---
title: "ทางลัดด้วยสมมาตร: ฟังก์ชันคู่ คี่ ครึ่งคลื่น เสี้ยวคลื่น และการเลื่อน"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/symmetry/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-12
---

> ใช้สมมาตรลดงานหาอนุกรมฟูเรียร์: ฟังก์ชันคู่ได้แต่โคไซน์ ฟังก์ชันคี่ได้แต่ไซน์ สมมาตรครึ่งคลื่นไม่มีฮาร์มอนิกคู่ สมมาตรเสี้ยวคลื่นของอินเวอร์เตอร์ quasi-square การเลื่อนเวลาเปลี่ยนแค่เฟส การตัดยอดสมมาตรและไม่สมมาตรกับฮาร์มอนิกคู่ อนุกรมครึ่งช่วง พร้อมตารางตัดสินใจและตัวอย่างวิธีทำ

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/symmetry/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# ทางลัดด้วยสมมาตร: ฟังก์ชันคู่ คี่ ครึ่งคลื่น เสี้ยวคลื่น และการเลื่อน

// บทที่ 14.3 · อนุกรมฟูเรียร์ · Symmetry Shortcuts


ก่อนอินทิเกรตสักตัว ดูรูปคลื่นสักห้าวินาทีก็บอกได้แล้วว่าพจน์ไหนเป็นศูนย์ และที่สำคัญกว่านั้นในงานไฟฟ้า สมมาตรบอกว่าทำไมระบบไฟปกติมีแต่ฮาร์มอนิกคี่ และเมื่อไรฮาร์มอนิกคู่โผล่มา ซึ่งมักเป็นสัญญาณว่ามีอะไรผิดปกติ

สรุปใน 30 วินาที

- คู่ $x(-t) = x(t)$ → $b_n = 0$ · คี่ $x(-t) = -x(t)$ → $a_0 = a_n = 0$

- ครึ่งคลื่น $x(t + T/2) = -x(t)$ → ไม่มี DC ไม่มีฮาร์มอนิกคู่ (ระบบไฟปกติ)

- ครึ่งคลื่น + คี่ (เสี้ยวคลื่น) → $b_n = \frac{8}{T}\int_0^{T/4} x\sin n\omega_0 t\,dt$ เฉพาะ n คี่

- เลื่อนเวลาเปลี่ยนแค่เฟส ไม่เปลี่ยน $A_n$ · ซ้ำทุก T/2 → มีแต่ n คู่

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

## ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ พื้นฐาน

ฟังก์ชันคู่สะท้อนกระจกรอบแกนตั้ง เหมือน $\cos t$ ฟังก์ชันคี่หมุนครึ่งรอบรอบจุดกำเนิดแล้วทับตัวเอง เหมือน $\sin t$ อินทิกรัลของฟังก์ชันคี่บนช่วงสมมาตร $-T/2$ ถึง $T/2$ เป็นศูนย์เสมอ เพราะพื้นที่ซ้ายกับขวาหักกันพอดี

S1 Even function ฟังก์ชันคู่ → อนุกรมโคไซน์

$$x(-t) = x(t) \;\Rightarrow\; b_n = 0,\quad a_0 = \frac{2}{T}\int_0^{T/2} x\,dt,\quad a_n = \frac{4}{T}\int_0^{T/2} x\cos n\omega_0 t\,dt$$

S2 Odd function ฟังก์ชันคี่ → อนุกรมไซน์

$$x(-t) = -x(t) \;\Rightarrow\; a_0 = a_n = 0,\quad b_n = \frac{4}{T}\int_0^{T/2} x\sin n\omega_0 t\,dt$$

S3 Products and integrals คู่ × คู่ = คู่ · คี่ × คี่ = คู่ · คู่ × คี่ = คี่

$$\int_{-T/2}^{T/2} (\text{คี่})\,dt = 0, \qquad \int_{-T/2}^{T/2} (\text{คู่})\,dt = 2\int_0^{T/2} (\text{คู่})\,dt$$

ถ้า $x$ คู่ $x\sin n\omega_0 t$ เป็นคี่ → $b_n = 0$ และ $x\cos n\omega_0 t$ เป็นคู่ → อินทิเกรตครึ่งช่วงคูณสอง (นี่คือที่มาของ 4/T)

สี่แบบของสมมาตร: คู่ (สะท้อนรอบแกนตั้ง) คี่ (หมุน 180° รอบจุดกำเนิด) ครึ่งคลื่น (ครึ่งหลัง = ครึ่งแรกกลับหัว) และเสี้ยวคลื่น (ครึ่งคลื่น + สมมาตรภายในครึ่งคาบ)

ความเป็นคู่หรือคี่ขึ้นกับการเลือก t = 0: คลื่นสี่เหลี่ยมเดียวกัน ถ้าวางขอบขาขึ้นที่ t = 0 เป็นฟังก์ชันคี่ ถ้าวางกึ่งกลางช่วงบวกที่ t = 0 เป็นฟังก์ชันคู่ เลือกจุดเริ่มที่ทำให้ได้สมมาตรมากที่สุดก่อนเริ่มคำนวณ

## สมมาตรครึ่งคลื่น: ทำไมระบบไฟมีแต่ฮาร์มอนิกคี่ พื้นฐาน

อุปกรณ์ไฟฟ้าส่วนใหญ่ทำงานเหมือนกันทั้งครึ่งบวกและครึ่งลบ กระแสครึ่งลบจึงเป็นครึ่งบวกกลับหัว นี่คือสมมาตรครึ่งคลื่น และไม่ขึ้นกับว่าเลือก t = 0 ตรงไหน ฮาร์มอนิกคู่เมื่อเลื่อนครึ่งคาบจะได้รูปเดิม (ไม่กลับหัว) จึงอยู่ในสัญญาณแบบนี้ไม่ได้

S4 Half-wave symmetry สมมาตรครึ่งคลื่น → เฉพาะฮาร์มอนิกคี่

$$x\!\left(t + \tfrac{T}{2}\right) = -x(t) \;\Rightarrow\; a_0 = 0,\;\; a_n = b_n = 0 \;(n \text{ คู่}),\;\; \begin{Bmatrix} a_n \\ b_n \end{Bmatrix} = \frac{4}{T}\int_0^{T/2} x(t)\begin{Bmatrix} \cos \\ \sin \end{Bmatrix} n\omega_0 t\,dt \;(n \text{ คี่})$$

ตัวอย่าง: สี่เหลี่ยม 50 % สามเหลี่ยม กระแส SMPS กระแสเรกติไฟเออร์ 6 พัลส์ แรงดันอินเวอร์เตอร์ ทุกตัวไม่มีฮาร์มอนิกคู่

S8 Repeats every half period ซ้ำทุก T/2 → เฉพาะฮาร์มอนิกคู่ (และ DC)

$$x\!\left(t + \tfrac{T}{2}\right) = x(t) \;\Rightarrow\; a_n = b_n = 0 \;\;(n \text{ คี่})$$

คาบจริงคือ T/2 แต่เรายังวัดเทียบความถี่แหล่งจ่าย เช่นแรงดันเรียงกระแสเต็มคลื่นจากไฟ 50 Hz มีแค่ DC, 100, 200, 300 Hz W8

| ถ้าเครื่องวัดเห็นฮาร์มอนิกคู่ หรือ DC ในกระแส | สาเหตุที่เป็นไปได้ |

| ฮาร์มอนิกที่ 2 ช่วงสั้น ๆ ตอนจ่ายไฟ | กระแสพุ่งเข้า (inrush) ของหม้อแปลง แกนอิ่มตัวข้างเดียว |

| DC และฮาร์มอนิกคู่ต่อเนื่อง | เรียงกระแสครึ่งคลื่น เครื่องเป่าผม/ฮีตเตอร์ที่ใช้ไดโอดลดกำลัง |

| ฮาร์มอนิกคู่ในไดรฟ์ 6 พัลส์ | ไดโอดหรือไทริสเตอร์ตัวหนึ่งเสีย หรือมุมจุดชนวนไม่เท่ากัน |

| ฮาร์มอนิกคู่ในอินเวอร์เตอร์ | เวลาตาย (dead time) ไม่เท่ากัน ออฟเซตในวงจรวัดกระแส |

## สมมาตรเสี้ยวคลื่น: อินทิเกรตแค่หนึ่งในสี่คาบ กลาง

ถ้ารูปมีทั้งสมมาตรครึ่งคลื่นและเป็นฟังก์ชันคี่ (หรือคู่) ในเวลาเดียวกัน หนึ่งในสี่คาบแรกก็บอกทุกอย่างแล้ว รูปคลื่นของอินเวอร์เตอร์เกือบทุกชนิดออกแบบให้มีสมมาตรนี้ การคำนวณจึงสั้นมาก

S5 Quarter-wave symmetry สมมาตรเสี้ยวคลื่น

$$\text{ครึ่งคลื่น + คี่:}\;\; b_n = \frac{8}{T}\int_0^{T/4} x\sin n\omega_0 t\,dt = \frac{4}{\pi}\int_0^{\pi/2} x(\theta)\sin n\theta\,d\theta \;\;(n \text{ คี่}),\quad a_n = 0$$

ครึ่งคลื่น + คู่: สลับบทบาท ได้ $a_n = \frac{8}{T}\int_0^{T/4} x\cos n\omega_0 t\,dt$ เฉพาะ n คี่ และ $b_n = 0$

ตัวอย่าง S-1 · สามเหลี่ยมด้วยเสี้ยวคลื่น

### คลื่นสามเหลี่ยมสูง $\pm A$ เริ่มจาก 0 ขาขึ้นที่ t = 0 หาอนุกรมโดยอินทิเกรตเพียง T/4

- คี่และครึ่งคลื่น → เสี้ยวคลื่น ใช้ S5 ช่วง $0 \lt t \lt T/4$ เส้นตรง $x = 4At/T$

- อินทิกรัลทีละส่วน T10

$$b_n = \frac{8}{T}\cdot\frac{4A}{T}\Big[-\frac{t\cos n\omega_0 t}{n\omega_0} + \frac{\sin n\omega_0 t}{(n\omega_0)^2}\Big]_0^{T/4}$$

- n คี่: $\cos(n\pi/2) = 0$ พจน์แรกหาย เหลือ $\sin(n\pi/2)/(n\omega_0)^2$ และ $(n\omega_0)^2 = 4\pi^2n^2/T^2$

$$b_n = \frac{32A}{T^2}\cdot\frac{T^2\sin(n\pi/2)}{4\pi^2 n^2} = \frac{8A}{\pi^2 n^2}\sin\frac{n\pi}{2}$$

$x(t) = \dfrac{8A}{\pi^2}\Big[\sin\omega_0 t - \tfrac19\sin 3\omega_0 t + \tfrac1{25}\sin 5\omega_0 t - \cdots\Big]$ · ลดลงตาม $1/n^2$ เร็วกว่าสี่เหลี่ยมมาก ฮาร์มอนิกที่ 3 เหลือ 11.1 % ของหลัก

ตัวอย่าง S-2 · quasi-square ของอินเวอร์เตอร์

### แรงดัน +A ช่วง $\alpha \lt \theta \lt \pi - \alpha$, −A ช่วง $\pi + \alpha \lt \theta \lt 2\pi - \alpha$ นอกนั้นเป็น 0 หา $b_n$ และค่าเมื่อ $\alpha = 30^\circ$

- เสี้ยวคลื่น (คี่ + ครึ่งคลื่น) ใช้รูปมุมของ S5 ในช่วง $0$ ถึง $\pi/2$ มีค่า A เฉพาะ $\alpha$ ถึง $\pi/2$

$$b_n = \frac{4}{\pi}\int_{\alpha}^{\pi/2} A\sin n\theta\,d\theta = \frac{4A}{n\pi}\Big[\cos n\alpha - \cos\frac{n\pi}{2}\Big] = \frac{4A}{n\pi}\cos n\alpha \quad (n \text{ คี่})$$

- $\alpha = 30^\circ$: $b_1 = \frac{4A}{\pi}(0.866) = 1.1027A$ · $b_3 = \frac{4A}{3\pi}\cos 90^\circ = 0$ · $b_5 = \frac{4A}{5\pi}\cos 150^\circ = -0.2205A$ · $b_7 = -0.1575A$ · $b_{11} = 0.1002A$

มุม α = 30° ทำให้ $\cos 3\alpha = 0$ ฮาร์มอนิกที่ 3, 9, 15 หายหมด ที่เหลือคือ $1/n$ ของหลักพอดี (THD 31.1 %) นี่คือแรงดันไลน์ของอินเวอร์เตอร์ six-step และหน้าตาเดียวกับกระแสเรกติไฟเออร์ 6 พัลส์ V2

ลองเปลี่ยน α ในแล็บด้านล่าง: α = 18° ฮาร์มอนิกที่ 5 หาย ($\cos 90^\circ$) แต่ที่ 3 กลับมา

## เลื่อนเวลา เลื่อนระดับ และย่อขยาย กลาง

S6 Time shift เลื่อนเวลาเปลี่ยนแค่เฟส

$$x(t - t_0):\quad A_n \text{ เท่าเดิม},\quad \varphi_n \to \varphi_n - n\omega_0 t_0$$

ฮาร์มอนิกที่ n เลื่อนเฟสไป n เท่าของฮาร์มอนิกหลัก นี่คือเหตุที่การเลื่อน 120° ระหว่างเฟสทำให้ฮาร์มอนิกที่ 3 ของทั้งสามเฟสอยู่ในเฟสเดียวกัน H10

S9 Level shift & scaling เลื่อนระดับและย่อขยาย

$$x + c \Rightarrow a_0 + c, \qquad kx \Rightarrow k\,a_n,\;k\,b_n, \qquad x(\lambda t) \Rightarrow \omega_0 \to \lambda\omega_0$$

พัลส์ 0 ถึง A ดิวตี้ 50 % = สี่เหลี่ยม $\pm A/2$ บวก DC $A/2$ ใช้อนุกรมเดิมได้ทันที

ตัวอย่าง S-3 · ทำให้เป็นฟังก์ชันคู่ด้วยการเลื่อน

### จากสี่เหลี่ยมคี่ของ T-1 เลื่อนให้กึ่งกลางช่วงบวกอยู่ที่ t = 0 แล้วเขียนเป็นอนุกรมโคไซน์

- ฟังก์ชันใหม่ $x_e(t) = x(t + T/4)$ แทนในแต่ละพจน์ $\sin n\omega_0(t + T/4) = \sin n\omega_0 t\cos\tfrac{n\pi}{2} + \cos n\omega_0 t\sin\tfrac{n\pi}{2}$

- n คี่: $\cos\frac{n\pi}{2} = 0$ และ $\sin\frac{n\pi}{2} = (-1)^{(n-1)/2}$ T11 → $a_n = \frac{4A}{n\pi}(-1)^{(n-1)/2}$

$x_e(t) = \dfrac{4A}{\pi}\Big[\cos\omega_0 t - \tfrac13\cos 3\omega_0 t + \tfrac15\cos 5\omega_0 t - \cdots\Big]$ ขนาดทุกตัวเท่าเดิม เปลี่ยนแค่เครื่องหมายสลับ ซึ่งคือเฟส

## สมมาตรของความไม่เป็นเชิงเส้น: ตัดยอด แกนเหล็ก ไดโอด กลาง

อุปกรณ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นรับไซน์เข้าแล้วให้รูปอื่นออก รูปที่ออกมีสมมาตรแบบไหนขึ้นกับว่าความไม่เป็นเชิงเส้นนั้นสมมาตรหรือไม่ จึงทำนายชนิดของฮาร์มอนิกได้ก่อนคำนวณ

S7 Symmetric vs asymmetric nonlinearity ไม่เป็นเชิงเส้นแบบสมมาตรและไม่สมมาตร

$$y = f(x),\;\; x = \sin\omega t: \qquad f(-x) = -f(x) \Rightarrow \text{เฉพาะฮาร์มอนิกคี่} \qquad f(-x) \neq -f(x) \Rightarrow \text{มี DC และฮาร์มอนิกคู่}$$

สมมาตร: ตัดยอดทั้งบนล่างเท่ากัน แกนเหล็กอิ่มตัว (B–H สมมาตร) → ฮาร์มอนิกที่ 3 เด่น · ไม่สมมาตร: ไดโอด ทรานซิสเตอร์ไบแอสไม่ตรงกลาง → ฮาร์มอนิกที่ 2 เด่น

ตัวอย่าง S-4 · ตัดยอดสมมาตรกับไม่สมมาตร

### ไซน์แอมพลิจูด 1 ถูกตัด (ก) ทั้งบนและล่างที่ ±0.7 (ข) เฉพาะบนที่ 0.6 เปรียบเทียบสเปกตรัม

- (ก) $f(-x) = -f(x)$ → ไม่มี DC ไม่มี n คู่ อินทิเกรตเป็นช่วงไซน์กับช่วงค่าคงตัว ได้ $b_1 = 0.812$, $b_3 = 0.108$ (13.3 %), $b_5 = -0.020$ (2.5 %), $b_7 = -0.016$ (2.0 %) THD = 13.8 %

- (ข) ตัดข้างเดียว สมมาตรครึ่งคลื่นหาย: $a_0 = -0.078$ (ค่าเฉลี่ยติดลบ เพราะส่วนบนหายไป) $b_1 = 0.858$, $a_2 = 0.109$ (12.7 %), $b_3 = 0.065$ (7.6 %), $a_4 = -0.025$ (2.9 %) THD = 15.2 %

ตัดสมมาตรได้เฉพาะคี่ ตัดข้างเดียวได้ DC และฮาร์มอนิกที่ 2 เด่น วิศวกรเสียงใช้ข้อนี้บอกได้ว่าเครื่องขยายตัดยอดข้างไหน ทั้งหมดคำนวณแบบปิด (ไม่ประมาณ) ในแล็บ เลือก “ไซน์ถูกตัดยอด”

## อนุกรมครึ่งช่วง: ขยายฟังก์ชันที่รู้แค่ครึ่งเดียว ขั้นสูง

ปัญหาค่าขอบเขต เช่นการนำความร้อนในแท่งโลหะ (ปัญหาดั้งเดิมของฟูเรียร์) หรือแรงดันบนสายส่งที่ปลายสองข้างกำหนดไว้ ฟังก์ชันถูกกำหนดแค่ช่วง $0 \lt x \lt L$ เราจะ “สร้าง” ครึ่งที่เหลือให้เป็นคู่หรือคี่ตามเงื่อนไขขอบ แล้วได้อนุกรมโคไซน์หรือไซน์ล้วน

S10 Half-range expansions on 0 < x < L อนุกรมครึ่งช่วง

$$\text{ไซน์ (ขยายแบบคี่):}\; b_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx \qquad \text{โคไซน์ (ขยายแบบคู่):}\; a_0 = \frac{1}{L}\int_0^L f\,dx,\;\; a_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}dx$$

ปลายทั้งสองถูกตรึงเป็นศูนย์ (เช่นอุณหภูมิที่ปลายแท่งคงที่) ใช้อนุกรมไซน์ ปลายหุ้มฉนวนไม่มีความร้อนไหล (อนุพันธ์เป็นศูนย์) ใช้อนุกรมโคไซน์

ตัวอย่าง S-5 · อนุกรมไซน์ครึ่งช่วง

### เขียน $f(x) = x$ บน $0 \lt x \lt \pi$ เป็นอนุกรมไซน์

- $L = \pi$ ใช้ S10 และ T10

$$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin nx\,dx = \frac{2}{\pi}\Big[-\frac{x\cos nx}{n} + \frac{\sin nx}{n^2}\Big]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi}\cdot\Big(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\Big) = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$$

$x = 2\big(\sin x - \tfrac12\sin 2x + \tfrac13\sin 3x - \cdots\big)$ บน $0 \lt x \lt \pi$ ซึ่งก็คือฟันเลื่อยของ T-3 นั่นเอง (ขยายแบบคี่ของเส้นตรงคือฟันเลื่อย)

## ตารางตัดสินใจ: ดูรูปแล้วรู้ว่าต้องหาอะไร พื้นฐาน

| สมมาตรที่เห็น | $a_0$ | $a_n$ | $b_n$ | n ที่มี | อินทิเกรตช่วง |

| ไม่มี | หา | หา | หา | ทุก n | T |

| คู่ | หา | หา | 0 | ทุก n | T/2 (×2) |

| คี่ | 0 | 0 | หา | ทุก n | T/2 (×2) |

| ครึ่งคลื่น | 0 | หา (n คี่) | หา (n คี่) | คี่ | T/2 (×2) |

| ครึ่งคลื่น + คู่ | 0 | หา (n คี่) | 0 | คี่ | T/4 (×4) |

| ครึ่งคลื่น + คี่ | 0 | 0 | หา (n คี่) | คี่ | T/4 (×4) |

| ซ้ำทุก T/2 | หา | หา (n คู่) | หา (n คู่) | คู่ | T/2 |

ตัวอย่าง S-6 · ฝึกดูสมมาตร

### บอกสมมาตรและฮาร์มอนิกที่มีของ: (ก) กระแส SMPS (ข) พัลส์ 0–5 V ดิวตี้ 25 % (ค) แรงดันเรียงกระแสเต็มคลื่น (ง) กระแสเรกติไฟเออร์ 6 พัลส์ (จ) ฟันเลื่อย

- (ก) พัลส์บวกกับลบหน้าตาเหมือนกัน → ครึ่งคลื่น → เฉพาะคี่ (3, 5, 7, …) ไม่มี DC

- (ข) ไม่มีสมมาตรครึ่งคลื่น มี DC = 1.25 V · ถ้าวางกึ่งกลางพัลส์ที่ t = 0 เป็นฟังก์ชันคู่ → มีแต่โคไซน์ ทั้ง n คู่และคี่ (ยกเว้น n = 4, 8, …)

- (ค) ซ้ำทุกครึ่งคาบของไฟ → เฉพาะ n คู่ และเป็นฟังก์ชันคู่ (วาง t = 0 ที่ยอด) → โคไซน์ล้วน

- (ง) ครึ่งคลื่น + คู่ (วางกึ่งกลางบล็อกที่ t = 0) → เสี้ยวคลื่น เฉพาะคี่ และความเป็น 3 เฟสตัด 3, 9, 15 ออกอีก เหลือ 6k ± 1

- (จ) คี่แต่ไม่มีครึ่งคลื่น → ไซน์ล้วน มีทุก n

ลองยืนยันทุกข้อในแล็บด้านล่าง แผงด้านล่างกราฟบอกสมมาตรที่ตรวจพบจากสัมประสิทธิ์ให้อัตโนมัติ

## แล็บ: ทายสมมาตรก่อนดูสเปกตรัม พื้นฐาน

ติ๊ก “ซ่อนสเปกตรัม (ทายก่อน)” เลือกรูปคลื่น ทายว่ามีฮาร์มอนิกคู่ไหม มี DC ไหม แล้วค่อยกดดู ลองเลื่อน α ของ quasi-square และดิวตี้ของพัลส์แล้วสังเกตว่าศูนย์ของสเปกตรัมย้ายไปที่ไหน

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมคลื่นสี่เหลี่ยมมีแต่ฮาร์มอนิกคี่?
เพราะคลื่นสี่เหลี่ยม 50 % มีสมมาตรครึ่งคลื่น $x(t + T/2) = -x(t)$ ครึ่งหลังคือครึ่งแรกกลับหัว ฮาร์มอนิกคู่ไม่มีสมบัตินี้ (เลื่อนครึ่งคาบแล้วหน้าตาเหมือนเดิม ไม่กลับหัว) จึงต้องเป็นศูนย์ทั้งหมด ถ้าดิวตี้ไม่ใช่ 50 % สมมาตรหายไป ฮาร์มอนิกคู่จะโผล่

ฟังก์ชันคู่และคี่ช่วยอะไรในการหาอนุกรมฟูเรียร์?
ฟังก์ชันคู่ $x(-t) = x(t)$ มี $b_n = 0$ ทุกตัว หาแค่ $a_0$ กับ $a_n$ ฟังก์ชันคี่ $x(-t) = -x(t)$ มี $a_0 = a_n = 0$ หาแค่ $b_n$ และอินทิเกรตแค่ครึ่งคาบแล้วคูณสองได้

การเลื่อนแกนเวลาทำให้สเปกตรัมเปลี่ยนไหม?
ไม่เปลี่ยนขนาด $A_n$ เปลี่ยนเฉพาะมุมเฟส $\varphi_n$ ไป $-n\omega_0 t_0$ แต่การเลื่อนอาจทำให้รูปมีหรือไม่มีสมมาตรคู่/คี่ เราจึงเลือกจุด t = 0 ให้ได้สมมาตรมากที่สุดเพื่อให้คำนวณง่าย

ทำไมเครื่องขยายเสียงที่ตัดยอดไม่สมมาตรจึงมีฮาร์มอนิกที่ 2?
การตัดยอดเฉพาะด้านบนทำลายสมมาตรครึ่งคลื่น ขาออกจึงมีทั้ง DC และฮาร์มอนิกคู่ ตัวอย่างในหน้านี้ตัดบนที่ 60 % ได้ฮาร์มอนิกที่ 2 ประมาณ 12.7 % ของหลัก ส่วนการตัดสมมาตรทั้งบนล่างให้แต่ฮาร์มอนิกคี่

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**ทำไมคลื่นสี่เหลี่ยมมีแต่ฮาร์มอนิกคี่?**
เพราะคลื่นสี่เหลี่ยม 50 % มีสมมาตรครึ่งคลื่น $x(t + T/2) = -x(t)$ ครึ่งหลังคือครึ่งแรกกลับหัว ฮาร์มอนิกคู่ไม่มีสมบัตินี้ (เลื่อนครึ่งคาบแล้วหน้าตาเหมือนเดิม ไม่กลับหัว) จึงต้องเป็นศูนย์ทั้งหมด ถ้าดิวตี้ไม่ใช่ 50 % สมมาตรหายไป ฮาร์มอนิกคู่จะโผล่

**ฟังก์ชันคู่และคี่ช่วยอะไรในการหาอนุกรมฟูเรียร์?**
ฟังก์ชันคู่ $x(-t) = x(t)$ มี $b_n = 0$ ทุกตัว หาแค่ $a_0$ กับ $a_n$ ฟังก์ชันคี่ $x(-t) = -x(t)$ มี $a_0 = a_n = 0$ หาแค่ $b_n$ และอินทิเกรตแค่ครึ่งคาบแล้วคูณสองได้

**การเลื่อนแกนเวลาทำให้สเปกตรัมเปลี่ยนไหม?**
ไม่เปลี่ยนขนาด $A_n$ เปลี่ยนเฉพาะมุมเฟส $\varphi_n$ ไป $-n\omega_0 t_0$ แต่การเลื่อนอาจทำให้รูปมีหรือไม่มีสมมาตรคู่/คี่ เราจึงเลือกจุด t = 0 ให้ได้สมมาตรมากที่สุดเพื่อให้คำนวณง่าย

**ทำไมเครื่องขยายเสียงที่ตัดยอดไม่สมมาตรจึงมีฮาร์มอนิกที่ 2?**
การตัดยอดเฉพาะด้านบนทำลายสมมาตรครึ่งคลื่น ขาออกจึงมีทั้ง DC และฮาร์มอนิกคู่ ตัวอย่างในหน้านี้ตัดบนที่ 60 % ได้ฮาร์มอนิกที่ 2 ประมาณ 12.7 % ของหลัก ส่วนการตัดสมมาตรทั้งบนล่างให้แต่ฮาร์มอนิกคี่