--- title: "เกณฑ์เสถียรภาพของเราท์–เฮอร์วิตซ์ (Routh–Hurwitz Criterion)" url: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/routh-hurwitz/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-12 --- > วิธีใช้เกณฑ์เสถียรภาพของเราท์–เฮอร์วิตซ์ (Routh–Hurwitz) ทีละขั้น สร้างตารางเราท์ นับจำนวนรากฝั่งขวา สูตรลัดอันดับสาม กรณีพิเศษศูนย์ในหลักแรก (วิธี ε) แถวเป็นศูนย์ทั้งแถว (พหุนามช่วย) หาช่วงเกน K ที่เสถียร เกนวิกฤตและความถี่การแกว่ง ช่วงเสถียรของ PI เสถียรภาพสัมพัทธ์ ดีเทอร์มิแนนต์เฮอร์วิตซ์ พร้อมเครื่องคิดเลขตารางเราท์แสดงวิธีทำที่ใส่ K ได้ ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/routh-hurwitz/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # เกณฑ์เสถียรภาพของเราท์–เฮอร์วิตซ์ (Routh–Hurwitz Criterion) // บทที่ 13.7 · ระบบควบคุม · Routh–Hurwitz Criterion ระบบวงปิดเสถียรเมื่อรากของสมการลักษณะเฉพาะอยู่ฝั่งซ้ายของระนาบ $s$ ทุกตัว แต่พหุนามดีกรีสามขึ้นไปที่มี $K$ อยู่ข้างใน หารากด้วยมือแทบไม่ได้ เกณฑ์ของเราท์ (Edward Routh, 1877) และเฮอร์วิตซ์ (Adolf Hurwitz, 1895) ตอบได้ว่ามีรากฝั่งขวากี่ตัว โดยไม่ต้องหารากเลย และบอกช่วงเกน $K$ ที่ทำให้ระบบเสถียรด้วยการคูณ ลบ หาร ธรรมดา สูตรในหน้านี้ใช้รหัส R สรุปใน 30 วินาที - เงื่อนไขจำเป็น: สัมประสิทธิ์ทุกตัวต้องมีเครื่องหมายเดียวกันและไม่มีพจน์หาย ถ้าไม่ผ่าน ไม่เสถียรแน่นอน - เรียงสัมประสิทธิ์สลับลงสองแถวแรก แถวถัดไป $= \dfrac{-1}{\text{ตัวหลักแรกแถวบน}}\begin{vmatrix} \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot \end{vmatrix}$ - จำนวนครั้งที่หลักแรกเปลี่ยนเครื่องหมาย = จำนวนรากฝั่งขวา - มี $K$: ให้หลักแรกเป็นบวกทุกตัว ได้ช่วง $K$ · ขอบช่วงคือเกนวิกฤต แถว $s^2$ ให้ความถี่การแกว่ง ระดับพื้นฐาน เริ่มเรียนควบคุมกลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย ## ทำไมต้องมีเกณฑ์นี้ พื้นฐาน ระบบวงปิด $T(s) = \dfrac{KG(s)}{1 + KG(s)}$ มีขั้วเป็นรากของสมการลักษณะเฉพาะ $1 + KG(s) = 0$ เมื่อคูณกระจายจะได้พหุนาม $$a_0s^n + a_1s^{n-1} + a_2s^{n-2} + \cdots + a_{n-1}s + a_n = 0$$ ระบบเสถียรก็ต่อเมื่อรากทุกตัวมีส่วนจริงเป็นลบ (อยู่ฝั่งซ้ายของแกน $j\omega$) พหุนามแบบนี้เรียกว่าพหุนามเฮอร์วิตซ์ ถ้ามีรากแม้ตัวเดียวทางขวา ผลตอบสนองจะมีพจน์ $e^{\sigma t}$ ที่ $\sigma \gt 0$ โตไม่หยุด คำถามคือ ถ้า $n = 4$ หรือมี $K$ ปนอยู่ จะรู้ได้อย่างไรโดยไม่หาราก คำตอบคือตารางเราท์ R1 Necessary condition เงื่อนไขจำเป็น (ตรวจก่อนสร้างตาราง) $$\text{เสถียร} \ \Rightarrow\ a_0, a_1, \dots, a_n \ \text{มีเครื่องหมายเดียวกัน และไม่มีตัวใดเป็นศูนย์}$$ ที่มา: ถ้ารากทุกตัวอยู่ทางซ้าย ตัวประกอบคือ $(s + a)$ และ $(s^2 + bs + c)$ ที่ $a, b, c \gt 0$ คูณกันแล้วสัมประสิทธิ์ต้องเป็นบวกหมด · เป็นเงื่อนไขจำเป็นแต่ไม่พอ: $s^3 + s^2 + 2s + 3$ บวกหมดแต่ไม่เสถียร · สำหรับดีกรี 1 และ 2 เงื่อนไขนี้พอดี ## สร้างตารางเราท์ทีละขั้น พื้นฐาน ตารางมี $n + 1$ แถว ตั้งชื่อแถวตามกำลังของ $s$ จาก $s^n$ ลงไป $s^0$ สองแถวแรกได้จากการเขียนสัมประสิทธิ์สลับกัน ตัวคี่ลำดับไว้แถวบน ตัวคู่ไว้แถวล่าง แถวที่เหลือคำนวณจากสองแถวเหนือมันเสมอ R2 Routh array โครงตารางเราท์ $$\begin{array}{c|cccc} s^n & a_0 & a_2 & a_4 & \cdots \\ s^{n-1} & a_1 & a_3 & a_5 & \cdots \\ s^{n-2} & b_1 & b_2 & b_3 & \cdots \\ s^{n-3} & c_1 & c_2 & \cdots & \\ \vdots & \vdots & & & \\ s^0 & \ast & & & \end{array}$$ ช่องที่ไม่มีสัมประสิทธิ์ให้ใส่ 0 · แถวจะสั้นลงเรื่อย ๆ จนแถว $s^1$ และ $s^0$ เหลือตัวเดียว · แถว $s^0$ จะเท่ากับ $a_n$ เสมอ (ใช้ตรวจการคำนวณ) R3 Element formula สูตรคำนวณแต่ละช่อง $$b_1 = \frac{a_1a_2 - a_0a_3}{a_1} = \frac{-1}{a_1}\begin{vmatrix} a_0 & a_2 \\ a_1 & a_3 \end{vmatrix}, \qquad b_2 = \frac{a_1a_4 - a_0a_5}{a_1}, \qquad c_1 = \frac{b_1a_3 - a_1b_2}{b_1}$$ จำง่าย: หลักแรกของสองแถวบนเป็นหลักตายตัวเสมอ คู่ที่สองเลื่อนไปทางขวาทีละหลัก แล้ว “คูณไขว้ ล่างซ้าย × บนขวา ลบ บนซ้าย × ล่างขวา หารด้วยล่างซ้าย” R4 Routh–Hurwitz criterion เกณฑ์ของเราท์–เฮอร์วิตซ์ $$\#\{\text{รากที่ } \operatorname{Re}s \gt 0\} = \#\{\text{ครั้งที่เครื่องหมายในหลักแรกเปลี่ยน}\}$$ ระบบเสถียร $\iff$ ทุกตัวในหลักแรกมีเครื่องหมายเดียวกัน (ปกติคือบวก) และไม่มีศูนย์ · เกณฑ์บอกจำนวนรากฝั่งขวา ไม่ได้บอกว่ารากอยู่ตรงไหน R5 Row scaling คูณหรือหารทั้งแถวด้วยจำนวนบวก $$[\,b_1\ \ b_2\ \ b_3\,] \ \to\ [\,kb_1\ \ kb_2\ \ kb_3\,], \quad k \gt 0$$ เครื่องหมายหลักแรกไม่เปลี่ยน คำตอบไม่เปลี่ยน ช่วยกำจัดเศษส่วน · ห้ามใช้ $k \lt 0$ a3 a0 สูตรลัดอันดับสาม กำลังสาม"> R6 Third-order shortcut สูตรลัดอันดับสาม $$a_3s^3 + a_2s^2 + a_1s + a_0:\quad \text{เสถียร} \iff a_i \gt 0 \ \text{และ} \ a_2a_1 \gt a_3a_0$$ “ผลคูณตัวกลางมากกว่าผลคูณตัวริม” ได้จากหลักแรกแถว $s^1$ ของตาราง · ใช้บ่อยที่สุดในข้อสอบ ตัวอย่าง R-1 · อันดับสี่ ครบทุกขั้น ### ระบบที่มีสมการลักษณะเฉพาะ $s^4 + 2s^3 + 3s^2 + 4s + 5 = 0$ เสถียรหรือไม่ มีรากฝั่งขวากี่ตัว - เงื่อนไขจำเป็น R1: สัมประสิทธิ์ 1, 2, 3, 4, 5 บวกหมด ไม่มีพจน์หาย ผ่าน แต่ยังสรุปไม่ได้ ต้องสร้างตาราง - เขียนสองแถวแรกแบบสลับ R2: แถว $s^4$ ได้ 1, 3, 5 และแถว $s^3$ ได้ 2, 4, 0 - แถว $s^2$ R3 $$b_1 = \frac{2\cdot3 - 1\cdot4}{2} = {1}, \qquad b_2 = \frac{2\cdot5 - 1\cdot0}{2} = 5$$ - แถว $s^1$ ใช้แถว $s^3$ และ $s^2$ $$c_1 = \frac{1\cdot4 - 2\cdot5}{1} = {-6}$$ - แถว $s^0$: $d_1 = \dfrac{(-6)(5) - 1\cdot0}{-6} = {5}$ (เท่ากับ $a_n = 5$ ตามที่ควรเป็น ✓) | s⁴ | 1 | 3 | 5 | | s³ | 2 | 4 | 0 | | s² | 1 | 5 | | | s¹ | −6 | | | | s⁰ | 5 | | | หลักแรก: + + + − + เปลี่ยนเครื่องหมายสองครั้ง (1 → −6 และ −6 → 5) หลักแรกเปลี่ยนเครื่องหมาย 2 ครั้ง R4 จึงมีรากฝั่งขวา 2 ตัว ระบบไม่เสถียร แม้สัมประสิทธิ์จะเป็นบวกทั้งหมด ตรวจด้วยรากจริง: $s = 0.288 \pm j1.416$ (ฝั่งขวา 2 ตัว ✓) และ $s = -1.288 \pm j0.858$ ตัวอย่าง R-2 · สูตรลัดอันดับสาม ### ตรวจเสถียรภาพของ (ก) $2s^3 + 4s^2 + 3s + 5$ และ (ข) $s^3 + s^2 + 2s + 3$ - (ก) สัมประสิทธิ์บวกหมด ตรวจ $a_2a_1 \gt a_3a_0$ R6: $4 \times 3 = 12 \gt 2 \times 5 = 10$ ✓ - (ข) สัมประสิทธิ์บวกหมด แต่ $1 \times 2 = 2 \lt 1 \times 3 = 3$ ✗ สร้างตารางยืนยัน | s³ | 1 | 2 | | s² | 1 | 3 | | s¹ | (1·2 − 1·3)/1 = −1 | | | s⁰ | 3 | | (ก) เสถียร · (ข) ไม่เสถียร มีรากฝั่งขวา 2 ตัว รากจริง (ก): $-1.902$ และ $-0.049 \pm j1.145$ เสถียรแต่ใกล้แกน $j\omega$ มาก (12 กับ 10 ห่างกันนิดเดียว) · (ข): $0.138 \pm j1.527$ และ $-1.276$ ✓ ## กรณีพิเศษ 1: หลักแรกเป็นศูนย์ (วิธี ε) กลาง ถ้าตัวแรกของแถวเป็นศูนย์แต่ตัวอื่นในแถวไม่เป็นศูนย์ แถวถัดไปจะหารด้วยศูนย์ ทางแก้คือแทนศูนย์ด้วย $\varepsilon$ จำนวนบวกที่เล็กมาก คำนวณต่อตามปกติ แล้วดูเครื่องหมายเมื่อ $\varepsilon \to 0^+$ แนวคิดคือขยับพหุนามเล็กน้อยให้รากที่อยู่ใกล้แกนขยับออกจากแกน จำนวนรากในแต่ละฝั่งไม่เปลี่ยน R7 Zero in the first column (ε method) หลักแรกเป็นศูนย์ $$[\,0\ \ a\ \ b\,] \ \to\ [\,\varepsilon\ \ a\ \ b\,], \qquad \text{นับเครื่องหมายของหลักแรกเมื่อ } \varepsilon \to 0^+$$ พจน์ที่มี $\varepsilon$ ให้ดูพจน์ที่โดดเด่นเมื่อ $\varepsilon$ เล็ก เช่น $\dfrac{4\varepsilon - 12}{\varepsilon} \approx -\dfrac{12}{\varepsilon} \to -\infty$ (ลบ) · ใช้ $\varepsilon \lt 0$ ได้ผลเท่ากัน R8 Reversed-coefficient method ทางเลือก: กลับลำดับสัมประสิทธิ์ $$a_0s^n + \cdots + a_n \ \to\ a_ns^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_0$$ แทน $s \to 1/s$ รากกลายเป็นส่วนกลับ ซึ่งอยู่ฝั่งเดียวกันเสมอ จำนวนรากฝั่งขวาจึงเท่าเดิม บางครั้งตารางใหม่ไม่มีศูนย์ในหลักแรก ตัวอย่าง R-3 · วิธี ε ### หาจำนวนรากฝั่งขวาของ $s^5 + 2s^4 + 2s^3 + 4s^2 + 11s + 10 = 0$ - สองแถวแรก $s^5$: 1, 2, 11 และ $s^4$: 2, 4, 10 - แถว $s^3$: $\dfrac{2\cdot2 - 1\cdot4}{2} = {0}$, $\dfrac{2\cdot11 - 1\cdot10}{2} = 6$ หลักแรกเป็นศูนย์แต่แถวไม่เป็นศูนย์ แทนด้วย $\varepsilon$ R7 - แถว $s^2$ $$\frac{\varepsilon\cdot4 - 2\cdot6}{\varepsilon} = \frac{4\varepsilon - 12}{\varepsilon} \xrightarrow{\ \varepsilon \to 0^+\ } -\infty \ (\text{ลบ}), \qquad \frac{\varepsilon\cdot10 - 2\cdot0}{\varepsilon} = 10$$ - แถว $s^1$: ให้ $c_1 = \frac{4\varepsilon - 12}{\varepsilon}$ ได้ $\dfrac{c_1\cdot6 - \varepsilon\cdot10}{c_1} = 6 - \dfrac{10\varepsilon^2}{4\varepsilon - 12} \to 6$ (บวก) และแถว $s^0$ = 10 | s⁵ | 1 | 2 | 11 | | s⁴ | 2 | 4 | 10 | | s³ | ε (+) | 6 | | | s² | (4ε − 12)/ε → − | 10 | | | s¹ | → 6 | | | | s⁰ | 10 | | | หลักแรกเมื่อ ε → 0⁺: + + + − + + เปลี่ยนเครื่องหมาย 2 ครั้ง (ε → ลบ → 6) จึงมีรากฝั่งขวา 2 ตัว ไม่เสถียร รากจริง: $0.895 \pm j1.456$ (ฝั่งขวา 2 ตัว ✓), $-1.241 \pm j1.038$, $-1.309$ · ถ้าใช้ $\varepsilon \lt 0$ หลักแรกจะเป็น + + − + + + ก็เปลี่ยน 2 ครั้งเท่ากัน ## กรณีพิเศษ 2: แถวเป็นศูนย์ทั้งแถว (พหุนามช่วย) กลาง ถ้าทั้งแถวเป็นศูนย์ แปลว่าแถวก่อนหน้าเป็นตัวประกอบของพหุนามเดิม และตัวประกอบนั้นมีแต่กำลังคู่ของ $s$ รากของมันจึงสมมาตรรอบจุดกำเนิด คือเป็นคู่ $\pm j\omega$ บนแกนจินตภาพ คู่ $\pm\sigma$ บนแกนจริง หรือสี่ตัว $\pm\sigma \pm j\omega$ ในกรณีนี้ใช้ ε ไม่ได้ ต้องใช้พหุนามช่วย R9 Row of zeros: auxiliary polynomial แถวศูนย์ทั้งแถว $$A(s) = \alpha_1s^{k} + \alpha_2s^{k-2} + \alpha_3s^{k-4} + \cdots \ (\text{จากแถว } s^k), \qquad \text{แถวศูนย์} \ \leftarrow\ \frac{dA}{ds} = k\alpha_1s^{k-1} + (k-2)\alpha_2s^{k-3} + \cdots$$ รากของ $A(s) = 0$ เป็นรากของพหุนามเดิมด้วย · หลังแทนแถวแล้วทำต่อตามปกติ การเปลี่ยนเครื่องหมายตั้งแต่แถว $A(s)$ ลงไปบอกรากของ $A$ ที่อยู่ฝั่งขวา · ถ้าไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมายเลย รากของ $A$ อยู่บนแกน $j\omega$ ทั้งหมด: เสถียรวิกฤต (ถ้าไม่ซ้ำ) ตัวอย่าง R-4 · แถวศูนย์ ### วิเคราะห์ $s^5 + 7s^4 + 6s^3 + 42s^2 + 8s + 56 = 0$ - สองแถวแรก $s^5$: 1, 6, 8 และ $s^4$: 7, 42, 56 หารแถว $s^4$ ด้วย 7 ได้ 1, 6, 8 R5 - แถว $s^3$: $\dfrac{1\cdot6 - 1\cdot6}{1} = 0$, $\dfrac{1\cdot8 - 1\cdot8}{1} = 0$ ศูนย์ทั้งแถว - สร้างพหุนามช่วยจากแถว $s^4$ (1, 6, 8) แล้วหาอนุพันธ์ R9 $$A(s) = s^4 + 6s^2 + 8, \qquad \frac{dA}{ds} = {4}s^3 + 12s \ \Rightarrow\ \text{แถว } s^3 = 4,\ 12 \ (\text{หารด้วย 4 ได้ } 1,\ 3)$$ - ทำต่อ แถว $s^2$: $\dfrac{1\cdot6 - 1\cdot3}{1} = 3$, $8$ · แถว $s^1$: $\dfrac{3\cdot3 - 1\cdot8}{3} = \tfrac13$ · แถว $s^0$: 8 | s⁵ | 1 | 6 | 8 | | s⁴ | 1 | 6 | 8 | | s³ | 1 | 3 | | | s² | 3 | 8 | | | s¹ | 1/3 | | | | s⁰ | 8 | | | แถว s⁴ ถูกหารด้วย 7 · แถว s³ มาจาก dA/ds (หารด้วย 4) - ไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย รากทั้ง 4 ของ $A(s)$ จึงอยู่บนแกน $j\omega$ แยกตัวประกอบได้ $$A(s) = (s^2 + 2)(s^2 + 4) \ \Rightarrow\ s = \pm j\sqrt2,\ \pm j2$$ ไม่มีรากฝั่งขวา มีรากบนแกน $j\omega$ 4 ตัว (ไม่ซ้ำ) และอีก 1 ตัวฝั่งซ้าย ระบบเสถียรวิกฤต (marginally stable) จะแกว่งค้างที่ $\omega = \sqrt2$ และ $2$ rad/s ตรวจ: หารยาว $s^5 + 7s^4 + 6s^3 + 42s^2 + 8s + 56 = (s + 7)(s^4 + 6s^2 + 8)$ รากที่เหลือคือ $-7$ ✓ ## หาช่วงเกน K ที่ทำให้ระบบเสถียร กลาง นี่คือการใช้งานหลักของเกณฑ์เราท์ในงานออกแบบ สร้างตารางโดยปล่อย $K$ เป็นตัวแปร แล้วบังคับให้หลักแรกเป็นบวกทุกตัว ได้อสมการของ $K$ มาแก้พร้อมกัน ค่า $K$ ที่ขอบช่วงคือเกนวิกฤต $K_{cr}$ (ultimate gain) ที่ระบบอยู่ขอบเสถียรและแกว่งค้าง R10 Critical gain and oscillation frequency เกนวิกฤตและความถี่การแกว่ง $$\text{แถว } s^1 = 0 \ \Rightarrow\ K = K_{cr}, \qquad \text{แถว } s^2:\ \alpha s^2 + \beta\big|_{K_{cr}} = 0 \ \Rightarrow\ \omega_{cr} = \sqrt{\beta/\alpha}$$ $K_{cr}$ และ $\omega_{cr}$ คือจุดที่รูทโลคัสตัดแกน $j\omega$ · ใช้ตั้งค่า PID แบบ Ziegler–Nichols ($T_{cr} = 2\pi/\omega_{cr}$) · เกนมาร์จินที่เกน $K$ ใด ๆ คือ $20\log(K_{cr}/K)$ ตัวอย่าง R-5 · โจทย์คลาสสิก ### ระบบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมี $G(s) = \dfrac{K}{s(s+1)(s+2)}$ หาช่วง $K$ ที่เสถียร เกนวิกฤต และความถี่การแกว่ง - สมการลักษณะเฉพาะ: $1 + \dfrac{K}{s(s+1)(s+2)} = 0 \Rightarrow s(s^2 + 3s + 2) + K = 0$ $$s^3 + 3s^2 + 2s + K = 0$$ - สร้างตาราง | s³ | 1 | 2 | | s² | 3 | K | | s¹ | (6 − K)/3 | | | s⁰ | K | | - ให้หลักแรกเป็นบวกทุกตัว: $\dfrac{6 - K}{3} \gt 0 \Rightarrow K \lt 6$ และ $K \gt 0$ ได้ ${0 \lt K \lt 6}$ (ตรงกับสูตรลัด R6: $3 \cdot 2 \gt 1 \cdot K$) - ที่ $K_{cr} = 6$ แถว $s^1$ เป็นศูนย์ ใช้แถว $s^2$ เป็นพหุนามช่วย R10 $$3s^2 + 6 = 0 \ \Rightarrow\ s = \pm j\sqrt2 \ \Rightarrow\ {\omega_{cr} = \sqrt2 = 1.414\ \text{rad/s}}$$ เสถียรเมื่อ $0 \lt K \lt 6$ · ที่ $K = 6$ ระบบแกว่งค้างที่ $\omega = \sqrt2$ rad/s (คาบ $T_{cr} = 2\pi/\sqrt2 = 4.44$ s) ตรวจ: $s^3 + 3s^2 + 2s + 6 = (s + 3)(s^2 + 2)$ รากคือ $-3,\ \pm j\sqrt2$ ✓ · ลากแถบ $K$ ในแล็บท้ายหน้าไปที่ 6 จุดส้มจะอยู่บนแกน $j\omega$ พอดี ตัวอย่าง R-6 · พลานต์ไม่เสถียรวงเปิด ### หาช่วง $K$ ที่ทำให้ $G(s) = \dfrac{K(s+1)}{s(s-1)(s+6)}$ เสถียรเมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย - $s(s - 1)(s + 6) + K(s + 1) = s^3 + 5s^2 - 6s + Ks + K$ $$s^3 + 5s^2 + (K - 6)s + K = 0$$ - ตาราง: $s^3$: 1, $K - 6$ · $s^2$: 5, $K$ · $s^1$: $\dfrac{5(K - 6) - K}{5} = \dfrac{4K - 30}{5}$ · $s^0$: $K$ - เงื่อนไข: $4K - 30 \gt 0 \Rightarrow K \gt 7.5$ และ $K \gt 0$ - ที่ $K = 7.5$: แถว $s^2$ ให้ $5s^2 + 7.5 = 0 \Rightarrow \omega = \sqrt{1.5} = 1.225$ rad/s เสถียรเมื่อ ${K \gt 7.5}$ ต่างจาก R-5 ตรงที่ต้องใช้เกนสูงพอจึงเสถียร เพราะพลานต์มีขั้วที่ $s = +1$ ต้องอาศัยการป้อนกลับที่แรงพอดึงขั้วนั้นกลับมาฝั่งซ้าย ตรวจ $K = 7.5$: $s^3 + 5s^2 + 1.5s + 7.5 = (s + 5)(s^2 + 1.5)$ ✓ · พลานต์แบบนี้พบในลูกตุ้มกลับหัว ลอยแม่เหล็ก และหุ่นยนต์ทรงตัว ตัวอย่าง R-7 · อันดับสี่ ### หาช่วง $K$ ของ $s^4 + 3s^3 + 3s^2 + 2s + K = 0$ และความถี่การแกว่งที่ขอบ - $s^4$: 1, 3, $K$ · $s^3$: 3, 2 · $s^2$: $\dfrac{3\cdot3 - 1\cdot2}{3} = \dfrac73$, $\dfrac{3K - 0}{3} = K$ - $s^1$: $\dfrac{\frac73\cdot2 - 3K}{\frac73} = 2 - \dfrac{9K}{7}$ · $s^0$: $K$ - $2 - \dfrac{9K}{7} \gt 0 \Rightarrow K \lt \dfrac{14}{9}$ และ $K \gt 0$ - ที่ $K = \tfrac{14}{9}$: $\tfrac73s^2 + \tfrac{14}{9} = 0 \Rightarrow s^2 = -\tfrac23 \Rightarrow \omega = \sqrt{2/3} = 0.816$ rad/s ${0 \lt K \lt 14/9 \approx 1.556}$ · แกว่งที่ $\omega = 0.816$ rad/s รากที่ $K = 14/9$: $\pm j0.8165$ และ $-1.5 \pm j0.289$ ✓ ตัวอย่าง R-8 · สองพารามิเตอร์: ตัวควบคุม PI ### พลานต์ $G(s) = \dfrac{1}{(s+1)(s+2)}$ ใช้ PI $C(s) = K_P + \dfrac{K_I}{s}$ หาบริเวณ $(K_P, K_I)$ ที่เสถียร - $1 + \dfrac{K_Ps + K_I}{s(s+1)(s+2)} = 0 \Rightarrow s^3 + 3s^2 + (2 + K_P)s + K_I = 0$ - สูตรลัดอันดับสาม R6: ทุกสัมประสิทธิ์บวก และ $3(2 + K_P) \gt K_I$ ${K_P \gt -2,\quad 0 \lt K_I \lt 3(2 + K_P)}$ เป็นบริเวณสามเหลี่ยมเปิดในระนาบ $K_P$–$K_I$ ยิ่งเพิ่ม $K_P$ ยิ่งใส่ $K_I$ ได้มาก แต่ $K_I$ มากเกินไปจะไม่เสถียรเสมอ (เทอม I เพิ่มความล่าช้าเฟส) ตรวจขอบ $K_P = 3,\ K_I = 15$: $s^3 + 3s^2 + 5s + 15 = (s + 3)(s^2 + 5)$ รากบนแกนที่ $\pm j\sqrt5$ ✓ · ดูต่อที่หน้า PID ## เสถียรภาพสัมพัทธ์: ไม่ใช่แค่เสถียร แต่ต้องเร็วพอ ขั้นสูง ระบบที่ขั้วอยู่ที่ $-0.01$ เสถียร แต่ใช้เวลาเข้าที่ $4/0.01 = 400$ วินาที ในงานจริงเราต้องการให้ขั้วทุกตัวอยู่ซ้ายของเส้น $s = -\sigma$ (เวลาเข้าที่ 2% ไม่เกิน $4/\sigma$) เทคนิคคือเลื่อนแกน แทน $s = z - \sigma$ แล้วใช้เราท์กับพหุนามของ $z$ R11 Relative stability (axis shift) เสถียรภาพสัมพัทธ์ $$\operatorname{Re}(s_i) \lt -\sigma \ \ \forall i \iff p(z - \sigma) \ \text{เป็นพหุนามเฮอร์วิตซ์ในตัวแปร } z$$ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในตารางของ $z$ = จำนวนขั้วที่อยู่ขวาของเส้น $s = -\sigma$ · $t_s \approx 4/\sigma$ ตัวอย่าง R-9 · ต้องการ ts ไม่เกิน 16 s ### สำหรับ $s^3 + 3s^2 + 2s + K$ หาช่วง $K$ ที่ทำให้ขั้วทุกตัวอยู่ซ้ายของ $s = -0.25$ และลองถามว่าได้ถึง $-0.5$ ไหม - แทน $s = z - \tfrac14$ แล้วกระจาย R11 $$z^3 + \tfrac94z^2 + \tfrac{11}{16}z + \left(K - \tfrac{21}{64}\right) = 0$$ - สูตรลัดอันดับสาม: $K - \tfrac{21}{64} \gt 0$ และ $\tfrac94 \cdot \tfrac{11}{16} \gt K - \tfrac{21}{64} \Rightarrow K \lt \tfrac{15}{8}$ - ลอง $\sigma = 0.5$: แทน $s = z - \tfrac12$ ได้ $z^3 + \tfrac32z^2 - \tfrac14z + \left(K - \tfrac38\right)$ สัมประสิทธิ์ของ $z$ เป็นลบไม่ว่า $K$ เท่าไร R1 ${21/64 \lt K \lt 15/8}$ ขั้วทุกตัวอยู่ซ้ายของ $-0.25$ · แต่ไม่มี $K$ ใดที่ดันขั้วทุกตัวไปซ้ายของ $-0.5$ ได้ ตัวควบคุมแบบ P อย่างเดียวทำไม่ได้ ต้องเพิ่มศูนย์ด้วย lead หรือ PD ซึ่งรูทโลคัสจะอธิบายว่าทำไม ตรวจ $K = 15/8$: รากคือ $-2.5,\ -0.25 \pm j0.829$ ✓ · $K = 21/64$: $-2.135,\ -0.615,\ -0.25$ ✓ ## ดีเทอร์มิแนนต์เฮอร์วิตซ์: ที่มาของตาราง ขั้นสูง เฮอร์วิตซ์เขียนเกณฑ์เดียวกันในรูปดีเทอร์มิแนนต์ สะดวกสำหรับพิสูจน์และสำหรับเขียนโปรแกรมเชิงสัญลักษณ์ หลักแรกของตารางเราท์คืออัตราส่วนของดีเทอร์มิแนนต์ที่อยู่ติดกัน (อ่านพื้นฐานดีเทอร์มิแนนต์) R12 Hurwitz determinants ดีเทอร์มิแนนต์เฮอร์วิตซ์ $$H = \begin{pmatrix} a_1 & a_3 & a_5 & \cdots \\ a_0 & a_2 & a_4 & \cdots \\ 0 & a_1 & a_3 & \cdots \\ 0 & a_0 & a_2 & \cdots \\ \vdots & & & \ddots \end{pmatrix}_{n\times n}, \qquad \text{เสถียร} \iff \Delta_1, \Delta_2, \dots, \Delta_n \gt 0 \ (a_0 \gt 0)$$ $\Delta_k$ คือไมเนอร์หลักนำ $k \times k$ · หลักแรกของเราท์: $a_0,\ \Delta_1,\ \tfrac{\Delta_2}{\Delta_1},\ \tfrac{\Delta_3}{\Delta_2},\ \dots$ · ลีนาร์–ชีพาร์ต (Liénard–Chipart) แสดงว่าเมื่อสัมประสิทธิ์บวกหมด ตรวจแค่ $\Delta$ ลำดับคี่ (หรือคู่) ก็พอ ตัวอย่าง R-10 · เทียบกับ R-1 ### หาดีเทอร์มิแนนต์เฮอร์วิตซ์ของ $s^4 + 2s^3 + 3s^2 + 4s + 5$ - $a_0 = 1,\ a_1 = 2,\ a_2 = 3,\ a_3 = 4,\ a_4 = 5$ R12 $$H = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 5 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} \Rightarrow \Delta_1 = 2,\ \Delta_2 = 2,\ \Delta_3 = -12,\ \Delta_4 = -60$$ - อัตราส่วน: $1,\ 2,\ \tfrac22 = 1,\ \tfrac{-12}{2} = -6,\ \tfrac{-60}{-12} = 5$ ได้ 1, 2, 1, −6, 5 ตรงกับหลักแรกของตารางเราท์ในตัวอย่าง R-1 ทุกตัว ✓ ## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย - เขียนสองแถวแรกผิด → แถวบนคือ $a_0, a_2, a_4$ (ข้ามทีละตัว) แถวล่างคือ $a_1, a_3, a_5$ ไม่ใช่เขียนเรียงกัน - ลืมพจน์ที่หายไป → เช่น $s^3 + 2s + 5$ ต้องเขียน $a_1 = 0$ ไม่ใช่ข้าม (และแค่นี้ก็สรุปได้แล้วว่าไม่เสถียร) - เครื่องหมายในสูตรสลับ → ตัวตั้งคือ “ล่างซ้าย × บนขวา − บนซ้าย × ล่างขวา” ตรวจด้วยแถว $s^0 = a_n$ เสมอ - หลักแรกเป็นศูนย์ แต่ใช้พหุนามช่วย → พหุนามช่วยใช้เฉพาะเมื่อศูนย์ทั้งแถว นอกนั้นใช้ ε R7 - ช่วง K ลืมเงื่อนไข K > 0 จากแถว s⁰ → ต้องรวมทุกแถวที่มี $K$ แล้วหาส่วนร่วม - คิดว่า “เสถียร” = ดีพอ → เสถียรแต่ขั้วชิดแกนจะแกว่งนาน ใช้เสถียรภาพสัมพัทธ์ R11 หรือดูมาร์จิน - ใช้กับหน่วงเวลาตรง ๆ → $e^{-sT}$ ไม่ใช่พหุนาม ต้องประมาณพาเดก่อน หรือใช้ไนควิสต์ ## เครื่องคิดเลขตารางเราท์แสดงวิธีทำ ใส่พหุนามหรือสมการ $1 + KG(s)$ ได้เลย ระบบจะคูณกระจาย สร้างตาราง (มี $K$ ก็ได้ จะแสดงหลักแรกเป็นฟังก์ชันของ $K$) จัดการวิธี ε และพหุนามช่วยให้อัตโนมัติ หาช่วง $K$ ที่เสถียร เกนวิกฤต ความถี่การแกว่ง และตรวจกับรากจริงทุกครั้ง ## เห็นภาพ: ช่วง K เดียวกันบนรูทโลคัส เลื่อน $K$ จาก 0 ถึง 6 ดูขั้ววงปิด (จุดส้ม) สองตัวเดินเข้าหาแกน $j\omega$ และตัดแกนที่ $\pm j1.414$ พอดีเมื่อ $K = 6$ ตรงกับตัวอย่าง R-5 ผลตอบสนองขั้นบันไดจะแกว่งนานขึ้นเรื่อย ๆ จนแกว่งค้าง หน้าถัดไปจะสอนวาดรูปนี้ด้วยมือ ## ต่อยอดไปหน้าถัดไป เราท์ตอบว่า “เสถียรถึง $K$ เท่าไร” แต่ไม่บอกว่าขั้วอยู่ตรงไหนและเดินไปทางไหน คำถามนั้นตอบด้วยรูทโลคัส ซึ่งใช้ผลจากหน้านี้ ($K_{cr}$, $\omega_{cr}$) เป็นจุดตัดแกน $j\omega$ โดยตรง ส่วนมุมมองความถี่ของคำถามเดียวกันอยู่ที่เกนมาร์จิน ## คำถามที่พบบ่อย ทำไมเกณฑ์เราท์–เฮอร์วิตซ์จึงดูแค่หลักแรก? เพราะหลักแรกของแต่ละแถวคืออัตราส่วนของดีเทอร์มิแนนต์เฮอร์วิตซ์ที่อยู่ติดกัน $\Delta_k/\Delta_{k-1}$ จำนวนครั้งที่เครื่องหมายในหลักแรกเปลี่ยนจึงเท่ากับจำนวนรากที่ส่วนจริงเป็นบวก หลักอื่นเป็นเพียงตัวกลางในการคำนวณแถวถัดไป คูณหรือหารทั้งแถวด้วยตัวเลขได้ไหม? ได้ ถ้าเป็นจำนวนบวก เพราะไม่เปลี่ยนเครื่องหมายของหลักแรก ช่วยให้ตัวเลขเล็กลงและลดเศษส่วน แต่ห้ามคูณด้วยจำนวนลบ และถ้าตัวคูณมี K อยู่ด้วย ต้องแน่ใจว่าเป็นบวกในช่วงที่สนใจ หลักแรกเป็นศูนย์กับแถวเป็นศูนย์ทั้งแถว ต่างกันอย่างไร? หลักแรกเป็นศูนย์แต่ตัวอื่นในแถวไม่เป็นศูนย์ ให้แทนด้วย ε เล็กบวกแล้วทำต่อ ส่วนแถวเป็นศูนย์ทั้งแถวแปลว่ามีรากสมมาตรรอบจุดกำเนิด (เช่น คู่บนแกน jω) ให้สร้างพหุนามช่วยจากแถวก่อนหน้า หาอนุพันธ์ แล้วนำสัมประสิทธิ์มาแทนแถวนั้น รากของพหุนามช่วยเป็นรากของพหุนามเดิมด้วย เกนวิกฤตและความถี่การแกว่งหาจากตารางเราท์อย่างไร? เกนวิกฤตคือค่า K ที่ทำให้แถว s¹ เป็นศูนย์ (ระบบอยู่ขอบเสถียร) จากนั้นแทนค่า K นั้นลงในแถว s² ได้พหุนามช่วย $as^2 + b = 0$ ความถี่การแกว่งคือ $\omega = \sqrt{b/a}$ ค่าคู่นี้ตรงกับจุดที่รูทโลคัสตัดแกน jω และใช้ในการจูน PID แบบ Ziegler–Nichols เราท์–เฮอร์วิตซ์ใช้กับระบบที่มีหน่วงเวลาได้ไหม? ใช้ตรง ๆ ไม่ได้ เพราะ $e^{-sT}$ ไม่ใช่พหุนาม ต้องประมาณด้วยพาเด (Padé) ก่อน ซึ่งได้คำตอบโดยประมาณ หรือใช้เกณฑ์ไนควิสต์และเฟสมาร์จินซึ่งจัดการหน่วงเวลาได้ตรง ส่วนระบบไม่ต่อเนื่องใช้เกณฑ์ของจูรี (Jury) หรือแปลงด้วย bilinear transform ก่อน มด อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์ ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **ทำไมเกณฑ์เราท์–เฮอร์วิตซ์จึงดูแค่หลักแรก?** เพราะหลักแรกของแต่ละแถวคืออัตราส่วนของดีเทอร์มิแนนต์เฮอร์วิตซ์ที่อยู่ติดกัน $\Delta_k/\Delta_{k-1}$ จำนวนครั้งที่เครื่องหมายในหลักแรกเปลี่ยนจึงเท่ากับจำนวนรากที่ส่วนจริงเป็นบวก หลักอื่นเป็นเพียงตัวกลางในการคำนวณแถวถัดไป **คูณหรือหารทั้งแถวด้วยตัวเลขได้ไหม?** ได้ ถ้าเป็นจำนวนบวก เพราะไม่เปลี่ยนเครื่องหมายของหลักแรก ช่วยให้ตัวเลขเล็กลงและลดเศษส่วน แต่ห้ามคูณด้วยจำนวนลบ และถ้าตัวคูณมี K อยู่ด้วย ต้องแน่ใจว่าเป็นบวกในช่วงที่สนใจ **หลักแรกเป็นศูนย์กับแถวเป็นศูนย์ทั้งแถว ต่างกันอย่างไร?** หลักแรกเป็นศูนย์แต่ตัวอื่นในแถวไม่เป็นศูนย์ ให้แทนด้วย ε เล็กบวกแล้วทำต่อ ส่วนแถวเป็นศูนย์ทั้งแถวแปลว่ามีรากสมมาตรรอบจุดกำเนิด (เช่น คู่บนแกน jω) ให้สร้างพหุนามช่วยจากแถวก่อนหน้า หาอนุพันธ์ แล้วนำสัมประสิทธิ์มาแทนแถวนั้น รากของพหุนามช่วยเป็นรากของพหุนามเดิมด้วย **เกนวิกฤตและความถี่การแกว่งหาจากตารางเราท์อย่างไร?** เกนวิกฤตคือค่า K ที่ทำให้แถว s¹ เป็นศูนย์ (ระบบอยู่ขอบเสถียร) จากนั้นแทนค่า K นั้นลงในแถว s² ได้พหุนามช่วย $as^2 + b = 0$ ความถี่การแกว่งคือ $\omega = \sqrt{b/a}$ ค่าคู่นี้ตรงกับจุดที่รูทโลคัสตัดแกน jω และใช้ในการจูน PID แบบ Ziegler–Nichols **เราท์–เฮอร์วิตซ์ใช้กับระบบที่มีหน่วงเวลาได้ไหม?** ใช้ตรง ๆ ไม่ได้ เพราะ $e^{-sT}$ ไม่ใช่พหุนาม ต้องประมาณด้วยพาเด (Padé) ก่อน ซึ่งได้คำตอบโดยประมาณ หรือใช้เกณฑ์ไนควิสต์และเฟสมาร์จินซึ่งจัดการหน่วงเวลาได้ตรง ส่วนระบบไม่ต่อเนื่องใช้เกณฑ์ของจูรี (Jury) หรือแปลงด้วย bilinear transform ก่อน