---
title: "จำนวนเชิงซ้อน ตัวแปรเชิงซ้อน ฟังก์ชันวิเคราะห์ และเรซิดิว สำหรับการแปลงลาปลาซ"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/complex-analysis/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-14
---

> ปูพื้นตัวแปรเชิงซ้อนสำหรับลาปลาซครบในหน้าเดียว รูปคาร์ทีเซียน เชิงขั้ว ออยเลอร์ เดอมัวฟวร์ ราก n ตัว ระนาบ s และความหมายของ e^{st} ฟังก์ชันเชิงซ้อนและการส่ง ลิมิต อนุพันธ์ สมการโคชี-รีมันน์ ฟังก์ชันวิเคราะห์ ภาวะเอกฐาน อนุกรมโลรองต์ เรซิดิว ทฤษฎีบทเรซิดิว และอินทิกรัลบรอมวิช พร้อมแล็บระนาบเชิงซ้อน แล็บการส่ง และแล็บเส้นโค้งปิดแบบลากได้

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/complex-analysis/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# จำนวนเชิงซ้อน ตัวแปรเชิงซ้อน ฟังก์ชันวิเคราะห์ และเรซิดิว สำหรับการแปลงลาปลาซ

// บทที่ 8.1 · การแปลงลาปลาซ · Complex Variables


ทุกอย่างในลาปลาซเกิดบนระนาบเชิงซ้อน: ตัวแปร $s = \sigma + j\omega$ โพลที่บอกเสถียรภาพ และสูตรแปลงกลับที่จริง ๆ แล้วคืออินทิกรัลเส้นของฟังก์ชันวิเคราะห์ หน้านี้ปูพื้นตั้งแต่บวกลบจำนวนเชิงซ้อน ไปจนถึงทฤษฎีบทเรซิดิว โดยเลือกเฉพาะส่วนที่ลาปลาซต้องใช้จริง และมีแล็บให้ลากดูทุกแนวคิด สูตรใช้รหัส Z

สรุปใน 30 วินาที

- $z = x + jy = re^{j\theta}$ คูณ = ขนาดคูณกัน มุมบวกกัน เป็นเหตุผลที่เฟสเซอร์และฟังก์ชันถ่ายโอนใช้รูปเชิงขั้ว

- $e^{st} = e^{\sigma t}(\cos\omega t + j\sin\omega t)$: σ คุมการโต-หด ω คุมการแกว่ง จึงเรียก $s$ ว่าความถี่เชิงซ้อน

- ฟังก์ชันวิเคราะห์ ⇔ สมการโคชี-รีมันน์ $u_x = v_y,\ u_y = -v_x$ ฟังก์ชันตรรกยะในลาปลาซวิเคราะห์ทุกจุดยกเว้นโพล

- เรซิดิวคือสัมประสิทธิ์ของ $1/(s-p)$ ในอนุกรมโลรองต์ และ $f(t) = \sum\operatorname{Res}\,[F(s)e^{st}]$

ระดับพื้นฐาน ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท

## จำนวนเชิงซ้อนและการดำเนินการ พื้นฐาน

จำนวนเชิงซ้อนเกิดจากความต้องการให้ $x^2 + 1 = 0$ มีคำตอบ เรานิยามหน่วยจินตภาพ $j$ ที่ $j^2 = -1$ แล้วจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวเขียนเป็นคู่ของจำนวนจริงสองตัว ภาพที่ช่วยมากที่สุดคือมองเป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระนาบ

Z1 Rectangular form รูปคาร์ทีเซียน

$$z = x + jy,\quad x = \operatorname{Re}z,\ y = \operatorname{Im}z,\quad j^2 = -1$$

Z2 Arithmetic บวก ลบ คูณ

$$(a+jb)(c+jd) = (ac - bd) + j(ad + bc)$$

บวก ลบ ทีละส่วนเหมือนเวกเตอร์ คูณกระจายแล้วแทน $j^2 = -1$

Z3 Conjugate & modulus สังยุคและขนาด

$$\bar z = x - jy,\qquad |z| = \sqrt{x^2+y^2},\qquad z\bar z = |z|^2$$

Z4 Division หารด้วยการคูณสังยุค

$$\frac{a+jb}{c+jd} = \frac{(a+jb)(c-jd)}{c^2+d^2}$$

ตัวอย่าง Z-1 · คูณและหาร

### ให้ $z_1 = 3 + 4j,\ z_2 = 1 - 2j$ หา $z_1z_2$ และ $z_1/z_2$

-
$$z_1z_2 = 3 - 6j + 4j - 8j^2 = 3 + 8 - 2j = 11 - 2j$$

- หาร: คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\bar z_2 = 1 + 2j$ Z4

$$\frac{3+4j}{1-2j} = \frac{(3+4j)(1+2j)}{1^2 + 2^2} = \frac{3 + 6j + 4j + 8j^2}{5} = \frac{-5 + 10j}{5} = -1 + 2j$$

$z_1z_2 = 11 - 2j$, $\ z_1/z_2 = -1 + 2j$

ตรวจ: $(-1+2j)(1-2j) = -1 + 2j + 2j - 4j^2 = 3 + 4j$ ✓

ลองในแล็บ: ลากจุด z₁ และ z₂ แล้วเปลี่ยนการดำเนินการ สังเกตว่าการคูณ “หมุนและยืด” เสมอ ส่วนรากที่ n กระจายเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า

## รูปเชิงขั้ว สูตรออยเลอร์ และเดอมัวฟวร์ พื้นฐาน

Z5 Polar form รูปเชิงขั้ว

$$z = r(\cos\theta + j\sin\theta) = r\angle\theta,\quad r = |z|,\ \theta = \arg z$$

หามุมด้วย $\operatorname{atan2}(y, x)$ เสมอ ห้ามใช้ $\tan^{-1}(y/x)$ ตรง ๆ เพราะจะผิดจตุภาคเมื่อ $x < 0$

Z6 Euler's formula สูตรของออยเลอร์

$$e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta \ \Rightarrow\ z = re^{j\theta}$$

ได้ $\cos\theta = \tfrac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2},\ \sin\theta = \tfrac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j}$ ใช้หาลาปลาซของ sin, cos ในตัวอย่าง L-2

Z7 Products & De Moivre คูณ หาร ยกกำลัง

$$z_1z_2 = r_1r_2\angle(\theta_1+\theta_2),\quad \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\angle(\theta_1-\theta_2),\quad z^n = r^n\angle n\theta$$

Z8 n-th roots รากที่ n มี n ค่า

$$z^{1/n} = r^{1/n}\angle\frac{\theta + 2\pi k}{n},\quad k = 0, 1, \dots, n-1$$

ตัวอย่าง Z-2 · ยกกำลังด้วยเดอมัวฟวร์

### หา $(1 + j)^8$

-
$$1 + j = \sqrt{2}\angle 45^\circ$$

- ยกกำลัง 8: ขนาดยกกำลัง 8 มุมคูณ 8 Z7

$$(1+j)^8 = (\sqrt2)^8\angle 360^\circ = 16\angle 0^\circ$$

$(1+j)^8 = 16$ ถ้ากระจายทวินามต้องคำนวณ 9 พจน์ ส่วนรูปเชิงขั้วใช้สองบรรทัด

ตัวอย่าง Z-3 · รากที่สาม = โพลของระบบ

### หารากของ $s^3 + 8 = 0$ แล้วบอกว่า $H(s) = \dfrac{1}{s^3 + 8}$ เสถียรไหม

-
$$s^3 = -8 = 8\angle 180^\circ$$

- รากที่สามสามค่า Z8

$$s_k = 2\angle\frac{180^\circ + 360^\circ k}{3} = 2\angle 60^\circ,\ 2\angle 180^\circ,\ 2\angle 300^\circ$$

-
$$s = 1 + j\sqrt3,\quad -2,\quad 1 - j\sqrt3$$

มีโพลคู่หนึ่งที่ส่วนจริงเป็นบวก ($1 \pm j\sqrt3$) ผลตอบสนองจึงมีพจน์ $e^{t}\cos\sqrt3 t$ โตไม่หยุด ระบบนี้ไม่เสถียร

ตรวจ: $(1+j\sqrt3)^3 = 2^3\angle 180^\circ = -8$ ✓ · ผลรวมรากต้องเท่ากับ $-(\text{สัมประสิทธิ์ } s^2) = 0$: $1 + 1 - 2 = 0$ ✓

## ตัวแปรเชิงซ้อน s = σ + jω และระนาบ s พื้นฐาน

ในลาปลาซเราใช้ตัวอักษร $s$ แทน $z$ และเรียกระนาบเชิงซ้อนว่าระนาบ s แกนนอนคือ $\sigma$ แกนตั้งคือ $j\omega$ ทำไมต้องเป็นสองมิติ คำตอบอยู่ในสัญญาณ $e^{st}$ ซึ่งเป็น “อิฐ” ที่ลาปลาซใช้สร้างทุกสัญญาณ

Z9 Complex frequency ความถี่เชิงซ้อน

$$e^{st} = e^{(\sigma + j\omega)t} = \underbrace{e^{\sigma t}}_{\text{โต/หด}}\ \underbrace{(\cos\omega t + j\sin\omega t)}_{\text{หมุน/แกว่ง}},\qquad \operatorname{Re}\{e^{st}\} = e^{\sigma t}\cos\omega t$$

$\sigma < 0$ ลดลง · $\sigma = 0$ แกว่งค้าง · $\sigma > 0$ โตขึ้น · $\omega = 0$ ไม่แกว่ง ยิ่ง $|\omega|$ มากยิ่งแกว่งเร็ว

ตำแหน่งของ $s$ บนระนาบ กับรูปร่างของ $\operatorname{Re}\{e^{st}\}$ ด้านขวา: ครึ่งซ้ายลดลง แกน jω แกว่งค้าง ครึ่งขวาโตขึ้น นี่คือแผนที่ที่ใช้อ่านโพลตลอดทั้งวิชา

ข้อสังเกตที่สำคัญมาก: สัญญาณจริงอย่าง $e^{-t}\cos 3t$ ต้องใช้ $e^{st}$ สองตัว ที่ $s = -1 \pm 3j$ เพราะ $\cos 3t = \tfrac12(e^{j3t} + e^{-j3t})$ นี่คือเหตุผลที่โพลเชิงซ้อนของระบบจริงมาเป็นคู่สังยุคเสมอ

## ฟังก์ชันเชิงซ้อนและการส่ง (mapping) กลาง

ฟังก์ชันเชิงซ้อน $w = f(z)$ รับจำนวนเชิงซ้อนแล้วคืนจำนวนเชิงซ้อน เราวาดกราฟแบบปกติไม่ได้เพราะต้องใช้ 4 มิติ จึงดูเป็น “การส่ง” จากระนาบ z ไประนาบ w แทน ฟังก์ชันถ่ายโอน $H(s)$ ก็คือฟังก์ชันเชิงซ้อนชนิดหนึ่ง

Z10 Complex function แยกส่วนจริง-จินตภาพ

$$w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y)$$

เช่น $z^2 = (x^2 - y^2) + j(2xy)$ ได้ $u = x^2 - y^2,\ v = 2xy$

Z11 Complex limit ลิมิตต้องเท่ากันทุกทิศ

$$\lim_{z\to z_0}f(z) = L \iff |f(z) - L| \to 0 \text{ ไม่ว่า } z \text{ จะเข้าหา } z_0 \text{ จากทางใด}$$

เข้มกว่าลิมิตจริงมาก เพราะมีทิศเข้าได้ไม่จำกัด (ทบทวนลิมิตของฟังก์ชันจริง)

ตัวอย่าง Z-4 · ลิมิตที่ไม่มีค่า

### พิจารณา $\displaystyle\lim_{z\to 0}\frac{\bar z}{z}$

- เข้าหา 0 ตามแกนจริง $z = x$: $\bar z/z = x/x = 1$

- เข้าหา 0 ตามแกนจินตภาพ $z = jy$: $\bar z/z = -jy/(jy) = -1$

สองทิศได้ค่าต่างกัน ลิมิตจึงไม่มีค่า ทั้งที่ทั้งเศษและส่วนต่อเนื่องดี

แล็บการส่ง: เส้นกริดสีส้มคือเส้นแนวตั้ง (x คงที่) สีน้ำเงินคือเส้นแนวนอน (y คงที่) ในระนาบ z ดูว่าแต่ละฟังก์ชันบิดมันเป็นอะไรในระนาบ w สี่เหลี่ยมเล็กสีเขียวคือย่านรอบจุด $z_0$ ที่ลากได้ ใต้ภาพคำนวณอนุพันธ์ย่อยให้ตรวจสมการโคชี-รีมันน์ในหัวข้อถัดไป

## อนุพันธ์เชิงซ้อน สมการโคชี-รีมันน์ และฟังก์ชันวิเคราะห์ กลาง

นิยามอนุพันธ์เหมือนฟังก์ชันจริงทุกตัวอักษร แต่เพราะลิมิตต้องเท่ากันทุกทิศ เงื่อนไขจึงเข้มมาก บังคับให้ $u$ และ $v$ ผูกกันด้วยสมการสองข้อ

Z12 Complex derivative อนุพันธ์เชิงซ้อน

$$f'(z_0) = \lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$$

Z13 Cauchy–Riemann equations สมการโคชี-รีมันน์

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

ถ้าเป็นจริงและอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่อง แล้ว $f'(z) = u_x + jv_x = v_y - ju_y$

Z14 Cauchy–Riemann (polar) รูปเชิงขั้ว

$$u_r = \frac{1}{r}v_\theta,\qquad v_r = -\frac{1}{r}u_\theta$$

Z15 Analytic function ฟังก์ชันวิเคราะห์

$$f \text{ วิเคราะห์ที่ } z_0 \iff f' \text{ มีค่าทุกจุดในย่านรอบ } z_0$$

วิเคราะห์ทั้งระนาบเรียกว่า entire เช่น พหุนาม $e^z,\ \sin z$ · ฟังก์ชันตรรกยะ $N(s)/D(s)$ วิเคราะห์ทุกจุดยกเว้นรากของ $D$

Z16 Harmonic parts u และ v เป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิก

$$\nabla^2 u = u_{xx} + u_{yy} = 0,\qquad \nabla^2 v = 0$$

ตามมาจาก Z13 ทันที ใช้กับสนามไฟฟ้าสถิตและการไหลของความร้อนสองมิติ: $u$ เป็นศักย์ เส้น $v$ คงที่เป็นเส้นแรง

ตัวอย่าง Z-5 · ตรวจด้วยโคชี-รีมันน์

### $f(z) = z^2$, $g(z) = e^z$ และ $h(z) = \bar z$ ฟังก์ชันใดวิเคราะห์

- $z^2$: $u = x^2 - y^2,\ v = 2xy$ · $u_x = 2x = v_y$ ✓ · $u_y = -2y = -v_x$ ✓ วิเคราะห์ทุกจุด $f'(z) = u_x + jv_x = 2x + j2y = 2z$

- $e^z = e^x\cos y + je^x\sin y$: $u_x = e^x\cos y = v_y$ ✓ · $u_y = -e^x\sin y = -v_x$ ✓ วิเคราะห์ทุกจุด $g'(z) = e^z$

- $\bar z = x - jy$: $u_x = 1$ แต่ $v_y = -1$ ✗ ไม่วิเคราะห์ที่ใดเลย

$z^2$ และ $e^z$ วิเคราะห์ทั้งระนาบ ส่วน $\bar z$ ไม่วิเคราะห์ ลองเปลี่ยนฟังก์ชันในแล็บการส่งด้านบนแล้วดูตารางตรวจ ✓/✗ เปลี่ยนตาม

ตัวอย่าง Z-6 · หาฮาร์มอนิกสังยุค

### ให้ $u = x^3 - 3xy^2$ หา $v$ ที่ทำให้ $f = u + jv$ วิเคราะห์

- ตรวจก่อนว่า $u$ เป็นฮาร์มอนิก: $u_{xx} + u_{yy} = 6x - 6x = 0$ ✓ Z16

- จาก $v_y = u_x = 3x^2 - 3y^2$ อินทิเกรตเทียบ $y$: $v = 3x^2y - y^3 + g(x)$

- จาก $v_x = -u_y$: $6xy + g'(x) = -(-6xy) = 6xy$ ได้ $g'(x) = 0$ ดังนั้น $g = C$

$v = 3x^2y - y^3 + C$ และ $f(z) = z^3 + jC$

## ซีโร่ ภาวะเอกฐาน และอันดับของโพล กลาง

จุดที่ฟังก์ชันเลิกเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เรียกว่าภาวะเอกฐาน (singularity) ในลาปลาซเราเจอเกือบทั้งหมดเป็น โพล แต่ควรรู้จักอีกสองชนิดเพื่อไม่สับสน

Z17 Zero of order m ซีโร่อันดับ m

$$f(z) = (z - z_0)^m g(z),\quad g(z_0) \ne 0$$

Z18 Pole of order m โพลอันดับ m

$$f(z) = \frac{g(z)}{(z - z_0)^m},\quad g \text{ วิเคราะห์},\ g(z_0) \ne 0$$

ทดสอบ: $\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^m f(z)$ มีค่าจำกัดและไม่เป็นศูนย์ · $m = 1$ เรียกโพลเดี่ยว (simple pole)

Z19 Types of isolated singularities ชนิดของภาวะเอกฐานเฉพาะจุด

$$\underbrace{\frac{\sin z}{z}}_{\text{ถอดได้ที่ }0},\qquad \underbrace{\frac{1}{z^2(z+1)}}_{\text{โพลอันดับ 2 ที่ }0,\ \text{อันดับ 1 ที่ }-1},\qquad \underbrace{e^{1/z}}_{\text{สาระสำคัญที่ }0}$$

ถอดได้ (removable): ลิมิตมีค่า แค่ไม่นิยาม เช่น $\frac{1 - e^{-s}}{s}$ ที่ $s = 0$ ซึ่งเป็นลาปลาซของพัลส์สี่เหลี่ยม ไม่ใช่โพล · โพล: $|f| \to \infty$ · สาระสำคัญ (essential): ทำตัวแปลกไม่มีลิมิตเลย ไม่เจอในฟังก์ชันตรรกยะ

ตัวอย่าง Z-7 · จำแนกโพลและซีโร่

### $F(s) = \dfrac{(s+3)(s-1)}{s^2(s+2)(s^2+2s+5)}$

- ซีโร่ (รากของเศษ): $s = -3,\ s = 1$ อันดับ 1 ทั้งคู่ · ซีโร่ที่ $s = 1$ อยู่ครึ่งขวา (non-minimum phase)

- โพล: $s = 0$ อันดับ 2 · $s = -2$ อันดับ 1 · $s^2 + 2s + 5 = 0 \Rightarrow s = -1 \pm 2j$ อันดับ 1

- ดีกรีส่วน 5 ดีกรีเศษ 2: เมื่อ $s \to \infty$ $F \sim 1/s^3$ จึงมี “ซีโร่ที่อนันต์” อันดับ 3

5 โพล (นับซ้ำ) 2 ซีโร่จำกัด + 3 ซีโร่ที่อนันต์ จำนวนโพลเท่ากับจำนวนซีโร่เมื่อนับที่อนันต์ด้วยเสมอ

## อนุกรมเทย์เลอร์และอนุกรมโลรองต์ ขั้นสูง

เรียนละเอียด: หัวข้อนี้มีบทเต็มพร้อมแล็บลากจุด z ข้ามวงแหวน ที่ อนุกรมโลรองต์ (บทที่ 26.7) ทบทวนรัศมีการลู่เข้าที่ อนุกรมกำลัง และตารางอนุกรมที่ต้องจำที่ อนุกรมเทย์เลอร์

Z20 Taylor series อนุกรมเทย์เลอร์

$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z - z_0)^n,\quad |z - z_0| < R$$

ฟังก์ชันวิเคราะห์เขียนเป็นอนุกรมกำลังได้เสมอ รัศมีลู่เข้า $R$ = ระยะถึงภาวะเอกฐานที่ใกล้ที่สุด

Z21 Laurent series อนุกรมโลรองต์

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z - z_0)^n = \underbrace{\cdots + \frac{a_{-2}}{(z-z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{z - z_0}}_{\text{ส่วนหลัก (principal part)}} + a_0 + a_1(z-z_0) + \cdots$$

ใช้ได้ในวงแหวน $0 < |z - z_0| < R$ · โพลอันดับ m ⇔ ส่วนหลักมี m พจน์ · สาระสำคัญ ⇔ ส่วนหลักไม่สิ้นสุด

ตัวอย่าง Z-8 · โลรองต์รอบโพล

### หาอนุกรมโลรองต์ของ $F(s) = \dfrac{1}{s(s+1)}$ รอบ $s = 0$ ในวงแหวน $0 < |s| < 1$

- ใช้อนุกรมเรขาคณิต $\dfrac{1}{1+s} = 1 - s + s^2 - s^3 + \cdots$ ซึ่งลู่เข้าเมื่อ $|s| < 1$

-
$$F(s) = \frac{1}{s}\left(1 - s + s^2 - \cdots\right) = \frac{1}{s} - 1 + s - s^2 + \cdots$$

ส่วนหลักคือ $\tfrac{1}{s}$ พจน์เดียว → โพลอันดับ 1 และ $a_{-1} = 1$ คือเรซิดิวที่ $s = 0$ ซึ่งเท่ากับ A ในเศษส่วนย่อย $\tfrac{1}{s(s+1)} = \tfrac{1}{s} - \tfrac{1}{s+1}$ พอดี

## เรซิดิว (Residue) และวิธีคำนวณ กลาง

เรซิดิวคือสัมประสิทธิ์ $a_{-1}$ ของ $1/(z - z_0)$ ในอนุกรมโลรองต์ ชื่อมาจากคำว่า “ส่วนที่เหลือ” เพราะเมื่ออินทิเกรตรอบโพล ทุกพจน์หายไปหมดเหลือเพียงพจน์นี้ ไม่ต้องหาอนุกรมทั้งเส้นก็ได้ มีสูตรลัดสามตัว

Z22 Residue นิยาม

$$\operatorname{Res}_{z=z_0}f(z) = a_{-1} = \frac{1}{2\pi j}\oint_C f(z)\,dz$$

Z23 Simple pole โพลเดี่ยว

$$\operatorname{Res}_{z=p}f = \lim_{z\to p}(z - p)f(z)$$

คือ “วิธีปิดตัวประกอบ” ของเฮวิไซด์ในเศษส่วนย่อยนั่นเอง

Z24 Simple pole of N/D ใช้อนุพันธ์ตัวส่วน

$$\operatorname{Res}_{z=p}\frac{N(z)}{D(z)} = \frac{N(p)}{D'(p)},\quad D(p) = 0,\ D'(p) \ne 0$$

Z25 Pole of order m โพลซ้ำ

$$\operatorname{Res}_{z=p}f = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to p}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{m-1}}\left[(z-p)^m f(z)\right]$$

ตัวอย่าง Z-9 · เรซิดิวที่โพลจริงและโพลเชิงซ้อน

### หาเรซิดิวทุกตัวของ $F(s) = \dfrac{s+2}{(s+1)(s^2+4)}$

- โพล: $s = -1$ และ $s = \pm 2j$ อันดับ 1 ทั้งหมด

- ที่ $s = -1$ ปิด $(s+1)$ Z23

$$\operatorname{Res}_{-1} = \frac{-1+2}{(-1)^2 + 4} = \frac{1}{5}$$

- ที่ $s = 2j$ ใช้ $s^2 + 4 = (s - 2j)(s + 2j)$ แล้วปิด $(s - 2j)$

$$\operatorname{Res}_{2j} = \frac{2j + 2}{(2j + 1)(4j)} = \frac{2 + 2j}{-8 + 4j} = \frac{(2+2j)(-8-4j)}{80} = -\frac{1}{10} - \frac{3}{10}j$$

- ที่ $s = -2j$ เป็นสังยุคของค่าก่อนหน้า (เพราะสัมประสิทธิ์ของ $F$ เป็นจำนวนจริง)

$$\operatorname{Res}_{-2j} = -\frac{1}{10} + \frac{3}{10}j$$

เรซิดิว: $\tfrac15,\ -\tfrac{1}{10} \mp \tfrac{3}{10}j$ · ผลรวมทั้งหมด $= \tfrac15 - \tfrac{2}{10} = 0$

ผลรวมเป็นศูนย์ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ: เมื่อดีกรีส่วนมากกว่าเศษอย่างน้อย 2 ผลรวมเรซิดิวทุกตัวเป็นศูนย์เสมอ (เพราะ $\oint$ รอบวงกลมใหญ่มาก → 0)

ตัวอย่าง Z-10 · โพลอันดับสอง

### หา $\operatorname{Res}_{s=-1}\dfrac{e^{st}}{(s+1)^2}$

- $m = 2$ ใช้สูตรอนุพันธ์ Z25: คูณ $(s+1)^2$ ออกแล้วหาอนุพันธ์หนึ่งครั้ง

$$\operatorname{Res} = \frac{1}{1!}\frac{d}{ds}\left[e^{st}\right]_{s=-1} = \left[t e^{st}\right]_{s=-1} = te^{-t}$$

$te^{-t}$ ตรงกับตารางลาปลาซ $\mathcal L^{-1}\{1/(s+1)^2\} = te^{-t}$ ซึ่งอธิบายว่าทำไมโพลซ้ำจึงให้พจน์ $t^k e^{pt}$

## ทฤษฎีบทโคชีและทฤษฎีบทเรซิดิว ขั้นสูง

Z26 Cauchy–Goursat theorem ทฤษฎีบทของโคชี

$$f \text{ วิเคราะห์บนและภายในเส้นปิด } C \ \Rightarrow\ \oint_C f(z)\,dz = 0$$

Z27 Residue theorem ทฤษฎีบทเรซิดิว

$$\oint_C f(z)\,dz = 2\pi j\sum_{k}\operatorname{Res}_{z=z_k}f(z)$$

ผลรวมเฉพาะภาวะเอกฐาน $z_k$ ที่อยู่ภายใน $C$ และ $C$ วิ่งทวนเข็มนาฬิกา ห้ามมีภาวะเอกฐานอยู่บนเส้น

ตัวอย่าง Z-11 · อินทิกรัลรอบวงกลมสองขนาด

### หา $\oint_C \dfrac{s+2}{(s+1)(s^2+4)}\,ds$ เมื่อ $C: |s| = 1.5$ และ $C: |s| = 3$

- $|s| = 1.5$: ล้อมเฉพาะโพล $s = -1$ (ส่วน $\pm 2j$ อยู่นอกเพราะ $|2j| = 2 > 1.5$)

$$\oint = 2\pi j\cdot\frac{1}{5} = \frac{2\pi j}{5} \approx 1.2566j$$

- $|s| = 3$: ล้อมทั้งสามโพล ผลรวมเรซิดิวเป็นศูนย์จากตัวอย่าง Z-9

$$\oint = 2\pi j\cdot 0 = 0$$

$2\pi j/5$ และ $0$ ลองลากวงกลมในแล็บด้านล่างแล้วเทียบค่าอินทิกรัลเชิงตัวเลขกับ $2\pi j\sum\operatorname{Res}$

## เชื่อมสู่การแปลงลาปลาซผกผัน: อินทิกรัลบรอมวิช ขั้นสูง

สูตรแปลงกลับที่แท้จริงคืออินทิกรัลบนเส้นตรงแนวตั้ง $\operatorname{Re}s = c$ ซึ่งอยู่ใน ROC (ทางขวาของทุกโพล) เมื่อ $t > 0$ ปิดเส้นนี้ด้วยครึ่งวงกลมใหญ่ทางซ้าย อินทิกรัลบนครึ่งวงกลมหายไป (บทตั้งของจอร์แดน เมื่อ $F(s) \to 0$) จึงเหลือเพียงผลรวมเรซิดิว

Z28 Inversion by residues การแปลงกลับด้วยเรซิดิว

$$f(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty}F(s)e^{st}\,ds = \sum_{\text{ทุกโพล } p_k}\operatorname{Res}_{s=p_k}\left[F(s)e^{st}\right],\quad t > 0$$

ใช้ได้เมื่อ $F(s)$ เป็นฟังก์ชันตรรกยะแท้ (ดีกรีเศษ < ดีกรีส่วน) รายละเอียด เงื่อนไข และตัวอย่างโพลซ้ำอยู่ในหน้า 8.5

เส้นบรอมวิช $\operatorname{Re}s = c$ อยู่ทางขวาของทุกโพล (ใน ROC) ปิดด้วยครึ่งวงกลมทางซ้ายจนล้อมทุกโพล อินทิกรัลจึงเท่ากับ $2\pi j$ คูณผลรวมเรซิดิวของ $F(s)e^{st}$

ตัวอย่าง Z-12 · แปลงกลับด้วยเรซิดิวล้วน

### หา $\mathcal L^{-1}\left\{\dfrac{1}{(s+1)(s+2)}\right\}$ ด้วยสูตร Z28

-
$$\operatorname{Res}_{s=-1}\frac{e^{st}}{(s+1)(s+2)} = \frac{e^{-t}}{-1+2} = e^{-t}$$

-
$$\operatorname{Res}_{s=-2}\frac{e^{st}}{(s+1)(s+2)} = \frac{e^{-2t}}{-2+1} = -e^{-2t}$$

$f(t) = e^{-t} - e^{-2t},\ t \ge 0$ เหมือนกับที่ได้จากเศษส่วนย่อยทุกประการ เพราะเศษส่วนย่อยคือเรซิดิวที่เขียนอีกแบบ

### มองฟังก์ชันตรรกยะเป็นภูมิประเทศ

$|F(s)|$ เป็นพื้นผิวเหนือระนาบ s ที่พุ่งขึ้นเป็นยอดเขาไม่สิ้นสุดที่โพล และจมลงเป็นหลุมที่ซีโร่ เส้นตัดตามแกน jω คือผลตอบสนองเชิงความถี่ $|F(j\omega)|$ ลองพิมพ์ฟังก์ชันของคุณเองแล้วเลื่อนเส้นตัด

## อ่านต่อและแหล่งอ้างอิง

- บทเรียนต่อยอดบนเว็บนี้: ลำดับและอนุกรมครบชุด · อนุกรมโลรองต์กับการแปลง Z และ ROC · บทความ: โลรองต์ต่างจากเทย์เลอร์อย่างไร

- E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, ภาค D: Complex Analysis (บทจำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชันวิเคราะห์ อนุกรมโลรองต์ และเรซิดิว)

- R. V. Churchill & J. W. Brown, Complex Variables and Applications — ตำราคลาสสิกของสมการโคชี-รีมันน์และทฤษฎีบทเรซิดิว

- K. Ogata, Modern Control Engineering, ภาคผนวกการแปลงลาปลาซ (ตัวแปรเชิงซ้อน ฟังก์ชันวิเคราะห์ โพลและซีโร่)

- ทบทวนออยเลอร์และตรีโกณมิติ: สูตรของออยเลอร์ · เฟสเซอร์ในวงจร: พื้นฐานเฟสเซอร์

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมวิศวกรไฟฟ้าใช้ j แทน i?
เพราะ $i$ ใช้แทนกระแสไฟฟ้าอยู่แล้ว หน่วยจินตภาพจึงเขียนเป็น $j$ โดย $j^2 = -1$ ความหมายเหมือนกันทุกประการ

ฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) คืออะไร?
ฟังก์ชันเชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ทุกจุดในย่านใกล้เคียงของจุดนั้น ซึ่งเทียบเท่ากับส่วนจริง u และส่วนจินตภาพ v มีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องและเป็นไปตามสมการโคชี-รีมันน์ $u_x = v_y,\ u_y = -v_x$ ฟังก์ชันตรรกยะ $F(s)$ ในลาปลาซเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ทุกจุดยกเว้นที่โพล

เรซิดิวเกี่ยวกับการแปลงลาปลาซผกผันอย่างไร?
อินทิกรัลบรอมวิชสำหรับการแปลงกลับเท่ากับผลรวมเรซิดิวของ $F(s)e^{st}$ ที่ทุกโพล $f(t) = \sum \operatorname{Res}[F(s)e^{st}]$ และเรซิดิวของ $F(s)$ ที่โพลเดี่ยวคือสัมประสิทธิ์ของเศษส่วนย่อยตัวนั้นพอดี วิธีปิดตัวประกอบจึงเป็นการหาเรซิดิวนั่นเอง

จะรู้ได้อย่างไรว่าโพลมีอันดับเท่าไร?
ถ้า $F(s) = N(s)/D(s)$ และ $D(s)$ มีตัวประกอบ $(s-p)^m$ โดย $N(p) \ne 0$ แล้ว $p$ เป็นโพลอันดับ $m$ หรือดูว่า $\lim_{s\to p}(s-p)^m F(s)$ มีค่าจำกัดไม่เป็นศูนย์ที่ $m$ ใด

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**ทำไมวิศวกรไฟฟ้าใช้ j แทน i?**
เพราะ $i$ ใช้แทนกระแสไฟฟ้าอยู่แล้ว หน่วยจินตภาพจึงเขียนเป็น $j$ โดย $j^2 = -1$ ความหมายเหมือนกันทุกประการ

**ฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) คืออะไร?**
ฟังก์ชันเชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ทุกจุดในย่านใกล้เคียงของจุดนั้น ซึ่งเทียบเท่ากับส่วนจริง u และส่วนจินตภาพ v มีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องและเป็นไปตามสมการโคชี-รีมันน์ $u_x = v_y,\ u_y = -v_x$ ฟังก์ชันตรรกยะ $F(s)$ ในลาปลาซเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ทุกจุดยกเว้นที่โพล

**เรซิดิวเกี่ยวกับการแปลงลาปลาซผกผันอย่างไร?**
อินทิกรัลบรอมวิชสำหรับการแปลงกลับเท่ากับผลรวมเรซิดิวของ $F(s)e^{st}$ ที่ทุกโพล $f(t) = \sum \operatorname{Res}[F(s)e^{st}]$ และเรซิดิวของ $F(s)$ ที่โพลเดี่ยวคือสัมประสิทธิ์ของเศษส่วนย่อยตัวนั้นพอดี วิธีปิดตัวประกอบจึงเป็นการหาเรซิดิวนั่นเอง

**จะรู้ได้อย่างไรว่าโพลมีอันดับเท่าไร?**
ถ้า $F(s) = N(s)/D(s)$ และ $D(s)$ มีตัวประกอบ $(s-p)^m$ โดย $N(p) \ne 0$ แล้ว $p$ เป็นโพลอันดับ $m$ หรือดูว่า $\lim_{s\to p}(s-p)^m F(s)$ มีค่าจำกัดไม่เป็นศูนย์ที่ $m$ ใด