---
title: "วงจรไฟฟ้ากระแสตรง (DC Circuit Analysis): จากกฎของโอห์มถึงวิธีโหนด เมช MNA ทฤษฎีบทวงจร และทรานเซียนต์ RLC"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/dc-circuits/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-26
---

> สรุปสูตรวงจรไฟฟ้ากระแสตรงในตารางเดียว: กฎของโอห์ม อนุกรม-ขนาน แบ่งแรงดัน-กระแส KCL KVL เทวินิน กำลังสูงสุด RC RL RLC พร้อมบทเรียนวิธีโหนด เมช แล็บจำลองวงจร และโจทย์ 26 ข้อ

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/dc-circuits/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# วงจรไฟฟ้ากระแสตรง (DC Circuit Analysis): จากกฎของโอห์มถึงวิธีโหนด เมช MNA ทฤษฎีบทวงจร และทรานเซียนต์ RLC

// บทที่ 25 · วงจรไฟฟ้า · DC Circuit Analysis


เริ่มจากประจุ กระแส และแรงดัน ไล่ไปถึงการวิเคราะห์แบบเป็นระบบที่โปรแกรม SPICE ใช้ ทฤษฎีบทวงจร และพฤติกรรมชั่วขณะของ RLC แล้วลงมือต่อวงจรเองในแล็บจำลอง ซึ่งแก้สมการ MNA จริงทุกครั้งที่แก้วงจร ก่อนวัดฝีมือกับโจทย์ 4 ระดับ ตั้งแต่พื้นฐานจนถึงระดับโอลิมปิก

สรุปใน 30 วินาที

- ทุกวงจรวิเคราะห์ได้จากสามอย่าง: ความสัมพันธ์ v–i ขององค์ประกอบ, KCL $\sum i = 0$ และ KVL $\sum v = 0$

- ในสภาวะคงตัว DC ตัวเก็บประจุเปิดวงจร ตัวเหนี่ยวนำลัดวงจร

- วิธีโหนดใช้ $n-1$ สมการ วิธีเมชใช้ $b-n+1$ สมการ ส่วน MNA คือวิธีที่ SPICE ใช้แก้วงจรทุกแบบ

- เครือข่ายเชิงเส้นสองขั้วใดก็ได้ = $V_{th}$ อนุกรม $R_{th}$ และโหลดได้กำลังสูงสุดเมื่อ $R_L = R_{th}$ (ประสิทธิภาพ 50%)

- วงจรอันดับหนึ่ง $x(t) = x(\infty) + [x(0^+) - x(\infty)]e^{-t/\tau}$ ส่วน RLC มีรูปร่างผลตอบสนองขึ้นกับ $\zeta$ ตัวเดียว

- ต้องการแค่สูตร ดูตารางสรุปสูตรวงจรไฟฟ้ากระแสตรง ด้านล่าง

- ส่งกำลังเท่ากันที่แรงดันสูงขึ้น $k$ เท่า กำลังสูญเสียในสายลดลง $k^2$ เท่า เป็นเหตุผลของ HVDC และระบบ 800 VDC

- 1ปริมาณพื้นฐาน

- 2R L C และแหล่งจ่าย

- 3กฎของเคอร์ชอฟฟ์

- 4อนุกรม ขนาน Δ–Y

- 5โหนด เมช MNA

- 6ทฤษฎีบทวงจร

- 7ทรานเซียนต์

- 8เทคโนโลยี DC

- 9แล็บจำลอง

- 10คลังโจทย์

8 บทเรียน6 เครื่องมือในบทเรียนแล็บวงจร R L C + แหล่งจ่ายไม่อิสระทำได้ 0 / 26 ข้อ

## สรุปสูตรวงจรไฟฟ้ากระแสตรง (DC Circuit Formulas)

ตารางนี้รวมสูตรที่ใช้บ่อยที่สุดในหน้าเดียว รหัสใต้ชื่อเรื่อง (เช่น E1) ลิงก์ไปการ์ดสูตรในบทเรียน ซึ่งมีที่มาของสูตร เงื่อนไขการใช้ และตัวอย่างพร้อมวิธีทำ

| เรื่อง · การ์ดสูตร | สูตร |

| กฎของโอห์มและกำลัง
E1 B1 | $V = IR \qquad P = VI = I^2R = \dfrac{V^2}{R}$ |

| ความต้านทานจากวัสดุและอุณหภูมิ
E1 | $R = \dfrac{\rho\,\ell}{A} \qquad R(T) = R_0\left[1 + \alpha(T - T_0)\right]$ |

| ตัวต้านทานอนุกรม
หัวข้อ 4 | $R_{eq} = R_1 + R_2 + \cdots + R_N$ |

| ตัวต้านทานขนาน
S2 | $\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \cdots \qquad R_1\parallel R_2 = \dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$ |

| วงจรแบ่งแรงดัน
S1 | $V_k = \dfrac{R_k}{R_1 + R_2 + \cdots + R_N}\,V$ |

| วงจรแบ่งกระแส (สองกิ่ง)
S2 | $I_1 = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\,I$ |

| กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ (KCL)
K1 | $\sum I_{\text{เข้า}} = \sum I_{\text{ออก}}$ |

| กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์ (KVL)
K2 | $\sum_{\text{รอบลูป}} V = 0$ |

| แปลงสามเหลี่ยมเป็นดาว (Δ → Y)
S3 S4 | $R_1 = \dfrac{R_bR_c}{R_a + R_b + R_c}$ (สลับตัวห้อยวนสำหรับ $R_2, R_3$) |

| บริดจ์วีตสโตนสมดุล
S5 | $R_x = \dfrac{R_2R_3}{R_1}$ |

| วงจรสมมูลเทวินิน / นอร์ตัน
T2 | $V_{th} = V_{oc} \qquad I_N = I_{sc} \qquad R_{th} = \dfrac{V_{oc}}{I_{sc}}$ |

| การถ่ายโอนกำลังสูงสุด
T3 | $R_L = R_{th} \;\Rightarrow\; P_{max} = \dfrac{V_{th}^2}{4R_{th}}$ |

| C และ L ในสภาวะคงตัว DC
E2 E3 | $i_C = C\dfrac{dv}{dt} = 0$ (เปิดวงจร) $\qquad v_L = L\dfrac{di}{dt} = 0$ (ลัดวงจร) |

| วงจร RC / RL อันดับหนึ่ง
R1 | $x(t) = x(\infty) + \left[x(0^+) - x(\infty)\right]e^{-t/\tau} \qquad \tau = RC \ \text{หรือ}\ \dfrac{L}{R}$ |

| วงจร RLC อนุกรม
R2 | $\alpha = \dfrac{R}{2L} \qquad \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \qquad \zeta = \dfrac{R}{2}\sqrt{\dfrac{C}{L}}$ |

ต้องการค้นสูตรเฉพาะเรื่อง พิมพ์คำในช่อง “ค้นหาสูตรในหน้านี้” ด้านบน เช่น divider, thevenin หรือ tau

## 1. ปริมาณพื้นฐานทางไฟฟ้า พื้นฐาน

วงจรกระแสตรง (DC) คือวงจรที่แหล่งจ่ายมีค่าคงที่ไม่เปลี่ยนตามเวลา ก่อนจะวิเคราะห์วงจรได้ ต้องนิยามปริมาณให้ชัด และตกลงเรื่องทิศกับขั้วให้ตรงกันก่อน

| ปริมาณ | นิยาม | หน่วย SI | หมายเหตุ |

| ประจุ $q$ | สมบัติพื้นฐานของอนุภาค | คูลอมบ์ (C) | $e = 1.602\,176\,634\times10^{-19}$ C เป็นค่าแน่นอนตาม SI ปี 2019 |

| กระแส $i$ | $i = \dfrac{dq}{dt}$ | แอมแปร์ (A = C/s) | ทิศกระแสสมมติตรงข้ามกับทิศการไหลของอิเล็กตรอน |

| แรงดัน $v$ | $v = \dfrac{dw}{dq}$ | โวลต์ (V = J/C) | วัดระหว่างสองจุดเสมอ แรงดันโหนดคือแรงดันเทียบกับกราวด์ |

| กำลัง $p$ | $p = \dfrac{dw}{dt}$ | วัตต์ (W = J/s) | อัตราการถ่ายโอนพลังงาน |

| พลังงาน $w$ | $w = \int p\,dt$ | จูล (J) | 1 kWh = 3.6 MJ (หน่วยบนบิลค่าไฟ) |

| ความต้านทาน $R$ | $R = v/i$ | โอห์ม (Ω) | ความนำ $G = 1/R$ มีหน่วยซีเมนส์ (S) |

### ข้อตกลงเครื่องหมายแบบพาสซีฟ

ถ้ากระแส $i$ ไหลเข้าทางขั้ว + ของแรงดัน $v$ ขององค์ประกอบ กำลัง $p = vi$ คือกำลังที่องค์ประกอบนั้นดูดกลืน ถ้าได้ $p < 0$ แปลว่าองค์ประกอบนั้นจ่ายกำลังออกไป เช่น แบตเตอรี่ที่กำลังจ่ายไฟ

B1 Power and energy กำลังและพลังงาน (ข้อตกลงพาสซีฟ)

$$p = v\,i \qquad w = \int_{t_0}^{t} p\,dt$$

B2 Power balance ผลรวมกำลังของทุกองค์ประกอบเป็นศูนย์

$$\sum_{k=1}^{b} p_k = \sum_{k=1}^{b} v_k\, i_k = 0$$

หลักคิด: กำหนดทิศกระแสและขั้วแรงดันก่อนเขียนสมการทุกครั้ง ทิศที่สมมติผิดไม่ได้ทำให้คำตอบผิด แค่ทำให้ได้ตัวเลขติดลบ ซึ่งบอกว่าทิศจริงตรงข้ามกับที่สมมติ แล็บในหน้านี้ตรวจสมดุลกำลัง B2 ให้ทุกครั้งที่แก้วงจร

### คำนำหน้าหน่วย

p10⁻¹²n10⁻⁹µ10⁻⁶m10⁻³k10³M10⁶G10⁹

ในแล็บพิมพ์ค่าได้ทั้ง 4.7k, 4k7, 10u (= 10 µ), 2m และ 1e-3 ระวังว่า m (มิลลิ) ต่างจาก M (เมกะ)

เครื่องมือ · ถอดรหัสแถบสีตัวต้านทานตัวต้านทาน 4 แถบ

แถบ 1 (หลักแรก)
แถบ 2 (หลักที่สอง)
แถบ 3 (ตัวคูณ)
แถบ 4 (ความคลาดเคลื่อน)

ค่าความต้านทาน—
ช่วงที่ยอมรับได้—
อนุกรม E—

## 2. องค์ประกอบวงจร: R, L, C และแหล่งจ่าย พื้นฐาน

ทุกองค์ประกอบนิยามด้วยความสัมพันธ์ระหว่างแรงดันกับกระแส เมื่อรู้ความสัมพันธ์นี้ครบ บวกกับกฎของเคอร์ชอฟฟ์ ก็วิเคราะห์วงจรได้ทุกวงจร

E1 Ohm's law · resistivity · temperature กฎของโอห์ม ความต้านทานจำเพาะ และผลของอุณหภูมิ

$$v = Ri \qquad p = i^2R = \frac{v^2}{R} \qquad R = \frac{\rho\,\ell}{A} \qquad R(T) = R_0\left[1 + \alpha\,(T - T_0)\right]$$

E2 Capacitor ตัวเก็บประจุ: แรงดันเปลี่ยนทันทีไม่ได้

$$i = C\,\frac{dv}{dt} \qquad w_C = \tfrac12 Cv^2 \qquad \text{DC: } i = 0 \ (\text{เปิดวงจร})$$

E3 Inductor ตัวเหนี่ยวนำ: กระแสเปลี่ยนทันทีไม่ได้

$$v = L\,\frac{di}{dt} \qquad w_L = \tfrac12 Li^2 \qquad \text{DC: } v = 0 \ (\text{ลัดวงจร})$$

ทองแดงมี $\rho \approx 1.7\times10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$ และ $\alpha \approx 0.00393\ /^\circ\text{C}$ ที่ 20 °C ตัวต้านทานสลายพลังงานเป็นความร้อนเสมอ ส่วน C และ L เก็บพลังงานไว้แล้วคืนกลับได้

### การรวมค่า

| | ต่ออนุกรม | ต่อขนาน |

| R | $R_{eq} = \sum R_k$ | $\dfrac{1}{R_{eq}} = \sum \dfrac{1}{R_k}$ |

| L | $L_{eq} = \sum L_k$ | $\dfrac{1}{L_{eq}} = \sum \dfrac{1}{L_k}$ |

| C | $\dfrac{1}{C_{eq}} = \sum \dfrac{1}{C_k}$ | $C_{eq} = \sum C_k$ |

### แหล่งจ่าย

- แหล่งจ่ายแรงดันอุดมคติ รักษาแรงดันคงที่ไม่ว่าจะจ่ายกระแสเท่าใด ห้ามนำสองตัวที่ค่าต่างกันมาขนานกัน

- แหล่งจ่ายกระแสอุดมคติ รักษากระแสคงที่ไม่ว่าแรงดันคร่อมจะเป็นเท่าใด ห้ามนำมาอนุกรมกับวงจรเปิด

- แหล่งจ่ายจริง มีความต้านทานภายใน $r$ จึงได้ $v = V_s - r\,i$ แรงดันขั้วตกลงเมื่อจ่ายกระแสมากขึ้น

แหล่งจ่ายไม่อิสระ (dependent หรือ controlled source) มีค่าขึ้นกับแรงดันหรือกระแสที่อื่นในวงจร เป็นแบบจำลองของทรานซิสเตอร์ ออปแอมป์ และวงจรขยาย ตัวอักษรในวงเล็บคือชื่อที่ SPICE ใช้

| ชนิด | ความสัมพันธ์ | หน่วยของอัตราขยาย |

| VCVS (E) แรงดันควบคุมด้วยแรงดัน | $v = \mu\, v_x$ | V/V |

| VCCS (G) กระแสควบคุมด้วยแรงดัน | $i = g\, v_x$ | A/V = S |

| CCVS (H) แรงดันควบคุมด้วยกระแส | $v = r\, i_x$ | V/A = Ω |

| CCCS (F) กระแสควบคุมด้วยกระแส | $i = \beta\, i_x$ | A/A |

ข้อควรระวัง: เวลาใช้การซ้อนทับหรือหาความต้านทานเทวินิน ให้ดับเฉพาะแหล่งจ่ายอิสระ แหล่งจ่ายไม่อิสระต้องคงไว้เสมอ เพราะมันเป็นส่วนหนึ่งของโครงสร้างวงจร

## 3. กฎของเคอร์ชอฟฟ์และโครงสร้างของวงจร พื้นฐาน

กฎสองข้อนี้ไม่ขึ้นกับว่าองค์ประกอบเป็นอะไร ขึ้นกับรูปแบบการต่อเท่านั้น จึงใช้ได้กับทุกวงจรแบบก้อน (lumped circuit)

- โหนด คือจุดที่องค์ประกอบตั้งแต่สองตัวขึ้นไปต่อกัน สายไฟอุดมคติที่ต่อถึงกันทั้งหมดนับเป็นโหนดเดียว

- กิ่ง คือองค์ประกอบหนึ่งตัว ลูป คือเส้นทางปิด และ เมช คือลูปที่ไม่มีลูปอื่นอยู่ข้างใน (ใช้กับวงจรที่วาดบนระนาบได้)

K1 Kirchhoff's Current Law (KCL) กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ (การอนุรักษ์ประจุ)

$$\sum_{k} i_k^{\text{ออก}} = 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \sum i_{\text{เข้า}} = \sum i_{\text{ออก}}$$

K2 Kirchhoff's Voltage Law (KVL) กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์ (แรงดันไม่ขึ้นกับเส้นทาง)

$$\sum_{\text{รอบลูป}} v_k = 0$$

K3 Circuit topology จำนวนลูปอิสระและจำนวนสมการ

$$l = b - n + 1 \qquad \text{KCL อิสระ } n-1 \text{ สมการ} \qquad \text{KVL อิสระ } b-n+1 \text{ สมการ}$$

KCL ใช้ได้กับผิวปิดใด ๆ ที่ครอบหลายโหนดไว้ด้วยกัน ซึ่งเป็นที่มาของซูเปอร์โหนด ส่วน K3 บอกว่า KCL $n-1$ สมการ รวมกับ KVL $b-n+1$ สมการ และสมการขององค์ประกอบอีก $b$ สมการ ได้ $2b$ สมการพอดีกับตัวไม่ทราบค่า $2b$ ตัว (แรงดันและกระแสของทุกกิ่ง)

ตัวอย่าง 3.1

### แบ่งกระแสสามทาง: หากระแสในทุกกิ่งแล้วตรวจ KCL

- R2, R3, R4 ขนานกัน: $\tfrac{1}{R_p} = \tfrac{1}{2k}+\tfrac{1}{3k}+\tfrac{1}{6k} = \tfrac{1}{1k}$ ได้ $R_p = 1\ \text{k}\Omega$

- กระแสรวม $I = \dfrac{9}{1k + 1k} = 4.5\ \text{mA}$ แรงดันคร่อมกลุ่มขนาน $V_p = 4.5\ \text{V}$

- $I_2 = 2.25\ \text{mA},\ I_3 = 1.5\ \text{mA},\ I_4 = 0.75\ \text{mA}$ รวมกันได้ 4.5 mA ตรงตาม K1 ในแล็บอ่านค่าได้จากแอมมิเตอร์ AM1–AM3

## 4. อนุกรม ขนาน และการแปลงรูปเครือข่าย พื้นฐาน

ลดรูปวงจรให้เล็กลงก่อนแก้ ทำให้มองเห็นคำตอบได้เร็ว และเป็นพื้นฐานของการใช้สมมาตรในโจทย์ระดับแข่งขัน

S1 Voltage divider วงจรแบ่งแรงดัน

$$v_k = \frac{R_k}{R_1 + R_2 + \cdots + R_N}\,v$$

S2 Current divider วงจรแบ่งกระแส

$$i_k = \frac{G_k}{G_1 + G_2 + \cdots + G_N}\,i \qquad R_1\parallel R_2 = \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} \qquad i_1 = \frac{R_2}{R_1+R_2}\,i$$

เครื่องมือ · ผลของโหลดต่อวงจรแบ่งแรงดันVs = 10 V

R1

R2

โหลด RL

ไม่มีโหลด—
มีโหลด—
แรงดันตกลง—
RL ÷ (R1∥R2)—

เมื่อมองจากขั้วออก วงจรแบ่งแรงดันคือแหล่งเทวินินที่มี $R_{th} = R_1\parallel R_2$ ถ้า RL ใหญ่กว่า $R_{th}$ ราว 10 เท่า แรงดันจะตกจากค่าไม่มีโหลดไม่เกินประมาณ 9%

### การแปลงเดลต้า–สตาร์ (Δ–Y)

เมื่อวงจรไม่ใช่อนุกรมหรือขนานล้วน เช่น บริดจ์ ให้แปลงสามเหลี่ยม $R_a, R_b, R_c$ (โดย $R_a$ อยู่ตรงข้ามขั้ว 1) เป็นดาว $R_1, R_2, R_3$ หรือกลับกัน

S3 Δ → Y แปลงสามเหลี่ยมเป็นดาว

$$R_1 = \frac{R_bR_c}{R_a+R_b+R_c},\quad R_2 = \frac{R_cR_a}{R_a+R_b+R_c},\quad R_3 = \frac{R_aR_b}{R_a+R_b+R_c}$$

S4 Y → Δ แปลงดาวเป็นสามเหลี่ยม

$$R_a = \frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_1},\quad R_b = \frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_2},\quad R_c = \frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_3}$$

จำง่าย ๆ: แขนดาวแต่ละแขน = ผลคูณของสองด้านสามเหลี่ยมที่ประกบแขนนั้น ÷ ผลรวมทั้งสามด้าน ถ้าทุกตัวเท่ากัน $R_Y = R_\Delta/3$

### บริดจ์วีตสโตนและการใช้สมมาตร

S5 Wheatstone bridge balance เงื่อนไขบริดจ์สมดุล (ไม่มีกระแสในกิ่งกลาง)

$$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_x} \qquad\Rightarrow\qquad R_x = \frac{R_2R_3}{R_1}$$

หลักการเดียวกันนี้ให้เครื่องมือทรงพลังสองอย่างสำหรับโจทย์ยาก

- จุดที่มีศักย์เท่ากัน (หาได้จากสมมาตร) นำมาเชื่อมกันได้โดยไม่เปลี่ยนกระแสใด ๆ

- กิ่งที่ไม่มีกระแส ตัดออกได้โดยไม่เปลี่ยนแรงดันใด ๆ

บริดจ์วีตสโตนในแล็บ: โวลต์มิเตอร์ VM1 อ่านค่า Va − Vb

## 5. การวิเคราะห์แบบเป็นระบบ: โหนด เมช และ MNA กลาง

เมื่อวงจรลดรูปไม่ได้ ให้ใช้ขั้นตอนที่รับประกันว่าได้คำตอบเสมอ สองวิธีหลักนี้คือหัวใจของวิชาวงจรไฟฟ้าทุกหลักสูตร

### วิธีแรงดันโหนด (Nodal Analysis)

- เลือกโหนดอ้างอิง (กราวด์) มักเลือกโหนดที่มีองค์ประกอบมาต่อมากที่สุด

- ตั้งชื่อแรงดันโหนดที่เหลือ $v_1, v_2, \dots, v_{n-1}$

- เขียน KCL ที่แต่ละโหนด แทนกระแสในตัวต้านทานด้วย $(v_a - v_b)/R$

- ถ้ามีแหล่งจ่ายแรงดันระหว่างสองโหนดที่ไม่ใช่กราวด์ ให้รวมเป็นซูเปอร์โหนด: เขียน KCL รอบทั้งสองโหนดรวมกัน แล้วเพิ่มสมการ $v_a - v_b = V_s$

- แก้ระบบสมการเชิงเส้น (ดูกฎของคราเมอร์และการกำจัดเกาส์ในบทพีชคณิตเชิงเส้น)

N1 Nodal equations by inspection เมทริกซ์ความนำ (ตัวต้านทาน + แหล่งจ่ายกระแสอิสระ)

$$\mathbf{G}\mathbf{v} = \mathbf{i}, \qquad G_{kk} = \sum (\text{ความนำที่ต่อกับโหนด } k), \qquad G_{kj} = -(\text{ความนำระหว่าง } k \text{ กับ } j)$$

$i_k$ คือผลรวมกระแสจากแหล่งจ่ายที่ไหลเข้าโหนด $k$ ถ้าวงจรไม่มีแหล่งจ่ายไม่อิสระ เมทริกซ์ $\mathbf{G}$ สมมาตรเสมอ

ตัวอย่าง 5.1

### วงจรสองโหนด: หา v₁ และ v₂ ด้วยเมทริกซ์ความนำ

- แปลง Vs = 12 V ที่อนุกรมกับ R1 = 2 Ω เป็นแหล่งจ่ายกระแส 6 A ขนานกับ 2 Ω แล้วเขียนเมทริกซ์โดยการสังเกต

$$\begin{bmatrix} \tfrac12+\tfrac18+\tfrac14 & -\tfrac14 \\[2pt] -\tfrac14 & \tfrac14+\tfrac12 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 1 \end{bmatrix} \ \Rightarrow\ \begin{bmatrix} 0.875 & -0.25 \\ -0.25 & 0.75 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 1 \end{bmatrix}$$

- ดีเทอร์มิแนนต์ $\Delta = 0.875(0.75) - (0.25)^2 = 0.59375$

- กฎของคราเมอร์

$$v_1 = \frac{6(0.75) + 0.25(1)}{0.59375} = 8\ \text{V}, \qquad v_2 = \frac{0.875(1) + 0.25(6)}{0.59375} = 4\ \text{V}$$

### วิธีกระแสเมช (Mesh Analysis)

- ตรวจว่าวงจรวาดบนระนาบได้โดยไม่มีสายไขว้ (ถ้าไม่ได้ ใช้วิธีโหนด)

- กำหนดกระแสเมช $I_1, I_2, \dots$ วนตามเข็มนาฬิกาทุกเมช

- เขียน KVL ทุกเมช กระแสในองค์ประกอบที่ใช้ร่วมกันคือผลต่างของกระแสเมช

- แหล่งจ่ายกระแสที่อยู่ขอบนอกเมชเดียวบอกค่ากระแสเมชนั้นทันที ถ้าอยู่ระหว่างสองเมชให้ใช้ซูเปอร์เมช

N2 Mesh equations by inspection เมทริกซ์ความต้านทาน (ตัวต้านทาน + แหล่งจ่ายแรงดันอิสระ)

$$\mathbf{R}\mathbf{I} = \mathbf{v}, \qquad R_{kk} = \sum (\text{R ในเมช } k), \qquad R_{kj} = -(\text{R ที่ใช้ร่วมระหว่างเมช } k \text{ กับ } j)$$

ตัวอย่าง 5.2

### วงจรสองเมช: หากระแสที่ไหลลงผ่าน R3

- เมชซ้าย: $(1+2)I_1 - 2I_2 = 7$

- เมชขวา: เดินตามเข็มผ่าน V2 จากขั้ว + ไป − จึงเป็นแรงดันตก $-2I_1 + (3+2)I_2 = -1$

- แก้ระบบ

$$\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_1\\ I_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ -1\end{bmatrix} \ \Rightarrow\ I_1 = \frac{35-2}{11} = 3\ \text{A},\quad I_2 = \frac{-3+14}{11} = 1\ \text{A}$$

- กระแสลงผ่าน R3 คือ $I_1 - I_2 = 2\ \text{A}$

### เลือกวิธีไหนดี

| ลักษณะวงจร | วิธีที่มักสั้นกว่า |

| จำนวนโหนดลบหนึ่ง $(n-1)$ น้อยกว่าจำนวนเมช | โหนด |

| มีแหล่งจ่ายกระแสหลายตัว หรือมีองค์ประกอบขนานกันมาก | โหนด |

| มีแหล่งจ่ายแรงดันอนุกรมกับตัวต้านทานเป็นสาย ๆ และมีเมชน้อย | เมช |

| วาดบนระนาบไม่ได้ | โหนดเท่านั้น |

| ให้คอมพิวเตอร์แก้วงจรใดก็ได้ | MNA |

### MNA: วิธีที่โปรแกรมจำลองวงจรใช้

วิธีโหนดแบบเดิมจัดการแหล่งจ่ายแรงดันได้ไม่สะดวก Modified Nodal Analysis (Ho, Ruehli และ Brennan, 1975) แก้ปัญหานี้โดยเพิ่มกระแสที่ไหลผ่านแหล่งจ่ายแรงดันเป็นตัวไม่ทราบค่าด้วย

N3 Modified Nodal Analysis ระบบสมการแบบบล็อกที่ SPICE ใช้

$$\begin{bmatrix}\mathbf{G} & \mathbf{B}\\ \mathbf{C} & \mathbf{D}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{v}\\ \mathbf{j}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{i}\\ \mathbf{e}\end{bmatrix}$$

$\mathbf{G}$ มาจากตัวต้านทาน $\mathbf{B}$ และ $\mathbf{C}$ บอกว่าแหล่งจ่ายแรงดันต่อกับโหนดใด $\mathbf{D}$ มาจากแหล่งจ่ายไม่อิสระบางชนิด $\mathbf{j}$ คือกระแสในกิ่งแหล่งจ่ายแรงดัน และ $\mathbf{e}$ คือค่าแรงดันของแหล่งจ่าย การ "วาง" องค์ประกอบแต่ละตัวลงในเมทริกซ์ (stamping) ทำทีละตัวโดยไม่ต้องคิดรูปวงจรรวม จึงเหมาะกับคอมพิวเตอร์

ในแล็บ: แล็บในหน้านี้สร้างเมทริกซ์ MNA ใหม่ทุกครั้งที่คุณแก้วงจร เปิดแท็บ "สมการ MNA" ใต้กระดานเพื่อดูว่าแต่ละองค์ประกอบไปอยู่ตรงไหนของเมทริกซ์

## 6. ทฤษฎีบทวงจร กลาง

ทฤษฎีบทเหล่านี้ไม่ได้ให้ข้อมูลใหม่ที่วิธีโหนดหาไม่ได้ แต่ทำให้คิดได้สั้นลงมาก และเปลี่ยนวิธีมองวงจรจากระบบสมการชุดใหญ่เป็นกล่องที่มีสองขั้ว

### การซ้อนทับ (Superposition)

ในวงจรเชิงเส้น ผลตอบสนองรวมเท่ากับผลรวมของผลตอบสนองจากแหล่งจ่ายอิสระทีละตัว โดยดับตัวอื่น: แหล่งจ่ายแรงดันแทนด้วยลัดวงจร แหล่งจ่ายกระแสแทนด้วยเปิดวงจร ใช้กับแรงดันและกระแสได้ แต่ใช้กับกำลังไม่ได้ เพราะ $p = i^2R$ ไม่เป็นเชิงเส้น

T1 Source transformation การแปลงแหล่งจ่าย

$$v_s \ \text{อนุกรมกับ}\ R \quad\Longleftrightarrow\quad i_s = \frac{v_s}{R}\ \text{ขนานกับ}\ R$$

### ทฤษฎีบทเทวินินและนอร์ตัน

เครือข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ แทนได้ด้วยแหล่งจ่ายแรงดัน $V_{th}$ อนุกรมกับ $R_{th}$ หรือแหล่งจ่ายกระแส $I_N$ ขนานกับ $R_N = R_{th}$

T2 Thévenin / Norton equivalent วงจรสมมูลเทวินินและนอร์ตัน

$$V_{th} = v_{oc}, \qquad I_N = i_{sc}, \qquad R_{th} = R_N = \frac{v_{oc}}{i_{sc}}$$

หา $R_{th}$ ได้สามวิธี (1) ถ้าไม่มีแหล่งจ่ายไม่อิสระ ดับแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมดแล้วหาความต้านทานรวมที่มองเข้าไป (2) วัด $v_{oc}$ และ $i_{sc}$ (3) วิธีแหล่งทดสอบ ป้อน $v_t$ แล้วหา $i_t$ ได้ $R_{th} = v_t/i_t$ วิธีนี้จำเป็นเมื่อมีแหล่งจ่ายไม่อิสระ ซึ่งอาจทำให้ $R_{th}$ เป็นศูนย์หรือติดลบได้

ตัวอย่าง 6.1

### หาวงจรสมมูลเทวินินที่ขั้ว a–b แล้วหากำลังสูงสุด

- $V_{th}$: ขั้ว a–b เปิดอยู่ ไม่มีกระแสใน R3 จึงได้ $V_{th} = 24\cdot\dfrac{12}{4+12} = 18\ \text{V}$

- $R_{th}$: ลัดวงจร Vs แล้วมองเข้าที่ a–b $R_{th} = (4\parallel 12) + 1 = 3 + 1 = 4\ \Omega$

- ต่อโหลด $R_L = R_{th} = 4\ \Omega$ จะได้กำลังสูงสุด $P_{max} = \dfrac{18^2}{4(4)} = 20.25\ \text{W}$

### การถ่ายโอนกำลังสูงสุด

T3 Maximum power transfer การถ่ายโอนกำลังสูงสุด

$$P_L = \frac{V_{th}^2\,R_L}{(R_{th}+R_L)^2}, \qquad \frac{dP_L}{dR_L} = 0 \ \Rightarrow\ R_L = R_{th}, \qquad P_{max} = \frac{V_{th}^2}{4R_{th}}, \qquad \eta = \frac{R_L}{R_{th}+R_L}$$

เครื่องมือ · กำลังที่โหลดกับประสิทธิภาพแกนนอนเป็นสเกลลอการิทึม

Vth

Rth

โหลด RL

กำลังที่โหลด PL—
Pmax ที่ RL = Rth—
ประสิทธิภาพ η—

PL / Pmaxประสิทธิภาพ η

ที่จุดกำลังสูงสุด ประสิทธิภาพเป็นเพียง 50% ระบบส่งจ่ายกำลังจึงออกแบบให้ $R_L \gg R_{th}$ เพื่อประสิทธิภาพสูง ส่วนงานสัญญาณ เสาอากาศ และการดึงกำลังจากแผงเซลล์แสงอาทิตย์ด้วย MPPT (ดูบทโซลาร์เซลล์) ต้องการดึงกำลังให้ได้มากที่สุด

### ทฤษฎีบทอื่นที่ควรรู้

T4 Millman's theorem กิ่งขนานหลายกิ่ง แต่ละกิ่งมี Vk อนุกรม Rk

$$v = \frac{\sum_k V_k/R_k}{\sum_k 1/R_k}$$

T5 Tellegen's theorem ใช้ได้กับแรงดันใดที่สอดคล้อง KVL และกระแสใดที่สอดคล้อง KCL บนกราฟเดียวกัน

$$\sum_k v_k\, i_k = 0$$

ทฤษฎีบทส่วนกลับ (Reciprocity): ในเครือข่ายตัวต้านทานล้วน สลับตำแหน่งแหล่งจ่ายแรงดันกับแอมมิเตอร์แล้วค่าที่อ่านได้เท่าเดิม แต่ไม่จริงเมื่อมีแหล่งจ่ายไม่อิสระ

## 7. ทรานเซียนต์: เมื่อวงจร DC เปลี่ยนสถานะ กลาง

เมื่อสับสวิตช์ ตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำเปลี่ยนพลังงานที่สะสมไว้ทันทีไม่ได้ วงจรจึงค่อย ๆ เคลื่อนเข้าสู่สภาวะคงตัวใหม่ตามฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เนื้อหาเชิงลึกพร้อมแล็บอยู่ที่ระบบอันดับหนึ่งและระบบอันดับสอง

### วงจรอันดับหนึ่ง (RC และ RL)

R1 First-order response ผลตอบสนองของวงจรอันดับหนึ่ง (ทุกตัวแปรใช้สูตรเดียว)

$$x(t) = x(\infty) + \left[x(0^+) - x(\infty)\right]e^{-t/\tau}, \qquad \tau = R_{th}C \ \text{หรือ}\ \tau = \frac{L}{R_{th}}$$

$R_{th}$ คือความต้านทานเทวินินที่ C หรือ L มองเห็น ค่าเริ่มต้นหาจากความต่อเนื่อง $v_C(0^+) = v_C(0^-)$ และ $i_L(0^+) = i_L(0^-)$ ค่าสุดท้ายหาจากวงจร DC (C เปิด L ลัด)

| เวลา | τ | 2τ | 3τ | 4τ | 5τ |

| เข้าใกล้ค่าสุดท้ายแล้ว $1 - e^{-t/\tau}$ | 63.2% | 86.5% | 95.0% | 98.2% | 99.3% |

เครื่องมือ · ผลตอบสนองขั้นของวงจรอันดับหนึ่ง

R

C

ค่าคงตัวเวลา τ—
ถึง 99% ที่ (≈ 4.6τ)—
ค่าสุดท้าย (Vs = 10 V)—

### วงจรอันดับสอง: RLC อนุกรม ขั้นสูง

$$LC\,\frac{d^2v_C}{dt^2} + RC\,\frac{dv_C}{dt} + v_C = V_s$$

R2 Series RLC parameters พารามิเตอร์ของ RLC อนุกรม

$$\alpha = \frac{R}{2L}, \qquad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad \zeta = \frac{\alpha}{\omega_0} = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}$$

$\zeta > 1$ หน่วงเกิน (overdamped) · $\zeta = 1$ หน่วงวิกฤต · $\zeta < 1$ หน่วงต่ำ (underdamped) ซึ่งให้ผลตอบสนอง

R3 Underdamped step response ผลตอบสนองขั้นแบบหน่วงต่ำ

$$v_C(t) = V_s\left[1 - e^{-\alpha t}\left(\cos\omega_d t + \frac{\alpha}{\omega_d}\sin\omega_d t\right)\right], \qquad \omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$$

$$\%OS = 100\,e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}, \qquad t_p = \frac{\pi}{\omega_d}$$

ถ้าวัดเวลาเป็น เวลานอร์มัลไลซ์ $\tau_n = \omega_0 t$ สมการจะเหลือ $\ddot{x} + 2\zeta\dot{x} + x = 1$ แปลว่า $\omega_0$ แค่ยืดหรือหดแกนเวลา ส่วนรูปร่างของผลตอบสนองขึ้นกับ $\zeta$ เพียงตัวเดียว

เครื่องมือ · รูปร่างผลตอบสนองตามอัตราส่วนการหน่วงแกนนอน ω₀t

ζ

ลักษณะการหน่วง—
%OS—
ω₀·tp—

vC/Vs ที่ ζ ที่เลือกζ = 1 (หน่วงวิกฤต) สำหรับเทียบ

### คอมพิวเตอร์จำลองเวลาอย่างไร

แบ่งเวลาเป็นก้าวเล็ก ๆ ขนาด $h$ แล้วประมาณอนุพันธ์ด้วยกฎสี่เหลี่ยมคางหมู ตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำจะกลายเป็นแบบจำลองคู่ขนาน (companion model) คือความนำขนานกับแหล่งจ่ายกระแสที่รู้ค่าจากก้าวก่อนหน้า

R4 Trapezoidal companion models แบบจำลองคู่ขนานของ C และ L

$$i_C^{(n)} = \frac{2C}{h}\,v_C^{(n)} - \left(\frac{2C}{h}v_C^{(n-1)} + i_C^{(n-1)}\right), \qquad i_L^{(n)} = \frac{h}{2L}\,v_L^{(n)} + \left(i_L^{(n-1)} + \frac{h}{2L}v_L^{(n-1)}\right)$$

ข้อสังเกต: ทุกก้าวเวลาจึงเป็นการแก้วงจรตัวต้านทาน DC หนึ่งวงจร ทุกอย่างในหัวข้อ 1–6 จึงเป็นฐานของการจำลองเชิงเวลาด้วย แล็บในหน้านี้ทำแบบนี้ 2,000 ก้าวต่อการจำลองหนึ่งครั้ง

## 8. เทคโนโลยีไฟฟ้ากระแสตรงยุคใหม่ พื้นฐาน

อิเล็กทรอนิกส์กำลังสมัยใหม่แปลงแรงดัน DC ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ไฟฟ้ากระแสตรงจึงกลับมาอยู่ในระบบใหญ่ที่สุดของโลก ตั้งแต่สายส่งข้ามประเทศไปจนถึงศูนย์ข้อมูล AI (ข้อมูล ณ ตุลาคม 2026) หลักการที่อยู่เบื้องหลังเกือบทุกเรื่องคือสมการเดียวจากหัวข้อ 1–2

H1 Conductor loss versus voltage ส่งกำลัง P ที่แรงดัน V ผ่านตัวนำความต้านทาน R

$$P_{loss} = I^2R = \left(\frac{P}{V}\right)^2 R \;\propto\; \frac{1}{V^2}$$

เครื่องมือ · ทำไมต้องแรงดันสูงตัวนำเดียวกัน ส่งกำลังเท่ากัน

กำลังที่ส่ง

R ตัวนำไป–กลับ

ตัวเลขเป็นตัวอย่างประกอบการคิด ไม่ใช่ข้อกำหนดของระบบจริงระบบใดระบบหนึ่ง ระบบจริงต้องคิดฉนวน ความปลอดภัย และประสิทธิภาพของตัวแปลงด้วย

สายส่ง UHVDC±1,100 kV

### สายส่งชางจี๋–กู่เฉวียน ประเทศจีน
ส่งกำลัง 12 GW ระยะทางราว 3,300 km เริ่มใช้งานปี 2019 เป็นสายส่งแรงดันสูงที่สุดในโลก
เชื่อมกับบทเรียน: DC ไม่มีกำลังรีแอกทีฟและไม่มีผลผิว (skin effect) จึงคุ้มกว่า AC เมื่อส่งไกลมากหรือส่งผ่านสายเคเบิลใต้น้ำ อ่านต่อที่ระบบไฟฟ้ากำลัง

ศูนย์ข้อมูล AI800 VDC

### จ่ายไฟ DC ตรงถึงตู้เซิร์ฟเวอร์
NVIDIA พัฒนาร่วมกับ Google และ Microsoft ผ่าน Open Compute Project ตู้จ่ายไฟ 800 VDC สำหรับอาคารเดิมมีกำหนดครึ่งหลังของปี 2026 และศูนย์จ่ายไฟระดับแถวพร้อมบัสเวย์ 800 VDC รองรับได้ถึง 2 MW ต่อแถวในปี 2027
เชื่อมกับบทเรียน: ที่กำลังเท่ากัน 800 V ใช้กระแสราว 1/15 ของระบบ 54 V และลดจำนวนขั้นการแปลงไฟ

รถยนต์ไฟฟ้า800 V · 48 V

### แบตเตอรี่แรงดันสูงขึ้น ระบบไฟรองก็สูงขึ้น
แพลตฟอร์ม 800 V (เช่น Porsche Taycan และ Hyundai E-GMP) ชาร์จด้วยกำลังเท่าเดิมโดยใช้กระแสครึ่งหนึ่งของ 400 V ส่วนระบบไฟรอง 48 V (เช่น Tesla Cybertruck) เริ่มแทน 12 V
เชื่อมกับบทเรียน: 48 V แทน 12 V กระแสเหลือ 1/4 และความสูญเสียในสายไฟเส้นเดิมเหลือ 1/16 อ่านต่อที่ชาร์จรถ EV ที่บ้าน

USB Power Delivery 3.1240 W

### EPR: 48 V × 5 A ผ่านสาย USB-C
Extended Power Range เพิ่มแรงดันคงที่ 28, 36 และ 48 V ที่ 5 A สาย EPR ต้องมีเครื่องหมายระบุชัดเจน
เชื่อมกับบทเรียน: สายจำกัดกระแสไว้ที่ 5 A วิธีเดียวที่จะเพิ่มกำลัง $P = VI$ คือเพิ่มแรงดัน

Power over Ethernet90 W

### IEEE 802.3bt จ่ายไฟผ่านสาย LAN
จ่ายได้ถึง 90 W ที่พอร์ตสวิตช์ (อุปกรณ์ปลายทางได้รับราว 71 W) ที่แรงดันประมาณ 50–57 V DC
เชื่อมกับบทเรียน: ส่วนต่างราว 19 W คือ $I^2R$ ในสายทองแดงยาวสูงสุด 100 m เป็นโจทย์แบ่งแรงดันในชีวิตจริง

ไมโครกริด DCPV + แบตเตอรี่

### แหล่งพลังงานใหม่เป็น DC อยู่แล้ว
แผงโซลาร์เซลล์และแบตเตอรี่ทำงานด้วย DC ระบบต่อร่วมทาง DC (DC-coupled) ลดการแปลง DC→AC→DC ส่วนสวิตช์ SiC และ GaN ทำให้ตัวแปลงทำงานที่ความถี่สูงขึ้น
เชื่อมกับบทเรียน: ความถี่สวิตชิงสูงขึ้น ทำให้ L และ C ที่ต้องใช้มีค่าน้อยลงตาม E2 และ E3 อ่านต่อที่อิเล็กทรอนิกส์กำลัง

มาตรวิทยาเชิงควอนตัมh/e² · 2e/h

### โวลต์และโอห์มจากค่าคงตัวธรรมชาติ
ตั้งแต่ 20 พฤษภาคม 2019 ค่า $e$ และ $h$ ถูกกำหนดแน่นอน โวลต์สร้างจากปรากฏการณ์โจเซฟสัน $K_J = 2e/h \approx 483\,597.848\ \text{GHz/V}$ โอห์มสร้างจากปรากฏการณ์ฮอลล์เชิงควอนตัม $R_K = h/e^2 \approx 25\,812.807\ \Omega$
เชื่อมกับบทเรียน: มัลติมิเตอร์ที่สอบเทียบแล้วสืบย้อนค่าได้ถึงค่าคงตัวพื้นฐานเหล่านี้ อ่านต่อที่เซ็นเซอร์และมาตรวิทยา

ซอฟต์แวร์จำลองวงจรSPICE + MNA

### จากเบิร์กลีย์ต้นทศวรรษ 1970 ถึงทุกวันนี้
SPICE พัฒนาที่ UC Berkeley และใช้ MNA เป็นแกน โปรแกรมปัจจุบันอย่าง LTspice และ ngspice ยังทำงานบนหลักการเดียวกัน
เชื่อมกับบทเรียน: แล็บด้านล่างคือ SPICE ขนาดเล็กที่เปิดเมทริกซ์ N3 ให้ดูได้

### แหล่งข้อมูล

- NVIDIA: Why Scaling AI Compute Performance Requires a New Power Architecture

- eeNews Europe: Record 1100 kV UHVDC power link rolls out in China

- Plugable: What is 240W USB Extended Power Range (EPR)

// แล็บจำลองวงจร · MNA solver

## 9. แล็บวงจรจำลอง
ต่อวงจรบนกระดานกริด แล้วแล็บจะสร้างและแก้สมการ MNA ทันที สีของสายไฟบอกแรงดันโหนด (ส้ม = บวก ม่วง = ลบ เทา = 0 V) จุดสีน้ำเงินที่เคลื่อนที่แสดงทิศกระแสในแต่ละองค์ประกอบ

ล้างแล้ว กด เลิกทำ เพื่อเรียกคืน

แสดงค่า
ชื่อและแรงดันโหนด
กระแสเคลื่อนที่
สัญลักษณ์ IEC

เวลาจำลอง
เลือกเวลาอัตโนมัติ

ระบบสมการ $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{z}$ ของวงจรบนกระดานในสภาวะคงตัว DC

วงจรบนกระดานถูกจำไว้ในเบราว์เซอร์นี้โดยอัตโนมัติ ถ้าต้องการส่งให้เพื่อนหรือเปิดบนเครื่องอื่น ให้คัดลอกเป็นข้อความ

### การทดลองนำทาง

การทดลอง 1พิสูจน์ KCL

- โหลดวงจร แล้วอ่าน AM1, AM2, AM3
- รวมค่าทั้งสาม เทียบกับกระแสใน R1 จากตารางผล
- เปลี่ยน R4 เป็น 1k แล้วดูว่าผลรวมยังเท่ากับกระแสใน R1 หรือไม่

การทดลอง 2โหลดทำให้แรงดันตก

- อ่าน VM1 เมื่อ RL = 10k
- เปลี่ยน RL เป็น 1k, 100k และ 1M บันทึกค่า
- อธิบายผลด้วย Rth = R1∥R2 = 5 kΩ

การทดลอง 3วัดเทวินินด้วยมือ

- ลบ RL แล้ววางโวลต์มิเตอร์ที่ขั้ว a–b ได้ voc
- เปลี่ยนเป็นแอมมิเตอร์ ได้ isc
- คำนวณ Rth = voc/isc แล้วปรับ RL หาจุดที่ RL ได้กำลังมากที่สุด

การทดลอง 4หาค่า τ จากกราฟ

- โหลดวงจร RC (โหมดทรานเซียนต์)
- เลื่อนเวลาจน v(C1) = 6.32 V อ่านเวลา ควรได้ τ = RC = 1 s
- เพิ่ม C1 เป็นสองเท่า แล้วดูว่า τ เปลี่ยนอย่างไร

การทดลอง 5สามโหมดการหน่วงของ RLC

- R1 = 10 Ω: ดูการแกว่งเกิน (ζ ≈ 0.16)
- R1 = 63.2 Ω: หน่วงวิกฤต เพราะ $R = 2\sqrt{L/C}$
- R1 = 300 Ω: หน่วงเกิน ขึ้นช้าไม่มีแกว่ง

การทดลอง 6บันไดสู่อัตราส่วนทองคำ

- แหล่งจ่ายกระแส 1 A ทำให้ VM1 อ่านค่า Rin ได้ตรง ๆ
- ลบสองชั้นท้ายสุดออกแล้วดูการเปลี่ยนแปลง
- สังเกตว่า Rin ลู่เข้าหา $(1+\sqrt5)/2 \approx 1.618\ \Omega$ เร็วมาก

## 10. คลังโจทย์ 4 ระดับ ขั้นสูง

ไล่จากพื้นฐานถึงระดับโอลิมปิก แต่ละข้อมีคำใบ้และเฉลยละเอียด และหลายข้อเปิดในแล็บเพื่อตรวจคำตอบด้วยการจำลองได้ แถบสีบนป้ายระดับใช้รหัสสีตัวต้านทาน: น้ำตาล 1 แดง 2 ส้ม 3 เหลือง 4

ตอบเป็นตัวเลขในหน่วยที่กำหนด หรือเศษส่วนเช่น 7/12 คลาดเคลื่อนได้ไม่เกิน 1% · ความคืบหน้าจำไว้ในเบราว์เซอร์นี้

### สนามฝึกไม่จำกัด

โจทย์ชุดนี้สุ่มค่าใหม่ทุกครั้ง แล้วให้ตัวแก้ MNA ตัวเดียวกับในแล็บคำนวณคำตอบ ฝึกจนทำถูกติดกันสิบข้อในทุกหมวด ก่อนขึ้นไปทำโจทย์ระดับ 3–4

สนามฝึก · โจทย์สุ่มถูกติดกัน 0 · สูงสุด 0

## 11. เส้นทางสู่ระดับประเทศและระดับโลก

ความเก่งในวิชานี้มาจากการทำซ้ำอย่างมีโครงสร้าง ไม่ใช่การจำสูตร ใช้ลำดับนี้เป็นแผนฝึก แต่ละขั้นมีเกณฑ์ผ่านที่วัดได้

1

### รากฐาน: นิยามและกฎสองข้อ
เขียนทิศกระแสและขั้วแรงดันได้ถูกทุกครั้ง ใช้ KCL KVL และกฎของโอห์มคล่อง ลดรูปอนุกรม–ขนานได้
เกณฑ์ผ่าน: โจทย์ระดับ 1 ครบทุกข้อ และหมวดอนุกรม–ขนานในสนามฝึกถูกติดกัน 10 ข้อ

2

### ระบบ: โหนด เมช และทฤษฎีบท
ตั้งสมการโหนดและเมชเป็นเมทริกซ์ได้โดยไม่ต้องวาดใหม่ เลือกวิธีที่สั้นที่สุดได้ หาเทวินินได้ทั้งสามวิธี วิเคราะห์ RC RL ด้วยสูตรเดียว
เกณฑ์ผ่าน: โจทย์ระดับ 2 ครบ และตรวจคำตอบของตัวเองในแล็บได้ทุกข้อที่มีวงจร

3

### ระดับประเทศ: แหล่งจ่ายไม่อิสระ สมมาตร และอันดับสอง
ใช้วิธีแหล่งทดสอบกับวงจรที่มีแหล่งจ่ายไม่อิสระ มองหาจุดศักย์เท่ากันในบริดจ์ วิเคราะห์ RLC ด้วย ζ และ ω₀ เทียบได้กับโจทย์คัดเลือกโอลิมปิกฟิสิกส์ระดับประเทศและข้อสอบวงจรระดับมหาวิทยาลัย
เกณฑ์ผ่าน: โจทย์ระดับ 3 ถูกอย่างน้อย 5 ใน 6 ข้อโดยไม่เปิดเฉลย

4

### ระดับโลก: โครงสร้างแทนการคำนวณ
มองเครือข่ายเป็นกราฟ ใช้ทฤษฎีบทของฟอสเตอร์ การซ้อนทับกับเครือข่ายอนันต์ และหลักพลังงาน เพื่อได้คำตอบโดยแทบไม่ต้องแก้สมการ แนวคิดแบบนี้พบในโจทย์ IPhO และ APhO
เกณฑ์ผ่าน: อธิบายเฉลยระดับ 4 ทุกข้อให้คนอื่นฟังได้ด้วยคำพูดของตัวเอง

### ตำราและแหล่งฝึกเพิ่มเติม

- C. K. Alexander และ M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits ตำราหลักที่ใช้ในหลักสูตรวิศวกรรมไฟฟ้าทั่วโลก

- W. H. Hayt, J. E. Kemmerly และ S. M. Durbin, Engineering Circuit Analysis

- I. E. Irodov, Problems in General Physics ภาคไฟฟ้ากระแสตรง โจทย์สั้นแต่ลึก เหมาะกับการเตรียมแข่งขัน

- ข้อสอบย้อนหลังของการแข่งขันฟิสิกส์โอลิมปิกระหว่างประเทศ (IPhO) และเอเชีย (APhO)

- บทต่อยอดในเว็บนี้: การแปลงลาปลาซ (วิเคราะห์ทรานเซียนต์ทุกอันดับ), แล็บเครื่องกำเนิดสัญญาณและออสซิลโลสโคป และอิเล็กทรอนิกส์กำลัง

## คำถามที่พบบ่อย

สูตรวงจรไฟฟ้ากระแสตรงที่ต้องจำมีอะไรบ้าง?
หลัก ๆ คือกฎของโอห์ม $V = IR$ และกำลัง $P = VI = I^2R = V^2/R$, ความต้านทานรวมแบบอนุกรม $R_1 + R_2 + \cdots$ และแบบขนาน $1/R_{eq} = \sum 1/R_k$, วงจรแบ่งแรงดันและแบ่งกระแส, KCL และ KVL, วงจรสมมูลเทวินิน และค่าคงตัวเวลา $\tau = RC$ หรือ $L/R$ ตารางสรุปสูตรอยู่ต้นหน้านี้ แต่ละสูตรลิงก์ไปการ์ดที่มีที่มาและตัวอย่าง

วงจรไฟฟ้ากระแสตรงวิเคราะห์ด้วยหลักอะไรบ้าง?
ใช้สามอย่างเสมอ คือความสัมพันธ์แรงดัน-กระแสขององค์ประกอบ (เช่น $v = Ri$) กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ (ผลรวมกระแสที่โหนดเป็นศูนย์) และกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์ (ผลรวมแรงดันรอบลูปเป็นศูนย์) วิธีโหนด วิธีเมช และทฤษฎีบททั้งหมดเป็นการจัดสามข้อนี้ให้เป็นระบบ

ควรเลือกวิธีโหนดหรือวิธีเมช?
นับจำนวนสมการก่อน วิธีโหนดใช้ $n-1$ สมการ วิธีเมชใช้ $b-n+1$ สมการ เลือกวิธีที่สมการน้อยกว่า วงจรที่มีแหล่งจ่ายกระแสมากมักง่ายด้วยวิธีโหนด วงจรที่วาดบนระนาบไม่ได้ต้องใช้วิธีโหนดเท่านั้น

ในสภาวะคงตัวกระแสตรง ตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำทำตัวอย่างไร?
ตัวเก็บประจุเปิดวงจร (กระแสเป็นศูนย์) เพราะ $i = C\,dv/dt = 0$ ส่วนตัวเหนี่ยวนำลัดวงจร (แรงดันเป็นศูนย์) เพราะ $v = L\,di/dt = 0$ แต่ทั้งสองยังสะสมพลังงาน $\tfrac12 Cv^2$ และ $\tfrac12 Li^2$ อยู่

กำลังสูงสุดที่ส่งให้โหลดได้คือเท่าใด?
เมื่อความต้านทานโหลดเท่ากับความต้านทานเทวินิน $R_L = R_{th}$ โหลดได้กำลัง $P_{max} = V_{th}^2/(4R_{th})$ และประสิทธิภาพที่จุดนี้เป็นเพียง 50%

แล็บในหน้านี้คำนวณวงจรอย่างไร?
ใช้ Modified Nodal Analysis (MNA) แบบเดียวกับ SPICE สร้างเมทริกซ์จากองค์ประกอบทุกตัวแล้วแก้ระบบสมการเชิงเส้น โหมดทรานเซียนต์ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมู ซึ่งเปลี่ยน C และ L ให้เป็นความนำขนานกับแหล่งจ่ายกระแสในทุกก้าวเวลา

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**สูตรวงจรไฟฟ้ากระแสตรงที่ต้องจำมีอะไรบ้าง?**
หลัก ๆ คือกฎของโอห์ม $V = IR$ และกำลัง $P = VI = I^2R = V^2/R$, ความต้านทานรวมแบบอนุกรม $R_1 + R_2 + \cdots$ และแบบขนาน $1/R_{eq} = \sum 1/R_k$, วงจรแบ่งแรงดันและแบ่งกระแส, KCL และ KVL, วงจรสมมูลเทวินิน และค่าคงตัวเวลา $\tau = RC$ หรือ $L/R$ ตารางสรุปสูตรอยู่ต้นหน้านี้ แต่ละสูตรลิงก์ไปการ์ดที่มีที่มาและตัวอย่าง

**วงจรไฟฟ้ากระแสตรงวิเคราะห์ด้วยหลักอะไรบ้าง?**
ใช้สามอย่างเสมอ คือความสัมพันธ์แรงดัน-กระแสขององค์ประกอบ (เช่น $v = Ri$) กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ (ผลรวมกระแสที่โหนดเป็นศูนย์) และกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์ (ผลรวมแรงดันรอบลูปเป็นศูนย์) วิธีโหนด วิธีเมช และทฤษฎีบททั้งหมดเป็นการจัดสามข้อนี้ให้เป็นระบบ

**ควรเลือกวิธีโหนดหรือวิธีเมช?**
นับจำนวนสมการก่อน วิธีโหนดใช้ $n-1$ สมการ วิธีเมชใช้ $b-n+1$ สมการ เลือกวิธีที่สมการน้อยกว่า วงจรที่มีแหล่งจ่ายกระแสมากมักง่ายด้วยวิธีโหนด วงจรที่วาดบนระนาบไม่ได้ต้องใช้วิธีโหนดเท่านั้น

**ในสภาวะคงตัวกระแสตรง ตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำทำตัวอย่างไร?**
ตัวเก็บประจุเปิดวงจร (กระแสเป็นศูนย์) เพราะ $i = C\,dv/dt = 0$ ส่วนตัวเหนี่ยวนำลัดวงจร (แรงดันเป็นศูนย์) เพราะ $v = L\,di/dt = 0$ แต่ทั้งสองยังสะสมพลังงาน $\tfrac12 Cv^2$ และ $\tfrac12 Li^2$ อยู่

**กำลังสูงสุดที่ส่งให้โหลดได้คือเท่าใด?**
เมื่อความต้านทานโหลดเท่ากับความต้านทานเทวินิน $R_L = R_{th}$ โหลดได้กำลัง $P_{max} = V_{th}^2/(4R_{th})$ และประสิทธิภาพที่จุดนี้เป็นเพียง 50%

**แล็บในหน้านี้คำนวณวงจรอย่างไร?**
ใช้ Modified Nodal Analysis (MNA) แบบเดียวกับ SPICE สร้างเมทริกซ์จากองค์ประกอบทุกตัวแล้วแก้ระบบสมการเชิงเส้น โหมดทรานเซียนต์ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมู ซึ่งเปลี่ยน C และ L ให้เป็นความนำขนานกับแหล่งจ่ายกระแสในทุกก้าวเวลา