---
title: "อนุกรมฟูเรียร์และการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก — คู่มือฉบับสมบูรณ์ (Fourier Series & Harmonic Analysis: complete guide)"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/
markdown_url: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/guide.md
lab_url: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/analyzer-lab/
author: "ธีรวุฒิ แสวงบุญ (อาจารย์มด, Teerawut Savangboon) — อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ"
site: "Mod's Engineering Mathematics"
language: th
audience: ["High school", "Undergraduate (electrical / electronics / mechatronics engineering)", "Graduate", "Practising power-quality engineers"]
license: "อ่าน ลิงก์ และอ้างอิงได้ฟรี โปรดระบุ Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด) และลิงก์หน้าเว็บ"
published: 2026-10-12
updated: 2026-10-12
keywords: [อนุกรมฟูเรียร์, อนุกรมฟูริเยร์, ฟูรีเย, Fourier series, ฮาร์มอนิก, harmonics, THD, TDD, เพาเวอร์แฟกเตอร์, power factor, IEEE 519, คุณภาพไฟฟ้า, power quality, อิเล็กทรอนิกส์กำลัง, power electronics, เรกติไฟเออร์, อินเวอร์เตอร์, SPWM, บั๊กคอนเวอร์เตอร์, ฟิลเตอร์ฮาร์มอนิก, DFT, FFT]
---

# อนุกรมฟูเรียร์และการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก — คู่มือฉบับสมบูรณ์

> ชุดบทเรียนภาษาไทย 15 หน้า (หน้าหลัก + 14 บท) และแล็บจำลองฟรี ที่พาจากคณิตศาสตร์ของอนุกรมฟูเรียร์ไปสู่การใช้งานจริงในวิศวกรรมไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์กำลัง: หาสัมประสิทธิ์ สมมาตร สเปกตรัม การลู่เข้า พาร์เซวาล ตารางอนุกรมของรูปคลื่น วิเคราะห์วงจรทีละฮาร์มอนิก กำลังไฟฟ้าเมื่อมีฮาร์มอนิก (THD, PF, IEEE 519-2022) เรกติไฟเออร์ อินเวอร์เตอร์ PWM คอนเวอร์เตอร์ DC-DC การแก้ปัญหาฮาร์มอนิก และ DFT/FFT พร้อมออสซิลโลสโคปและเครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้าเสมือน

ไฟล์นี้เป็น Markdown ที่เขียนไว้ให้ผู้ช่วย AI (ChatGPT, Claude, Gemini, Perplexity ฯลฯ) เครื่องมือค้นหา และนักพัฒนา อ่านโครงสร้าง เนื้อหาหลัก สูตร และวิธีใช้แล็บของชุดนี้ได้ในไฟล์เดียว เนื้อหาเต็มทุกหน้าอยู่ใน Markdown รายหน้า (`index.html.md` ท้าย URL ของแต่ละหน้า) และใน [llms-full.txt](https://modsengineeringmath.com/llms-full.txt)

---

## 1. สรุปในหนึ่งนาที

- คลื่นคาบใด ๆ \(x(t)\) ที่คาบ \(T\) เขียนได้เป็น DC + ผลรวมไซน์ที่ความถี่ \(nf_0\) โดย \(f_0 = 1/T\): \(x(t) = a_0 + \sum_{n\ge1}\big[a_n\cos n\omega_0t + b_n\sin n\omega_0t\big] = a_0 + \sum A_n\cos(n\omega_0t + \varphi_n)\)
- สัมประสิทธิ์หาจากอินทิกรัล (สูตรออยเลอร์–ฟูเรียร์ T6) และใช้สมมาตรตัดพจน์ที่เป็นศูนย์ก่อนอินทิเกรต (คู่ → ไม่มี \(b_n\), คี่ → ไม่มี \(a_n\), ครึ่งคลื่น → มีแต่ \(n\) คี่)
- พาร์เซวาล: กำลังรวม = ผลรวมกำลังของแต่ละฮาร์มอนิก → \(X_{rms} = \sqrt{X_0^2 + X_1^2 + X_2^2 + \cdots}\) และ \(I_{rms} = I_1\sqrt{1 + \mathrm{THD}^2}\)
- วงจรเชิงเส้นที่ป้อนด้วยคลื่นไม่ใช่ไซน์: แยกเป็นฮาร์มอนิก → คูณ \(H(jn\omega_0)\) ทีละตัว → รวม
- กระแสเพี้ยนทำให้ \(\mathrm{PF} = \mathrm{DPF}/\sqrt{1 + \mathrm{THD}_i^2}\) คาปาซิเตอร์แก้ได้แค่ DPF และอาจเรโซแนนซ์ขนานกับระบบที่ \(h_r = \sqrt{S_{sc}/Q_c}\)
- ตัวแปลงกำลัง p พัลส์สร้างฮาร์มอนิกลักษณะเฉพาะ \(h = kp \pm 1\) ขนาดราว \(1/h\) ของหลัก ส่วน PWM ย้ายฮาร์มอนิกไปรอบความถี่สวิตชิ่ง \(m_f\)
- เครื่องวัดจริงคำนวณฮาร์มอนิกด้วย DFT/FFT: ต้องสุ่มให้เร็วพอ (อเลียสซิง) และครอบคาบเต็มจำนวน (การรั่วของสเปกตรัม) ตาม IEC 61000-4-7 ใช้หน้าต่าง 10 คาบ (50 Hz) = 200 ms → ความละเอียด 5 Hz

## 2. โครงสร้างชุดบทเรียน

หน้าหลัก (hub): https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/ — เส้นทางการเรียน 6 ขั้น ป้ายระดับ (พื้นฐาน กลาง ขั้นสูง) การ์ดทุกบท แล็บขนาดเล็ก ดัชนีสูตรที่ค้นหาได้ “งงตรงไหน” และ “ปัญหาหน้างาน”

| บท | หน้า | URL | รหัสสูตร | เนื้อหาหลัก |
|---|---|---|---|---|
| 12.1 | อนุกรมฟูเรียร์คืออะไร | /learn/fourier-series/introduction/ | F1–F7 | สัญญาณคาบ ความถี่มูลฐาน ฮาร์มอนิก สเปกตรัมเส้น สังเคราะห์สี่เหลี่ยมจากไซน์ อ่านสัมประสิทธิ์จาก sin³ cos² ทำไมวิศวกรไฟฟ้าต้องรู้ |
| 12.2 | หาสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์ทีละขั้น | /learn/fourier-series/coefficients/ | T1–T14 | ความตั้งฉาก สูตรออยเลอร์ a₀ aₙ bₙ ข้อตกลง a₀/2 อินทิกรัลที่ใช้บ่อย ขั้นตอน 6 ขั้น ตัวอย่างสี่เหลี่ยม พัลส์ ฟันเลื่อย สามเหลี่ยม เรียงกระแส ข้อผิดพลาดที่เจอบ่อย |
| 12.3 | ทางลัดด้วยสมมาตร | /learn/fourier-series/symmetry/ | S1–S10 | คู่ คี่ ครึ่งคลื่น เสี้ยวคลื่น เลื่อนเวลา/ระดับ สมมาตรของความไม่เป็นเชิงเส้น อนุกรมครึ่งช่วง ตารางตัดสินใจ |
| 12.4 | รูปเชิงซ้อนและสเปกตรัม | /learn/fourier-series/complex-spectrum/ | C1–C13 | cₙ สเปกตรัมด้านเดียว/สองด้าน เอนเวโลป sinc ของพัลส์ สมบัติการเลื่อน อนุพันธ์ ปริพันธ์ มอดูเลชัน เฟสเซอร์ของฮาร์มอนิก |
| 12.5 | การลู่เข้า กิบส์ พาร์เซวาล | /learn/fourier-series/convergence-parseval/ | P1–P10 | เงื่อนไขดีริชเลต์ ค่าที่จุดกระโดด หูกิบส์ 8.95 % ตัวคูณซิกมาของลันซอส พาร์เซวาล RMS THD ความเรียบกับอัตราลด ควรรวมกี่ฮาร์มอนิก |
| 12.6 | ตารางอนุกรมฟูเรียร์ของรูปคลื่น | /learn/fourier-series/waveform-table/ | W1–W18 | 18 รูปคลื่นพร้อมอนุกรม RMS THD: สี่เหลี่ยม พัลส์ สามเหลี่ยม ฟันเลื่อย ครึ่ง/เต็มคลื่น 6 พัลส์ ไตรแอก ตัดยอด SMPS quasi-square six-step SPWM คางหมู ริปเปิลตัวเหนี่ยวนำ |
| 12.7 | วิเคราะห์วงจรด้วยอนุกรมฟูเรียร์ | /learn/fourier-series/circuit-analysis/ | A1–A9 | แยก คูณ รวม สี่เหลี่ยมเข้า RC อินเวอร์เตอร์ป้อน RL ฟิลเตอร์ LC หลังเรียงกระแส RLC คัดฮาร์มอนิก กำลังเฉลี่ย ข้อจำกัด |
| 12.8 | กำลังไฟฟ้าเมื่อมีฮาร์มอนิก | /learn/fourier-series/power-harmonics/ | H1–H14 | True RMS THD TDD crest factor P Q₁ S D PF DPF IEEE 1459 K-factor ลำดับเฟสและนิวทรัล แรงดันเพี้ยนที่ PCC IEEE 519-2022 กฟภ./กฟน. IEC 61000-3-2 |
| 12.9 | ฮาร์มอนิกของวงจรเรียงกระแส | /learn/fourier-series/rectifiers/ | R1–R12 | บริดจ์ 1 เฟส บริดจ์ + ตัวเก็บประจุ (SMPS LED VFD) 6 พัลส์ h = kp ± 1 ช่วงทับซ้อน μ ไทริสเตอร์ α 12/18 พัลส์ |
| 12.10 | สเปกตรัมของอินเวอร์เตอร์ | /learn/fourier-series/inverters-pwm/ | V1–V10 | สี่เหลี่ยม quasi-square six-step SHE SPWM ไบโพลาร์/ยูนิโพลาร์ mₐ m_f ไซด์แบนด์ WTHD ผลต่อมอเตอร์ |
| 12.11 | ฟูเรียร์ในคอนเวอร์เตอร์ DC-DC | /learn/fourier-series/dc-dc-converters/ | B1–B10 | โหนดสวิตช์ของบั๊ก ริปเปิลจากฮาร์มอนิกแรกเทียบสูตรจริง ESR กระแสตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุอินพุต เอนเวโลป EMI บูสต์ |
| 12.12 | แก้ปัญหาฮาร์มอนิก | /learn/fourier-series/mitigation/ | M1–M9 | รีแอกเตอร์ โช้ก DC เรโซแนนซ์ขนาน คาปาซิเตอร์ดีจูน 7 %/14 % ออกแบบฟิลเตอร์จูน ฟิลเตอร์แอกทีฟ Active PFC/AFE เช็กลิสต์หน้างาน |
| 12.13 | จากอนุกรมฟูเรียร์สู่ DFT/FFT | /learn/fourier-series/dft-fft/ | D1–D10 | DFT ความละเอียด อเลียสซิง การรั่วและหน้าต่าง IEC 61000-4-7/4-30 FFT บนสโคป อัลกอริทึม Goertzel บนไมโครคอนโทรลเลอร์ |
| 12.14 | แล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิก | /learn/fourier-series/analyzer-lab/ | — | ออสซิลโลสโคปเสมือน + เครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้า ใบงาน 16 ชุด กรณีศึกษาหน้างาน 6 เรื่อง สมมติฐานของแบบจำลอง |

ทุกหน้ามี: ป้ายระดับรายหัวข้อ ตัวอย่างวิธีทำทีละขั้นพร้อมการตรวจคำตอบ โหมดฝึกทำที่ซ่อนวิธีทำ ช่องค้นหาสูตร แล็บขนาดเล็กที่ตั้งค่าไว้แล้ว FAQ และลิงก์ไปบทก่อน/ถัดไป

## 3. เส้นทางการเรียนทีละขั้น

| ขั้น | อ่าน | ทำได้หลังจบขั้นนี้ | การทดลองในแล็บ (`#preset=`) |
|---|---|---|---|
| 1 ภาพรวมและวิธีหา | 12.1–12.3 | หา \(a_0, a_n, b_n\) ด้วยมือ ดูรูปแล้วรู้ว่าพจน์ไหนเป็นศูนย์ | `square`, `quasi-30` |
| 2 สเปกตรัมและพลังงาน | 12.4–12.5 | เขียนรูปเชิงซ้อน อ่านสเปกตรัม อธิบาย sinc และกิบส์ หา RMS/THD จากพาร์เซวาล | `pulse-10`, `square-gibbs` |
| 3 ใช้กับวงจร | 12.6–12.7 | ใช้ตารางแทนการอินทิเกรต แก้วงจร RC RL LC RLC ทีละฮาร์มอนิก | `rc-square`, `rl-inverter` |
| 4 กำลังไฟฟ้าและมาตรฐาน | 12.8 | คำนวณ True RMS THD TDD PF DPF D K-factor นิวทรัล เทียบ IEEE 519 | `smps`, `neutral` |
| 5 อิเล็กทรอนิกส์กำลัง | 12.9–12.12 | ทำนายฮาร์มอนิกของตัวแปลง ออกแบบรีแอกเตอร์ ดีจูน ฟิลเตอร์จูน | `six`, `cap-resonance`, `detuned` |
| 6 วัดและแก้ปัญหาเอง | 12.13–12.14 | ตั้ง FFT ให้ถูก ทำใบงาน ไล่กรณีศึกษาจากอาการไปหาสาเหตุ | ใบงาน 1–16 |

พื้นฐานที่ควรมีก่อน: สูตรผลคูณเป็นผลบวก/ลดกำลังของตรีโกณมิติ (https://modsengineeringmath.com/learn/trigonometry/) อินทิกรัลจำกัดเขตและการอินทิเกรตทีละส่วน (https://modsengineeringmath.com/learn/integral-calculus/) จำนวนเชิงซ้อนและเฟสเซอร์ (https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/ee-applications/)

## 4. ข้อตกลงและสัญลักษณ์ที่ใช้ทั้งชุด

- \(\omega_0 = 2\pi f_0 = 2\pi/T\), มุม \(\theta = \omega_0 t\)
- \(a_0\) คือ **ค่าเฉลี่ย** (บางตำราเขียน \(a_0/2\) — ดูสูตร T8 ก่อนเทียบคำตอบ)
- รูปแอมพลิจูด–เฟสใช้ **โคไซน์**: \(A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}\), \(\varphi_n = \operatorname{atan2}(-b_n, a_n)\) (สูตร C3) และเฟสเซอร์ค่ายอด \(\mathbf X_n = a_n - jb_n\)
- ค่าที่เครื่องวัดแสดงเป็น RMS ของแต่ละฮาร์มอนิก \(X_n = A_n/\sqrt2\) หรือเป็น % ของฮาร์มอนิกหลัก
- THD ในชุดนี้หมายถึง \(\mathrm{THD}_F\) (เทียบฮาร์มอนิกหลัก) นับถึง h = 50 เว้นแต่ระบุเป็นอนุกรมอนันต์ TDD เทียบกระแสความต้องการสูงสุด \(I_L\)
- ระบบไฟฟ้าตัวอย่าง: 230 V / 400 V 50 Hz (ประเทศไทย) และมีตัวอย่าง 60 Hz ประกอบ

## 5. สูตรหลัก (มีรหัสอ้างอิงถาวร ลิงก์ตรงได้ด้วย `#รหัส`)

### คณิตศาสตร์

- **F3** อนุกรมรูปตรีโกณ: \(x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\big[a_n\cos n\omega_0 t + b_n\sin n\omega_0 t\big]\)
- **T6** สูตรออยเลอร์–ฟูเรียร์: \(a_0 = \frac{1}{T}\int_T x\,dt,\; a_n = \frac{2}{T}\int_T x\cos n\omega_0 t\,dt,\; b_n = \frac{2}{T}\int_T x\sin n\omega_0 t\,dt\)
- **S1/S2/S4/S5** สมมาตร: คู่ → \(b_n = 0\); คี่ → \(a_0 = a_n = 0\); ครึ่งคลื่น \(x(t + T/2) = -x(t)\) → เหลือแต่ \(n\) คี่; เสี้ยวคลื่น (ครึ่งคลื่น + คี่) → \(b_n = \frac{4}{\pi}\int_0^{\pi/2} x(\theta)\sin n\theta\,d\theta\)
- **C2/C4** เชิงซ้อน: \(x(t) = \sum c_n e^{jn\omega_0 t}\), \(c_n = \frac{1}{T}\int_T x e^{-jn\omega_0 t}dt\), \(c_n = (a_n - jb_n)/2\), \(|c_n| = A_n/2\)
- **C7** พัลส์ดิวตี้ D: \(A_n = 2AD\,|\mathrm{sinc}(nD)|\) — ฮาร์มอนิกที่ \(n = k/D\) หายไป
- **C9 / S6** เลื่อนเวลา: ขนาดเท่าเดิม เฟสเลื่อน \(-n\omega_0 t_0\)
- **P2** ที่จุดกระโดด อนุกรมลู่เข้าค่าเฉลี่ยของสองฝั่ง
- **P3** กิบส์: ยอดเกิน → \(0.0895\Delta\) (ราว 9 % ของขนาดการกระโดด) ไม่หายแม้ \(N \to \infty\)
- **P5/P6** พาร์เซวาล: \(\frac1T\int_T x^2dt = a_0^2 + \sum A_n^2/2\), \(X_{rms} = \sqrt{X_0^2 + X_1^2 + \cdots}\)
- **P7** \(\mathrm{THD} = \sqrt{X_{rms}^2 - X_0^2 - X_1^2}/X_1\)
- **P8** มีรอยกระโดด → \(1/n\) (−20 dB/dec); มุมหัก → \(1/n^2\) (−40); อนุพันธ์แรกต่อเนื่อง → \(1/n^3\) (−60)
- **P10** แบนด์วิดท์จากเวลาขาขึ้น \(f_{BW} \approx 0.35/t_r\)

### ตารางรูปคลื่น (ตัวอย่าง)

| รหัส | รูปคลื่น | อนุกรม | RMS / THD |
|---|---|---|---|
| W1 | สี่เหลี่ยม ±A | \(\frac{4A}{\pi}\sum_{n\,\text{คี่}}\frac{\sin n\omega_0t}{n}\) | RMS A · \(X_1 = 0.900A\) · THD 48.3 % |
| W3 | พัลส์ดิวตี้ D | \(A_n = \frac{2A}{n\pi}\lvert\sin n\pi D\rvert\), DC = AD | RMS \(A\sqrt D\) |
| W5 | สามเหลี่ยม ±A | \(\frac{8A}{\pi^2}\sum_{n\,\text{คี่}}\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n^2}\sin n\omega_0t\) | RMS \(A/\sqrt3\) · THD 12.1 % |
| W6 | ฟันเลื่อย ±A | \(\frac{2A}{\pi}\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin n\omega_0t\) | RMS \(A/\sqrt3\) · THD 80.3 % |
| W7 | ครึ่งคลื่น | \(\frac{V_m}{\pi} + \frac{V_m}{2}\sin\omega_0t - \frac{2V_m}{\pi}\sum_{n\,\text{คู่}}\frac{\cos n\omega_0t}{n^2-1}\) | RMS \(V_m/2\) |
| W8 | เต็มคลื่น | \(\frac{2V_m}{\pi} - \frac{4V_m}{\pi}\sum_{n\,\text{คู่}}\frac{\cos n\omega_0t}{n^2-1}\) | DC \(0.637V_m\) |
| W9 | quasi-square มุม α | \(\frac{4A}{\pi}\sum_{n\,\text{คี่}}\frac{\cos n\alpha}{n}\sin n\omega_0t\) | α = 30° ไม่มี 3, 9, 15 |
| W12 | กระแส 6 พัลส์ | \(\frac{2\sqrt3I_d}{\pi}[\cos\omega t - \frac15\cos5\omega t + \frac17\cos7\omega t - \cdots]\) | \(I_1 = 0.780I_d\) · THD 31.1 % |
| W17 | กระแส SMPS ไม่มี PFC | ไม่มีรูปปิด: \(I_3 \approx 0.8\)–\(0.95I_1\) | THD ≈ 100–150 % |

### วงจรและกำลังไฟฟ้า

- **A2** \(\mathbf Y_n = H(jn\omega_0)\mathbf X_n\), DC: \(Y_0 = H(0)a_0\); **A4** \(Z_L(n) = jnX_{L1}\), \(Z_C(n) = X_{C1}/(jn)\)
- **A9 / H4** \(P = V_0I_0 + \sum V_nI_n\cos(\theta_{v,n} - \theta_{i,n})\) — แรงดันกับกระแสต่างความถี่ไม่ทำกำลังเฉลี่ย
- **H1** \(I_{rms} = I_1\sqrt{1 + \mathrm{THD}_i^2}\)
- **H2** \(\mathrm{THD}_F = \sqrt{\sum_{h=2}^{50}I_h^2}/I_1\), \(\mathrm{THD}_R = \mathrm{THD}_F/\sqrt{1 + \mathrm{THD}_F^2}\), \(\mathrm{TDD} = \sqrt{\sum I_h^2}/I_L\)
- **H3** crest factor \(I_{peak}/I_{rms}\); มิเตอร์แบบเฉลี่ยอ่าน \(1.111\times\overline{|i|}\) → ผิดเมื่อไม่ใช่ไซน์ ต้องใช้ True RMS
- **H6** \(Q_1 = V_1I_1\sin\varphi_1\), \(D = \sqrt{S^2 - P^2 - Q_1^2}\), \(S^2 = P^2 + Q_1^2 + D^2\)
- **H7** \(\mathrm{PF} = \cos\varphi_1 \times I_1/I_{rms} = \mathrm{DPF}/\sqrt{1 + \mathrm{THD}_i^2}\) (แรงดันเป็นไซน์)
- **H9** K-factor \(= \sum (I_h/I_{rms})^2h^2\)
- **H10** ลำดับเฟส: \(h = 3k+1\) บวก, \(3k+2\) ลบ, \(3k\) ศูนย์ → \(I_N = 3\sqrt{I_3^2 + I_9^2 + \cdots}\) (โหลดสมดุล)
- **H11** แรงดันฮาร์มอนิกที่ PCC \(V_h \approx I_h\,hX_s\), \(\frac{V_h}{V_1} \approx \frac{I_h}{I_L}\cdot\frac{h}{I_{sc}/I_L}\)

### อิเล็กทรอนิกส์กำลัง

- **R1/R2** บริดจ์ 1 เฟส: \(V_{d0} = 0.900V\); กระแส AC (โหลด L ใหญ่) \(I_1 = 0.900I_d\), \(I_h = I_1/h\)
- **R4/R5** บริดจ์ + C: \(\Delta V \approx I_{dc}/(2fC)\), มุมนำกระแสแคบ → กระแสยอดสูง
- **R6** ตัวแปลง p พัลส์: ด้าน AC \(h = kp \pm 1\), ด้าน DC \(h = kp\)
- **R7/R8** 6 พัลส์: \(I_1 = 0.780I_d\), \(I_{rms} = 0.816I_d\), \(V_{d0} = 1.35V_{LL}\)
- **R9/R10** ช่วงทับซ้อน \(\cos\alpha - \cos(\alpha + \mu) = \frac{2X_sI_d}{\sqrt2V_{LL}}\); \(V_d = 1.35V_{LL}\cos\alpha - \frac3\pi X_sI_d\); DPF ≈ \(\cos(\alpha + \mu/2)\)
- **R11/R12** 12 พัลส์หักล้าง 5, 7, 17, 19 …; THD อุดมคติ 6/12/18/24 พัลส์ = 31.1 / 15.2 / 10.1 / 7.6 %
- **V1** อินเวอร์เตอร์สี่เหลี่ยมเต็มบริดจ์ \(V_n = 4V_{dc}/(n\pi)\), \(V_{1,rms} = 0.900V_{dc}\)
- **V2** quasi-square \(V_n = \frac{4V_{dc}}{n\pi}\cos n\alpha\) — α = 90°/n กำจัดฮาร์มอนิกที่ n
- **V3** six-step \(V_{LL1,rms} = 0.780V_{dc}\), \(h = 6k \pm 1\)
- **V5/V6** SPWM: \(m_a = \hat v_{ref}/\hat v_{tri}\), \(m_f = f_s/f_1\), \(\hat V_1 = m_aV_{dc}/2\) (ครึ่งบริดจ์); ฮาร์มอนิกอยู่ที่ \(h = jm_f \pm k\) — ยูนิโพลาร์เหลือเฉพาะกลุ่ม \(2m_f \pm 1, \pm3\)
- **V10** WTHD \(= \sqrt{\sum (V_h/h)^2}/V_1\) (ใช้ประเมินกระแสฮาร์มอนิกในโหลดเหนี่ยวนำ)
- **B1** โหนดสวิตช์บั๊ก \(v_{sw} = DV_{in} + \sum \frac{2V_{in}}{n\pi}\sin(n\pi D)\cos(n\omega_st - n\pi D)\)
- **B3/B4** ริปเปิล: ประมาณจากฮาร์มอนิกแรก \(\Delta V_{pp} \approx 2\cdot\frac{2V_{in}}{\pi}\sin(\pi D)(f_0/f_s)^2\) เทียบสูตรจริง \(\Delta V_{pp} = \frac{(1-D)V_o}{8LCf_s^2}\) (ตัวอย่าง 12 V → 5 V, 50 kHz, 100 µH, 100 µF: 14.96 mV เทียบ 14.6 mV)
- **B9** เอนเวโลป EMI ของคางหมู: แบนถึง \(1/(\pi\tau)\), −20 dB/dec ถึง \(1/(\pi t_r)\), แล้ว −40 dB/dec
- **M1** รีแอกเตอร์ \(X_r = \frac{\%Z}{100}\cdot\frac{V_{ph}}{I_{rated}}\)
- **M2/M3** เรโซแนนซ์ขนาน \(h_r = \sqrt{S_{sc}/Q_c}\); ตัวคูณการขยาย ≈ \(1/|1 - (h/h_r)^2|\)
- **M4** ดีจูน \(p = X_L/X_C\), \(h_t = 1/\sqrt p\) (7 % → 3.78 = 189 Hz, 14 % → 2.67), \(V_C = V/(1-p)\)
- **M5/M6** ฟิลเตอร์จูนเดี่ยว \(X_L = X_C/h_t^2\), \(R = h_tX_L/Q_f\); กระแสแบ่งระหว่างฟิลเตอร์กับระบบตามอิมพีแดนซ์
- **M7** ฟิลเตอร์แอกทีฟ \(i_{AF} = -\sum_{h\ge2} i_h\), พิกัด \(\gtrsim I_1\cdot\mathrm{THD}_i\)

### การวัด

- **D1/D2** DFT \(X[k] = \sum x[n]e^{-j2\pi kn/N}\); ฮาร์มอนิกที่ h อยู่ช่อง \(k = mh\) เมื่อหน้าต่างครอบ m คาบ, \(A_h = 2|X[mh]|/N\)
- **D3** \(\Delta f = f_s/N = 1/T_w\); **D7** เครื่องวิเคราะห์ทั่วไป: \(f_s = 10.24\) kHz, N = 2048 → 200 ms = 10 คาบ, Δf = 5 Hz
- **D5** อเลียสซิง: ฮาร์มอนิกเกิน \(N/2\) พับลงมาทับช่องอื่น; **D6** หน้าต่างไม่ครอบคาบเต็ม → รั่ว ใช้ Hann ลดการรั่ว
- **D10** Goertzel: \(s[n] = x[n] + 2\cos\omega_k s[n-1] - s[n-2]\) — คำนวณฮาร์มอนิกเฉพาะตัวบน MCU ได้ถูกกว่า FFT

## 6. ขีดจำกัดตามมาตรฐาน (สรุปที่ใช้ในชุดนี้)

**IEEE 519-2022 แรงดันที่ PCC (H12)**: ≤ 1 kV: รายตัว 5.0 % THD 8.0 % · 1–69 kV: 3.0 % / 5.0 % · 69–161 kV: 1.5 % / 2.5 % · > 161 kV: 1.0 % / 1.5 %

**IEEE 519-2022 กระแส 120 V – 69 kV เป็น % ของ \(I_L\) (H13)**

| Isc/IL | 2 ≤ h < 11 | 11 ≤ h < 17 | 17 ≤ h < 23 | 23 ≤ h < 35 | 35 ≤ h ≤ 50 | TDD |
|---|---|---|---|---|---|---|
| < 20 | 4.0 | 2.0 | 1.5 | 0.6 | 0.3 | 5.0 |
| 20–50 | 7.0 | 3.5 | 2.5 | 1.0 | 0.5 | 8.0 |
| 50–100 | 10.0 | 4.5 | 4.0 | 1.5 | 0.7 | 12.0 |
| 100–1000 | 12.0 | 5.5 | 5.0 | 2.0 | 1.0 | 15.0 |
| > 1000 | 15.0 | 7.0 | 6.0 | 2.5 | 1.4 | 20.0 |

ฮาร์มอนิกคู่ (ฉบับ 2022): h ≤ 6 ใช้ 50 % ของค่าในตาราง, h > 6 ใช้ 100 % · ประเมินที่ PCC จากการวัดระยะยาวเชิงสถิติ

**ประเทศไทย (H14)**: ข้อกำหนดฮาร์มอนิกของ กฟผ. กฟน. กฟภ. (อ้างอิง Engineering Recommendation G5/3) — THD แรงดันสูงสุด 0.4 kV: 5 % (คี่ 4 %, คู่ 2 %) · 11–24 kV: 4 % · 33 kV: 3 % · 69 kV: 2.45 % · ≥ 115 kV: 1.5 % (ตรวจฉบับล่าสุดกับการไฟฟ้าก่อนใช้งานจริง)

**IEC 61000-3-2 Class A** (เครื่องใช้ไฟฟ้า ≤ 16 A ต่อเฟส): ขีดจำกัดเป็นแอมแปร์ เช่น h = 3: 2.30 A, h = 5: 1.14 A, h = 7: 0.77 A

**การวัด**: IEC 61000-4-7 (หน้าต่าง 10/12 คาบ, กลุ่มฮาร์มอนิก) และ IEC 61000-4-30 (วิธีวัดคุณภาพไฟฟ้า)

## 7. แล็บวิเคราะห์ฮาร์มอนิก (ออสซิลโลสโคปเสมือน + เครื่องวิเคราะห์กำลังไฟฟ้า)

URL: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/analyzer-lab/ — ใช้ฟรีบนเบราว์เซอร์ คอมพิวเตอร์และมือถือ ไม่ต้องติดตั้ง

**แท็บ ① ฟูเรียร์ (สังเคราะห์/วิเคราะห์)**: 13 รูปคลื่น (สี่เหลี่ยม พัลส์ สามเหลี่ยม ฟันเลื่อย ครึ่ง/เต็มคลื่น quasi-square six-step SPWM ไบโพลาร์/ยูนิโพลาร์ คางหมู ตัดเฟสไตรแอก ตัดยอด ไซน์) และพิมพ์ \(x(t)\) เอง · สัมประสิทธิ์อินทิเกรตแบบปิดทีละช่วง (ไม่ใช่ FFT จึงตรงกับสูตรทุกหลัก) · เลื่อน N ดูผลรวมบางส่วน หูกิบส์ ตัวคูณซิกมา · สเปกตรัมเป็นแอมพลิจูด / % / dB / เฟส · โหมดซ่อนสเปกตรัมให้ทายก่อน · **วิธีคิดทีละขั้น**: สมมาตรที่ตรวจพบ สูตรออยเลอร์ ผลอินทิกรัล ตาราง aₙ bₙ Aₙ φₙ อนุกรมที่แทนค่าแล้ว และตรวจด้วยพาร์เซวาล

**แท็บ ② วงจร**: ป้อนคลื่นคาบเข้า RC กรองผ่านต่ำ/สูง RL LC (มีโหลด) RLC · ตาราง แยก → คูณ \(H(jn\omega_0)\) → รวม ทีละฮาร์มอนิก · เทียบกับคำตอบสถานะคงตัวจริงจากสมการอนุพันธ์ (RK4 + เงื่อนไขคาบ) · ดูขาออกแบบ AC และสเปกตรัม dB

**แท็บ ③ สโคป + เครื่องวิเคราะห์กำลัง**: โหลด 10 แบบ — ตัวต้านทาน, มอเตอร์ RL, SMPS/LED บริดจ์ + C, บริดจ์ 1 เฟส + โช้ก, ไตรแอก, Active PFC, 6 พัลส์ (มุม α และช่วงทับซ้อน μ), 12 พัลส์, ไดรฟ์ VFD (บริดจ์ + C DC), กำหนดสเปกตรัมเอง · อ่านค่า U, I, I₁, crest factor, P, Q₁, S, D, PF, DPF, THD-U, THD-I, TDD, K-factor และกระแสนิวทรัลของโหลด 1 เฟส 3 ชุด · แท่งฮาร์มอนิก h = 1–50 สีตามลำดับเฟส เทียบเส้นขีดจำกัด IEEE 519-2022 / กฟภ.-กฟน. 0.4 kV / IEC 61000-3-2 Class A · ปรับระบบต้นทาง (Isc/IL, X/R, ฮาร์มอนิกที่ 5 ในแรงดันต้นทาง, โหลดตอนวัด) · ทดลองแก้: รีแอกเตอร์ 2–8 %, โช้ก DC, คาปาซิเตอร์เปล่า/ดีจูน 7 % 14 %/ฟิลเตอร์จูน 4.7, ฟิลเตอร์แอกทีฟ · **แปลผลอัตโนมัติ** (เช่น เตือนเรโซแนนซ์ บอกว่าผ่าน/ไม่ผ่านเกณฑ์ และแนะวิธีแก้พร้อมลิงก์ทฤษฎี) · ตารางวิธีคำนวณทีละขั้นและตารางฮาร์มอนิกเต็ม

**แชร์และฝังลิงก์**: ปุ่ม “คัดลอกลิงก์” เก็บทุกค่าใน `#lab=…` · เปิดการทดลองสำเร็จรูปได้ตรงด้วย `#preset=ชื่อ` เช่น
- https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/analyzer-lab/#preset=smps
- …/#preset=cap-resonance · …/#preset=detuned · …/#preset=square-gibbs · …/#preset=rc-square

ชื่อ preset ทั้งหมด
- ฟูเรียร์: `square`, `square-gibbs`, `pulse`, `pulse-10`, `triangle`, `sawtooth`, `halfwave`, `fullwave`, `quasi-30`, `quasi-18`, `sixstep`, `spwm`, `spwm-uni`, `trapezoid`, `phasecut`, `clip-sym`, `clip-asym`, `custom`
- วงจร: `rc-square`, `rc-hp-square`, `rl-inverter`, `rl-sixstep`, `lc-buck`, `rlc-third`, `fullwave-lc`, `spwm-lc`
- กำลัง: `heater`, `motor`, `smps`, `led`, `neutral`, `triac`, `bridge-l`, `pfc`, `six`, `six-alpha`, `twelve`, `vfd`, `vfd-reactor`, `vfd-choke`, `cap-resonance`, `detuned`, `tuned-filter`, `active-filter`, `flat-top`, `custom-spec`

**ใบงาน 16 ชุด** (#ws1–#ws16): ① สร้างคลื่นสี่เหลี่ยมจากไซน์ ② ปรากฏการณ์กิบส์และตัวคูณซิกมา ③ ดิวตี้กับเอนเวโลป sinc ④ สมมาตรกับฮาร์มอนิกคู่ ⑤ กำจัดฮาร์มอนิกด้วยมุม α ⑥ SPWM ไบโพลาร์และยูนิโพลาร์ ⑦ คลื่นสี่เหลี่ยมผ่าน RC ⑧ ริปเปิลของบั๊กคอนเวอร์เตอร์ ⑨ RLC คัดฮาร์มอนิกที่ 3 ⑩ SMPS ไม่มี PFC กับมี PFC ⑪ นิวทรัลร้อนในอาคาร ⑫ ไดรฟ์ VFD กับ IEEE 519 ⑬ คาปาซิเตอร์เรโซแนนซ์และดีจูน ⑭ ไตรแอกกับ DPF ต่ำทั้งที่โหลดเป็นตัวต้านทาน ⑮ 6 พัลส์เทียบ 12 พัลส์ ⑯ แรงดันยอดแบนกับโหลดเชิงเส้น — ทุกชุดมีเป้าหมาย ขั้นตอน ปุ่มโหลดการตั้งค่า และเฉลย

**กรณีศึกษาหน้างาน 6 เรื่อง** (#case1–#case6): นิวทรัลร้อนในอาคารสำนักงาน · คาปาซิเตอร์ APFC ฟิวส์ขาด · ค่าปรับ PF ทั้งที่ cos φ = 0.98 · หม้อแปลงร้อนที่โหลด 70 % · ไดรฟ์ใหม่ไม่ผ่านเกณฑ์การไฟฟ้า · เครื่องกำเนิดไฟฟ้าสำรองแกว่งเมื่อจ่าย UPS

**สมมติฐานของแบบจำลอง**: รูปคลื่นในรายการคำนวณสัมประสิทธิ์แบบปิดทุกหลัก · วงจรเชิงเส้นตรวจกับคำตอบจากสมการอนุพันธ์ · โหลดไม่เชิงเส้นเป็นแบบจำลองเพื่อการเรียน (ระบบต้นทางเป็นอิมพีแดนซ์ Thevenin ต่อเฟส \(R_s\sqrt h + jhX_s\) จาก Isc/IL และ X/R, โหลดเป็นแหล่งกระแสฮาร์มอนิกแบบ Norton, มีกิ่งหน่วงของโหลดเชิงเส้นอื่น) ค่า THD และ PF อยู่ในช่วงที่วัดได้จริงแต่ขึ้นกับอุปกรณ์แต่ละรุ่น งานจริงต้องวัดด้วยเครื่องวิเคราะห์คุณภาพไฟฟ้าตามมาตรฐานและทำการศึกษาฮาร์มอนิกโดยวิศวกร

## 8. ปัญหาหน้างาน: อาการ → สาเหตุ → อ่านที่

| อาการ | สาเหตุที่พบบ่อย | อ่าน / ลองในแล็บ |
|---|---|---|
| สายนิวทรัลร้อน กระแสนิวทรัลเกินสายเฟส | ฮาร์มอนิกที่ 3 (ลำดับศูนย์) ของ SMPS รวมกัน | H10 · `#preset=neutral` |
| คาปาซิเตอร์แก้ PF ฟิวส์ขาด บวม | เรโซแนนซ์ขนานใกล้ h = 5, 7 | M2, M3 · `#preset=cap-resonance` |
| cos φ ดีแต่ยังโดนค่าปรับ PF | PF จริงรวมความเพี้ยน (D) | H6, H7 · `#preset=smps` |
| หม้อแปลงร้อนก่อนเต็มพิกัด | การสูญเสียเพิ่มตาม h² | H9 K-factor |
| ไดรฟ์ไม่ผ่านเกณฑ์การไฟฟ้า | TDD เกินตาม Isc/IL | H13, M1 · `#preset=vfd-reactor` |
| แรงดันเพี้ยนเมื่อจ่ายจากเครื่องกำเนิด/UPS | อิมพีแดนซ์ต้นทางสูง | H11 |
| มิเตอร์อ่านกระแสต่ำกว่าจริง | มิเตอร์แบบเฉลี่ย ไม่ใช่ True RMS | H3 |
| FFT บนสโคปไม่ตรงเครื่องวัด | คาบไม่เต็ม หน้าต่าง สเกล dB | D6, D9 |
| มอเตอร์ที่ใช้ไดรฟ์ร้อน มีเสียงหวีด | ไซด์แบนด์รอบความถี่สวิตชิ่ง | V6, V10 |
| บอร์ดสวิตชิ่งไม่ผ่าน EMI | ขอบชันเกิน | B9 · `#preset=trapezoid` |
| ริปเปิลบั๊กสูงกว่าที่คำนวณ | ESR ของตัวเก็บประจุ | B4, B5 · `#preset=lc-buck` |

## 9. คำค้นและชื่อเรียกที่หมายถึงเรื่องเดียวกัน

อนุกรมฟูเรียร์ = อนุกรมฟูริเยร์ = ฟูรีเย = Fourier series · ฮาร์มอนิก = harmonics = หาร์มอนิก · ฮาร์มอนิกหลัก = fundamental · ความเพี้ยนฮาร์มอนิกรวม = total harmonic distortion (THD) · ความเพี้ยนต่อความต้องการรวม = total demand distortion (TDD) · ตัวประกอบกำลัง = เพาเวอร์แฟกเตอร์ = power factor (PF) · ตัวประกอบกำลังเชิงการกระจัด = displacement power factor (DPF) = cos φ₁ · กำลังความเพี้ยน = distortion power (D) · จุดต่อร่วม = point of common coupling (PCC) · วงจรเรียงกระแส = เรกติไฟเออร์ = rectifier · อินเวอร์เตอร์ = inverter · มอดูเลชันความกว้างพัลส์แบบไซน์ = SPWM · การกำจัดฮาร์มอนิกแบบเลือก = selective harmonic elimination (SHE) · คาปาซิเตอร์ดีจูน = detuned capacitor bank · ฟิลเตอร์จูน = single-tuned / passive harmonic filter · ฟิลเตอร์แอกทีฟ = active harmonic filter (AHF) · การแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่อง = DFT · การแปลงฟูเรียร์แบบเร็ว = FFT · ปรากฏการณ์กิบส์ = Gibbs phenomenon · ทฤษฎีบทพาร์เซวาล = Parseval's theorem

## 10. คำถามที่พบบ่อย

**อนุกรมฟูเรียร์คืออะไรในหนึ่งประโยค?** การเขียนสัญญาณที่ซ้ำรูปเดิมทุกคาบ T เป็นผลรวมของค่าคงตัว (DC) กับไซน์และโคไซน์ที่ความถี่เป็นจำนวนเต็มเท่าของ \(f_0 = 1/T\) แต่ละตัวเรียกว่าฮาร์มอนิก

**ฮาร์มอนิกที่ 3 ของไฟ 50 Hz คือความถี่อะไร?** 150 Hz (ที่ 5 = 250 Hz, ที่ 7 = 350 Hz) ระบบ 60 Hz ฮาร์มอนิกที่ 3 อยู่ที่ 180 Hz

**อนุกรมฟูเรียร์ต่างจากการแปลงฟูเรียร์และลาปลาซอย่างไร?** อนุกรมใช้กับสัญญาณคาบ ได้สเปกตรัมเส้นที่ \(nf_0\); การแปลงฟูเรียร์ใช้กับสัญญาณไม่เป็นคาบ ได้สเปกตรัมต่อเนื่อง; ลาปลาซใช้ \(s = \sigma + j\omega\) เหมาะกับผลตอบสนองชั่วครู่ งานฮาร์มอนิกในสถานะคงตัวจึงใช้อนุกรมฟูเรียร์

**ทำไมคาปาซิเตอร์แก้ PF ไม่ได้เมื่อโหลดเป็น SMPS หรือไดรฟ์?** เพราะ PF ต่ำมาจากความเพี้ยน (D) ไม่ใช่การเลื่อนเฟส คาปาซิเตอร์ชดเชยได้แค่ Q₁ และยังอาจเรโซแนนซ์กับระบบจนขยายฮาร์มอนิก ต้องลดฮาร์มอนิกด้วยรีแอกเตอร์ ฟิลเตอร์ หรือ PFC

**ทำไมกระแสนิวทรัลของอาคารที่มีคอมพิวเตอร์มากจึงสูง?** ฮาร์มอนิกที่ 3, 9, 15 ของสามเฟสเป็นลำดับศูนย์ อยู่ในเฟสเดียวกันจึงบวกกันในนิวทรัล ได้สูงถึงราว 1.7 เท่าของกระแสเฟสเมื่อโหลดเป็น SMPS ล้วน

**ต้องรวมกี่ฮาร์มอนิกในงานจริง?** มาตรฐานคุณภาพไฟฟ้านับถึง h = 50 (2.5 kHz ที่ 50 Hz); งานคอนเวอร์เตอร์ดูถึงหลายเท่าของความถี่สวิตชิ่ง; งาน EMI ใช้เอนเวโลปแทนการรวมทีละตัว

**ไม่มีเครื่องวิเคราะห์คุณภาพไฟฟ้าจะฝึกได้อย่างไร?** ใช้แล็บ 12.14 ซึ่งมีสโคปและเครื่องวิเคราะห์กำลังเสมือน วัดโหลด 10 แบบ ลองวิธีแก้ และอ่านการแปลผลอัตโนมัติ พร้อมใบงาน 16 ชุด

## 11. หน้าที่เกี่ยวข้องบนเว็บไซต์

- ตรีโกณมิติ (ผลคูณเป็นผลบวก ความตั้งฉาก): https://modsengineeringmath.com/learn/trigonometry/
- อินทิกรัล (อินทิเกรตทีละส่วน): https://modsengineeringmath.com/learn/integral-calculus/
- แล็บสัญญาณและระบบ: https://modsengineeringmath.com/learn/signals/
- การแปลงลาปลาซ: https://modsengineeringmath.com/learn/laplace-transform/
- แล็บเครื่องกำเนิดสัญญาณและออสซิลโลสโคป (FFT บนสโคป สเปกตรัมของรูปคลื่น): https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/
- วงจร RC RLC และผลตอบสนองความถี่: https://modsengineeringmath.com/learn/function-generator/rc-rlc/
- ระบบควบคุมในอิเล็กทรอนิกส์กำลัง (บั๊ก PFC อินเวอร์เตอร์): https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/power-electronics-control/
- ฟังก์ชันอธิบาย (describing function) ซึ่งใช้ฮาร์มอนิกหลักของความไม่เป็นเชิงเส้น: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/nonlinear-robust/
- พีชคณิตเชิงเส้นในงานไฟฟ้า (เฟสเซอร์ ระบบสมการเชิงซ้อน): https://modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/ee-applications/

## 12. การอ้างอิง

ธีรวุฒิ แสวงบุญ (อาจารย์มด). “อนุกรมฟูเรียร์และการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก.” *Mod's Engineering Mathematics*, 2026. https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/ — อ้างอิงสูตรเฉพาะด้วยรหัส เช่น “สูตร H7” พร้อมลิงก์ https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/power-harmonics/#H7

## 13. ไฟล์สำหรับเครื่อง

- แผนที่เว็บไซต์สำหรับ AI: https://modsengineeringmath.com/llms.txt
- ข้อความเต็มทุกหน้า (สูตรเป็น LaTeX): https://modsengineeringmath.com/llms-full.txt
- Markdown รายหน้าของชุดนี้: เติม `index.html.md` ท้าย URL เช่น https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/power-harmonics/index.html.md
- Sitemap: https://modsengineeringmath.com/sitemap.xml · RSS: https://modsengineeringmath.com/feed.xml