---
title: "แคลคูลัสเบื้องต้นสำหรับวิศวกรรมไฟฟ้า"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/integral-calculus/calculus-basics/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-14
---

> สรุปแคลคูลัสเบื้องต้นภาษาไทย ลิมิต อนุพันธ์ และปริพันธ์ พร้อมตัวอย่างกระแสในตัวเก็บประจุ พลังงานที่สะสม และค่า RMS ของไฟบ้าน 220 V อธิบายที่มาของสูตรทีละขั้น

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/integral-calculus/calculus-basics/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# แคลคูลัสเบื้องต้นสำหรับวิศวกรรมไฟฟ้า

// บทที่ 5.1 · อินทิกรัล · Basic Calculus


แคลคูลัสคือภาษาของสิ่งที่เปลี่ยนแปลง แรงดันที่ขึ้นลง กระแสที่ไหลเข้าตัวเก็บประจุ พลังงานที่สะสมทีละน้อย ทั้งหมดอธิบายได้ด้วยเครื่องมือสามอย่าง คือ ลิมิต อนุพันธ์ และปริพันธ์

สรุปใน 30 วินาที

- ลิมิต คือค่าที่ฟังก์ชันเข้าใกล้ เมื่อตัวแปรเข้าใกล้ค่าหนึ่ง

- อนุพันธ์ คืออัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะหนึ่ง เช่น $i = C\,\dfrac{dv}{dt}$

- ปริพันธ์ คือการสะสม เช่น พลังงาน $W = \int p\,dt$

- ไฟบ้าน 220 V คือค่า RMS ค่ายอดจริงคือ $220\sqrt2 \approx 311$ V

## แคลคูลัสใช้ทำอะไรในงานไฟฟ้า

ลองดูความสัมพันธ์ของอุปกรณ์พื้นฐานสามตัวในวงจร

$$v = R\,i \qquad i = C\,\frac{dv}{dt} \qquad v = L\,\frac{di}{dt}$$

ตัวต้านทานใช้แค่พีชคณิต แต่ตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำต้องใช้อนุพันธ์

ตัวต้านทานตอบสนองต่อค่าของแรงดัน ณ ขณะนั้น แต่ตัวเก็บประจุตอบสนองต่อ การเปลี่ยนแปลง ของแรงดัน ถ้าแรงดันคงที่ กระแสในตัวเก็บประจุจะเป็นศูนย์ นี่คือเหตุผลที่ตัวเก็บประจุ "กั้นไฟตรง" และเป็นเหตุผลที่วิศวกรไฟฟ้าต้องเข้าใจแคลคูลัส

หน้านี้คือบทสรุปสั้นสำหรับทบทวนก่อนเริ่มอินทิกรัล แต่ละหัวข้อมีหน้าเต็มของตัวเองแล้ว: ฟังก์ชัน · ลิมิตและความต่อเนื่อง (นิยาม ε–δ แบบลากได้) · อนุพันธ์ (สูตรครบ กฎลูกโซ่ ค่าสุดขีด นิวตัน-ราฟสัน) · อินทิกรัล และการประยุกต์อินทิกรัลในงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา

## ลิมิต: ค่าที่เข้าใกล้

ลิมิตตอบคำถามว่า เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $a$ มาก ๆ ค่าของ $f(x)$ เข้าใกล้อะไร เขียนว่า

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

สิ่งสำคัญคือ ลิมิตไม่สนใจว่า $f(a)$ มีค่าหรือไม่ สนใจเพียงพฤติกรรมของฟังก์ชันรอบ ๆ จุดนั้น

ตัวอย่างที่ 1

### หาค่า $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$

แทน $x = 2$ ตรง ๆ จะได้ $\tfrac{0}{0}$ ซึ่งไม่มีความหมาย แต่ไม่ได้แปลว่าลิมิตไม่มีค่า

ดูวิธีทำ

แยกตัวประกอบตัวเศษ แล้วตัดกัน (ทำได้เพราะ $x \ne 2$ ขณะเข้าใกล้)

$$\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$$

ลิมิตมีค่าเท่ากับ 4 แม้ฟังก์ชันเดิมจะไม่นิยามที่ $x = 2$

## อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลง

อนุพันธ์คือความชันของเส้นสัมผัสกราฟ หรืออัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะหนึ่ง นิยามด้วยลิมิตดังนี้

$$f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยในช่วงสั้น ๆ $h$ เมื่อทำให้ช่วงนั้นเล็กลงจนเข้าใกล้ศูนย์

ตัวอย่างที่ 2

### หาอนุพันธ์ของ $f(x) = x^3$ จากนิยาม

ดูวิธีทำ

$$\frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2$$

เมื่อ $h \to 0$ สองพจน์หลังหายไป

$\dfrac{d}{dx}x^3 = 3x^2$ ซึ่งตรงกับกฎยกกำลัง $\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$

### กฎที่ใช้บ่อย

| กฎ | สูตร |

| ยกกำลัง | $\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ |

| ผลคูณ | $(uv)' = u'v + uv'$ |

| ผลหาร | $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ |

| ลูกโซ่ | $\dfrac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$ |

| ฟังก์ชันพื้นฐาน | $(\sin x)' = \cos x,\ (\cos x)' = -\sin x,\ (e^x)' = e^x,\ (\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ |

ตัวอย่างที่ 3 · วงจร

### กระแสในตัวเก็บประจุ

ป้อนแรงดัน $v(t) = 10\sin(100t)$ V ให้ตัวเก็บประจุ $C = 1\ \mu\text{F}$ กระแสที่ไหลเป็นเท่าใด

ดูวิธีทำ

ใช้ $i = C\,dv/dt$ และกฎลูกโซ่ $\dfrac{d}{dt}\sin(100t) = 100\cos(100t)$

$$\begin{aligned} i(t) &= (1\times10^{-6})(10)(100)\cos(100t) \\ &= 1\times10^{-3}\cos(100t)\ \text{A} \end{aligned}$$

$i(t) = 1\cos(100t)$ mA สังเกตว่ากระแสเป็นโคไซน์ แรงดันเป็นไซน์ กระแสจึง นำหน้า แรงดันอยู่ 90° ซึ่งเป็นคุณสมบัติของตัวเก็บประจุในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ

## ปริพันธ์: การสะสม

ปริพันธ์ทำงานกลับกับอนุพันธ์ ถ้ารู้อัตราการเปลี่ยนแปลง ปริพันธ์จะบอกว่าสะสมได้เท่าไร ในเชิงเรขาคณิตคือพื้นที่ใต้กราฟ เครื่องมือหลักคือทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \qquad \text{เมื่อ } F'(x) = f(x)$$

หาพื้นที่ได้ด้วยการหาฟังก์ชันที่อนุพันธ์ของมันคือ $f(x)$

ตัวอย่างที่ 4 · วงจร

### พลังงานที่สะสมในตัวเก็บประจุ

ประจุตัวเก็บประจุ $C = 100\ \mu\text{F}$ จาก 0 ถึง 12 V สะสมพลังงานได้เท่าใด

ดูวิธีทำ

กำลังไฟฟ้า $p = vi = v\,C\,\dfrac{dv}{dt}$ ดังนั้น $dW = p\,dt = Cv\,dv$ อินทิเกรตตั้งแต่ 0 ถึง $V$

$$\begin{aligned} W &= \int_0^{V} Cv\,dv = \frac{1}{2}CV^2 \\ &= \frac{1}{2}(100\times10^{-6})(12)^2 = 7.2\times10^{-3}\ \text{J} \end{aligned}$$

พลังงาน 7.2 mJ และได้สูตร $\tfrac12 CV^2$ มาจากการอินทิเกรต ไม่ต้องท่องจำ

ตัวอย่างที่ 5 · ไฟฟ้ากระแสสลับ

### ทำไมไฟบ้าน 220 V จึงมีค่ายอด 311 V

ค่า RMS (root mean square) คือรากที่สองของค่าเฉลี่ยของกำลังสอง เป็นค่าที่ให้ความร้อนในตัวต้านทานเท่ากับไฟตรงขนาดเดียวกัน

ดูวิธีทำ

$$V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v^2(t)\,dt}$$

แทน $v = V_m\sin\omega t$ และใช้เอกลักษณ์ $\sin^2\theta = \tfrac{1}{2}(1-\cos 2\theta)$ ส่วนที่เป็นโคไซน์อินทิเกรตครบคาบได้ศูนย์

$$\frac{1}{T}\int_0^T V_m^2\sin^2\omega t\,dt = \frac{V_m^2}{2} \quad\Rightarrow\quad V_{\text{rms}} = \frac{V_m}{\sqrt2}$$

ไฟบ้าน $V_{\text{rms}} = 220$ V จึงมีค่ายอด $V_m = 220\sqrt2 \approx 311$ V

อยากฝึกอินทิเกรตให้คล่อง: สูตรครบทุกกลุ่มพร้อมชื่อสากล การเปลี่ยนตัวแปร u การหารยาว เศษส่วนย่อย และอินทิกรัลจำกัดเขตแบบแทนค่าทีละขั้น อยู่ในบทอินทิกรัล: สูตรและวิธีทำ

## ต่อยอดไปบทถัดไป

อนุพันธ์และปริพันธ์เป็นเครื่องมือที่ใช้ตลอดทั้งคลังความรู้นี้ ฝึกต่อที่สูตรอินทิเกรตและวิธีทำทีละขั้น แล้วดูว่าวิศวกรใช้อินทิกรัลทำอะไรในหน้าการประยุกต์ ซึ่งมีแล็บคานให้ดูน้ำหนัก แรงเฉือน โมเมนต์ และการโก่งต่อกันเป็นสายอินทิกรัล หลังจากนั้นคือ พีชคณิตของเวกเตอร์ และเมื่อถึง การแปลงลาปลาซ สมการเชิงอนุพันธ์ของวงจรจะกลายเป็นพีชคณิตที่แก้ได้ง่ายขึ้นมาก

## คำถามที่พบบ่อย

แคลคูลัสเบื้องต้นต้องมีพื้นฐานอะไรบ้าง?
พีชคณิต ฟังก์ชัน และตรีโกณมิติระดับมัธยมปลาย โดยเฉพาะการแยกตัวประกอบ เลขยกกำลัง และฟังก์ชัน sin, cos

อนุพันธ์กับปริพันธ์ต่างกันอย่างไร?
อนุพันธ์บอกอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะหนึ่ง ส่วนปริพันธ์บอกปริมาณที่สะสมรวมกัน ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสบอกว่าสองอย่างนี้เป็นกระบวนการย้อนกลับของกันและกัน

ทำไมนักศึกษาวิศวกรรมไฟฟ้าต้องเรียนแคลคูลัส?
เพราะความสัมพันธ์พื้นฐานของวงจรเขียนด้วยแคลคูลัส เช่น กระแสในตัวเก็บประจุ $i = C\,dv/dt$ แรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำ $v = L\,di/dt$ พลังงานที่สะสม และค่า RMS ของไฟฟ้ากระแสสลับ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**แคลคูลัสเบื้องต้นต้องมีพื้นฐานอะไรบ้าง?**
พีชคณิต ฟังก์ชัน และตรีโกณมิติระดับมัธยมปลาย โดยเฉพาะการแยกตัวประกอบ เลขยกกำลัง และฟังก์ชัน sin, cos

**อนุพันธ์กับปริพันธ์ต่างกันอย่างไร?**
อนุพันธ์บอกอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะหนึ่ง ส่วนปริพันธ์บอกปริมาณที่สะสมรวมกัน ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสบอกว่าสองอย่างนี้เป็นกระบวนการย้อนกลับของกันและกัน

**ทำไมนักศึกษาวิศวกรรมไฟฟ้าต้องเรียนแคลคูลัส?**
เพราะความสัมพันธ์พื้นฐานของวงจรเขียนด้วยแคลคูลัส เช่น กระแสในตัวเก็บประจุ $i = C\,dv/dt$ แรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำ $v = L\,di/dt$ พลังงานที่สะสม และค่า RMS ของไฟฟ้ากระแสสลับ