---
title: "ปริภูมิสถานะ (State-Space): สมการสถานะ รูปแบบมาตรฐาน และ e^{At}"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/state-space/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-12
---

> แบบจำลองปริภูมิสถานะสำหรับระบบควบคุมสมัยใหม่ ตัวแปรสถานะ สมการสถานะและสมการเอาต์พุต ẋ = Ax + Bu, y = Cx + Du สร้างจากสมการเชิงอนุพันธ์ วงจร RLC และมอเตอร์ DC แปลงเป็นฟังก์ชันถ่ายโอน G = C(sI − A)⁻¹B + D ขั้วคือค่าเฉพาะของ A รูปแบบมาตรฐานควบคุมได้ สังเกตได้ และโมดัล การแปลงความคล้าย และคำตอบด้วยเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียล e^{At}

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/state-space/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# ปริภูมิสถานะ (State-Space): สมการสถานะ รูปแบบมาตรฐาน และ e^{At}

// บทที่ 13.18 · ระบบควบคุม · State-Space Representation


ปี 1960 รูดอล์ฟ คาลมาน (Rudolf Kalman) เปลี่ยนมุมมองระบบควบคุมจาก “อินพุต-เอาต์พุต” เป็น “สถานะภายใน” เขียนระบบอันดับ $n$ ใด ๆ เป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง $n$ สมการในรูปเมทริกซ์ ทำให้พีชคณิตเชิงเส้นทั้งหมดใช้ได้ทันที: ค่าเฉพาะคือขั้ว $e^{At}$ คือคำตอบ และระบบหลายอินพุตหลายเอาต์พุตไม่ยากกว่าระบบเดียว นี่คือประตูสู่ modern control ที่ใช้ในหุ่นยนต์ โดรน และยานอวกาศ สูตรใช้รหัส X

สรุปใน 30 วินาที

- $\dot{\mathbf x} = A\mathbf x + B\mathbf u,\ \ \mathbf y = C\mathbf x + D\mathbf u$ · สถานะ = ตัวเก็บพลังงาน ($i_L,\ v_C$, ตำแหน่ง, ความเร็ว)

- $G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D$ · ขั้ว = ค่าเฉพาะของ $A$

- $\mathbf x(t) = e^{At}\mathbf x(0) + \int_0^te^{A(t-\tau)}B\mathbf u(\tau)\,d\tau$ · $e^{At} = \mathcal L^{-1}\{(sI - A)^{-1}\}$

- ฟังก์ชันเดียวมีได้หลายแบบจำลอง (รูปแบบควบคุมได้ สังเกตได้ โมดัล) เชื่อมกันด้วย $T$

## แบบจำลองปริภูมิสถานะ กลาง

X1 State-space model แบบจำลองปริภูมิสถานะ

$$\dot{\mathbf x}(t) = A\mathbf x(t) + B\mathbf u(t), \qquad \mathbf y(t) = C\mathbf x(t) + D\mathbf u(t)$$

$\mathbf x \in \mathbb R^n$ สถานะ · $\mathbf u \in \mathbb R^m$ อินพุต · $\mathbf y \in \mathbb R^p$ เอาต์พุต · $A_{n\times n}$ (พลวัต) $B_{n\times m}$ $C_{p\times n}$ $D_{p\times m}$ (มักเป็นศูนย์)

X2 Controllable canonical form รูปแบบมาตรฐานควบคุมได้

$$G(s) = \frac{b_{n-1}s^{n-1} + \cdots + b_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_0}:\quad A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & \cdots & -a_{n-1} \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ C = (b_0\ \ b_1\ \cdots\ b_{n-1})$$

เขียนได้ทันทีจากสัมประสิทธิ์ · ใช้ในการวางขั้ว (ป้อนกลับสถานะ) · รูปแบบสังเกตได้ (observable) คือทรานสโพส: $A^T, C^T, B^T$

ตัวอย่าง X-1 · วงจร RLC

### เขียนแบบจำลองปริภูมิสถานะของวงจร RLC อนุกรม $R = 10\ \Omega,\ L = 10$ mH, $C = 100\ \mu$F เอาต์พุตคือ $v_C$

- สถานะ $x_1 = i_L,\ x_2 = v_C$ · KVL: $L\dot i = v_{in} - Ri - v_C$ · ตัวเก็บประจุ: $C\dot v_C = i$

- เขียนเป็นเมทริกซ์ X1

$$\begin{pmatrix} \dot i \\ \dot v_C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -R/L & -1/L \\ 1/C & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} i \\ v_C \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1/L \\ 0 \end{pmatrix}v_{in} = \begin{pmatrix} -1000 & -100 \\ 10^4 & 0 \end{pmatrix}\mathbf x + \begin{pmatrix} 100 \\ 0 \end{pmatrix}v_{in}$$

$y = v_C = (0\ \ 1)\,\mathbf x$

ค่าเฉพาะของ $A$: $\lambda^2 + 1000\lambda + 10^6 = 0$ ตรงกับตัวส่วนของตัวอย่าง M-1 ✓ ($\omega_n = 1000,\ \zeta = 0.5$)

python-control ss2tf: $\dfrac{10^6}{s^2 + 1000s + 10^6}$ ✓ · ดูวงจรอื่นในประยุกต์พีชคณิตเชิงเส้น

## จากปริภูมิสถานะสู่ฟังก์ชันถ่ายโอน กลาง

X3 Transfer function ฟังก์ชันถ่ายโอน

$$G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D = \frac{C\,\operatorname{adj}(sI - A)\,B}{\det(sI - A)} + D$$

ใช้อินเวอร์สแบบแอดจอยต์ (อินเวอร์ส) · ตัวส่วน $\det(sI - A)$ = พหุนามลักษณะเฉพาะ

X4 Poles = eigenvalues ขั้ว = ค่าเฉพาะของ A

$$\det(sI - A) = 0$$

เสถียร $\iff$ $\operatorname{Re}\lambda_i(A) \lt 0$ ทุกตัว (ค่าเฉพาะ)

X5 Similarity transformation เปลี่ยนตัวแปรสถานะ

$$\mathbf x = T\mathbf z:\ \ \hat A = T^{-1}AT,\ \hat B = T^{-1}B,\ \hat C = CT$$

ค่าเฉพาะและฟังก์ชันถ่ายโอนไม่เปลี่ยน · $T$ = เวกเตอร์เฉพาะ ได้รูปแบบโมดัล (ทแยงมุม)

ตัวอย่าง X-2 · ไปและกลับ

### เขียน $G(s) = \dfrac{s + 3}{s^2 + 3s + 2}$ ในรูปแบบควบคุมได้ แล้วตรวจกลับด้วย X3

- X2: $a_0 = 2,\ a_1 = 3,\ b_0 = 3,\ b_1 = 1$

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},\quad C = (3\ \ 1)$$

- X3: $(sI - A)^{-1} = \dfrac{1}{s^2 + 3s + 2}\begin{pmatrix} s + 3 & 1 \\ -2 & s \end{pmatrix}$ ได้ $(sI - A)^{-1}B = \dfrac{1}{s^2 + 3s + 2}\begin{pmatrix} 1 \\ s \end{pmatrix}$

$$C(sI - A)^{-1}B = \frac{3 + s}{s^2 + 3s + 2} \ \checkmark$$

## คำตอบของสมการสถานะ: e^{At} ขั้นสูง

X6 State solution คำตอบของสมการสถานะ

$$\mathbf x(t) = \underbrace{e^{At}\mathbf x(0)}_{\text{ผลตอบสนองอิสระ}} + \underbrace{\int_0^te^{A(t - \tau)}B\mathbf u(\tau)\,d\tau}_{\text{ผลตอบสนองบังคับ}}, \qquad e^{At} = \mathcal L^{-1}\big\{(sI - A)^{-1}\big\} = Pe^{\Lambda t}P^{-1}$$

$e^{At}$ เรียกว่าเมทริกซ์ทรานซิชันสถานะ $\Phi(t)$ · คำนวณได้ทั้งด้วยลาปลาซและด้วยการทำเป็นทแยงมุม (ค่าเฉพาะ) · คือแกนของการแปลงเป็นดิจิทัลแบบ ZOH $A_d = e^{AT}$

ตัวอย่าง X-3 · หา e^{At}

### หา $e^{At}$ ของ $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$

- $(sI - A)^{-1} = \dfrac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{pmatrix} s + 3 & 1 \\ -2 & s \end{pmatrix}$

- เศษส่วนย่อยทีละช่อง เช่น $\dfrac{s+3}{(s+1)(s+2)} = \dfrac{2}{s+1} - \dfrac{1}{s+2}$

$e^{At} = \begin{pmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & e^{-t} - e^{-2t} \\ -2e^{-t} + 2e^{-2t} & -e^{-t} + 2e^{-2t} \end{pmatrix}$

ตรวจ $t = 0$: ได้ $I$ ✓ · เทียบ scipy expm ที่ $t = 0.5$: ทุกช่องตรง ✓

## รูปแบบมาตรฐานต่าง ๆ ใช้ทำอะไร ขั้นสูง

| รูปแบบ | ลักษณะ | ใช้เมื่อ |

| ฟิสิกส์ (physical) | สถานะมีความหมายจริง ($i_L$, $v_C$, ตำแหน่ง) | วัดได้ ออกแบบตัวสังเกต จำกัดสถานะ |

| ควบคุมได้ (controllable) | แถวล่างคือสัมประสิทธิ์ตัวส่วน | วางขั้ว (เทียบสัมประสิทธิ์ตรง ๆ) |

| สังเกตได้ (observable) | ทรานสโพสของแบบควบคุมได้ | ออกแบบตัวสังเกต |

| โมดัล / จอร์แดน | $A$ ทแยงมุม (หรือบล็อก) | แยกโหมดอิสระ วิเคราะห์การสั่นของโครงสร้าง |

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

มีแบบจำลองแล้ว คำถามคือ “ขับสถานะไปที่ไหนก็ได้หรือไม่” และ “ดูสถานะทั้งหมดจากเอาต์พุตได้หรือไม่” ไปที่ความสามารถควบคุมได้และสังเกตได้

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมต้องใช้ปริภูมิสถานะในเมื่อมีฟังก์ชันถ่ายโอนแล้ว?
ปริภูมิสถานะจัดการระบบหลายอินพุตหลายเอาต์พุตได้เป็นธรรมชาติ รวมเงื่อนไขเริ่มต้นได้ เห็นสัญญาณภายในทั้งหมด (ไม่ใช่แค่อินพุต-เอาต์พุต) ใช้กับระบบแปรตามเวลาและไม่เชิงเส้นได้ และเป็นฐานของการวางขั้ว ตัวสังเกต LQR และตัวกรองคาลมาน ซึ่งใช้ในหุ่นยนต์ โดรน และยานยนต์สมัยใหม่

เลือกตัวแปรสถานะอย่างไร?
ในวงจรไฟฟ้าเลือกกระแสตัวเหนี่ยวนำและแรงดันตัวเก็บประจุ (ตัวเก็บพลังงาน) ในกลไกเลือกตำแหน่งและความเร็ว จำนวนสถานะเท่ากับอันดับของระบบ การเลือกไม่ซ้ำกัน ชุดต่างกันสัมพันธ์กันด้วยการแปลงความคล้าย และให้ค่าเฉพาะ (ขั้ว) เท่ากันเสมอ

ขั้วของระบบในปริภูมิสถานะหาอย่างไร?
คือค่าเฉพาะของเมทริกซ์ A หรือรากของ det(sI − A) = 0 ซึ่งตรงกับตัวส่วนของฟังก์ชันถ่ายโอน (ถ้าไม่มีการหักล้างขั้ว-ศูนย์) ระบบเสถียรเมื่อค่าเฉพาะทุกตัวมีส่วนจริงเป็นลบ

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**ทำไมต้องใช้ปริภูมิสถานะในเมื่อมีฟังก์ชันถ่ายโอนแล้ว?**
ปริภูมิสถานะจัดการระบบหลายอินพุตหลายเอาต์พุตได้เป็นธรรมชาติ รวมเงื่อนไขเริ่มต้นได้ เห็นสัญญาณภายในทั้งหมด (ไม่ใช่แค่อินพุต-เอาต์พุต) ใช้กับระบบแปรตามเวลาและไม่เชิงเส้นได้ และเป็นฐานของการวางขั้ว ตัวสังเกต LQR และตัวกรองคาลมาน ซึ่งใช้ในหุ่นยนต์ โดรน และยานยนต์สมัยใหม่

**เลือกตัวแปรสถานะอย่างไร?**
ในวงจรไฟฟ้าเลือกกระแสตัวเหนี่ยวนำและแรงดันตัวเก็บประจุ (ตัวเก็บพลังงาน) ในกลไกเลือกตำแหน่งและความเร็ว จำนวนสถานะเท่ากับอันดับของระบบ การเลือกไม่ซ้ำกัน ชุดต่างกันสัมพันธ์กันด้วยการแปลงความคล้าย และให้ค่าเฉพาะ (ขั้ว) เท่ากันเสมอ

**ขั้วของระบบในปริภูมิสถานะหาอย่างไร?**
คือค่าเฉพาะของเมทริกซ์ A หรือรากของ det(sI − A) = 0 ซึ่งตรงกับตัวส่วนของฟังก์ชันถ่ายโอน (ถ้าไม่มีการหักล้างขั้ว-ศูนย์) ระบบเสถียรเมื่อค่าเฉพาะทุกตัวมีส่วนจริงเป็นลบ