถ้าเห็นค่า r ใหญ่ผิดปกติและมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน ให้สงสัยว่าเป็นโพลซ้ำ ## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย | อาการ | สาเหตุ | แก้ | | คำตอบไม่มี δ(t) ทั้งที่ควรมี หรือสัมประสิทธิ์ผิดหมด | ลืมตรวจว่าเป็นเศษส่วนไม่แท้ | เทียบดีกรีก่อนทุกครั้ง V12 | | ตั้งโพลซ้ำแค่พจน์เดียว $\tfrac{b}{(s+p)^2}$ | ลืมพจน์กำลังต่ำ | โพลอันดับ r ต้องมี r พจน์ V3 | | ใช้ปิดตัวประกอบกับ $b_1$ ของโพลซ้ำ | ปิดตัวประกอบได้เฉพาะ $b_r$ | ใช้สูตรอนุพันธ์ V9 | | ลืม $1/(j-1)!$ | $1/(s+p)^3 \to \tfrac{t^2}{2}e^{-pt}$ ไม่ใช่ $t^2e^{-pt}$ | V10 | | พจน์เชิงซ้อนได้ sin/cos สลับกันหรือขาดค่าคงที่ | ตัวเศษไม่ได้จัดเป็น $A(s+\alpha) + B\omega$ | ต้องมี ω ในพจน์ sin V7 | | ได้ $2|K|$ ผิดไปครึ่งหนึ่ง | ลืมคูณ 2 จากคู่สังยุค | V8 | | มี $e^{-sT}$ แล้วคำตอบเพี้ยน | เอาตัวหน่วงไปแยกเศษส่วนย่อยด้วย | แยกก้อนก่อน แล้วเลื่อน V13 | | แปลงกลับเสร็จแต่ไม่ตรวจ | — | ตรวจ $f(0^+)$ และ $f(\infty)$ ด้วยทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น-สุดท้าย V6 | ## ตารางแปลงกลับรูปที่เจอบ่อย | $F(s)$ | $f(t),\ t \ge 0$ | | $\dfrac{1}{(s+a)(s+b)}$ | $\dfrac{e^{-at} - e^{-bt}}{b - a}$ | | $\dfrac{s}{(s+a)(s+b)}$ | $\dfrac{be^{-bt} - ae^{-at}}{b - a}$ | | $\dfrac{1}{s(s+a)(s+b)}$ | $\dfrac{1}{ab}\left[1 + \dfrac{be^{-at} - ae^{-bt}}{a - b}\right]$ | | $\dfrac{1}{s^2(s+a)}$ | $\dfrac{1}{a^2}\left(at - 1 + e^{-at}\right)$ | | $\dfrac{1}{s(s+a)^2}$ | $\dfrac{1}{a^2}\left(1 - e^{-at} - ate^{-at}\right)$ | | $\dfrac{s}{(s+a)^2}$ | $(1 - at)e^{-at}$ | | $\dfrac{1}{s(s^2+\omega^2)}$ | $\dfrac{1}{\omega^2}(1 - \cos\omega t)$ | | $\dfrac{1}{s^2(s^2+\omega^2)}$ | $\dfrac{1}{\omega^3}(\omega t - \sin\omega t)$ | | $\dfrac{s}{(s^2+\omega^2)^2}$ | $\dfrac{t}{2\omega}\sin\omega t$ | | $\dfrac{s^2}{(s^2+\omega^2)^2}$ | $\dfrac{1}{2\omega}(\sin\omega t + \omega t\cos\omega t)$ | | $\dfrac{s\sin\phi + \omega\cos\phi}{s^2+\omega^2}$ | $\sin(\omega t + \phi)$ | | $\dfrac{s\cos\phi - \omega\sin\phi}{s^2+\omega^2}$ | $\cos(\omega t + \phi)$ | | $\dfrac{s + \alpha}{(s+a)^2 + \omega^2}$ | $e^{-at}\left[\cos\omega t + \dfrac{\alpha - a}{\omega}\sin\omega t\right]$ | | $\dfrac{1}{s[(s+a)^2 + \omega^2]}$ | $\dfrac{1}{a^2+\omega^2}\left[1 - e^{-at}\left(\cos\omega t + \dfrac{a}{\omega}\sin\omega t\right)\right]$ | ทุกแถวพิสูจน์ได้ด้วยกรณีที่ 1–3 และตรวจด้วยเครื่องคิดเลขด้านล่างได้โดยใส่ตัวเลขแทน a, b, ω ## เครื่องคิดเลขการแปลงลาปลาซผกผันแสดงวิธีทำ พิมพ์ $F(s)$ ในรูปใดก็ได้ ทั้งแบบแยกตัวประกอบแล้ว แบบพหุนามกระจาย หรือมีตัวหน่วง $e^{-Ts}$ เครื่องคิดเลขจะทำตามขั้นตอนเดียวกับในหน้านี้: ตรวจแท้-ไม่แท้ (หารยาว) แยกตัวประกอบหาโพลและอันดับ ตั้งรูปเศษส่วนย่อย หาสัมประสิทธิ์ด้วยสูตรปิดตัวประกอบหรือสูตรอนุพันธ์ แปลงกลับ แล้ววาดกราฟ $f(t)$ ตัวเลขแสดงเป็นเศษส่วนหรือรากที่สองเมื่อเป็นค่าแม่นตรง ## โจทย์ฝึก 12 ข้อ (มีเฉลย) ลองทำในกระดาษก่อน แล้วกดดูเฉลย หรือกดปุ่มเพื่อให้เครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำทุกขั้น - $\dfrac{1}{s(s+2)}$ เฉลย $\tfrac12\left(1 - e^{-2t}\right)$ - $\dfrac{s+1}{s^2+4}$ เฉลย $\cos 2t + \tfrac12\sin 2t$ - $\dfrac{6}{(s+1)(s+2)(s+3)}$ เฉลย $3e^{-t} - 6e^{-2t} + 3e^{-3t}$ - $\dfrac{s+5}{s^2+6s+13}$ เฉลย $e^{-3t}(\cos 2t + \sin 2t)$ - $\dfrac{1}{(s+2)^3}$ เฉลย $\tfrac12t^2e^{-2t}$ - $\dfrac{s^2+3}{s(s^2+1)}$ เฉลย $3 - 2\cos t$ - $\dfrac{e^{-3s}}{s^2+1}$ เฉลย $\sin(t - 3)\,u(t - 3)$ - $\dfrac{s^2+2}{s+1}$ เฉลย $\delta'(t) - \delta(t) + 3e^{-t}$ - $\dfrac{1}{s^2(s^2+4)}$ เฉลย $\tfrac14t - \tfrac18\sin 2t$ - $\dfrac{2}{s(s+1)^2}$ เฉลย $2 - 2e^{-t} - 2te^{-t}$ - $\dfrac{4}{(s^2+4)^2}$ เฉลย $\tfrac14\left(\sin 2t - 2t\cos 2t\right)$ - $\dfrac{1 - e^{-2s}}{s(s+1)}$ เฉลย $\left(1 - e^{-t}\right)u(t) - \left(1 - e^{-(t-2)}\right)u(t-2)$ ## อ่านต่อและแหล่งอ้างอิง - K. Ogata, Modern Control Engineering (5th ed.), บทที่ 2 และภาคผนวก B: Partial-Fraction Expansion — ลำดับหัวข้อและตัวอย่าง V-1, V-3, V-6, V-9 ในหน้านี้อิงตามแนวของตำราเล่มนี้ - K. Ogata, System Dynamics, บท The Laplace Transform (การแปลงกลับด้วย MATLAB) - E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, บท Laplace Transforms และ Residue Integration - Churchill & Brown, Complex Variables and Applications, หัวข้อ Inverse Laplace Transforms ด้วยเรซิดิว - ใช้ต่อ: แก้สมการเชิงอนุพันธ์ · ผลตอบสนองทางเวลาของระบบควบคุม · เศษส่วนย่อยในบทอินทิกรัล ## คำถามที่พบบ่อย การแปลงลาปลาซผกผันทำอย่างไรในทางปฏิบัติ? เกือบทุกโจทย์ใช้เศษส่วนย่อย: (1) ถ้าดีกรีเศษ ≥ ดีกรีส่วนให้หารยาวก่อน (2) แยกตัวประกอบตัวส่วนหาโพล (3) เขียนรูปเศษส่วนย่อยตามชนิดโพล (4) หาสัมประสิทธิ์ด้วยการปิดตัวประกอบหรือสูตรอนุพันธ์ (5) แปลงกลับทีละพจน์จากตาราง โพลซ้ำต้องเขียนเศษส่วนย่อยอย่างไร? โพลอันดับ r ที่ s = −p ต้องมี r พจน์ $\frac{b_1}{s+p} + \frac{b_2}{(s+p)^2} + \cdots + \frac{b_r}{(s+p)^r}$ หา $b_r$ ด้วยการปิดตัวประกอบ ส่วนตัวอื่นใช้สูตรอนุพันธ์ $b_{r-k} = \frac{1}{k!}\frac{d^k}{ds^k}[(s+p)^rF(s)]_{s=-p}$ แต่ละพจน์แปลงกลับได้ $\frac{t^{j-1}}{(j-1)!}e^{-pt}$ โพลเชิงซ้อนมีวิธีไหนเร็วที่สุด? เติมกำลังสองสมบูรณ์ให้ตัวส่วนเป็น $(s+a)^2 + \omega^2$ แล้วจัดตัวเศษเป็น $A(s+a) + B\omega$ จะได้ $e^{-at}(A\cos\omega t + B\sin\omega t)$ ทันที หรือหาเรซิดิวเชิงซ้อน K ที่โพลหนึ่งตัวแล้วใช้ $2|K|e^{-at}\cos(\omega t + \angle K)$ ใช้ MATLAB หรือ Python หาเศษส่วนย่อยได้ไหม? ได้ MATLAB ใช้ [r,p,k] = residue(num,den) ส่วน Python ใช้ scipy.signal.residue(b, a) หรือ sympy.apart และ sympy.inverse_laplace_transform ผลจาก residue เรียงพจน์ของโพลซ้ำจากกำลังต่ำไปสูง ต้องอ่านลำดับให้ถูก ทำไมคำตอบมีเดลต้า δ(t)? เพราะ F(s) เป็นเศษส่วนไม่แท้ (ดีกรีเศษ ≥ ดีกรีส่วน) ผลหารที่เป็นค่าคงที่ c ให้ $c\,\delta(t)$ และพจน์ $cs$ ให้ $c\,\delta'(t)$ ในระบบจริงแปลว่าเอาต์พุตตอบสนองต่ออินพุตทันทีโดยไม่มีการกรอง มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **การแปลงลาปลาซผกผันทำอย่างไรในทางปฏิบัติ?** เกือบทุกโจทย์ใช้เศษส่วนย่อย: (1) ถ้าดีกรีเศษ ≥ ดีกรีส่วนให้หารยาวก่อน (2) แยกตัวประกอบตัวส่วนหาโพล (3) เขียนรูปเศษส่วนย่อยตามชนิดโพล (4) หาสัมประสิทธิ์ด้วยการปิดตัวประกอบหรือสูตรอนุพันธ์ (5) แปลงกลับทีละพจน์จากตาราง **โพลซ้ำต้องเขียนเศษส่วนย่อยอย่างไร?** โพลอันดับ r ที่ s = −p ต้องมี r พจน์ $\frac{b_1}{s+p} + \frac{b_2}{(s+p)^2} + \cdots + \frac{b_r}{(s+p)^r}$ หา $b_r$ ด้วยการปิดตัวประกอบ ส่วนตัวอื่นใช้สูตรอนุพันธ์ $b_{r-k} = \frac{1}{k!}\frac{d^k}{ds^k}[(s+p)^rF(s)]_{s=-p}$ แต่ละพจน์แปลงกลับได้ $\frac{t^{j-1}}{(j-1)!}e^{-pt}$ **โพลเชิงซ้อนมีวิธีไหนเร็วที่สุด?** เติมกำลังสองสมบูรณ์ให้ตัวส่วนเป็น $(s+a)^2 + \omega^2$ แล้วจัดตัวเศษเป็น $A(s+a) + B\omega$ จะได้ $e^{-at}(A\cos\omega t + B\sin\omega t)$ ทันที หรือหาเรซิดิวเชิงซ้อน K ที่โพลหนึ่งตัวแล้วใช้ $2|K|e^{-at}\cos(\omega t + \angle K)$ **ใช้ MATLAB หรือ Python หาเศษส่วนย่อยได้ไหม?** ได้ MATLAB ใช้ [r,p,k] = residue(num,den) ส่วน Python ใช้ scipy.signal.residue(b, a) หรือ sympy.apart และ sympy.inverse_laplace_transform ผลจาก residue เรียงพจน์ของโพลซ้ำจากกำลังต่ำไปสูง ต้องอ่านลำดับให้ถูก **ทำไมคำตอบมีเดลต้า δ(t)?** เพราะ F(s) เป็นเศษส่วนไม่แท้ (ดีกรีเศษ ≥ ดีกรีส่วน) ผลหารที่เป็นค่าคงที่ c ให้ $c\,\delta(t)$ และพจน์ $cs$ ให้ $c\,\delta'(t)$ ในระบบจริงแปลว่าเอาต์พุตตอบสนองต่ออินพุตทันทีโดยไม่มีการกรอง