--- title: "ฟูเรียร์ในคอนเวอร์เตอร์ DC-DC: บั๊ก ริปเปิล ฟิลเตอร์ LC และ EMI" url: https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/dc-dc-converters/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-12 --- > ใช้อนุกรมฟูเรียร์ออกแบบคอนเวอร์เตอร์ DC-DC: แรงดันโหนดสวิตช์ของบั๊กคอนเวอร์เตอร์คือพัลส์ที่มี DC = D·Vin ประมาณแรงดันริปเปิลด้วยฮาร์มอนิกแรกผ่านฟิลเตอร์ LC เทียบสูตรจริง ΔV = (1−D)Vo/(8LCfs²) ผลของ ESR ฮาร์มอนิกของกระแสตัวเหนี่ยวนำแบบสามเหลี่ยมไม่สมมาตร กระแส RMS ของตัวเก็บประจุอินพุต Io√(D(1−D)) เอนเวโลปคางหมูกับ EMI และเวลาขาขึ้น ตัวอย่างบั๊ก 12 V → 5 V 2 A 50 kHz ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/fourier-series/dc-dc-converters/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # ฟูเรียร์ในคอนเวอร์เตอร์ DC-DC: บั๊ก ริปเปิล ฟิลเตอร์ LC และ EMI // บทที่ 14.11 · อนุกรมฟูเรียร์ · DC-DC Converters บั๊กคอนเวอร์เตอร์ทำงานได้เพราะอนุกรมฟูเรียร์: โหนดสวิตช์เป็นพัลส์ที่มีส่วน DC เท่ากับ $DV_{in}$ และฟิลเตอร์ LC ปล่อยให้ผ่านเฉพาะส่วนนั้น มุมมองนี้ทำให้ประมาณริปเปิลได้ในบรรทัดเดียว เข้าใจว่าทำไม ESR สำคัญ และรู้ว่าสัญญาณรบกวนความถี่สูงมาจากไหน ตัวอย่างทั้งหน้าใช้บั๊ก 12 V → 5 V 2 A 50 kHz ตัวเดียวกับที่ใช้สอนในวิชาอิเล็กทรอนิกส์กำลัง สรุปใน 30 วินาที - $v_{sw} = DV_{in} + \sum_n \frac{2V_{in}}{n\pi}\sin(n\pi D)\cos(n\omega_s t - n\pi D)$ - LC ที่ $f \gg f_0$: $|H| \approx (f_0/f)^2$ → ริปเปิล ≈ $2\cdot\frac{2V_{in}}{\pi}\sin(\pi D)\cdot(f_0/f_s)^2$ (ยอดถึงยอด) - สูตรจริง $\Delta V = \frac{(1 - D)V_o}{8LCf_s^2}$ ต่างจากค่าประมาณ ~3 % · ESR เพิ่ม $\approx\Delta I_L\cdot\mathrm{ESR}$ - EMI: เอนเวโลปหักที่ $1/(\pi\tau)$ และ $1/(\pi t_r)$ · ขอบช้าลง = EMI ต่ำลง ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย ## แรงดันโหนดสวิตช์คืออนุกรมของพัลส์ พื้นฐาน ในโหมดกระแสต่อเนื่อง (CCM) โหนดระหว่างสวิตช์กับไดโอด (หรือสวิตช์ล่าง) สลับระหว่าง $V_{in}$ กับ 0 เป็นพัลส์ดิวตี้ D ที่ความถี่ $f_s$ ตรงกับ W3 ทุกประการ B1 Switch-node voltage of a buck converter แรงดันโหนดสวิตช์ $$v_{sw}(t) = DV_{in} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2V_{in}}{n\pi}\sin(n\pi D)\cos\big(n\omega_s t - n\pi D\big)$$ พจน์ DC คือ $DV_{in}$ = แรงดันขาออกของบั๊กในอุดมคติ ทุกอย่างที่เหลือคือ “ขยะ” ที่ฟิลเตอร์ต้องกำจัด และ $n f_s$ คือความถี่ที่จะเห็นบนสเปกตรัม EMI บั๊ก 12 V → 5 V: โหนดสวิตช์ (สีฟ้า) แรงดันขาออก (สีส้ม ขยาย 200 เท่ารอบ 5 V) และสเปกตรัมของโหนดสวิตช์ (ล่าง) DC 5 V ฮาร์มอนิกที่ 50 kHz 7.38 V ที่ 100 kHz 1.91 V ที่ 150 kHz 1.80 V ## ฟิลเตอร์ LC: ประมาณริปเปิลด้วยฮาร์มอนิกแรก กลาง B2 LC attenuation far above f₀ การลดทอนของ LC $$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}},\qquad |H(jn\omega_s)| \approx \Big(\frac{f_0}{nf_s}\Big)^2 \;\;(nf_s \gg f_0)$$ −40 dB/decade ฮาร์มอนิกที่ 2 ถูกลดทอนมากกว่าที่ 1 สี่เท่า และขนาดเริ่มต้นก็เล็กกว่า ฮาร์มอนิกแรกจึงกำหนดริปเปิลเกือบทั้งหมด B3 Fundamental-harmonic ripple estimate ริปเปิลจากฮาร์มอนิกแรก $$\Delta V_{pp} \approx 2\cdot\frac{2V_{in}}{\pi}\sin(\pi D)\cdot\Big(\frac{f_0}{f_s}\Big)^2$$ B4 Exact ripple (ideal C) สูตรจริงจากโดเมนเวลา $$\Delta V_{pp} = \frac{(1 - D)V_o}{8LCf_s^2} = \frac{\Delta I_L}{8f_sC}$$ ได้จากพื้นที่สามเหลี่ยมของกระแสริปเปิลที่ไหลเข้า C · อัตราส่วน B3/B4 = $\frac{8\sin\pi D}{\pi^3D(1-D)}$ อยู่ระหว่าง 1.025–1.03 ในช่วงใช้งานปกติ B5 ESR contribution ส่วนของ ESR $$\Delta V_{ESR} \approx \Delta I_L \cdot \mathrm{ESR}$$ เป็นสามเหลี่ยม (ตามรูปกระแส) ต่างเฟสกับส่วนของ C 90° ที่ฮาร์มอนิกแรก ผลรวมจึงน้อยกว่าบวกตรง ๆ ใช้แล็บหรือรวมฮาร์มอนิกด้วย $Z_C = \mathrm{ESR} + 1/(j\omega C)$ ตัวอย่าง B-1 · บั๊ก 12 V → 5 V 2 A 50 kHz ### L = 100 µH, C = 100 µF ประมาณริปเปิลด้วยฮาร์มอนิกแรก เทียบสูตรจริง แล้วดูผลเมื่อ C มี ESR 20 mΩ - $D = 5/12 = 0.4167$ · B1: ฮาร์มอนิกแรกของโหนดสวิตช์ $\frac{2(12)}{\pi}\sin(0.4167\pi) = 7.379$ V - B2: $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-8}}} = 1.592$ kHz · $(f_0/f_s)^2 = 1.013\times10^{-3}$ - B3: ริปเปิลยอด $7.379 \times 1.013\times10^{-3} = 7.48$ mV → ยอดถึงยอด 14.96 mV - B4: $\Delta I_L = \frac{(12 - 5)(0.4167)}{100\mu \cdot 50\text{k}} = 0.583$ A · $\Delta V = \frac{0.583}{8(50\text{k})(100\mu)} = 14.58$ mV → ค่าประมาณสูงไป 2.6 % - มี ESR 20 mΩ: $\Delta I_L\cdot\mathrm{ESR}$ = 11.7 mV แต่รวมฮาร์มอนิกทั้งหมดด้วย $Z_C$ ที่มี ESR ได้ 16.9 mV (ไม่ใช่ 14.6 + 11.7) ริปเปิล 14.6 mV (C อุดมคติ) และ 16.9 mV เมื่อ ESR 20 mΩ ฮาร์มอนิกแรกตัวเดียวทำนายได้ภายใน 3 % · เปิดแล็บด้านล่างแล้วเปลี่ยน C, L หรือความถี่ดูได้ทันที แล็บ “บั๊ก 12 V → 5 V 50 kHz” (ไม่มี ESR): ฮาร์มอนิกหลักขาออก 7.48 mV ยอด ยอดถึงยอดจริง 14.6 mV ✓ ## กระแสในตัวเหนี่ยวนำ: สามเหลี่ยมไม่สมมาตร กลาง B6 Inductor ripple current กระแสริปเปิลของตัวเหนี่ยวนำ $$\Delta I_L = \frac{(V_{in} - V_o)D}{Lf_s} = \frac{V_o(1 - D)}{Lf_s}$$ B7 Harmonics & RMS of the inductor current ฮาร์มอนิกและ RMS $$I_{L,n} = \frac{\Delta I_L\,|\sin n\pi D|}{\pi^2n^2D(1 - D)},\qquad I_{L,rms} = \sqrt{I_o^2 + \frac{\Delta I_L^2}{12}}$$ จาก W18 และพาร์เซวาล · ความสูญเสียทองแดงที่ความถี่สูง $\sum I_{L,n}^2R_{ac}(nf_s)$ ซึ่ง $R_{ac}$ โตขึ้นตาม skin/proximity effect ตัวอย่าง B-2 · กระแสตัวเหนี่ยวนำของ B-1 ### หาฮาร์มอนิก 1–3 ของกระแสริปเปิล และกระแส RMS ของตัวเหนี่ยวนำ - B7: $\pi^2D(1 - D) = 2.399$ · $I_{L,1} = \frac{0.583(0.966)}{2.399} = 0.235$ A · $I_{L,2} = 0.030$ A · $I_{L,3} = 0.019$ A (ยอด) - RMS: $\sqrt{2^2 + 0.583^2/12} = 2.0071$ A ริปเปิล 29 % ของกระแสโหลดเพิ่ม RMS เพียง 0.35 % แต่ฮาร์มอนิกที่ 50 kHz ยอด 0.235 A คือสิ่งที่สร้างความสูญเสียในแกนและเสียงรบกวน ## กระแสด้านเข้าและตัวเก็บประจุอินพุต กลาง ด้านเข้าของบั๊กดึงกระแสเป็นพัลส์ (≈ $I_o$ ช่วง DT และ 0 ช่วงที่เหลือ) แหล่งจ่ายควรเห็นแค่ค่าเฉลี่ย $DI_o$ ส่วนที่เหลือต้องมาจากตัวเก็บประจุอินพุตที่อยู่ใกล้สวิตช์ที่สุด B8 Input-capacitor RMS current กระแส RMS ในตัวเก็บประจุอินพุต $$I_{C_{in},rms} = I_o\sqrt{D(1 - D)},\qquad I_{in,n} = \frac{2I_o}{n\pi}|\sin n\pi D|$$ มาจากพาร์เซวาลของพัลส์ W3 หักส่วน DC สูงสุดที่ D = 0.5 ($I_o/2$) ใช้เลือกตัวเก็บประจุตามพิกัด ripple current ตัวอย่าง B-3 · ตัวเก็บประจุอินพุตของ B-1 ### หากระแส RMS ในตัวเก็บประจุอินพุตและฮาร์มอนิกที่ 50 kHz ของกระแสด้านเข้า - B8: $2\sqrt{0.4167 \times 0.5833} = 0.986$ A RMS - $I_{in,1} = \frac{2(2)}{\pi}\sin(0.4167\pi) = 1.23$ A ยอด ต้องใช้ตัวเก็บประจุที่ทนกระแสริปเปิลอย่างน้อย 1 A RMS ที่ 50 kHz (เกือบเท่าครึ่งหนึ่งของกระแสโหลด) ถ้าตัวเก็บประจุอินพุตเล็กไป กระแส 1.23 A ที่ 50 kHz จะไหลย้อนไปในสายแหล่งจ่ายกลายเป็น EMI ## ขอบสัญญาณกับ EMI: เอนเวโลปของพัลส์คางหมู ขั้นสูง สวิตช์จริงใช้เวลาขาขึ้น $t_r$ โหนดสวิตช์จึงเป็นคางหมู (W14) ใช้ $|\mathrm{sinc}\,x| \le \min(1, 1/(\pi x))$ ได้เอนเวโลปแบบ Bode ที่วาดด้วยมือได้ B9 Trapezoid spectrum envelope เอนเวโลปสเปกตรัมของคางหมู $$|V_n| \le 2AD\cdot\min\Big(1, \frac{1}{\pi f\tau}\Big)\cdot\min\Big(1, \frac{1}{\pi f t_r}\Big),\qquad f_1 = \frac{1}{\pi\tau},\quad f_2 = \frac{1}{\pi t_r}$$ แบนถึง $f_1$ ($\tau = DT$ ความกว้างพัลส์) ลด −20 dB/decade ถึง $f_2$ แล้ว −40 dB/decade · เวลาขาขึ้นเป็นตัวเดียวที่ย้าย $f_2$ จึงคุม EMI ย่าน MHz ได้โดยตรง เอนเวโลปของโหนดสวิตช์ 12 V 500 kHz D = 0.42 เป็น dBµV: $t_r$ = 10 ns (สีส้ม) เทียบ 50 ns (สีฟ้า) ที่ 30 MHz ต่างกันราว 13 dB ตัวอย่าง B-4 · ขอบเร็วกับขอบช้า ### บั๊ก 12 V 500 kHz D = 0.42 เปรียบเทียบเอนเวโลปที่ 30 MHz เมื่อ $t_r$ = 10 ns และ 50 ns (เป็น dBµV) - $\tau = 0.42 \times 2\ \mu\text{s} = 0.84\ \mu\text{s}$ → $f_1 = 379$ kHz · $2AD = 10.08$ V = 140.1 dBµV - B9 $t_r$ = 10 ns: $f_2 = 31.8$ MHz (30 MHz ยังไม่ถึง) → $10.08/(\pi \cdot 30\text{M}\cdot 0.84\mu) = 0.127$ V = 102.1 dBµV - $t_r$ = 50 ns: $f_2 = 6.37$ MHz → คูณเพิ่ม $1/(\pi\cdot 30\text{M}\cdot 50\text{n}) = 0.212$ → 0.027 V = 88.6 dBµV ขอบช้าลง 5 เท่าลดเอนเวโลปที่ 30 MHz ได้ 13.5 dB แต่ความสูญเสียสวิตชิ่ง $\propto t_r f_s$ เพิ่ม 5 เท่า วิศวกรเลือกจุดสมดุล หรือเพิ่ม snubber/ฟิลเตอร์ EMI แทน ## บูสต์และการเลือกความถี่สวิตชิ่ง กลาง B10 Boost output ripple ริปเปิลของบูสต์ $$\Delta V_o = \frac{DI_o}{Cf_s}$$ ขาออกของบูสต์รับกระแสจากไดโอดเป็นพัลส์ (เหมือนด้านเข้าของบั๊ก) ไม่มี L กั้น ริปเปิลจึงมากกว่าบั๊กที่ L, C เท่ากันมาก และตัวเก็บประจุขาออกรับ $I_o\sqrt{D/(1-D)}$ RMS | เพิ่ม $f_s$ | ผลจากมุมมองฟูเรียร์ | | ริปเปิล | ลดตาม $1/f_s^2$ (B2, B4) ใช้ L C เล็กลงได้ | | ความสูญเสียสวิตชิ่ง | เพิ่มตาม $f_s$ | | ความสูญเสียแกนและ $R_{ac}$ | ฮาร์มอนิกของกระแส L อยู่ที่ความถี่สูงขึ้น | | EMI | เส้นสเปกตรัมห่างขึ้น ฮาร์มอนิกแรกอาจเลื่อนเข้าแถบ 150 kHz ของมาตรฐาน EMI | | ระบบควบคุม | ครอสโอเวอร์ได้สูงขึ้น (ราว $f_s/10$) ดู ตัวชดเชย Type III | ## แล็บ: บั๊ก 12 V → 5 V ทีละฮาร์มอนิก พื้นฐาน ค่าเริ่มต้นคือบั๊กของตัวอย่าง B-1 ดูขาออกแบบ AC (ขยายริปเปิล) และสเปกตรัมเป็น dB เปลี่ยน L หรือ C แล้วดูแท่งที่ 50 kHz ลดตาม $(f_0/f_s)^2$ หรือเปลี่ยน f₀ เป็น 100k ดูริปเปิลลด 4 เท่า โครงการต่อยอด: ควบคุมบั๊กคอนเวอร์เตอร์ด้วยตัวชดเชย Type II/III · เรียนต่อทั้งวิชา: อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · แล็บจำลองคอนเวอร์เตอร์ระดับการสวิตช์ ## คำถามที่พบบ่อย ทำไมบั๊กคอนเวอร์เตอร์ให้แรงดันขาออก D·Vin? แรงดันที่โหนดสวิตช์เป็นพัลส์สูง Vin ดิวตี้ D อนุกรมฟูเรียร์ของมันมี DC เท่ากับ D·Vin บวกฮาร์มอนิกที่ความถี่สวิตชิ่ง ฟิลเตอร์ LC ให้ DC ผ่านเต็มที่ ($H(0) = 1$) และลดทอนฮาร์มอนิกตาม $(f_0/nf_s)^2$ ขาออกจึงเหลือ D·Vin กับริปเปิลเล็ก ๆ ประมาณแรงดันริปเปิลของบั๊กอย่างไร? ใช้ฮาร์มอนิกแรกของโหนดสวิตช์ $\frac{2V_{in}}{\pi}\sin\pi D$ คูณการลดทอนของ LC $(f_0/f_s)^2$ ได้ค่ายอดของริปเปิล คูณสองเป็นค่ายอดถึงยอด ผลต่างจากสูตรจริง $(1-D)V_o/(8LCf_s^2)$ เพียงราว 2–3 % เพราะฮาร์มอนิกสูงกว่าถูกลดทอนมากจนแทบไม่มีผล ESR ของตัวเก็บประจุมีผลต่อริปเปิลอย่างไร? กระแสริปเปิลสามเหลี่ยมไหลผ่าน ESR สร้างแรงดันสามเหลี่ยม $\Delta I_L \cdot \mathrm{ESR}$ ซึ่งต่างเฟสกับส่วนของ C ในตัวอย่างบั๊ก 12 V → 5 V ESR 20 mΩ ทำให้ริปเปิลจาก 14.6 mV เป็น 16.9 mV ตัวเก็บประจุอิเล็กโทรไลต์ที่ ESR สูงกว่านี้ ESR มักเป็นตัวกำหนดริปเปิล เวลาขาขึ้นของสวิตช์มีผลต่อ EMI อย่างไร? สเปกตรัมของพัลส์คางหมูมีเอนเวโลปแบนถึง $1/(\pi\tau)$ ลด −20 dB/decade ถึง $1/(\pi t_r)$ แล้วลด −40 dB/decade ขอบที่ช้าลง 5 เท่า (10 → 50 ns) ลดเอนเวโลปที่ 30 MHz ได้ราว 13 dB แลกกับความสูญเสียสวิตชิ่งที่เพิ่มขึ้น มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **ทำไมบั๊กคอนเวอร์เตอร์ให้แรงดันขาออก D·Vin?** แรงดันที่โหนดสวิตช์เป็นพัลส์สูง Vin ดิวตี้ D อนุกรมฟูเรียร์ของมันมี DC เท่ากับ D·Vin บวกฮาร์มอนิกที่ความถี่สวิตชิ่ง ฟิลเตอร์ LC ให้ DC ผ่านเต็มที่ ($H(0) = 1$) และลดทอนฮาร์มอนิกตาม $(f_0/nf_s)^2$ ขาออกจึงเหลือ D·Vin กับริปเปิลเล็ก ๆ **ประมาณแรงดันริปเปิลของบั๊กอย่างไร?** ใช้ฮาร์มอนิกแรกของโหนดสวิตช์ $\frac{2V_{in}}{\pi}\sin\pi D$ คูณการลดทอนของ LC $(f_0/f_s)^2$ ได้ค่ายอดของริปเปิล คูณสองเป็นค่ายอดถึงยอด ผลต่างจากสูตรจริง $(1-D)V_o/(8LCf_s^2)$ เพียงราว 2–3 % เพราะฮาร์มอนิกสูงกว่าถูกลดทอนมากจนแทบไม่มีผล **ESR ของตัวเก็บประจุมีผลต่อริปเปิลอย่างไร?** กระแสริปเปิลสามเหลี่ยมไหลผ่าน ESR สร้างแรงดันสามเหลี่ยม $\Delta I_L \cdot \mathrm{ESR}$ ซึ่งต่างเฟสกับส่วนของ C ในตัวอย่างบั๊ก 12 V → 5 V ESR 20 mΩ ทำให้ริปเปิลจาก 14.6 mV เป็น 16.9 mV ตัวเก็บประจุอิเล็กโทรไลต์ที่ ESR สูงกว่านี้ ESR มักเป็นตัวกำหนดริปเปิล **เวลาขาขึ้นของสวิตช์มีผลต่อ EMI อย่างไร?** สเปกตรัมของพัลส์คางหมูมีเอนเวโลปแบนถึง $1/(\pi\tau)$ ลด −20 dB/decade ถึง $1/(\pi t_r)$ แล้วลด −40 dB/decade ขอบที่ช้าลง 5 เท่า (10 → 50 ns) ลดเอนเวโลปที่ 30 MHz ได้ราว 13 dB แลกกับความสูญเสียสวิตชิ่งที่เพิ่มขึ้น