---
title: "เสถียรภาพของระบบควบคุม: ขั้วบนระนาบ s"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/stability/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-12
---

> นิยามเสถียรภาพแบบ BIBO และเสถียรภาพเชิงอาการ เกณฑ์ตำแหน่งขั้วบนระนาบ s เสถียรวิกฤตและขั้วซ้ำบนแกน jω เงื่อนไขจำเป็นของสัมประสิทธิ์ การป้อนกลับทำให้ระบบเสถียรหรือไม่เสถียร เสถียรภาพภายในและอันตรายของการหักล้างขั้วฝั่งขวา และภาพรวมเครื่องมือตรวจเสถียรภาพทั้งหมด Routh รูทโลคัส โบด ไนควิสต์ ลียาปูนอฟ

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/stability/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# เสถียรภาพของระบบควบคุม: ขั้วบนระนาบ s

// บทที่ 13.6 · ระบบควบคุม · Stability


ระบบควบคุมที่ไม่เสถียรไม่ใช่แค่ทำงานไม่ดี แต่อันตราย: มอเตอร์หมุนเร่งจนพัง แขนกลสะบัด พาวเวอร์ซัพพลายแกว่งจนไหม้ เสถียรภาพจึงเป็นเงื่อนไขแรกที่ต้องผ่านก่อนสเปกอื่นทั้งหมด หน้านี้วางนิยามให้ชัด ผูกเข้ากับตำแหน่งขั้ว แล้วชี้ทางไปเครื่องมือแต่ละตัวที่จะใช้ตลอดส่วนที่ 3 ถึง 5 สูตรใช้รหัส S

สรุปใน 30 วินาที

- ระบบเชิงเส้นเสถียร $\iff$ ขั้วทุกตัวมี $\operatorname{Re} \lt 0$

- ขั้วเดี่ยวบนแกน $j\omega$: เสถียรวิกฤต (แกว่งค้าง) · ซ้ำบนแกน หรือ $\operatorname{Re} \gt 0$: ไม่เสถียร

- ขั้ววงปิดคือรากของ $1 + L(s) = 0$ การป้อนกลับย้ายขั้วได้ทั้งไปทางดีและทางร้าย

- ห้ามหักล้างขั้วฝั่งขวาด้วยศูนย์ของตัวควบคุม

## นิยามเสถียรภาพ พื้นฐาน

S1 BIBO stability อินพุตมีขอบเขต เอาต์พุตมีขอบเขต

$$|u(t)| \le M \Rightarrow |y(t)| \le N \ \ \forall t \quad \iff \quad \int_0^\infty |g(t)|\,dt \lt \infty$$

$g(t)$ คือผลตอบสนองอิมพัลส์ · มุมมองจากภายนอก (อินพุต-เอาต์พุต)

S2 Pole-location criterion เกณฑ์ตำแหน่งขั้ว

$$\begin{cases} \operatorname{Re}(p_i) \lt 0\ \ \forall i & \text{เสถียร (เชิงอาการและ BIBO)} \\ \text{ขั้วเดี่ยวบนแกน } j\omega,\ \text{ที่เหลือฝั่งซ้าย} & \text{เสถียรวิกฤต} \\ \operatorname{Re}(p_i) \gt 0 \ \text{หรือขั้วซ้ำบนแกน } j\omega & \text{ไม่เสถียร} \end{cases}$$

เหตุผล: ขั้ว $p$ ให้พจน์ $e^{pt}$ · ขั้วซ้ำบนแกนให้ $t\cos\omega t$ ซึ่งโตตามเวลา · เสถียรภาพขึ้นกับขั้วเท่านั้น ไม่ขึ้นกับศูนย์

ตัวอย่าง S-1 · จำแนกเสถียรภาพ

### จำแนก (ก) $\frac{1}{(s+1)(s+2)}$ (ข) $\frac{s - 3}{s^2 + 2s + 5}$ (ค) $\frac{1}{s(s+1)}$ (ง) $\frac{1}{(s^2 + 4)^2}$ (จ) $\frac{1}{s^2 - s + 1}$

- (ก) ขั้ว −1, −2 → เสถียร · (ข) ขั้ว $-1 \pm j2$ → เสถียร (ศูนย์ฝั่งขวาไม่มีผลต่อเสถียรภาพ) S2

- (ค) ขั้ว 0 (เดี่ยว), −1 → เสถียรวิกฤต (อินพุตขั้นบันได เอาต์พุตเป็นแรมป์ ไม่ BIBO)

- (ง) ขั้ว $\pm j2$ ซ้ำสองครั้ง → ไม่เสถียร · (จ) ขั้ว $0.5 \pm j0.866$ → ไม่เสถียร

เสถียร: (ก) (ข) · เสถียรวิกฤต: (ค) · ไม่เสถียร: (ง) (จ)

## การป้อนกลับ: ทำให้เสถียรก็ได้ ไม่เสถียรก็ได้ พื้นฐาน

S3 Closed-loop characteristic equation สมการลักษณะเฉพาะวงปิด

$$1 + K\frac{N(s)}{D(s)} = 0 \iff D(s) + KN(s) = 0$$

ขั้ววงปิดต่างจากขั้ววงเปิด และเปลี่ยนตาม $K$ · วงเปิดไม่เสถียรอาจเสถียรเมื่อปิดวง และกลับกัน

ตัวอย่าง S-2 · ป้อนกลับช่วยและป้อนกลับทำร้าย

### (ก) พลานต์ไม่เสถียร $\frac{1}{s - 1}$ กับตัวควบคุม $K$ · (ข) พลานต์เสถียร $\frac{1}{(s+1)^3}$ กับ $K$

- (ก) $s - 1 + K = 0 \Rightarrow s = 1 - K$ เสถียรเมื่อ $K \gt 1$ การป้อนกลับทำให้เสถียร

- (ข) $(s + 1)^3 + K = 0$ เสถียรเมื่อ $K \lt 8$ (เราท์) การป้อนกลับที่แรงเกินทำให้ไม่เสถียร แม้พลานต์จะเสถียร

ไม่มีการป้อนกลับที่ “ปลอดภัยเสมอ” ต้องตรวจทุกครั้ง · ทุกพลานต์ที่มี $n - m \ge 3$ จะไม่เสถียรเมื่อเกนสูงพอ (เส้นกำกับ ±60° ข้ามไปฝั่งขวา)

## เสถียรภาพภายในและกับดักการหักล้างขั้ว กลาง

S4 Internal stability เสถียรภาพภายใน

$$\text{ต้องเสถียรทั้ง 4 ฟังก์ชัน:}\quad \frac{1}{1 + CG},\quad \frac{G}{1 + CG},\quad \frac{C}{1 + CG},\quad \frac{CG}{1 + CG}$$

ถ้า $C$ มีศูนย์หักล้างขั้วฝั่งขวาของ $G$ (หรือกลับกัน) $T = \frac{CG}{1 + CG}$ อาจดูเสถียร แต่ $\frac{G}{1 + CG}$ (ผลของการรบกวน) ไม่เสถียร

ตัวอย่าง S-3 · หักล้างแล้วพัง

### พลานต์ $G = \frac{1}{s - 1}$ ตัวควบคุม $C = \frac{s - 1}{s(s + 2)}$ ดูเหมือน $L = \frac{1}{s(s+2)}$ ระบบเสถียรจริงไหม

- $T = \dfrac{L}{1 + L} = \dfrac{1}{s^2 + 2s + 1}$ ขั้ว −1, −1 ดูเสถียร

- จากการรบกวนที่อินพุตพลานต์ไปเอาต์พุต: $\dfrac{G}{1 + CG} = \dfrac{s(s + 2)}{(s - 1)(s^2 + 2s + 1)}$ มีขั้วที่ $+1$ S4

ไม่มีเสถียรภาพภายใน การรบกวนเพียงเล็กน้อยทำให้เอาต์พุตโตแบบ $e^t$ แม้ค่าอ้างอิงจะตอบสนองดี บทเรียน: ขั้วฝั่งขวาต้องถูกย้ายด้วยการป้อนกลับ ไม่ใช่ซ่อนด้วยศูนย์

## กล่องเครื่องมือตรวจเสถียรภาพ

| เครื่องมือ | ใช้อะไร | ให้อะไร | เหมาะกับ |

| เราท์–เฮอร์วิตซ์ | สัมประสิทธิ์พหุนาม | จำนวนรากฝั่งขวา ช่วง K | ตรวจเร็ว หาเกนวิกฤต |

| รูทโลคัส | ขั้ว ศูนย์วงเปิด | ทางเดินขั้วทุก K | ออกแบบในโดเมนเวลา |

| โบด + มาร์จิน | $L(j\omega)$ (วัดได้) | GM, PM | ออกแบบในโดเมนความถี่ มีหน่วงเวลา |

| ไนควิสต์ | $L(j\omega)$ + จำนวนขั้วฝั่งขวาวงเปิด | จำนวนขั้ววงปิดฝั่งขวา | ทุกกรณี รวมวงเปิดไม่เสถียร |

| ค่าเฉพาะของ A | แบบจำลองปริภูมิสถานะ | ขั้ว (ค่าเฉพาะ) | ระบบหลายตัวแปร |

| ลียาปูนอฟ | ฟังก์ชันพลังงาน | เสถียรภาพไม่เชิงเส้น | หุ่นยนต์ ระบบไม่เชิงเส้น |

| จูรี / วงกลมหนึ่งหน่วย | พหุนามใน z | ขั้วใน $|z| \lt 1$ | ตัวควบคุมดิจิทัล |

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

เครื่องมือแรกและเร็วที่สุดคือเกณฑ์เราท์–เฮอร์วิตซ์ ซึ่งตอบได้ว่ามีรากฝั่งขวากี่ตัวและเกนเท่าไรจึงเสถียร โดยไม่ต้องหารากเลย

## คำถามที่พบบ่อย

เสถียรวิกฤต (marginally stable) ถือว่าเสถียรไหม?
ในทางวิศวกรรมถือว่าไม่ยอมรับ เพราะไม่ใช่ BIBO stable ถ้าอินพุตมีความถี่ตรงกับขั้วบนแกน jω เอาต์พุตจะโตไม่จำกัด (เรโซแนนซ์) และการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของพารามิเตอร์อาจผลักขั้วไปฝั่งขวาได้

ทำไมห้ามหักล้างขั้วฝั่งขวาด้วยศูนย์?
การหักล้างเกิดแค่บนกระดาษ ค่าจริงไม่มีทางตรงพอดี และแม้ตรงพอดี ขั้วฝั่งขวานั้นยังอยู่ในสัญญาณภายในระบบ (เช่น สัญญาณควบคุม) เงื่อนไขเริ่มต้นหรือสัญญาณรบกวนเพียงเล็กน้อยจะทำให้สัญญาณภายในโตไม่จำกัด เรียกว่าไม่มีเสถียรภาพภายใน (internally unstable)

ควรใช้เครื่องมือไหนตรวจเสถียรภาพ?
มีพหุนามลักษณะเฉพาะใช้เราท์ (เร็ว บอกช่วงเกน) อยากเห็นว่าขั้วเดินอย่างไรใช้รูทโลคัส มีแค่ข้อมูลความถี่หรือมีหน่วงเวลาใช้โบดและไนควิสต์ ระบบไม่เชิงเส้นใช้ลียาปูนอฟ ทุกเครื่องมือให้คำตอบสอดคล้องกัน

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**เสถียรวิกฤต (marginally stable) ถือว่าเสถียรไหม?**
ในทางวิศวกรรมถือว่าไม่ยอมรับ เพราะไม่ใช่ BIBO stable ถ้าอินพุตมีความถี่ตรงกับขั้วบนแกน jω เอาต์พุตจะโตไม่จำกัด (เรโซแนนซ์) และการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของพารามิเตอร์อาจผลักขั้วไปฝั่งขวาได้

**ทำไมห้ามหักล้างขั้วฝั่งขวาด้วยศูนย์?**
การหักล้างเกิดแค่บนกระดาษ ค่าจริงไม่มีทางตรงพอดี และแม้ตรงพอดี ขั้วฝั่งขวานั้นยังอยู่ในสัญญาณภายในระบบ (เช่น สัญญาณควบคุม) เงื่อนไขเริ่มต้นหรือสัญญาณรบกวนเพียงเล็กน้อยจะทำให้สัญญาณภายในโตไม่จำกัด เรียกว่าไม่มีเสถียรภาพภายใน (internally unstable)

**ควรใช้เครื่องมือไหนตรวจเสถียรภาพ?**
มีพหุนามลักษณะเฉพาะใช้เราท์ (เร็ว บอกช่วงเกน) อยากเห็นว่าขั้วเดินอย่างไรใช้รูทโลคัส มีแค่ข้อมูลความถี่หรือมีหน่วงเวลาใช้โบดและไนควิสต์ ระบบไม่เชิงเส้นใช้ลียาปูนอฟ ทุกเครื่องมือให้คำตอบสอดคล้องกัน