---
title: "ผลตอบสนองเวลา: ขั้ว ศูนย์ และสเปกการออกแบบ"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/time-response/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-12
---

> ผลตอบสนองขั้นบันไดของระบบอันดับหนึ่ง อันดับสอง และอันดับสูง สูตรเปอร์เซ็นต์พุ่งเกิน เวลาขึ้น เวลายอด เวลาเข้าที่ ความสัมพันธ์กับตำแหน่งขั้วบนระนาบ s การแปลงสเปกเป็นบริเวณที่ยอมรับได้ ขั้วเด่น ผลของการเพิ่มขั้วและศูนย์ ศูนย์ฝั่งขวาที่ทำให้ตอบสนองกลับทิศ พร้อมตัวอย่างที่ตรวจด้วยการจำลอง

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/time-response/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# ผลตอบสนองเวลา: ขั้ว ศูนย์ และสเปกการออกแบบ

// บทที่ 13.4 · ระบบควบคุม · Time Response & Specifications


ลูกค้าไม่ได้สั่ง “ขั้วที่ −2 ± j3.46” เขาสั่งว่า “พุ่งเกินไม่เกิน 10% และเข้าที่ภายใน 2 วินาที” หน้านี้คือพจนานุกรมแปลระหว่างสองภาษา: จากตำแหน่งขั้วบนระนาบ $s$ ไปเป็นรูปร่างกราฟผลตอบสนอง และกลับทาง ต่อยอดจากระบบอันดับหนึ่งและอันดับสอง ไปสู่ระบบอันดับสูงที่มีขั้วเด่น สูตรใช้รหัส T

สรุปใน 30 วินาที

- ส่วนจริงของขั้ว $\sigma = \zeta\omega_n$ → ความเร็วในการเข้าที่ $t_s \approx 4/\sigma$

- ส่วนจินตภาพ $\omega_d$ → ความถี่การแกว่ง $t_p = \pi/\omega_d$

- มุมจากแกนจริงลบ $\cos^{-1}\zeta$ → overshoot $M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$

- ขั้วอื่นห่างไป 5 เท่าขึ้นไป ใช้คู่เด่นประมาณได้ · ศูนย์ใกล้ ๆ เพิ่ม overshoot · ศูนย์ฝั่งขวาทำให้กลับทิศก่อน

## ขั้วบนระนาบ s บอกรูปร่างของผลตอบสนอง พื้นฐาน

ขั้วแต่ละตัว $p$ ให้พจน์ $e^{pt}$ ในผลตอบสนอง (จากเศษส่วนย่อยของลาปลาซ) ขั้วจริงลบให้เอกซ์โพเนนเชียลลดลง คู่เชิงซ้อนให้ไซน์ที่ซองลดลง ยิ่งไกลแกน $j\omega$ ยิ่งหายเร็ว

ตำแหน่งขั้วและรูปร่างผลตอบสนองที่ตรงกัน

T1 First-order step response ระบบอันดับหนึ่ง

$$G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}:\quad y(t) = K\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad t_r = 2.2\tau,\ \ t_s = 4\tau$$

ที่ $t = \tau$ ได้ 63.2% · $t_r$ แบบ 10–90% · ไม่มี overshoot เลย

T2 Second-order standard form ระบบอันดับสองมาตรฐาน

$$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_ns + \omega_n^2}, \quad s = -\zeta\omega_n \pm j\omega_d,\ \ \omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}$$

$$y(t) = 1 - \frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1 - \zeta^2}}\sin(\omega_dt + \beta), \qquad \beta = \cos^{-1}\zeta \quad (0 \lt \zeta \lt 1)$$

$\zeta = 0$: แกว่งไม่หยุด · $0 \lt \zeta \lt 1$: หน่วงน้อย · $\zeta = 1$: หน่วงวิกฤต · $\zeta \gt 1$: หน่วงเกิน (ขั้วจริงสองตัว)

ผลของ ζ เมื่อ $\omega_n = 1$: ζ น้อยเร็วแต่แกว่ง ζ = 0.7 ใกล้เคียงอุดมคติ ζ = 1 ไม่พุ่งเกินแต่ช้ากว่า

## สูตรสเปกของระบบอันดับสอง พื้นฐาน

T3 Percent overshoot เปอร์เซ็นต์พุ่งเกิน

$$\%M_p = 100\,e^{-\pi\zeta/\sqrt{1 - \zeta^2}} \iff \zeta = \frac{-\ln(\%M_p/100)}{\sqrt{\pi^2 + \ln^2(\%M_p/100)}}$$

ขึ้นกับ $\zeta$ อย่างเดียว · ζ = 0.5 → 16.3% · 0.6 → 9.5% · 0.7 → 4.6% · 0.8 → 1.5% · $M_p$ ≤ 10% ต้อง $\zeta \ge 0.591$

T4 Peak time เวลายอด

$$t_p = \frac{\pi}{\omega_d} = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}}$$

ครึ่งคาบของการแกว่งหน่วง

T5 Settling time เวลาเข้าที่

$$t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}\ (2\%), \qquad \frac{3}{\zeta\omega_n}\ (5\%)$$

ขึ้นกับส่วนจริงของขั้วอย่างเดียว

T6 Rise time เวลาขึ้น

$$t_r^{0\text{–}100\%} = \frac{\pi - \beta}{\omega_d},\ \ \beta = \cos^{-1}\zeta, \qquad t_r^{10\text{–}90\%} \approx \frac{1 - 0.4167\zeta + 2.917\zeta^2}{\omega_n}$$

ระบบหน่วงน้อยใช้นิยาม 0–100% · หน่วงเกินใช้ 10–90% · ประมาณคร่าว ๆ $t_r \approx 1.8/\omega_n$

ตัวอย่าง T-1 · อ่านสเปกจากฟังก์ชัน

### หาสเปกผลตอบสนองขั้นบันไดของ $G(s) = \dfrac{25}{s^2 + 6s + 25}$

- $\omega_n = 5$, $2\zeta\omega_n = 6 \Rightarrow \zeta = 0.6$, $\omega_d = 5(0.8) = 4$, ขั้ว $-3 \pm j4$

- $M_p = e^{-0.6\pi/0.8} = 9.48\%$ T3 · $t_p = \pi/4 = 0.785$ s T4

- $t_s \approx 4/3 = 1.33$ s T5 · $t_r^{0-100} = \dfrac{\pi - 0.927}{4} = 0.554$ s T6

$M_p = 9.5\%,\ t_p = 0.785$ s, $t_r = 0.554$ s, $t_s \approx 1.33$ s

python-control: overshoot 9.47%, peak 0.791 s, rise (0–100%) 0.558 s, $t_s$ จริง 1.21 s (สูตร $4/\sigma$ ให้ค่าเผื่อไว้เล็กน้อย) ✓

## กลับทาง: จากสเปกเป็นบริเวณบนระนาบ s กลาง

T7 Admissible region บริเวณที่ขั้วเด่นต้องอยู่

$$M_p \le M \Rightarrow \theta \le \cos^{-1}\zeta_{min}, \qquad t_s \le T_s \Rightarrow \sigma \ge \frac{4}{T_s}, \qquad t_p \le T_p \Rightarrow \omega_d \ge \frac{\pi}{T_p}$$

ได้บริเวณรูปกรวยที่ถูกตัดด้วยเส้นดิ่งและเส้นนอน · ใช้คู่กับรูทโลคัสเพื่อดูว่าเกน $K$ ทำได้ไหม

ตัวอย่าง T-2 · สเปกเป็นตำแหน่งขั้ว

### ต้องการ overshoot ≤ 10% และ $t_s$ ≤ 2 s ขั้วเด่นต้องอยู่ที่ไหน

- $\zeta \ge 0.591$ T3 → มุมจากแกนจริงลบไม่เกิน $\cos^{-1}0.591 = 53.8^\circ$

- $\sigma \ge 4/2 = 2$ T7 → อยู่ซ้ายของเส้น $\operatorname{Re}s = -2$

ขั้วเด่นต้องอยู่ในกรวย ±53.8° และซ้ายของ −2 เช่น $-2.5 \pm j2.5$ ($\zeta = 0.707$) หรือ $-3 \pm j4$ จากตัวอย่าง T-1

## ขั้วเด่น และผลของขั้ว-ศูนย์ที่เพิ่มเข้ามา กลาง

T8 Dominant-pole approximation การประมาณด้วยขั้วเด่น

$$|\operatorname{Re}\,p_{\text{อื่น}}| \ge 5\,|\operatorname{Re}\,p_{\text{เด่น}}| \ \Rightarrow\ G(s) \approx \frac{G(0)\,\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_ns + \omega_n^2}$$

ต้องรักษาเกน DC $G(0)$ ให้เท่าเดิมเสมอ · ศูนย์ที่อยู่ใกล้ขั้วเด่นทำลายการประมาณนี้ · ขั้วกับศูนย์ที่อยู่ใกล้กันมาก (dipole) หักล้างกันเกือบหมด

T9 Effect of a zero ผลของศูนย์

$$G_z(s) = \left(1 + \frac{s}{a}\right)G(s) \ \Rightarrow\ y_z(t) = y(t) + \frac1a\dot y(t)$$

ศูนย์บวกอนุพันธ์ของผลตอบสนองเข้าไป ยิ่ง $a$ เล็ก (ศูนย์ใกล้จุดกำเนิด) ยิ่งพุ่งเกินมาก · $a \lt 0$ (ศูนย์ฝั่งขวา) ลบอนุพันธ์ออก จึงเริ่มไปผิดทิศ (undershoot)

ตัวอย่าง T-3 · ขั้วที่สาม

### เทียบ $\dfrac{50}{(s+10)(s^2 + 2s + 5)}$ กับระบบอันดับสองที่ใช้ขั้วเด่น

- ขั้วเด่น $-1 \pm j2$ ขั้วที่สาม $-10$ ห่าง 10 เท่า T8 · เกน DC $= 50/50 = 1$

- ประมาณเป็น $\dfrac{5}{s^2 + 2s + 5}$ ($\zeta = 0.447$)

ระบบจริง: overshoot 20.2%, $t_s$ = 3.85 s · แบบประมาณ: 20.7%, 3.77 s ใกล้กันมาก

ตัวอย่าง T-4 · ศูนย์ยิ่งใกล้ยิ่งพุ่ง

### ระบบ $\dfrac{4}{s^2 + 2s + 4}$ ($\zeta = 0.5$, overshoot 16.3%) เพิ่มศูนย์ที่ $-a$ โดยคงเกน DC = 1 overshoot เป็นเท่าไร

| ศูนย์ที่ | ไม่มี | −5 | −2 | −1 | −0.5 |

| Overshoot | 16.3% | 18.0% | 29.8% | 69.9% | 171% |

จำลองด้วย python-control · นี่คือเหตุผลที่ PD และ PID ให้ overshoot มากกว่าสูตร และเหตุผลของ setpoint weighting

## แล็บ: ลากขั้วแล้วดูผลตอบสนอง

แล็บนี้ปิดวงด้วย $K$ ลองพิมพ์ฟังก์ชันวงเปิดต่าง ๆ แล้วดูขั้ววงปิด (จุดส้ม) คู่กับผลตอบสนองขั้นบันได ค่า $\zeta,\ \omega_n$ ของแต่ละขั้วแสดงอยู่ด้านล่าง เส้นสีม่วงคือ $\zeta = 0.5$ และ 0.7

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

หน้านี้ดูช่วงชั่วครู่ ส่วนความแม่นยำเมื่อเวลาผ่านไปนาน ๆ อยู่ที่ความผิดพลาดสถานะอยู่ตัว ซึ่งบอกว่าทำไมต้องมีเทอม I

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมเวลาเข้าที่ประมาณด้วย 4/(ζωn)?
เพราะซองของการแกว่งลดลงตาม e^{-ζωn t} จะเหลือ 2% เมื่อ ζωn t = ln 50 ≈ 3.9 จึงปัดเป็น 4 (ถ้าใช้เกณฑ์ 5% ใช้ 3) เป็นค่าประมาณที่ปลอดภัย ค่าจริงมักน้อยกว่าเล็กน้อยและกระโดดเป็นช่วงเพราะการแกว่ง

ขั้วเด่น (dominant poles) คืออะไร?
คือขั้วที่อยู่ใกล้แกน jω มากที่สุด ผลของมันลดลงช้าที่สุดจึงครอบงำผลตอบสนอง ถ้าขั้วอื่นอยู่ห่างไปทางซ้ายอย่างน้อย 5 เท่า (ส่วนจริง) และไม่มีศูนย์อยู่ใกล้ขั้วเด่น ประมาณระบบเป็นอันดับสองจากขั้วเด่นได้ดี

ศูนย์ฝั่งขวาทำให้เกิดอะไร?
ผลตอบสนองขั้นบันไดจะเริ่มไปผิดทิศก่อน (undershoot) แล้วค่อยกลับมา เช่น การบังคับเครื่องบินด้วยแพนหางระดับ ระดับน้ำในหม้อไอน้ำ และบูสต์คอนเวอร์เตอร์ในโหมดแรงดัน ระบบแบบนี้เร่งให้เร็วมากไม่ได้ เพราะแบนด์วิดท์ถูกจำกัดโดยตำแหน่งศูนย์นั้น

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**ทำไมเวลาเข้าที่ประมาณด้วย 4/(ζωn)?**
เพราะซองของการแกว่งลดลงตาม e^{-ζωn t} จะเหลือ 2% เมื่อ ζωn t = ln 50 ≈ 3.9 จึงปัดเป็น 4 (ถ้าใช้เกณฑ์ 5% ใช้ 3) เป็นค่าประมาณที่ปลอดภัย ค่าจริงมักน้อยกว่าเล็กน้อยและกระโดดเป็นช่วงเพราะการแกว่ง

**ขั้วเด่น (dominant poles) คืออะไร?**
คือขั้วที่อยู่ใกล้แกน jω มากที่สุด ผลของมันลดลงช้าที่สุดจึงครอบงำผลตอบสนอง ถ้าขั้วอื่นอยู่ห่างไปทางซ้ายอย่างน้อย 5 เท่า (ส่วนจริง) และไม่มีศูนย์อยู่ใกล้ขั้วเด่น ประมาณระบบเป็นอันดับสองจากขั้วเด่นได้ดี

**ศูนย์ฝั่งขวาทำให้เกิดอะไร?**
ผลตอบสนองขั้นบันไดจะเริ่มไปผิดทิศก่อน (undershoot) แล้วค่อยกลับมา เช่น การบังคับเครื่องบินด้วยแพนหางระดับ ระดับน้ำในหม้อไอน้ำ และบูสต์คอนเวอร์เตอร์ในโหมดแรงดัน ระบบแบบนี้เร่งให้เร็วมากไม่ได้ เพราะแบนด์วิดท์ถูกจำกัดโดยตำแหน่งศูนย์นั้น