--- title: "การประยุกต์อนุพันธ์ทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา" url: https://modsengineeringmath.com/learn/differential-calculus/engineering-applications/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-14 --- > อนุพันธ์ในงานวิศวกรรมจริงพร้อมตัวอย่างตัวเลข ไฟฟ้า: กระแสตัวเก็บประจุ แรงดันตัวเหนี่ยวนำ กฎของฟาราเดย์ ถ่ายโอนกำลังสูงสุด ความต้านทานสัญญาณเล็กของไดโอด ความไว · เครื่องกล: ความเร็ว ความเร่ง กลไกข้อเหวี่ยง-ก้านสูบ การนำความร้อน กำลังสูงสุดของมอเตอร์ · โยธา: ความชันและโมเมนต์ของคาน การโก่ง โค้งทางดิ่งของถนน หน้าตัดรางน้ำที่ดีที่สุด และความคลาดเคลื่อนงานสำรวจ พร้อมแล็บโต้ตอบ ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/differential-calculus/engineering-applications/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # การประยุกต์อนุพันธ์ทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา // บทที่ 4.1 · อนุพันธ์ · Engineering Applications อนุพันธ์ไม่ใช่แค่แบบฝึกหัดในห้อง ทุกสาขาวิศวกรรมใช้มันทุกวัน: วิศวกรไฟฟ้าใช้หากระแสในตัวเก็บประจุและแรงดันกระชากของขดลวด วิศวกรเครื่องกลใช้หาความเร็วและความเร่งของกลไก วิศวกรโยธาใช้อ่านความชันและโมเมนต์ของคาน และทุกสาขาใช้หาจุดที่ดีที่สุด หน้านี้แยกตามสาขา ทุกตัวอย่างมีตัวเลขจริงและแล็บให้ลอง สูตรใช้รหัส A สรุปใน 30 วินาที - ไฟฟ้า: $i = C\frac{dv}{dt}$, $v = L\frac{di}{dt}$, $e = -N\frac{d\Phi}{dt}$, กำลังสูงสุดเมื่อ $R_L = R_s$ - เครื่องกล: $v = \dot x,\ a = \dot v$, $q = -k\frac{dT}{dx}$, $P = T\omega$ สูงสุดที่ครึ่งความเร็วไร้โหลด - โยธา: $V = \frac{dM}{dx}$, $\theta = \frac{dy}{dx}$, $M = EI\frac{d^2y}{dx^2}$ โมเมนต์สูงสุดที่ V = 0 - ทุกสาขา: ค่าเหมาะสมอยู่ที่อนุพันธ์ = 0 และความคลาดเคลื่อน $dy = f'(x)dx$ ## วิศวกรรมไฟฟ้า: C, L, ฟาราเดย์ และกำลัง พื้นฐาน A1 Capacitor ตัวเก็บประจุ $$i_C = C\frac{dv_C}{dt}$$ แรงดันคงที่ → ไม่มีกระแส (DC เปิดวงจร) · แรงดันกระโดด → กระแสอนันต์ จึงเป็นไปไม่ได้ A2 Inductor ตัวเหนี่ยวนำ $$v_L = L\frac{di_L}{dt}$$ กระแสคงที่ → ไม่มีแรงดัน (DC ลัดวงจร) · ตัดกระแสเร็ว → แรงดันกระชากสูงมาก A3 Faraday's law กฎของฟาราเดย์ $$e = -N\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d\lambda}{dt}$$ A4 Maximum power transfer ถ่ายโอนกำลังสูงสุด $$P = \frac{V_s^2R_L}{(R_s + R_L)^2},\quad \frac{dP}{dR_L} = 0 \Rightarrow R_L = R_s,\ P_{\max} = \frac{V_s^2}{4R_s}$$ A5 Small-signal resistance ความต้านทานพลวัต $$r_d = \frac{dV_D}{dI_D} = \frac{nV_T}{I_D}$$ ความชันของกราฟ I-V ที่จุดทำงาน = การประมาณเชิงเส้น D30 A6 Sensitivity ความไว $$S_x^y = \frac{\partial y}{\partial x}\cdot\frac{x}{y} \approx \frac{\Delta y/y}{\Delta x/x}$$ ตัวอย่าง A-1 · กระแสตัวเก็บประจุ ### $v(t) = 10\sin(100\pi t)$ V คร่อม $C = 10\ \mu\text{F}$ หา $i(t)$ - $$i = C\frac{dv}{dt} = 10\times10^{-6}\cdot 10\cdot100\pi\cos(100\pi t) = 0.0314\cos(100\pi t)\ \text{A}$$ ยอด 31.4 mA และกระแสนำหน้าแรงดัน 90° (cos นำ sin) ตรงกับ $X_C = 1/(\omega C) = 318\ \Omega$: $10/318 = 31.4$ mA ✓ ตัวอย่าง A-2 · แรงดันกระชากของรีเลย์ ### ขดลวด $L = 50$ mH มีกระแส 2 A (ก) เพิ่มกระแสจาก 0 ถึง 2 A ใน 1 ms (ข) ตัดกระแสเหลือ 0 ใน 10 µs - (ก) $v = 0.05\times\dfrac{2}{10^{-3}} = 100$ V - (ข) $v = 0.05\times\dfrac{2}{10^{-5}} = 10{,}000$ V ตัดเร็วขึ้น 100 เท่า แรงดันสูงขึ้น 100 เท่าเป็น 10 kV จึงต้องมีไดโอดฟรีวีลคร่อมขดลวดเสมอ ตัวอย่าง A-3 · กฎของฟาราเดย์ในหม้อแปลง ### ฟลักซ์ $\Phi = 0.02\sin(100\pi t)$ Wb ผ่านขดลวด 100 รอบ หาแรงเคลื่อนเหนี่ยวนำ - $$e = -N\frac{d\Phi}{dt} = -100\cdot0.02\cdot100\pi\cos(100\pi t) = -628.3\cos(100\pi t)\ \text{V}$$ ยอด 628 V (RMS ≈ 444 V) ตรงกับสมการหม้อแปลง $E_{\text{rms}} = 4.44fN\Phi_m = 4.44(50)(100)(0.02) = 444$ V ✓ — 4.44 มาจาก $2\pi/\sqrt2$ ซึ่งได้จากการหาอนุพันธ์ ตัวอย่าง A-4 · ถ่ายโอนกำลังสูงสุด ### แหล่งจ่าย 12 V ความต้านทานภายใน 4 Ω ต่อโหลด $R_L$ หาค่าที่ได้กำลังสูงสุด - $$P = \frac{144R_L}{(4 + R_L)^2},\quad \frac{dP}{dR_L} = 144\frac{(4 + R_L) - 2R_L}{(4 + R_L)^3} = \frac{144(4 - R_L)}{(4 + R_L)^3}$$ - $dP/dR_L = 0 \Rightarrow R_L = 4\ \Omega$ (ก่อนหน้าเป็นบวก หลังเป็นลบ → สูงสุด) $$P_{\max} = \frac{144\cdot4}{64} = 9\ \text{W}$$ $R_L = 4\ \Omega$, $P_{\max} = 9$ W ประสิทธิภาพตอนนั้นแค่ 50% ระบบไฟฟ้ากำลังจึงไม่ทำงานที่จุดนี้ แต่วงจรสื่อสารและสายอากาศจับคู่ให้ได้กำลังสูงสุด ตัวอย่าง A-5 · ความต้านทานสัญญาณเล็กและความไว ### (ก) ไดโอดทำงานที่ $I_D = 1$ mA, $nV_T = 26$ mV หา $r_d$ (ข) วงจรแบ่งแรงดัน $R_1 = R_2$ ถ้า $R_2$ คลาด 1% $V_o$ คลาดเท่าไร - (ก) $r_d = 26\text{ mV}/1\text{ mA} = 26\ \Omega$ - (ข) $V_o = V_i\dfrac{R_2}{R_1 + R_2}$: $S = \dfrac{\partial V_o}{\partial R_2}\dfrac{R_2}{V_o} = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2} = 0.5$ (ก) 26 Ω · (ข) 0.5% — ความไวบอกว่าควรใช้ตัวต้านทานเกรดไหน ## วิศวกรรมเครื่องกล: การเคลื่อนที่ กลไก ความร้อน และกำลัง กลาง A7 Kinematics จลนศาสตร์ $$v = \frac{dx}{dt},\quad a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2},\quad a = v\frac{dv}{dx}$$ A8 Slider–crank ข้อเหวี่ยง-ก้านสูบ $$x(\theta) = r\cos\theta + \sqrt{l^2 - r^2\sin^2\theta},\quad v = \omega\frac{dx}{d\theta},\quad a \approx -r\omega^2\left(\cos\theta + \frac rl\cos2\theta\right)$$ A9 Newton's second law $$F = \frac{dp}{dt} = m\frac{dv}{dt}\ (m \text{ คงที่})$$ A10 Fourier's law การนำความร้อน $$q = -k\frac{dT}{dx}\ \ (\text{W/m}^2)$$ A11 Motor power กำลังของมอเตอร์ DC $$T = T_0\left(1 - \frac{\omega}{\omega_0}\right),\ P = T\omega \Rightarrow P_{\max} = \frac{T_0\omega_0}{4}\ \text{ที่ } \omega = \frac{\omega_0}{2}$$ ตัวอย่าง A-6 · ตำแหน่ง ความเร็ว ความเร่ง ### $x(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t$ m หาเวลาที่หยุดนิ่งและเวลาที่ความเร่งเป็นศูนย์ - $$v = 6t^2 - 18t + 12 = 6(t - 1)(t - 2) = 0 \Rightarrow t = 1,\ 2\ \text{s}$$ - $$a = 12t - 18 = 0 \Rightarrow t = 1.5\ \text{s}$$ หยุดที่ t = 1 s (x = 5 m) และ t = 2 s (x = 4 m) ถอยหลังในช่วง 1–2 s · ความเร่งเปลี่ยนเครื่องหมายที่ 1.5 s (จุดเปลี่ยนเว้าของ x(t)) ตัวอย่าง A-7 · ลูกสูบ ### $r = 5$ cm, $l = 15$ cm หมุน 600 rpm หาความเร็วลูกสูบที่ $\theta = 90^\circ$ และความเร่งที่ $\theta = 0^\circ$ - $\omega = 600\cdot2\pi/60 = 62.83$ rad/s · $\dfrac{dx}{d\theta} = -r\sin\theta - \dfrac{r^2\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{l^2 - r^2\sin^2\theta}}$ ที่ 90°: $= -5$ cm/rad $$v = -5\times62.83 = -314\ \text{cm/s} = -3.14\ \text{m/s}$$ - ที่ 0°: $a = -r\omega^2(1 + r/l) = -5(3948)(1.333) = -26{,}319$ cm/s² $|v| = 3.14$ m/s ที่ 90° · $|a| \approx 263$ m/s² ≈ 27 g ที่ศูนย์ตายบน ความเร่งนี้คูณมวลลูกสูบคือแรงที่ก้านสูบต้องรับ ตัวอย่าง A-8 · ความร้อนผ่านผนัง และกำลังมอเตอร์ ### (ก) ผนัง $k = 0.8$ W/m·K หนา 0.2 m ด้านใน 30 °C ด้านนอก 20 °C (ข) มอเตอร์ $T_0 = 2$ N·m, $\omega_0 = 300$ rad/s - (ก) อุณหภูมิลดลงเชิงเส้น $dT/dx = -10/0.2 = -50$ K/m → $q = -0.8(-50) = 40$ W/m² - (ข) $P = 2\omega - \tfrac{2}{300}\omega^2$, $dP/d\omega = 2 - \tfrac{4}{300}\omega = 0 \Rightarrow \omega = 150$ rad/s, $P = 150$ W (ก) 40 W/m² · (ข) กำลังสูงสุด 150 W ที่ 150 rad/s (≈ 1432 rpm) ครึ่งหนึ่งของความเร็วไร้โหลด ## วิศวกรรมโยธา: คาน ถนน รางน้ำ และงานสำรวจ กลาง A12 Beam relations ความสัมพันธ์ของคาน $$\frac{dV}{dx} = -w(x),\qquad \frac{dM}{dx} = V(x),\qquad \theta = \frac{dy}{dx},\qquad EI\frac{d^2y}{dx^2} = M(x)$$ อนุพันธ์ไล่จากการโก่งขึ้นไปหาน้ำหนัก ส่วนการอินทิเกรตไล่ลงมา ดูแล็บคานในหน้าอินทิกรัล A13 Vertical curve โค้งทางดิ่งแบบพาราโบลา $$y = g_1x + \frac{g_2 - g_1}{2L}x^2,\quad y' = 0 \Rightarrow x = \frac{g_1L}{g_1 - g_2}$$ A14 Best rectangular channel หน้าตัดรางน้ำดีที่สุด $$P = \frac{A}{y} + 2y,\quad \frac{dP}{dy} = 0 \Rightarrow b = 2y$$ ตัวอย่าง A-9 · โมเมนต์สูงสุดของคาน ### คานช่วงเดียว $L = 6$ m รับน้ำหนักแผ่ $w = 10$ kN/m หาโมเมนต์ดัดสูงสุด - แรงปฏิกิริยา $wL/2 = 30$ kN · $M(x) = 30x - 5x^2$ - $\dfrac{dM}{dx} = 30 - 10x = V(x) = 0 \Rightarrow x = 3$ m (กลางคาน) A12 $$M_{\max} = 30(3) - 5(9) = 45\ \text{kN}\cdot\text{m} = \frac{wL^2}{8}$$ 45 kN·m ที่กลางคาน ตรงจุดที่แรงเฉือนเป็นศูนย์ ตัวอย่าง A-10 · ความชันที่ฐานและการโก่งสูงสุด ### คานเดิม $EI = 20{,}000$ kN·m² เส้นโก่ง $y = -\dfrac{wx}{24EI}\left(L^3 - 2Lx^2 + x^3\right)$ - $\theta = y' = -\dfrac{w}{24EI}\left(L^3 - 6Lx^2 + 4x^3\right)$ ที่ฐาน $x = 0$: $$\theta_0 = -\frac{wL^3}{24EI} = -\frac{10(216)}{480{,}000} = -0.0045\ \text{rad}$$ - โก่งสูงสุดที่ $\theta = 0$ คือ $x = L/2$ (สมมาตร) $$y_{\max} = -\frac{5wL^4}{384EI} = -\frac{5(10)(1296)}{7{,}680{,}000} = -8.44\ \text{mm}$$ θ ที่ฐาน 0.0045 rad (0.26°) · โก่ง 8.44 mm ≈ L/711 ผ่านเกณฑ์ทั่วไป L/360 ตัวอย่าง A-11 · จุดสูงสุดของโค้งทางดิ่ง ### ทางขึ้นลาด +3% เปลี่ยนเป็นลง −2% ด้วยโค้งยาว 200 m จุดสูงสุดอยู่ที่ใด - $$y' = 0.03 + \frac{-0.02 - 0.03}{200}x = 0 \Rightarrow x = \frac{0.03(200)}{0.05} = 120\ \text{m}$$ - $$y(120) = 0.03(120) - \frac{0.05}{400}(120)^2 = 3.6 - 1.8 = 1.8\ \text{m}$$ ที่ 120 m จากจุดเริ่มโค้ง สูงกว่าจุดเริ่ม 1.8 m (ตำแหน่งท่อระบายน้ำและระยะมองเห็น) ตัวอย่าง A-12 · รางน้ำและงานสำรวจ ### (ก) รางสี่เหลี่ยมพื้นที่หน้าตัด 8 m² ขนาดใดใช้วัสดุบุน้อยสุด (ข) วัดรัศมีลานวงกลม 50 m คลาด ±0.05 m พื้นที่คลาดเท่าไร - (ก) $\dfrac{dP}{dy} = -\dfrac{8}{y^2} + 2 = 0 \Rightarrow y = 2$ m, $b = 4$ m, $P = 8$ m A14 - (ข) $dA = 2\pi r\,dr = 2\pi(50)(0.05) = 15.7$ m² (สัมพัทธ์ $2\,dr/r = 0.2\%$) (ก) กว้าง 4 m ลึก 2 m · (ข) ±15.7 m² จากพื้นที่ 7,854 m² ## แล็บออกแบบให้เหมาะสมที่สุด (ทุกสาขา) ห้าโจทย์คลาสสิกจากสามสาขา ลากจุดบนกราฟบนเพื่อเปลี่ยนค่า x กราฟล่างคืออนุพันธ์ จุดที่ดีที่สุดอยู่ตรงที่อนุพันธ์ข้ามแกนศูนย์ทุกโจทย์ วิธีคิดเหมือนกันหมด: เขียนปริมาณที่ต้องการให้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว หาอนุพันธ์ ตั้งเท่ากับศูนย์ แล้วตรวจว่าเป็นสูงสุดหรือต่ำสุด ตัวอย่าง A-13 · กระป๋องใช้วัสดุน้อยสุด ### กระป๋องทรงกระบอกปิดหัวท้าย ปริมาตร 1 ลิตร (1000 cm³) ใช้แผ่นโลหะน้อยที่สุดเมื่อมีขนาดเท่าใด - $\pi r^2h = 1000 \Rightarrow h = \dfrac{1000}{\pi r^2}$ · พื้นที่ผิว $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r^2 + \dfrac{2000}{r}$ - $$A'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \Rightarrow r^3 = \frac{500}{\pi} \Rightarrow r = 5.42\ \text{cm}$$ - $A''(r) = 4\pi + 4000/r^3 > 0$ → ต่ำสุด · $h = 1000/(\pi\cdot5.42^2) = 10.84$ cm $r = 5.42$ cm, $h = 10.84$ cm คือ $h = 2r$: สูงเท่าเส้นผ่านศูนย์กลาง ## อ่านต่อ - สูตรและวิธีหาอนุพันธ์ทั้งหมด: หน้าหลักอนุพันธ์ - ด้านกลับ (สะสม): การประยุกต์อินทิกรัลในงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา พร้อมแล็บคาน - สมการเชิงอนุพันธ์ของวงจรและกลไก: แก้ด้วยการแปลงลาปลาซ - R. C. Hibbeler, Mechanics of Materials (คาน) · Alexander & Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits (C, L) · Stewart, Calculus (applications of differentiation) ## คำถามที่พบบ่อย วิศวกรไฟฟ้าใช้อนุพันธ์ทำอะไรบ่อยที่สุด? ความสัมพันธ์ของตัวเก็บประจุ $i = C\,dv/dt$ และตัวเหนี่ยวนำ $v = L\,di/dt$ ซึ่งทำให้วงจร RC RL RLC เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ กฎของฟาราเดย์ในหม้อแปลงและมอเตอร์ และการหาค่าเหมาะสม เช่นการถ่ายโอนกำลังสูงสุด ทำไมรีเลย์ต้องมีไดโอดคร่อม? เพราะเมื่อตัดกระแสในขดลวดทันที $di/dt$ มีค่ามาก แรงดัน $v = L\,di/dt$ จึงพุ่งเป็นพันโวลต์และทำลายทรานซิสเตอร์ที่ขับ ไดโอดฟรีวีลให้ทางกระแสไหลต่อจนค่อย ๆ ลดลง ทำไมโมเมนต์ดัดสูงสุดของคานอยู่ตรงที่แรงเฉือนเป็นศูนย์? เพราะ $dM/dx = V$ โมเมนต์มีค่าสุดขีดตรงที่อนุพันธ์เป็นศูนย์ คือที่แรงเฉือนเปลี่ยนเครื่องหมาย หลักเดียวกับการหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันใด ๆ มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **วิศวกรไฟฟ้าใช้อนุพันธ์ทำอะไรบ่อยที่สุด?** ความสัมพันธ์ของตัวเก็บประจุ $i = C\,dv/dt$ และตัวเหนี่ยวนำ $v = L\,di/dt$ ซึ่งทำให้วงจร RC RL RLC เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ กฎของฟาราเดย์ในหม้อแปลงและมอเตอร์ และการหาค่าเหมาะสม เช่นการถ่ายโอนกำลังสูงสุด **ทำไมรีเลย์ต้องมีไดโอดคร่อม?** เพราะเมื่อตัดกระแสในขดลวดทันที $di/dt$ มีค่ามาก แรงดัน $v = L\,di/dt$ จึงพุ่งเป็นพันโวลต์และทำลายทรานซิสเตอร์ที่ขับ ไดโอดฟรีวีลให้ทางกระแสไหลต่อจนค่อย ๆ ลดลง **ทำไมโมเมนต์ดัดสูงสุดของคานอยู่ตรงที่แรงเฉือนเป็นศูนย์?** เพราะ $dM/dx = V$ โมเมนต์มีค่าสุดขีดตรงที่อนุพันธ์เป็นศูนย์ คือที่แรงเฉือนเปลี่ยนเครื่องหมาย หลักเดียวกับการหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันใด ๆ