--- title: "ตารางอนุกรมฟูเรียร์ของรูปคลื่นในงานไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์กำลัง" url: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/waveform-table/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-12 --- > ตารางสูตรอนุกรมฟูเรียร์สำเร็จรูป 18 รูปคลื่นพร้อมค่า RMS THD และ crest factor: คลื่นสี่เหลี่ยม พัลส์ดิวตี้ D สามเหลี่ยม ฟันเลื่อย ไซน์เรียงกระแสครึ่งคลื่นและเต็มคลื่น quasi-square อินเวอร์เตอร์ six-step กระแสเรกติไฟเออร์ 6 พัลส์ SPWM พัลส์คางหมู ไตรแอกตัดเฟส ไซน์ตัดยอด กระแส SMPS และริปเปิลตัวเหนี่ยวนำ ทุกสูตรตรวจด้วยการคำนวณแบบปิด ใช้อ้างอิงได้ด้วยรหัส W1–W18 ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/waveform-table/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # ตารางอนุกรมฟูเรียร์ของรูปคลื่นในงานไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์กำลัง // บทที่ 14.6 · อนุกรมฟูเรียร์ · Fourier Series Table งานจริงไม่มีเวลาอินทิเกรตใหม่ทุกครั้ง ตารางนี้รวบรวมรูปคลื่นที่วิศวกรไฟฟ้าเจอซ้ำ ๆ พร้อมอนุกรม ค่า RMS THD และ crest factor ทุกสูตรตรวจกับการอินทิเกรตแบบปิดของแล็บในชุดนี้แล้ว เลือกจุด t = 0 ตามที่ระบุในแต่ละการ์ด ถ้าวางต่างไป ใช้สมบัติการเลื่อน (S6) ขนาดเท่าเดิม เปลี่ยนแค่เฟส วิธีใช้ - หาสูตรจากรหัส W ในกล่องค้นหา หรือพิมพ์ชื่อ เช่น six-step, triac, ripple - $A_n$ คือค่ายอดของฮาร์มอนิก ค่า RMS ของฮาร์มอนิก = $A_n/\sqrt2$ - รูปซับซ้อน = ผลรวมของรูปในตาราง (เชิงเส้น C8) - ทุกรูปเปิดดูในแล็บได้ทันที เลือกจากรายการรูปคลื่นท้ายหน้า ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย ## ตารางสรุปในหน้าเดียว พื้นฐาน | รหัส | รูปคลื่น | ฮาร์มอนิกที่มี | ขนาด $A_n$ | RMS | THD | CF | | W1 | สี่เหลี่ยม ±A | คี่ | $4A/(n\pi)$ | $A$ | 48.3 % | 1.00 | | W2 | สี่เหลี่ยม 0–A | DC + คี่ | $2A/(n\pi)$ | $A/\sqrt2$ | 48.3 %* | 1.41 | | W3 | พัลส์ดิวตี้ D | DC + ทุก n ยกเว้น $k/D$ | $2AD|\mathrm{sinc}\,nD|$ | $A\sqrt D$ | ขึ้นกับ D | $1/\sqrt D$ | | W5 | สามเหลี่ยม ±A | คี่ | $8A/(\pi^2n^2)$ | $A/\sqrt3$ | 12.1 % | 1.73 | | W6 | ฟันเลื่อย ±A | ทุก n | $2A/(n\pi)$ | $A/\sqrt3$ | 80.3 % | 1.73 | | W7 | เรียงกระแสครึ่งคลื่น | DC, 1, คู่ | $2V_m/(\pi(n^2 - 1))$ | $V_m/2$ | 43.5 %* | 2.00 | | W8 | เรียงกระแสเต็มคลื่น | DC + คู่ | $4V_m/(\pi(n^2 - 1))$ | $V_m/\sqrt2$ | ริปเปิล 48.3 % | 1.41 | | W9 | quasi-square มุม α | คี่ | $4A|\cos n\alpha|/(n\pi)$ | $A\sqrt{1 - 2\alpha/\pi}$ | ขึ้นกับ α | — | | W10 | six-step แรงดันเฟส | $6k\pm1$ | $2V_{dc}/(n\pi)$ | $0.471V_{dc}$ | 31.1 % | 1.41 | | W11 | six-step แรงดันไลน์ | $6k\pm1$ | $2\sqrt3V_{dc}/(n\pi)$ | $0.816V_{dc}$ | 31.1 % | 1.22 | | W12 | กระแส 6 พัลส์ (อุดมคติ) | $6k\pm1$ | $2\sqrt3I_d/(n\pi)$ | $0.816I_d$ | 31.1 % | 1.22 | | W13 | SPWM ไบโพลาร์ | 1 + ไซด์แบนด์รอบ $jm_f$ | $m_aV_{dc}/2$ (หลัก) | $V_{dc}/2$ | สูง (ก่อนกรอง) | 1.00 | | W14 | พัลส์คางหมู | เหมือน W3 | $\times|\mathrm{sinc}(nt_r/T)|$ | — | — | — | | W15 | ไตรแอกตัดเฟส α | คี่ | ดูการ์ด | ดูการ์ด | 64 % (α = 90°) | — | | W16 | ไซน์ตัดยอดสมมาตร | คี่ | ดูการ์ด | — | 13.8 % (ตัดที่ 70 %) | — | | W17 | กระแส SMPS ไม่มี PFC | คี่ | ไม่มีรูปปิด | — | 100–150 % | 2.5–3.5 | | W18 | สามเหลี่ยมไม่สมมาตร (ริปเปิล L) | ทุก n | $\Delta I|\sin n\pi D|/(\pi^2n^2D(1-D))$ | $\Delta I/\sqrt{12}$ (AC) | — | — | * ไม่นับ DC · CF = crest factor = ค่ายอด/RMS · ไซน์บริสุทธิ์ CF = 1.414 THD = 0 ## รูปคลื่นพื้นฐาน: สี่เหลี่ยม พัลส์ สามเหลี่ยม ฟันเลื่อย พื้นฐาน W1 Square wave ±A สี่เหลี่ยม (ขาขึ้นที่ t = 0) $$x(t) = \frac{4A}{\pi}\sum_{n=1,3,5}^{\infty}\frac{\sin n\omega_0 t}{n}$$ RMS = A · $X_1 = 0.900A$ · THD 48.3 % · ที่มา T-1 W2 Square wave 0 to A (50 %) สี่เหลี่ยมลอจิก $$x(t) = \frac{A}{2} + \frac{2A}{\pi}\sum_{n=1,3,5}^{\infty}\frac{\sin n\omega_0 t}{n}$$ = W1 ที่ A/2 บวก DC A/2 (S9) · RMS $A/\sqrt2$ · นาฬิกา 3.3 V 10 MHz มีฮาร์มอนิกที่ 30, 50 MHz ขนาด 0.70, 0.42 V W3 Pulse train, duty D พัลส์สูง A กว้าง DT เริ่มที่ t = 0 $$a_0 = AD,\quad a_n = \frac{A}{n\pi}\sin 2\pi nD,\quad b_n = \frac{A}{n\pi}(1 - \cos 2\pi nD),\quad A_n = \frac{2A}{n\pi}|\sin n\pi D|$$ RMS $A\sqrt D$ · ไม่มีฮาร์มอนิกที่ $n = k/D$ · ที่มา T-2 C7 W4 Pulse train, centred at t = 0 พัลส์วางกึ่งกลาง (ฟังก์ชันคู่) $$x(t) = AD + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2A}{n\pi}\sin(n\pi D)\cos n\omega_0 t$$ ขนาดเท่า W3 ทุกตัว แต่เป็นโคไซน์ล้วน สะดวกเมื่อคูณกับฟังก์ชันคู่อื่น W5 Triangle wave ±A สามเหลี่ยม (ขาขึ้นผ่าน 0 ที่ t = 0) $$x(t) = \frac{8A}{\pi^2}\sum_{n=1,3,5}^{\infty}\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n^2}\sin n\omega_0 t$$ RMS $A/\sqrt3$ · THD 12.1 % · CF 1.73 · ที่มา S-1 W6 Sawtooth ±A ฟันเลื่อย (ผ่าน 0 ขาขึ้นที่ t = 0) $$x(t) = \frac{2A}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin n\omega_0 t$$ RMS $A/\sqrt3$ · THD 80.3 % · มีทั้งคู่และคี่ · ที่มา T-3 ## วงจรเรียงกระแสและโหลดไม่เชิงเส้น กลาง W7 Half-wave rectified sine ไซน์เรียงกระแสครึ่งคลื่น $$v = \frac{V_m}{\pi} + \frac{V_m}{2}\sin\omega_0 t - \frac{2V_m}{\pi}\sum_{n=2,4,6}^{\infty}\frac{\cos n\omega_0 t}{n^2 - 1}$$ RMS $V_m/2$ · DC $0.318V_m$ · THD (ไม่นับ DC) 43.5 % · ที่มา T-4 W8 Full-wave rectified sine ไซน์เรียงกระแสเต็มคลื่น (ω₀ = ความถี่แหล่งจ่าย) $$v = \frac{2V_m}{\pi} - \frac{4V_m}{\pi}\sum_{n=2,4,6}^{\infty}\frac{\cos n\omega_0 t}{n^2 - 1}$$ DC $0.637V_m$ · ฮาร์มอนิกที่ 2 (100 Hz) $0.424V_m$ · RMS ริปเปิล/DC = 48.3 % (ripple factor) W12 6-pulse rectifier line current (ideal) กระแสไลน์ของบริดจ์ 3 เฟส (I_d เรียบ, วางกึ่งกลางบล็อกที่ t = 0) $$i_a = \frac{2\sqrt3 I_d}{\pi}\Big[\cos\omega t - \tfrac15\cos5\omega t + \tfrac17\cos7\omega t - \tfrac1{11}\cos11\omega t + \tfrac1{13}\cos13\omega t - \cdots\Big]$$ $I_1 = \frac{\sqrt6}{\pi}I_d = 0.780I_d$ (RMS) · $I_h = I_1/h$ · RMS $\sqrt{2/3}\,I_d = 0.816I_d$ · THD 31.1 % · รายละเอียดและผลของช่วงทับซ้อนที่ R7 W15 Phase-controlled (TRIAC) current, R load ไตรแอกตัดเฟส $i = I_m\sin\theta$ เมื่อ $\alpha \lt \theta \lt \pi$ (และครึ่งลบ) $$a_1 = \frac{I_m}{2\pi}(\cos 2\alpha - 1),\quad b_1 = \frac{I_m}{2\pi}\big(2(\pi - \alpha) + \sin 2\alpha\big)$$ $$a_n = \frac{I_m}{\pi}\Big[\frac{\cos(n+1)\alpha - 1}{n+1} - \frac{\cos(n-1)\alpha - 1}{n-1}\Big],\quad b_n = \frac{I_m}{\pi}\Big[\frac{\sin(n+1)\alpha}{n+1} - \frac{\sin(n-1)\alpha}{n-1}\Big]\;\;(n\text{ คี่} \ge 3)$$ $I_{rms} = I_m\sqrt{\frac{\pi - \alpha}{2\pi} + \frac{\sin 2\alpha}{4\pi}}$ · $a_1 \ne 0$ → ฮาร์มอนิกหลักล้าหลัง DPF < 1 แม้โหลดเป็นตัวต้านทาน · α = 90°: THD 64 % PF 0.707 W16 Symmetrically clipped sine ไซน์ตัดยอดที่ระดับ $cA$, $\theta_c = \sin^{-1}c$ $$b_1 = \frac{2A}{\pi}\big(\theta_c + \sin\theta_c\cos\theta_c\big),\quad b_n = \frac{2A}{\pi}\Big[\frac{\sin(n-1)\theta_c}{n-1} - \frac{\sin(n+1)\theta_c}{n+1}\Big] + \frac{4cA}{n\pi}\cos n\theta_c$$ n คี่ (n ≥ 3) · c = 0.7: $b_1 = 0.812A$, $b_3 = 0.108A$ THD 13.8 % · ตัดไม่สมมาตรดู S-4 W17 Capacitor-input rectifier current (SMPS without PFC) กระแสของบริดจ์ + ตัวเก็บประจุ $$I_3 \approx 0.8\text{–}0.95\,I_1,\quad I_5 \approx 0.6\text{–}0.85\,I_1,\quad I_7 \approx 0.4\text{–}0.7\,I_1,\quad \text{THD} \approx 100\text{–}150\,\%$$ ไม่มีรูปปิด ขึ้นกับ C อิมพีแดนซ์สายและ NTC จำลองในแล็บ (300 W, 220 µF, อิมพีแดนซ์ปลั๊ก 0.35 Ω): 90.8 / 74.3 / 53.7 / 33.0 % ของ $I_1$ ที่ h = 3, 5, 7, 9 THD 134 % PF 0.59 CF 3.0 R4 ## อินเวอร์เตอร์ กลาง W9 Quasi-square (3-level) wave สี่เหลี่ยมสามระดับ มุมศูนย์ α ที่ขอบแต่ละด้าน $$x(t) = \frac{4A}{\pi}\sum_{n=1,3,5}^{\infty}\frac{\cos n\alpha}{n}\sin n\omega_0 t$$ RMS $A\sqrt{1 - 2\alpha/\pi}$ · α = 30° ไม่มี 3, 9, 15 · α = 18° ไม่มี 5 · ที่มา S-2 W10 Six-step inverter, phase voltage แรงดันเฟส (ขั้น $V_{dc}/3$, $2V_{dc}/3$) $$v_{aN} = \frac{2V_{dc}}{\pi}\Big[\sin\omega t + \tfrac15\sin5\omega t + \tfrac17\sin7\omega t + \tfrac1{11}\sin11\omega t + \cdots\Big]$$ RMS $\frac{\sqrt2}{3}V_{dc} = 0.471V_{dc}$ · ฮาร์มอนิกหลัก (RMS) $0.450V_{dc}$ · THD 31.1 % W11 Six-step inverter, line voltage แรงดันไลน์ = quasi-square α = 30° สูง $V_{dc}$ $$|V_{ab,n}| = \frac{2\sqrt3\,V_{dc}}{n\pi}\;\;(n = 6k\pm1),\qquad V_{ab,1,rms} = \frac{\sqrt6}{\pi}V_{dc} = 0.780V_{dc}$$ RMS $0.816V_{dc}$ · หน้าตาเดียวกับกระแส 6 พัลส์ (W12) จึงมีสเปกตรัมเดียวกัน W13 Sinusoidal PWM (bipolar, ±Vdc/2) SPWM แบบไบโพลาร์ $$V_1 = m_a\frac{V_{dc}}{2}\;(m_a \le 1),\qquad h = j\,m_f \pm k\;\;(j \text{ คี่ → } k \text{ คู่},\; j \text{ คู่ → } k \text{ คี่})$$ ตารางขนาดไซด์แบนด์และแบบยูนิโพลาร์ที่ V6 · เปิดในแล็บ: “SPWM” ## คอนเวอร์เตอร์สวิตชิ่งและ EMI กลาง W14 Trapezoidal pulse พัลส์คางหมู: ดิวตี้ D (วัดที่ 50 %) เวลาขึ้น = ลง = $t_r$ $$A_n = 2AD\,\big|\mathrm{sinc}(nD)\big|\,\Big|\mathrm{sinc}\Big(\frac{n t_r}{T}\Big)\Big|$$ เอนเวโลปหักมุมที่ $1/(\pi\tau)$ และ $1/(\pi t_r)$ · ใช้ประเมิน EMI B9 W18 Asymmetric triangle (inductor ripple) ขึ้นช่วง DT ลงช่วง (1−D)T ยอดถึงยอด ΔI $$A_n = \frac{\Delta I\,|\sin n\pi D|}{\pi^2 n^2 D(1 - D)},\qquad I_{ac,rms} = \frac{\Delta I}{\sqrt{12}}$$ D = 0.5 ได้สามเหลี่ยมสมมาตร (W5 ที่ $A = \Delta I/2$) · ใช้หาความสูญเสียแกนและทองแดงที่ความถี่สวิตชิ่ง B7 ## ใช้ตารางแก้โจทย์จริง กลาง ตัวอย่าง W-1 · กระแสไดรฟ์ 6 พัลส์ ### เรกติไฟเออร์ 6 พัลส์กระแส DC 100 A (เรียบ) หากระแสไลน์ RMS ฮาร์มอนิกหลัก ที่ 5, 7, 11, 13 และ THD - W12: $I_{rms} = 0.816 \times 100 = 81.6$ A · $I_1 = 0.780 \times 100 = 78.0$ A - $I_5 = 78.0/5 = 15.6$ A · $I_7 = 11.1$ A · $I_{11} = 7.09$ A · $I_{13} = 6.00$ A - THD จากพาร์เซวาล P7: $\sqrt{81.65^2 - 77.97^2}/77.97 = 31.1$ % 81.6 A RMS, หลัก 78.0 A, ฮาร์มอนิก 15.6 / 11.1 / 7.1 / 6.0 A, THD 31.1 % (ค่าจริงต่ำกว่านี้เล็กน้อยเพราะช่วงทับซ้อน R9) ตัวอย่าง W-2 · รวมรูปจากตาราง ### แรงดันมีสี่เหลี่ยม ±10 V ซ้อนกับ DC 4 V หา DC, $A_1$, $A_3$ และ RMS - เชิงเส้น: DC = 4 V · W1: $A_1 = 40/\pi = 12.73$ V · $A_3 = 4.24$ V - RMS: DC กับ AC ตั้งฉากกัน $\sqrt{4^2 + 10^2} = 10.77$ V DC 4 V, $A_1$ 12.73 V, $A_3$ 4.24 V, RMS 10.77 V ## แล็บ: เปิดทุกรูปในตาราง พื้นฐาน เลือกรูปคลื่นจากรายการ ตัวเลขในแผงวิธีคิดคำนวณด้วยการอินทิเกรตแบบปิดของแต่ละช่วง ไม่ใช่ FFT จึงตรงกับสูตรในตารางทุกหลัก ## คำถามที่พบบ่อย อนุกรมฟูเรียร์ของคลื่นสี่เหลี่ยมคืออะไร? คลื่นสี่เหลี่ยมสูง ±A เริ่มขาขึ้นที่ t = 0 คือ $\frac{4A}{\pi}\big[\sin\omega_0t + \frac13\sin3\omega_0t + \frac15\sin5\omega_0t + \cdots\big]$ มีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ ลดลงตาม 1/n ค่า RMS เท่ากับ A และ THD 48.3 % กระแสของเรกติไฟเออร์ 3 เฟส 6 พัลส์มีฮาร์มอนิกอะไร? ถ้ากระแส DC เรียบ กระแสไลน์เป็นบล็อกกว้าง 120° มีเฉพาะ $h = 6k \pm 1$ คือ 5, 7, 11, 13, … ขนาด $I_h = I_1/h$ โดย $I_1 = (\sqrt6/\pi)I_d = 0.780I_d$ ค่า RMS $0.816I_d$ THD 31.1 % ไม่มีฮาร์มอนิกที่ 3 THD ของรูปคลื่นมาตรฐานเท่าไร? สี่เหลี่ยม 48.3 % ฟันเลื่อย 80.3 % สามเหลี่ยม 12.1 % six-step และกระแส 6 พัลส์ 31.1 % ไซน์เรียงกระแสครึ่งคลื่น (ไม่นับ DC) 43.5 % กระแส SMPS ไม่มี PFC ทั่วไป 100–150 % ใช้ตารางนี้อ้างอิงในรายงานได้อย่างไร? ทุกสูตรมีรหัสถาวร W1 ถึง W18 อ้างเป็น Mod's Engineering Mathematics, ตารางอนุกรมฟูเรียร์ W12 พร้อมลิงก์ /learn/fourier-series/waveform-table/#W12 ทุกสูตรตรวจกับการอินทิเกรตแบบปิดในแล็บแล้ว มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **อนุกรมฟูเรียร์ของคลื่นสี่เหลี่ยมคืออะไร?** คลื่นสี่เหลี่ยมสูง ±A เริ่มขาขึ้นที่ t = 0 คือ $\frac{4A}{\pi}\big[\sin\omega_0t + \frac13\sin3\omega_0t + \frac15\sin5\omega_0t + \cdots\big]$ มีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ ลดลงตาม 1/n ค่า RMS เท่ากับ A และ THD 48.3 % **กระแสของเรกติไฟเออร์ 3 เฟส 6 พัลส์มีฮาร์มอนิกอะไร?** ถ้ากระแส DC เรียบ กระแสไลน์เป็นบล็อกกว้าง 120° มีเฉพาะ $h = 6k \pm 1$ คือ 5, 7, 11, 13, … ขนาด $I_h = I_1/h$ โดย $I_1 = (\sqrt6/\pi)I_d = 0.780I_d$ ค่า RMS $0.816I_d$ THD 31.1 % ไม่มีฮาร์มอนิกที่ 3 **THD ของรูปคลื่นมาตรฐานเท่าไร?** สี่เหลี่ยม 48.3 % ฟันเลื่อย 80.3 % สามเหลี่ยม 12.1 % six-step และกระแส 6 พัลส์ 31.1 % ไซน์เรียงกระแสครึ่งคลื่น (ไม่นับ DC) 43.5 % กระแส SMPS ไม่มี PFC ทั่วไป 100–150 % **ใช้ตารางนี้อ้างอิงในรายงานได้อย่างไร?** ทุกสูตรมีรหัสถาวร W1 ถึง W18 อ้างเป็น Mod's Engineering Mathematics, ตารางอนุกรมฟูเรียร์ W12 พร้อมลิงก์ /learn/fourier-series/waveform-table/#W12 ทุกสูตรตรวจกับการอินทิเกรตแบบปิดในแล็บแล้ว