--- title: "สเปกตรัมของอินเวอร์เตอร์: สี่เหลี่ยม quasi-square six-step SHE และ SPWM" url: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/inverters-pwm/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-13 --- > วิเคราะห์แรงดันขาออกของอินเวอร์เตอร์ด้วยอนุกรมฟูเรียร์: อินเวอร์เตอร์คลื่นสี่เหลี่ยม 4Vdc/π กำจัดฮาร์มอนิกด้วยมุม α ของ quasi-square อินเวอร์เตอร์ 3 เฟส six-step ไม่มีฮาร์มอนิกที่ 3 selective harmonic elimination (SHE) พร้อมมุมที่แก้แล้ว Sinusoidal PWM ดัชนีมอดูเลชัน ma อัตราส่วนความถี่ mf ตารางไซด์แบนด์แบบไบโพลาร์และยูนิโพลาร์ โอเวอร์มอดูเลชัน WTHD ฟิลเตอร์ LC และผลต่อมอเตอร์ ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/inverters-pwm/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # สเปกตรัมของอินเวอร์เตอร์: สี่เหลี่ยม quasi-square six-step SHE และ SPWM // บทที่ 14.10 · อนุกรมฟูเรียร์ · Inverter & PWM Spectra อินเวอร์เตอร์สร้างไซน์จากสวิตช์ที่เปิดปิดได้แค่สองหรือสามระดับ ทุกเทคนิคตั้งแต่คลื่นสี่เหลี่ยมถึง PWM คือการเลือกจังหวะสวิตช์ให้ฮาร์มอนิกหลักได้ขนาดที่ต้องการ แล้วย้ายฮาร์มอนิกที่เหลือไปอยู่ที่ที่กรองง่ายที่สุด อนุกรมฟูเรียร์บอกได้แม่นยำว่าแต่ละวิธีย้ายไปไว้ที่ไหน สรุปใน 30 วินาที - สี่เหลี่ยมเต็มบริดจ์: $V_1 = \frac{4V_{dc}}{\pi}$ ฮาร์มอนิก $1/n$ · quasi-square: $\frac{4V_{dc}}{n\pi}\cos n\alpha$ เลือก α ฆ่าฮาร์มอนิกได้ - six-step 3 เฟส: เหลือ 6k ± 1 · $V_{LL1} = 0.780V_{dc}$ (RMS) - SPWM: $V_1 = m_a\frac{V_{dc}}{2}$ (ครึ่งบริดจ์) ฮาร์มอนิกย้ายไปรอบ $m_f$, $2m_f$ · ยูนิโพลาร์ย้ายไปรอบ $2m_f$ - 3 เฟส: $V_{LL1,rms} = 0.612\,m_aV_{dc}$ · $m_f$ คี่ หารด้วย 3 ลงตัว ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย ## อินเวอร์เตอร์คลื่นสี่เหลี่ยม พื้นฐาน V1 Square-wave inverter อินเวอร์เตอร์คลื่นสี่เหลี่ยม $$\text{เต็มบริดจ์ } (\pm V_{dc}):\; V_n = \frac{4V_{dc}}{n\pi},\; V_{1,rms} = 0.900V_{dc} \qquad \text{ครึ่งบริดจ์ } (\pm V_{dc}/2):\; V_n = \frac{2V_{dc}}{n\pi}$$ ใช้ W1 ตรง ๆ · ปรับขนาดฮาร์มอนิกหลักไม่ได้นอกจากเปลี่ยน $V_{dc}$ THD 48 % · โหลดเหนี่ยวนำช่วยกรองกระแส (A-2) ## quasi-square: ปรับแรงดันและกำจัดฮาร์มอนิกด้วยมุมเดียว กลาง เต็มบริดจ์สร้างระดับศูนย์ได้ด้วย (สวิตช์บนทั้งสองหรือล่างทั้งสองนำพร้อมกัน) ใส่ช่วงศูนย์กว้าง α ที่ขอบทั้งสองของแต่ละครึ่งคาบ ได้รูปเสี้ยวคลื่นสมมาตรที่วิเคราะห์ไว้แล้วใน S-2 V2 Quasi-square inverter ปรับด้วยมุม α $$V_n = \frac{4V_{dc}}{n\pi}\cos n\alpha,\qquad \alpha = \frac{90^\circ}{n} \;\Rightarrow\; V_n = 0 \;\;(\alpha = 30^\circ:\ n = 3 \quad \alpha = 18^\circ:\ n = 5 \quad \alpha = 12.86^\circ:\ n = 7)$$ มุมเดียวทำได้สองงานไม่พร้อมกัน: ปรับขนาด $V_1$ หรือกำจัดฮาร์มอนิกหนึ่งตัว ต้องการมากกว่านั้นใช้ SHE หรือ PWM quasi-square α = 30° (สีส้ม) และฮาร์มอนิกหลักของมัน (สีฟ้า) ช่วงศูนย์กว้าง 30° ที่ขอบแต่ละด้าน ทำให้ฮาร์มอนิกที่ 3 หายไปพอดี ตัวอย่าง V-1 · อินเวอร์เตอร์สำรองไฟแบบ modified sine ### เต็มบริดจ์ $V_{dc}$ = 311 V ใช้ quasi-square α = 30° หาแรงดันฮาร์มอนิกหลัก (ยอดและ RMS) ฮาร์มอนิกที่ 5, 7 และค่า RMS รวม - V2: $V_1 = \frac{4(311)}{\pi}\cos 30^\circ = 342.9$ V ยอด = 242.5 V RMS - $V_5 = \frac{4(311)}{5\pi}|\cos 150^\circ| = 68.6$ V · $V_7 = 49.0$ V (ยอด) · $V_3 = 0$ - RMS รวม W9: $311\sqrt{1 - 1/3} = 253.9$ V ได้ราว 242 V RMS ที่ 50 Hz (ใกล้ไฟบ้าน) ไม่มีฮาร์มอนิกที่ 3 THD 31 % · ขาย UPS แบบนี้ในชื่อ “modified sine wave” อุปกรณ์ที่มีตัวเก็บประจุด้านเข้าหรือมอเตอร์บางชนิดทำงานได้แต่ร้อนกว่า ## อินเวอร์เตอร์ 3 เฟส six-step กลาง สามขา (leg) แต่ละขาเป็นสี่เหลี่ยม ±Vdc/2 เลื่อนกัน 120° แรงดันไลน์คือผลต่างของสองขา ได้ quasi-square α = 30° โดยอัตโนมัติ ฮาร์มอนิกที่ 3 ของแต่ละขาอยู่ในเฟสเดียวกัน (ลำดับศูนย์ H10) จึงหักล้างกันในแรงดันไลน์ V3 Six-step inverter อินเวอร์เตอร์ six-step $$V_{LL1,rms} = \frac{\sqrt6}{\pi}V_{dc} = 0.780V_{dc},\qquad V_{ph1,rms} = \frac{\sqrt2}{\pi}V_{dc} = 0.450V_{dc},\qquad V_h = \frac{V_1}{h},\; h = 6k \pm 1$$ รูปคลื่นแรงดันเฟส W10 แรงดันไลน์ W11 · ให้แรงดันสูงสุดที่ $V_{dc}$ ทำได้ (สูงกว่า SPWM เชิงเส้น 27 %) ไดรฟ์ใช้ในย่านความเร็วสูงสุด ## Selective Harmonic Elimination (SHE) ขั้นสูง ขยายแนวคิดของ quasi-square: ใส่ช่วงศูนย์หลายช่วงในหนึ่งในสี่คาบ ได้มุมสวิตช์ k มุม จึงตั้งสมการได้ k สมการ ใช้หนึ่งสมการกำหนดขนาด $V_1$ ที่เหลือบังคับให้ฮาร์มอนิกที่ไม่ต้องการเป็นศูนย์ V4 SHE equations (3-level, quarter-wave) สมการ SHE $$V_n = \frac{4V_{dc}}{n\pi}\sum_{k=1}^{K}(-1)^{k+1}\cos n\alpha_k,\qquad 0 \lt \alpha_1 \lt \alpha_2 \lt \cdots \lt \alpha_K \lt 90^\circ$$ ไม่เชิงเส้น ต้องแก้เชิงตัวเลข (นิวตัน) แล้วเก็บเป็นตารางมุมในไมโครคอนโทรลเลอร์ ใช้ในอินเวอร์เตอร์กำลังสูงที่ความถี่สวิตช์ต่ำ ตัวอย่าง V-2 · กำจัด 5 และ 7 พร้อมกัน ### ใช้สามมุม ต้องการ $V_1 = 0.8 \times \frac{4V_{dc}}{\pi}$ และ $V_5 = V_7 = 0$ หามุมและฮาร์มอนิกที่เหลือ - สมการ: $\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2 + \cos\alpha_3 = 0.8$ · $\cos 5\alpha_1 - \cos 5\alpha_2 + \cos 5\alpha_3 = 0$ · $\cos 7\alpha_1 - \cos 7\alpha_2 + \cos 7\alpha_3 = 0$ - แก้ด้วยวิธีนิวตัน: $\alpha_1 = 23.63^\circ$, $\alpha_2 = 38.06^\circ$, $\alpha_3 = 47.84^\circ$ - แทนกลับ (% ของ $V_1$): $V_3$ 2.8 % · $V_5 = V_7 = 0$ · $V_9$ 20.3 % · $V_{11}$ 18.9 % · $V_{13}$ 11.2 % สามมุมฆ่า 5 และ 7 ได้จริง ในระบบ 3 เฟสแรงดันไลน์ตัด 3 และ 9 ทิ้งเอง ฮาร์มอนิกแรกที่เหลือคือ 11 และ 13 ซึ่งกรองง่ายกว่ามาก ตรวจด้วยแล็บโหมด “พิมพ์สมการเอง” ได้ ## Sinusoidal PWM: ย้ายฮาร์มอนิกไปความถี่สวิตชิ่ง กลาง เทียบสัญญาณอ้างอิงไซน์ (ความถี่ขาออก $f_1$) กับคลื่นพาหะสามเหลี่ยม (ความถี่ $f_s$) สวิตช์บนเปิดเมื่ออ้างอิงสูงกว่าพาหะ ค่าเฉลี่ยเฉพาะที่ของพัลส์ (local average) ติดตามไซน์ ฮาร์มอนิกหลักจึงแปรตรงกับขนาดของอ้างอิง ส่วนฮาร์มอนิกที่เหลือเป็นไซด์แบนด์รอบความถี่พาหะ (การคูณสัญญาณ C12) V5 SPWM fundamentals นิยามและฮาร์มอนิกหลัก $$m_a = \frac{\hat v_{ref}}{\hat v_{tri}},\qquad m_f = \frac{f_s}{f_1},\qquad \hat V_1 = m_a\frac{V_{dc}}{2}\;(\text{ครึ่งบริดจ์}),\qquad \hat V_1 = m_aV_{dc}\;(\text{เต็มบริดจ์}),\qquad m_a \le 1$$ V6 Where the PWM harmonics are ตำแหน่งไซด์แบนด์ $$h = j\,m_f \pm k:\quad \text{ไบโพลาร์: } j \text{ คี่} \to k \text{ คู่ (0, 2, 4)},\; j \text{ คู่} \to k \text{ คี่ (1, 3)} \qquad \text{ยูนิโพลาร์: กลุ่ม } j \text{ คี่หายหมด เหลือ } 2m_f \pm 1, 2m_f \pm 3, \dots$$ ฮาร์มอนิกต่ำกว่า $m_f - 4$ แทบไม่มีเมื่อ $m_a \le 1$ ตัวกรองจึงออกแบบที่ $f_s$ (หรือ $2f_s$ สำหรับยูนิโพลาร์) ไม่ใช่ที่ 150 Hz บน: สัญญาณอ้างอิงไซน์ (สีส้ม) เทียบพาหะสามเหลี่ยม $m_f$ = 15 ได้พัลส์ไบโพลาร์ (สีฟ้า) · ล่าง: สเปกตรัม ฮาร์มอนิกหลัก $m_a$ = 0.8 แล้วว่างไปจนถึงกลุ่มรอบ $m_f$ และ $2m_f$ ขนาดฮาร์มอนิกของ SPWM ไบโพลาร์ (ค่ายอดหารด้วย $V_{dc}/2$) คำนวณแบบปิดในแล็บที่ $m_f$ = 51 · ยูนิโพลาร์ใช้คอลัมน์ $2m_f \pm 1$, $2m_f \pm 3$ เดียวกันแต่หารด้วย $V_{dc}$ และไม่มีกลุ่ม $m_f$, $3m_f$ | $m_a$ | 1 | $m_f$ | $m_f \pm 2$ | $m_f \pm 4$ | $2m_f \pm 1$ | $2m_f \pm 3$ | $3m_f$ | $3m_f \pm 2$ | $3m_f \pm 4$ | | 0.2 | 0.200 | 1.242 | 0.016 | 0.000 | 0.190 | 0.003 | 0.335 | 0.044 | 0.001 | | 0.4 | 0.400 | 1.151 | 0.061 | 0.001 | 0.326 | 0.024 | 0.123 | 0.139 | 0.012 | | 0.6 | 0.600 | 1.006 | 0.131 | 0.003 | 0.370 | 0.071 | 0.083 | 0.203 | 0.047 | | 0.8 | 0.800 | 0.818 | 0.220 | 0.008 | 0.314 | 0.139 | 0.171 | 0.176 | 0.104 | | 1.0 | 1.000 | 0.601 | 0.318 | 0.018 | 0.181 | 0.212 | 0.113 | 0.062 | 0.157 | V7 Choosing mf เลือก mf $$m_f \in \mathbb Z,\quad m_f \text{ คี่},\quad m_f = 3k \;(\text{3 เฟส})$$ จำนวนเต็ม: เป็นคาบพอดี ไม่มีอินเตอร์ฮาร์มอนิก · คี่: สมมาตรครึ่งคลื่น ไม่มีคู่ · 3k: กลุ่มที่ $m_f$ ของสามเฟสเป็นลำดับศูนย์ หายจากแรงดันไลน์ (เหลือ $m_f \pm 2$) · เมื่อ $m_f$ > 21 ข้อเหล่านี้สำคัญน้อยลง 1 low order harmonics 3 5 7 square wave limit 4/pi โอเวอร์มอดูเลชัน">V8 Overmodulation โอเวอร์มอดูเลชัน $m_a \gt 1$ $$m_a\frac{V_{dc}}{2} \lt \hat V_1 \le \frac{4}{\pi}\cdot\frac{V_{dc}}{2}$$ พัลส์บางช่วงหายไป $V_1$ เพิ่มไม่เป็นเชิงเส้นจนเข้าใกล้คลื่นสี่เหลี่ยม ฮาร์มอนิกต่ำ 3, 5, 7 กลับมา ลองตั้ง $m_a$ = 1.3 ในแล็บ V9 Three-phase SPWM แรงดันไลน์ $$V_{LL1,rms} = \frac{\sqrt3}{2\sqrt2}\,m_aV_{dc} = 0.612\,m_aV_{dc}$$ ฉีดฮาร์มอนิกที่ 3 ในอ้างอิง (หรือใช้ SVPWM) เพิ่มได้อีก 15.5 % เพราะฮาร์มอนิกที่ 3 หายในแรงดันไลน์ (ลำดับศูนย์) ตัวอย่าง V-3 · อินเวอร์เตอร์ 1 เฟส 220 V พร้อมฟิลเตอร์ ### เต็มบริดจ์ยูนิโพลาร์ $V_{dc}$ = 400 V, $m_a$ = 0.8, $f_1$ = 50 Hz, $m_f$ = 21 (สวิตช์ 1.05 kHz) ฟิลเตอร์ L = 3 mH, C = 20 µF โหลด 20 Ω หาแรงดันขาออกและ THD - V5: $\hat V_1 = 0.8 \times 400 = 320$ V (226 V RMS) · THD ก่อนกรอง 72 % - V6 ยูนิโพลาร์: ไม่มีกลุ่มที่ 21 · กลุ่มใหญ่ที่ 41, 43 (2050, 2150 Hz) ยอด 125.7 V และ 39, 45 ยอด 55.8 V - ฟิลเตอร์ $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = 650$ Hz · A2 ที่ 2050 Hz $|H| = 0.109$ → ฮาร์มอนิกที่ 41 เหลือ 13.7 V - รวมทุกฮาร์มอนิกที่ขาออก: $V_1$ = 227 V RMS (ฟิลเตอร์ยกขึ้นเล็กน้อย) THD = 6.4 % ได้ 227 V RMS THD 6.4 % ยังเกิน 5 % ทางเลือก: เพิ่ม $m_f$ (สวิตช์เร็วขึ้น ฮาร์มอนิกย้ายไกลขึ้น ลดลงตาม $f^2$) หรือเพิ่ม LC · เปิดแล็บวงจร “SPWM → ฟิลเตอร์ LC ได้ไซน์” เพื่อลองปรับ V10 Weighted THD WTHD: ความเพี้ยนของกระแสในโหลดเหนี่ยวนำ $$\mathrm{WTHD} = \frac{\sqrt{\sum_{h\ge2}(V_h/h)^2}}{V_1}$$ กระแสในโหลด L ∝ $V_h/(hX_1)$ WTHD จึงทำนาย THD ของกระแสมอเตอร์ได้ดีกว่า THD ของแรงดัน ใช้เปรียบเทียบวิธี PWM ต่าง ๆ ## ฮาร์มอนิกของอินเวอร์เตอร์กับมอเตอร์ กลาง | ฮาร์มอนิก | ลำดับเฟส | ผลต่อมอเตอร์เหนี่ยวนำ | | 5 | ลบ | สนามหมุนกลับทาง แรงบิดต้าน ความร้อนในโรเตอร์ | | 7 | บวก | สนามหมุนทางเดียวกันที่ 7 เท่า | | 5 กับ 7 รวมกัน | — | แรงบิดกระเพื่อมที่ 6f (300 Hz ที่ 50 Hz) เสียงและการสั่น | | รอบ $m_f$ | ผสม | ความสูญเสียในแกนเหล็ก เสียงหวีดที่ความถี่สวิตชิ่ง | | ขอบ dv/dt สูง | — | แรงดันสะท้อนในสายยาว กระแสแบริ่ง (ดูเอนเวโลปขอบ B9) | ## แล็บ: ดูสเปกตรัมของ PWM พื้นฐาน เลือก SPWM แล้วเปลี่ยน $m_a$ เทียบกับตารางด้านบน สลับยูนิโพลาร์แล้วดูกลุ่มที่ $m_f$ หายไป ลอง $m_a$ = 1.3 ดูฮาร์มอนิกต่ำโผล่ หรือเลือก quasi-square แล้วหามุม α ที่ฆ่าฮาร์มอนิกที่ 5 นำไปใช้จริง: ฟิลเตอร์ LCL PLL และการควบคุมกระแสของอินเวอร์เตอร์โซลาร์เชื่อมกริด อยู่ที่ อินเวอร์เตอร์โซลาร์ ## คำถามที่พบบ่อย SPWM มีฮาร์มอนิกที่ความถี่อะไร? แบบไบโพลาร์ฮาร์มอนิกอยู่เป็นกลุ่ม (ไซด์แบนด์) รอบ $m_f$, $2m_f$, $3m_f$ เท่าของความถี่ขาออก เช่น $m_f$ และ $m_f \pm 2$, $2m_f \pm 1$ แบบยูนิโพลาร์ (เต็มบริดจ์) กลุ่มแรกที่ $m_f$ หายไป เหลือรอบ $2m_f$ เหมือนความถี่สวิตชิ่งเพิ่มเป็นสองเท่า ฮาร์มอนิกต่ำ (3, 5, 7) ไม่มีถ้า $m_a \le 1$ ทำไมเลือก mf เป็นเลขคี่และหารด้วย 3 ลงตัว? $m_f$ จำนวนเต็ม (synchronous PWM) ทำให้รูปคลื่นเป็นคาบพอดี ไม่มีอินเตอร์ฮาร์มอนิก $m_f$ คี่ทำให้ได้สมมาตรครึ่งคลื่น ไม่มีฮาร์มอนิกคู่ และในอินเวอร์เตอร์ 3 เฟส $m_f$ ที่หารด้วย 3 ลงตัวทำให้ฮาร์มอนิกที่ $m_f$ ของสามเฟสอยู่ในเฟสเดียวกันจึงหายไปในแรงดันไลน์ แรงดันขาออกของอินเวอร์เตอร์ SPWM คำนวณอย่างไร? ในช่วงเชิงเส้น $m_a \le 1$ ฮาร์มอนิกหลักครึ่งบริดจ์มียอด $m_aV_{dc}/2$ เต็มบริดจ์ $m_aV_{dc}$ และแรงดันไลน์ 3 เฟส RMS $0.612\,m_aV_{dc}$ เช่น $V_{dc}$ = 540 V, $m_a$ = 0.9 ได้ราว 298 V ไลน์ quasi-square กำจัดฮาร์มอนิกที่ 3 ได้อย่างไร? ฮาร์มอนิกที่ n ของ quasi-square มีขนาด $\frac{4V_{dc}}{n\pi}\cos n\alpha$ เลือก α = 30° ทำให้ cos 90° = 0 ฮาร์มอนิกที่ 3, 9, 15 หายทั้งหมด α = 18° กำจัดที่ 5 ส่วนวิธี SHE ใช้หลายมุมพร้อมกันกำจัดได้หลายฮาร์มอนิก มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **SPWM มีฮาร์มอนิกที่ความถี่อะไร?** แบบไบโพลาร์ฮาร์มอนิกอยู่เป็นกลุ่ม (ไซด์แบนด์) รอบ $m_f$, $2m_f$, $3m_f$ เท่าของความถี่ขาออก เช่น $m_f$ และ $m_f \pm 2$, $2m_f \pm 1$ แบบยูนิโพลาร์ (เต็มบริดจ์) กลุ่มแรกที่ $m_f$ หายไป เหลือรอบ $2m_f$ เหมือนความถี่สวิตชิ่งเพิ่มเป็นสองเท่า ฮาร์มอนิกต่ำ (3, 5, 7) ไม่มีถ้า $m_a \le 1$ **ทำไมเลือก mf เป็นเลขคี่และหารด้วย 3 ลงตัว?** $m_f$ จำนวนเต็ม (synchronous PWM) ทำให้รูปคลื่นเป็นคาบพอดี ไม่มีอินเตอร์ฮาร์มอนิก $m_f$ คี่ทำให้ได้สมมาตรครึ่งคลื่น ไม่มีฮาร์มอนิกคู่ และในอินเวอร์เตอร์ 3 เฟส $m_f$ ที่หารด้วย 3 ลงตัวทำให้ฮาร์มอนิกที่ $m_f$ ของสามเฟสอยู่ในเฟสเดียวกันจึงหายไปในแรงดันไลน์ **แรงดันขาออกของอินเวอร์เตอร์ SPWM คำนวณอย่างไร?** ในช่วงเชิงเส้น $m_a \le 1$ ฮาร์มอนิกหลักครึ่งบริดจ์มียอด $m_aV_{dc}/2$ เต็มบริดจ์ $m_aV_{dc}$ และแรงดันไลน์ 3 เฟส RMS $0.612\,m_aV_{dc}$ เช่น $V_{dc}$ = 540 V, $m_a$ = 0.9 ได้ราว 298 V ไลน์ **quasi-square กำจัดฮาร์มอนิกที่ 3 ได้อย่างไร?** ฮาร์มอนิกที่ n ของ quasi-square มีขนาด $\frac{4V_{dc}}{n\pi}\cos n\alpha$ เลือก α = 30° ทำให้ cos 90° = 0 ฮาร์มอนิกที่ 3, 9, 15 หายทั้งหมด α = 18° กำจัดที่ 5 ส่วนวิธี SHE ใช้หลายมุมพร้อมกันกำจัดได้หลายฮาร์มอนิก