--- title: "การแปลงลาปลาซ (Laplace Transform): นิยาม ตาราง และเส้นทางเรียนครบชุด" url: https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-14 --- > การแปลงลาปลาซภาษาไทยครบชุด นิยาม เงื่อนไขการมีอยู่ ตารางคู่การแปลงพร้อม ROC จำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์ เรซิดิว แผนภาพโพล-ซีโร่ คุณสมบัติครบทุกข้อ การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ และการแปลงลาปลาซผกผันระดับตำรา Ogata พร้อมเครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำและแล็บโต้ตอบ โดยอาจารย์มด ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # การแปลงลาปลาซ (Laplace Transform): นิยาม ตาราง และเส้นทางเรียนครบชุด // บทที่ 8 · คณิตศาสตร์วิศวกรรม · Laplace Transform วงจรที่มีตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำให้สมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งแก้ตรง ๆ ได้ยาก การแปลงลาปลาซเปลี่ยนปัญหานี้ให้เป็นพีชคณิต แก้เสร็จแล้วค่อยแปลงกลับ และยังเป็นรากฐานของฟังก์ชันถ่ายโอนในวิชาระบบควบคุม หน้านี้คือภาพรวม นิยาม และตาราง ส่วนรายละเอียดเชิงลึกแยกเป็น 5 หน้า ตั้งแต่จำนวนเชิงซ้อนและเรซิดิว ไปจนถึงการแปลงกลับทุกกรณีแบบตำรา Ogata สรุปใน 30 วินาที - นิยาม $F(s) = \int_{0^-}^\infty f(t)\,e^{-st}\,dt$ โดย $s = \sigma + j\omega$ และอินทิกรัลลู่เข้าเฉพาะใน ROC - หาอนุพันธ์ในโดเมนเวลา = คูณด้วย $s$: $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0^-)$ คุณสมบัติครบ - คำตอบใน s มักเป็นเศษส่วนพหุนาม แปลงกลับด้วยเศษส่วนย่อยหรือเรซิดิว Inverse Laplace - ตำแหน่งโพลบนระนาบ s บอกรูปร่างคำตอบทั้งหมด: ซ้าย = ลดลง ขวา = โตขึ้น ห่างแกนจริง = แกว่ง โพล-ซีโร่และ ROC ระดับพื้นฐาน ปี 1–2กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย ## แนวคิด: เปลี่ยนแคลคูลัสเป็นพีชคณิต พื้นฐาน โดเมนเวลาสมการเชิงอนุพันธ์ของวงจร → ℒ → โดเมน sแก้สมการพีชคณิตหา $Y(s)$ → ℒ⁻¹ → โดเมนเวลาได้คำตอบ $y(t)$ เทียบได้กับการใช้ลอการิทึมเปลี่ยนการคูณเป็นการบวก การแปลงลาปลาซเปลี่ยนการหาอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย $s$ และเปลี่ยนคอนโวลูชันเป็นการคูณธรรมดา งานยากจึงกลายเป็นงานง่าย สิ่งที่ต้องจ่ายคือเราต้องทำงานกับตัวแปรเชิงซ้อน $s$ ซึ่งเป็นเหตุผลที่ชุดนี้เริ่มจากจำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์ เหตุที่ใช้ $e^{-st}$ เป็นตัวคูณ: ฟังก์ชัน $e^{st}$ เป็นฟังก์ชันเฉพาะ (eigenfunction) ของระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลาทุกระบบ ป้อน $e^{st}$ เข้าไปจะได้ $H(s)\,e^{st}$ ออกมา การแปลงลาปลาซคือการแยกสัญญาณใด ๆ ออกเป็นผลรวมของ $e^{st}$ แล้วถามว่าแต่ละตัวมีน้ำหนักเท่าไร ## นิยามการแปลงลาปลาซ พื้นฐาน L1 Unilateral Laplace transform การแปลงลาปลาซด้านเดียว $$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0^-}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt, \qquad s = \sigma + j\omega$$ ขีดล่าง $0^-$ ทำให้อิมพัลส์ $\delta(t)$ ที่ $t = 0$ ถูกนับรวม และเงื่อนไขเริ่มต้นใช้ค่าก่อนสวิตช์ทำงาน $f(0^-)$ ซึ่งเป็นค่าที่วัดได้จริงในวงจร L2 Bilateral Laplace transform การแปลงสองด้าน $$X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-st}\,dt$$ ใช้ในวิชาสัญญาณและระบบ ต้องระบุ ROC คู่กับ $X(s)$ เสมอ ดูหน้า ROC L3 Inverse (Bromwich) integral การแปลงกลับ $$f(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{c - j\infty}^{c + j\infty} F(s)\,e^{st}\,ds$$ เส้น $\operatorname{Re}s = c$ ต้องอยู่ใน ROC ในทางปฏิบัติคำนวณด้วยเรซิดิวหรือเศษส่วนย่อย ดูหน้า 8.5 L4 Existence เงื่อนไขการมีอยู่ (เงื่อนไขพอเพียง) $$f \text{ ต่อเนื่องเป็นช่วงบน } [0, \infty) \ \text{และ}\ |f(t)| \le Me^{\alpha t} \ \Rightarrow\ F(s) \text{ มีค่าสำหรับ } \operatorname{Re}s > \alpha$$ เรียกว่า $f$ มี อันดับเอกซ์โพเนนเชียล (exponential order) $\alpha$ ฟังก์ชันที่วิศวกรใช้เกือบทั้งหมดผ่านเงื่อนไขนี้ ตัวอย่างที่ไม่ผ่านคือ $e^{t^2}$ ซึ่งโตเร็วกว่าเอกซ์โพเนนเชียลทุกตัว จึงไม่มีการแปลงลาปลาซ ตัวอย่าง L-1 · จากนิยาม ### หา $\mathcal{L}\{e^{-at}\}$ และ ROC - $$\mathcal{L}\{e^{-at}\} = \int_0^{\infty} e^{-at}e^{-st}\,dt = \int_0^{\infty} e^{-(s+a)t}\,dt$$ - อินทิเกรตได้ แต่ขอบบนต้องเป็นศูนย์ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $\operatorname{Re}(s+a) > 0$ เท่านั้น เพราะ $|e^{-(s+a)t}| = e^{-(\sigma+a)t}$ $$= \left[\frac{-e^{-(s+a)t}}{s+a}\right]_0^{\infty} = 0 - \left(\frac{-1}{s+a}\right) = \frac{1}{s+a}$$ $\mathcal{L}\{e^{-at}\} = \dfrac{1}{s+a}$ ROC: $\operatorname{Re}s > -a$ · ให้ $a = 0$ ได้ $\mathcal{L}\{1\} = \dfrac{1}{s}$, ROC: $\operatorname{Re}s > 0$ ตัวอย่าง L-2 · ใช้ออยเลอร์แทนการอินทิเกรตทีละส่วน ### หา $\mathcal{L}\{\cos\omega t\}$ และ $\mathcal{L}\{\sin\omega t\}$ - ใช้ $e^{j\omega t} = \cos\omega t + j\sin\omega t$ และผลจากตัวอย่าง L-1 ด้วย $a = -j\omega$ $$\mathcal{L}\{e^{j\omega t}\} = \frac{1}{s - j\omega} = \frac{s + j\omega}{s^2 + \omega^2} = \frac{s}{s^2+\omega^2} + j\,\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$$ - เทียบส่วนจริงกับส่วนจินตภาพ (ลาปลาซเป็นเชิงเส้น และสำหรับ $s$ จริงผลของ cos, sin เป็นจริง) $\mathcal{L}\{\cos\omega t\} = \dfrac{s}{s^2+\omega^2}$, $\ \mathcal{L}\{\sin\omega t\} = \dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$, ROC: $\operatorname{Re}s > 0$ · โพลอยู่ที่ $\pm j\omega$ บนแกนจินตภาพพอดี จึงแกว่งค้างไม่ลดลง ## ทั้ง 5 หน้าในชุดการแปลงลาปลาซ เรียงจากพื้นฐานคณิตศาสตร์ไปสู่การใช้งาน อ่านตามลำดับ 8.1 ถึง 8.5 หรือกระโดดไปหน้าที่ต้องการ ตัวอักษรท้ายการ์ดคือรหัสสูตรของหน้านั้น z8.1 จำนวนเชิงซ้อน ตัวแปรเชิงซ้อน ฟังก์ชันวิเคราะห์ และเรซิดิว สำหรับการแปลงลาปลาซ Complex Variables, Analytic Functions & Residues รูปคาร์ทีเซียน เชิงขั้ว ออยเลอร์ ราก n ตัว ระนาบ s ฟังก์ชันเชิงซ้อนและการส่ง (mapping) ลิมิต อนุพันธ์ สมการโคชี-รีมันน์ ฟังก์ชันวิเคราะห์ ภาวะเอกฐาน อนุกรมโลรองต์ เรซิดิว และทฤษฎีบทเรซิดิว เปิดหน้า →สูตร Z1, Z2, … ×○8.2 แผนภาพโพล-ซีโร่และบริเวณลู่เข้า (ROC) ของการแปลงลาปลาซ Pole–Zero Diagrams & Region of Convergence โพล ซีโร่ อันดับ แผนภาพบนระนาบ s ROC ของสัญญาณด้านขวา ด้านซ้าย สองด้าน และช่วงจำกัด สมบัติ ROC ทั้ง 8 ข้อ ตารางคู่การแปลงพร้อม ROC ตำแหน่งโพลกับรูปคลื่น เสถียรภาพ และความเป็นเหตุเป็นผล เปิดหน้า →สูตร R1, R2, … ℒ{·}8.3 คุณสมบัติของการแปลงลาปลาซครบทุกข้อ พร้อมพิสูจน์และตัวอย่าง Properties of the Laplace Transform เชิงเส้น เลื่อนเวลา เลื่อนความถี่ สเกลเวลา อนุพันธ์ ปริพันธ์ คูณด้วย t หารด้วย t คอนโวลูชัน ฟังก์ชันคาบ ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น-ค่าสุดท้าย พร้อมผลต่อ ROC เปิดหน้า →สูตร P1, P2, … y″8.4 แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสองด้วยการแปลงลาปลาซ Solving ODEs with the Laplace Transform ขั้นตอนมาตรฐาน อันดับหนึ่ง RC RL อันดับสอง RLC มวล-สปริง-ตัวหน่วง ผลตอบสนองอิสระกับบังคับ สัมประสิทธิ์ตัวแปร ระบบสมการ และอินพุตไม่ต่อเนื่อง พร้อมตัวแก้สมการโต้ตอบ เปิดหน้า →สูตร Q1, Q2, … ℒ⁻¹8.5 การแปลงลาปลาซผกผัน (Inverse Laplace Transform) ครบทุกกรณี Inverse Laplace Transform เศษส่วนย่อยโพลเดี่ยว โพลซ้ำ โพลเชิงซ้อน เศษส่วนไม่แท้ วิธีปิดตัวประกอบของเฮวิไซด์ สูตรอนุพันธ์สำหรับโพลซ้ำ เติมกำลังสอง ตัวหน่วงเวลา คอนโวลูชัน อินทิกรัลบรอมวิชกับเรซิดิว และเครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ เปิดหน้า →สูตร V1, V2, … ## ตารางคู่การแปลงที่ใช้บ่อย พร้อม ROC พื้นฐาน ทุกคู่ในตารางเป็นการแปลงด้านเดียว ($f(t) = 0$ เมื่อ $t < 0$ หรือคูณด้วย $u(t)$ อยู่แล้ว) ROC ทุกบรรทัดคือครึ่งระนาบทางขวาของโพลขวาสุด ตารางสองด้านพร้อมสัญญาณด้านซ้ายอยู่ในหน้า ROC | # | $f(t),\ t \ge 0$ | $F(s)$ | ROC | โพล | | 1 | $\delta(t)$ | $1$ | ทั้งระนาบ | ไม่มี | | 2 | $\delta(t-T)$ | $e^{-sT}$ | ทั้งระนาบ | ไม่มี | | 3 | $u(t)$ หรือ $1$ | $\dfrac{1}{s}$ | $\sigma > 0$ | $0$ | | 4 | $u(t - T)$ | $\dfrac{e^{-sT}}{s}$ | $\sigma > 0$ | $0$ | | 5 | $t$ | $\dfrac{1}{s^2}$ | $\sigma > 0$ | $0$ (ซ้ำ 2) | | 6 | $t^n,\ n = 1, 2, \dots$ (พิสูจน์) | $\dfrac{n!}{s^{n+1}}$ | $\sigma > 0$ | $0$ (ซ้ำ $n+1$) | | 7 | $e^{-at}$ | $\dfrac{1}{s+a}$ | $\sigma > -a$ | $-a$ | | 8 | $t\,e^{-at}$ | $\dfrac{1}{(s+a)^2}$ | $\sigma > -a$ | $-a$ (ซ้ำ 2) | | 9 | $\dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}$ | $\dfrac{1}{(s+a)^n}$ | $\sigma > -a$ | $-a$ (ซ้ำ $n$) | | 10 | $\sin\omega t$ | $\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$ | $\sigma > 0$ | $\pm j\omega$ | | 11 | $\cos\omega t$ | $\dfrac{s}{s^2+\omega^2}$ | $\sigma > 0$ | $\pm j\omega$ | | 12 | $e^{-at}\sin\omega t$ | $\dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}$ | $\sigma > -a$ | $-a \pm j\omega$ | | 13 | $e^{-at}\cos\omega t$ | $\dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}$ | $\sigma > -a$ | $-a \pm j\omega$ | | 14 | $\sinh at$ | $\dfrac{a}{s^2-a^2}$ | $\sigma > |a|$ | $\pm a$ | | 15 | $\cosh at$ | $\dfrac{s}{s^2-a^2}$ | $\sigma > |a|$ | $\pm a$ | | 16 | $\dfrac{1}{b-a}\left(e^{-at} - e^{-bt}\right)$ | $\dfrac{1}{(s+a)(s+b)}$ | $\sigma > -\min(a,b)$ | $-a,\ -b$ | | 17 | $\dfrac{1}{a}\left(1 - e^{-at}\right)$ | $\dfrac{1}{s(s+a)}$ | $\sigma > \max(0,-a)$ | $0,\ -a$ | | 18 | $t\sin\omega t$ | $\dfrac{2\omega s}{(s^2+\omega^2)^2}$ | $\sigma > 0$ | $\pm j\omega$ (ซ้ำ 2) | | 19 | $t\cos\omega t$ | $\dfrac{s^2-\omega^2}{(s^2+\omega^2)^2}$ | $\sigma > 0$ | $\pm j\omega$ (ซ้ำ 2) | | 20 | $\dfrac{1}{2\omega^3}(\sin\omega t - \omega t\cos\omega t)$ | $\dfrac{1}{(s^2+\omega^2)^2}$ | $\sigma > 0$ | $\pm j\omega$ (ซ้ำ 2) | | 21 | $\dfrac{\omega_n}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_n t}\sin\omega_d t$ | $\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}$ | $\sigma > -\zeta\omega_n$ | $-\zeta\omega_n \pm j\omega_d$ | | 22 | $1 - \dfrac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_d t + \phi),\ \phi = \cos^{-1}\zeta$ | $\dfrac{\omega_n^2}{s(s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2)}$ | $\sigma > 0$ | $0,\ -\zeta\omega_n \pm j\omega_d$ | $\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ ใช้ได้เมื่อ $0 < \zeta < 1$ · แถว 21–22 คือผลตอบสนองอิมพัลส์และขั้นบันไดของระบบอันดับสองมาตรฐาน ดูแบบโต้ตอบได้ในแล็บระบบอันดับสอง ## สมบัติสำคัญโดยย่อ พื้นฐาน | สมบัติ | โดเมนเวลา | โดเมน s | | เชิงเส้น | $af(t) + bg(t)$ | $aF(s) + bG(s)$ | | เลื่อนทางเวลา | $f(t-T)\,u(t-T)$ | $e^{-sT}F(s)$ | | เลื่อนทางความถี่ | $e^{-at}f(t)$ | $F(s+a)$ | | สเกลเวลา | $f(at),\ a > 0$ | $\tfrac{1}{a}F(s/a)$ | | อนุพันธ์ | $f'(t)$ | $sF(s) - f(0^-)$ | | อนุพันธ์อันดับสอง | $f''(t)$ | $s^2F(s) - sf(0^-) - f'(0^-)$ | | ปริพันธ์ | $\int_0^t f(\tau)\,d\tau$ | $\dfrac{F(s)}{s}$ | | คูณด้วย $t$ | $t\,f(t)$ | $-\dfrac{dF}{ds}$ | | คอนโวลูชัน | $(f*g)(t)$ | $F(s)G(s)$ | | ค่าเริ่มต้น · ค่าสุดท้าย | $f(0^+),\ f(\infty)$ | $\lim_{s\to\infty}sF(s),\ \lim_{s\to 0}sF(s)$ | สมบัติอนุพันธ์คือหัวใจของทั้งบท เงื่อนไขเริ่มต้นเข้ามาอยู่ในสมการเองโดยอัตโนมัติ ที่มา ข้อควรระวัง ผลต่อ ROC และแล็บพิสูจน์ด้วยตัวเลขของทุกข้ออยู่ในหน้า 8.3 คุณสมบัติของการแปลงลาปลาซ ## การแปลงกลับด้วยเศษส่วนย่อย กลาง คำตอบในโดเมน s มักเป็นเศษส่วนของพหุนาม วิธีมาตรฐานคือแยกเป็นเศษส่วนย่อยที่มีอยู่ในตาราง แล้วแปลงกลับทีละพจน์ มีสี่กรณีหลัก: โพลเดี่ยวจริง โพลเชิงซ้อน โพลซ้ำ และเศษส่วนไม่แท้ ซึ่งอธิบายครบพร้อมตัวอย่างแบบ Ogata ในหน้า 8.5 ลองเครื่องคิดเลขด้านล่างได้เลย ตัวอย่าง L-3 · ปิดตัวประกอบ (cover-up) ### หา $f(t)$ เมื่อ $F(s) = \dfrac{s+5}{(s+1)(s+2)}$ - $$\frac{s+5}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2}$$ - ปิด $(s+1)$ แล้วแทน $s = -1$ · ปิด $(s+2)$ แล้วแทน $s = -2$ $$A = \frac{-1+5}{-1+2} = 4 \qquad B = \frac{-2+5}{-2+1} = -3$$ $f(t) = 4e^{-t} - 3e^{-2t}$ สำหรับ $t \ge 0$ ตรวจด้วยทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: $f(0^+) = \lim_{s\to\infty}sF(s) = 1$ และ $4 - 3 = 1$ ✓ ## แก้วงจร RC ด้วยลาปลาซ พื้นฐาน วงจร RC อนุกรม ตัวเก็บประจุไม่มีประจุเริ่มต้น $v(0^-) = 0$ ป้อนแรงดันขั้นบันได $V\,u(t)$ จาก KVL จะได้ $$RC\,\frac{dv}{dt} + v = V\,u(t)$$ ตัวอย่าง L-4 · วงจร ### หาแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ $v(t)$ - แปลงลาปลาซทั้งสองข้าง ใช้ $\mathcal{L}\{v'\} = sV_C(s) - v(0^-) = sV_C(s)$ $$RC\,sV_C(s) + V_C(s) = \frac{V}{s} \ \Rightarrow\ V_C(s) = \frac{V}{s\,(RCs + 1)} = V\left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s + 1/RC}\right)$$ - เปิดตารางแถว 3 และ 7 แปลงกลับทีละพจน์ $$v(t) = V\left(1 - e^{-t/RC}\right)$$ - ตัวเลข $R = 10\ \text{k}\Omega$, $C = 100\ \mu\text{F}$, $V = 5$ V: $\tau = RC = 1$ s $$v(1) = 5\left(1 - e^{-1}\right) \approx 3.16\ \text{V}$$ ตัวเก็บประจุชาร์จได้ประมาณ 63% ของแรงดันเต็มภายในหนึ่งค่าคงตัวเวลา โดยไม่ต้องแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยตรงเลย ลองปรับ R และ C ในแล็บระบบอันดับหนึ่ง หรือแก้สมการแบบอื่นในหน้า 8.4 ## ฟังก์ชันถ่ายโอน กลาง เมื่อเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์ อัตราส่วนของเอาต์พุตต่ออินพุตในโดเมน s ไม่ขึ้นกับสัญญาณที่ป้อน แต่ขึ้นกับตัวระบบเท่านั้น เรียกว่าฟังก์ชันถ่ายโอน และ $h(t) = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}$ คือผลตอบสนองอิมพัลส์ เพราะ $\mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1$ L5 Transfer function ฟังก์ชันถ่ายโอน $$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}\bigg|_{\text{IC} = 0}, \qquad y(t) = (h * x)(t)$$ L6 Standard second-order system ระบบอันดับสองมาตรฐาน $$H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$$ วงจร RC เป็นตัวอย่างของระบบอันดับหนึ่ง $G(s) = \dfrac{K}{\tau s + 1}$ ซึ่งมีบทเรียนและแล็บแยกไว้ที่ระบบอันดับหนึ่ง ระบบอันดับสองพบในวงจร RLC และระบบควบคุม $\omega_n$ ยืดหรือหดแกนเวลา ส่วน $\zeta$ กำหนดรูปร่าง เมื่อ $\zeta < 1$ จะพุ่งเกินแล้วแกว่งก่อนเข้าที่ เปิดแล็บระบบอันดับสอง ## ใช้ลาปลาซต่อในระบบควบคุมและงานไฟฟ้า ฟังก์ชันถ่ายโอนคือภาษาหลักของวิศวกรรมระบบควบคุม ต่อยอดได้ทันทีที่แบบจำลองวงจร RLC และมอเตอร์ บล็อกไดอะแกรม ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายกับความผิดพลาดอยู่ตัว และเกณฑ์เสถียรภาพเราท์–เฮอร์วิตซ์ ส่วนการแก้ระบบสมการวงจรหลายลูปในโดเมน s ใช้กฎของคราเมอร์กับตัวแปร s ถ้าสนใจสถานะคงตัวของวงจรที่ป้อนด้วยคลื่นคาบที่ไม่ใช่ไซน์ (อินเวอร์เตอร์ เรกติไฟเออร์ PWM) ใช้ $H(s)$ ที่ $s = jn\omega_0$ ทีละฮาร์มอนิกตามวิเคราะห์วงจรด้วยอนุกรมฟูเรียร์ ## ค้นหาสูตรทั้งหมดในชุดลาปลาซ รวมทุกสูตรจากหน้า 8.1–8.5 พร้อมรหัสถาวร (Z จำนวนเชิงซ้อน · R โพล-ซีโร่และ ROC · P คุณสมบัติ · Q สมการเชิงอนุพันธ์ · V การแปลงกลับ) พิมพ์ไทยหรืออังกฤษก็ได้ เช่น residue ROC final value หรือรหัสตรง ๆ เช่น V8 ## ดูวิดีโอประกอบ ℒ ### Laplace Transform การแปลงลาปลาซ · เพลย์ลิสต์บน YouTube สอนโดยอาจารย์มด · ภาษาไทยเปิดใน YouTube ↗ ## คำถามที่พบบ่อย ทำไมต้องใช้การแปลงลาปลาซ แทนการแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยตรง? เพราะลาปลาซเปลี่ยนการหาอนุพันธ์ให้เป็นการคูณด้วย $s$ สมการเชิงอนุพันธ์จึงกลายเป็นพีชคณิต และยังรวมเงื่อนไขเริ่มต้นเข้าไปในสมการได้ในขั้นตอนเดียว จากนั้นแปลงกลับด้วยเศษส่วนย่อย ตัวแปร s ในการแปลงลาปลาซคืออะไร? $s = \sigma + j\omega$ เป็นความถี่เชิงซ้อน ส่วนจริง $\sigma$ บอกการลดลงหรือเพิ่มขึ้นแบบเอกซ์โพเนนเชียล ส่วนจินตภาพ $\omega$ บอกการแกว่ง เพราะ $e^{st} = e^{\sigma t}(\cos\omega t + j\sin\omega t)$ ROC (บริเวณลู่เข้า) คืออะไร สำคัญอย่างไร? ROC คือเซตของค่า $s$ ที่ทำให้อินทิกรัลลาปลาซลู่เข้า สำหรับการแปลงด้านเดียวคือครึ่งระนาบทางขวาของโพลขวาสุด ในการแปลงสองด้าน ฟังก์ชัน $X(s)$ เดียวกันแต่ ROC ต่างกันจะเป็นสัญญาณคนละตัว และ ROC ยังบอกความเป็นเหตุเป็นผลและเสถียรภาพของระบบด้วย การแปลงลาปลาซต่างจากการแปลงฟูริเยร์อย่างไร? การแปลงฟูริเยร์มองสัญญาณบนแกน $j\omega$ เท่านั้น ส่วนลาปลาซขยายไปทั้งระนาบ $s = \sigma + j\omega$ จึงจัดการกับสัญญาณที่โตขึ้น ผลตอบสนองชั่วครู่ และเงื่อนไขเริ่มต้นได้ ถ้า ROC ครอบแกน $j\omega$ จะได้การแปลงฟูริเยร์จากการแทน $s = j\omega$ ควรเรียนหน้าไหนก่อน? ถ้าพื้นจำนวนเชิงซ้อนยังไม่แน่น เริ่มที่หน้า 8.1 จำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์ ต่อด้วย 8.2 โพล-ซีโร่และ ROC แล้ว 8.3 คุณสมบัติ 8.4 การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ และ 8.5 การแปลงลาปลาซผกผัน ถ้ากำลังทำการบ้าน ไปที่เครื่องคิดเลขในหน้า 8.5 ได้เลย มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **ทำไมต้องใช้การแปลงลาปลาซ แทนการแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยตรง?** เพราะลาปลาซเปลี่ยนการหาอนุพันธ์ให้เป็นการคูณด้วย $s$ สมการเชิงอนุพันธ์จึงกลายเป็นพีชคณิต และยังรวมเงื่อนไขเริ่มต้นเข้าไปในสมการได้ในขั้นตอนเดียว จากนั้นแปลงกลับด้วยเศษส่วนย่อย **ตัวแปร s ในการแปลงลาปลาซคืออะไร?** $s = \sigma + j\omega$ เป็นความถี่เชิงซ้อน ส่วนจริง $\sigma$ บอกการลดลงหรือเพิ่มขึ้นแบบเอกซ์โพเนนเชียล ส่วนจินตภาพ $\omega$ บอกการแกว่ง เพราะ $e^{st} = e^{\sigma t}(\cos\omega t + j\sin\omega t)$ **ROC (บริเวณลู่เข้า) คืออะไร สำคัญอย่างไร?** ROC คือเซตของค่า $s$ ที่ทำให้อินทิกรัลลาปลาซลู่เข้า สำหรับการแปลงด้านเดียวคือครึ่งระนาบทางขวาของโพลขวาสุด ในการแปลงสองด้าน ฟังก์ชัน $X(s)$ เดียวกันแต่ ROC ต่างกันจะเป็นสัญญาณคนละตัว และ ROC ยังบอกความเป็นเหตุเป็นผลและเสถียรภาพของระบบด้วย **การแปลงลาปลาซต่างจากการแปลงฟูริเยร์อย่างไร?** การแปลงฟูริเยร์มองสัญญาณบนแกน $j\omega$ เท่านั้น ส่วนลาปลาซขยายไปทั้งระนาบ $s = \sigma + j\omega$ จึงจัดการกับสัญญาณที่โตขึ้น ผลตอบสนองชั่วครู่ และเงื่อนไขเริ่มต้นได้ ถ้า ROC ครอบแกน $j\omega$ จะได้การแปลงฟูริเยร์จากการแทน $s = j\omega$ **ควรเรียนหน้าไหนก่อน?** ถ้าพื้นจำนวนเชิงซ้อนยังไม่แน่น เริ่มที่หน้า 8.1 จำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์ ต่อด้วย 8.2 โพล-ซีโร่และ ROC แล้ว 8.3 คุณสมบัติ 8.4 การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ และ 8.5 การแปลงลาปลาซผกผัน ถ้ากำลังทำการบ้าน ไปที่เครื่องคิดเลขในหน้า 8.5 ได้เลย