---
title: "ระบบไม่เชิงเส้นและการควบคุมแบบทนทาน"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/nonlinear-robust/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-12
---

> ความไม่เชิงเส้นที่พบในระบบควบคุมจริง การอิ่มตัว dead-zone backlash แรงเสียดทาน การควอนไทซ์ ฟังก์ชันพรรณนา (describing function) ทำนายลิมิตไซเคิล ระนาบเฟส เสถียรภาพแบบลียาปูนอฟ sliding mode control ความไม่แน่นอนของแบบจำลอง เงื่อนไขเสถียรภาพแบบทนทาน small-gain theorem และแนวคิด H-infinity

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/nonlinear-robust/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# ระบบไม่เชิงเส้นและการควบคุมแบบทนทาน

// บทที่ 13.22 · ระบบควบคุม · Nonlinear & Robust Control


ทุกอย่างก่อนหน้านี้สมมติว่าระบบเชิงเส้นและแบบจำลองถูกต้อง แต่ PWM เต็มได้แค่ 100% เกียร์มีระยะคลอน แรงเสียดทานสถิตทำให้มอเตอร์ไม่ขยับที่แรงดันต่ำ และค่าพารามิเตอร์จริงต่างจากแคตตาล็อก 20% หน้านี้รวมเครื่องมือหลักสำหรับโลกจริง ระดับภาพรวมที่ใช้ได้จริง เพื่อเป็นทางไปสู่วิชาระดับบัณฑิตศึกษา สูตรใช้รหัส U

สรุปใน 30 วินาที

- ความไม่เชิงเส้นทั่วไป: อิ่มตัว dead-zone backlash แรงเสียดทาน ควอนไทซ์ · ทำให้เกิด windup และลิมิตไซเคิล

- ฟังก์ชันพรรณนา: ลิมิตไซเคิลที่ $G(j\omega) = -1/N(a)$ · รีเลย์ $N = 4d/(\pi a)$

- ลียาปูนอฟ: $V \gt 0,\ \dot V \lt 0 \Rightarrow$ เสถียร

- ทนทาน: $\|W\,T\|_\infty \lt 1$ (ความไม่แน่นอนแบบคูณ) · small gain: $\|G_1\|\,\|G_2\| \lt 1$

## ความไม่เชิงเส้นที่เจอทุกวัน กลาง

| ความไม่เชิงเส้น | พบที่ | ผลกระทบ | วิธีรับมือ |

| อิ่มตัว (saturation) | PWM 0–100% แรงดันแบต กระแสสูงสุด | integral windup ช้าลง overshoot | anti-windup จำกัดค่าอ้างอิง |

| Dead-zone | วาล์ว มอเตอร์ที่มีแรงเสียดทานสถิต ไดรเวอร์ที่มี dead-time | ความผิดพลาดค้าง | ชดเชยด้วยตัวผกผัน เพิ่ม I |

| Backlash | เกียร์ สายพาน | ลิมิตไซเคิลในลูปตำแหน่ง | เกียร์ไร้ระยะคลอน วัดที่ปลายโหลด ลดเกน |

| แรงเสียดทาน (Coulomb, stiction) | แกนเลื่อน ข้อต่อหุ่นยนต์ | stick–slip, hunting | feedforward แรงเสียดทาน dither |

| ควอนไทซ์ | ADC เอนโค้ดเดอร์ PWM ความละเอียดจำกัด | แกว่งเล็ก ๆ รอบเป้า | ความละเอียดสูงขึ้น dead-band เล็ก ๆ |

| อัตราจำกัด (rate limit) | slew rate ของออปแอมป์ ตัวขับไฮดรอลิก | เหมือนหน่วงเวลาที่แอมพลิจูดสูง | วางแผนวิถี (trajectory) |

## ฟังก์ชันพรรณนาและลิมิตไซเคิล ขั้นสูง

U1 Describing functions ฟังก์ชันพรรณนา (เกนสมมูลต่อไซน์แอมพลิจูด $a$)

$$\text{รีเลย์ } \pm d:\ N(a) = \frac{4d}{\pi a}, \qquad \text{อิ่มตัว (ชัน } k, \text{ ขีด } \delta):\ N(a) = \frac{2k}{\pi}\left[\sin^{-1}\frac{\delta}{a} + \frac{\delta}{a}\sqrt{1 - \frac{\delta^2}{a^2}}\right]\ (a \gt \delta)$$

ประมาณเฉพาะฮาร์มอนิกหลัก ใช้ได้ดีเมื่อพลานต์กรองฮาร์มอนิกสูง (low-pass) · อิ่มตัว: $N$ ลดลงเมื่อ $a$ เพิ่ม (เกนประสิทธิผลลดลง) · $N(a)$ คือ $b_1/a$ ของอนุกรมฟูเรียร์ของขาออก (รีเลย์ = สี่เหลี่ยม W1, อิ่มตัว = ไซน์ตัดยอด W16)

U2 Limit-cycle prediction ทำนายลิมิตไซเคิล

$$1 + N(a)G(j\omega) = 0 \iff G(j\omega) = -\frac{1}{N(a)}$$

วาด $-1/N(a)$ บนกราฟไนควิสต์ จุดตัดให้ทั้งแอมพลิจูดและความถี่ของการแกว่ง · เป็นหลักการของ relay auto-tune

ตัวอย่าง U-1 · ตัวควบคุม on–off

### ตัวควบคุมรีเลย์ ±1 กับพลานต์ $G(s) = \dfrac{10}{s(s+1)(s+2)}$ จะแกว่งที่ความถี่และแอมพลิจูดเท่าไร

- $-1/N(a) = -\pi a/4$ อยู่บนแกนจริงลบ U2

- $G(j\omega)$ ตัดแกนจริงลบที่ $\omega = \sqrt2$ ค่า $-10/6 = -1.667$ (เหมือน N-1)

- $\pi a/4 = 1.667 \Rightarrow a = 2.12$

แกว่งค้างที่ $\omega = 1.414$ rad/s (คาบ 4.44 s) แอมพลิจูดประมาณ 2.12 · เตาอบที่ใช้เทอร์โมสตัท on–off แกว่งรอบจุดตั้งด้วยเหตุผลเดียวกัน

## เสถียรภาพแบบลียาปูนอฟ ขั้นสูง

U3 Lyapunov's direct method วิธีตรงของลียาปูนอฟ

$$V(\mathbf 0) = 0,\ \ V(\mathbf x) \gt 0 \ (\mathbf x \ne \mathbf 0),\ \ \dot V = \nabla V\cdot f(\mathbf x) \lt 0 \ \Rightarrow\ \text{เสถียรเชิงอาการ}$$

ถ้า $V \to \infty$ เมื่อ $\|\mathbf x\| \to \infty$ ด้วย จะเสถียรแบบทั่วทั้งปริภูมิ (global) · ระบบเชิงเส้น: $V = \mathbf x^TP\mathbf x$ กับ $A^TP + PA = -Q$

U4 Lyapunov's indirect method วิธีอ้อม (ทำให้เป็นเชิงเส้น)

$$J = \left.\frac{\partial f}{\partial\mathbf x}\right|_{\mathbf x_0}:\ \ \operatorname{Re}\lambda_i(J) \lt 0 \Rightarrow \text{เสถียรเฉพาะที่}, \quad \operatorname{Re}\lambda_i \gt 0 \text{ บางตัว} \Rightarrow \text{ไม่เสถียร}$$

ถ้ามี $\operatorname{Re}\lambda = 0$ สรุปไม่ได้ ต้องใช้วิธีตรง · เป็นเหตุผลที่การทำให้เป็นเชิงเส้นใช้ได้

ตัวอย่าง U-2 · เมื่อทำเป็นเชิงเส้นแล้วตอบไม่ได้

### $\dot x = -x^3$ เสถียรไหม

- วิธีอ้อม: $J = -3x^2|_0 = 0$ สรุปไม่ได้ U4

- วิธีตรง: $V = x^2 \gt 0$, $\dot V = 2x\dot x = -2x^4 \lt 0$ สำหรับ $x \ne 0$ U3

เสถียรเชิงอาการแบบทั่วทั้งปริภูมิ แต่ลู่เข้าช้ากว่าเอกซ์โพเนนเชียล · หุ่นยนต์ใช้ $V$ = พลังงานจลน์ + พลังงานศักย์เสมือน พิสูจน์ PD + ชดเชยแรงโน้มถ่วง (ดูโรโบติกส์)

U5 Sliding mode control ควบคุมแบบโหมดเลื่อน

$$\sigma = \dot e + \lambda e, \qquad u = u_{eq} - k\,\operatorname{sign}(\sigma), \quad k \gt |\text{ความไม่แน่นอน}|$$

บังคับให้สถานะเลื่อนบนผิว $\sigma = 0$ ซึ่ง $e \to 0$ แบบ $e^{-\lambda t}$ ทนต่อการรบกวนที่จำกัดขอบเขตได้สมบูรณ์ · ข้อเสีย: chattering แก้ด้วย $\operatorname{sat}(\sigma/\phi)$ แทน sign · ใช้ในไดรฟ์มอเตอร์และตัวแปลงกำลัง

## การควบคุมแบบทนทาน ขั้นสูง

U6 Robust stability (multiplicative uncertainty) เสถียรภาพทนทาน

$$G_{\text{จริง}} = G(1 + W\Delta),\ |\Delta| \le 1 \quad\Rightarrow\quad \text{เสถียรทุกพลานต์} \iff |W(j\omega)T(j\omega)| \lt 1 \ \ \forall\omega$$

$|W(j\omega)|$ = ขนาดความไม่แน่นอนสัมพัทธ์ที่แต่ละความถี่ (มักเล็กที่ความถี่ต่ำ โตที่ความถี่สูง) · จึงต้องให้ $|T|$ เล็กที่ความถี่สูง: แบนด์วิดท์ถูกจำกัดด้วยความรู้เรื่องพลานต์

U7 Small-gain theorem ทฤษฎีบทเกนเล็ก

$$\|G_1\|_\infty\,\|G_2\|_\infty \lt 1 \ \Rightarrow\ \text{ระบบป้อนกลับของ } G_1, G_2 \text{ เสถียร}$$

ใช้ได้แม้ $G_2$ ไม่เชิงเส้นหรือแปรตามเวลา (ใช้เกนแบบ $L_2$) · เป็นฐานของ H∞ control ซึ่งออกแบบตัวควบคุมให้ $\|W_1S\|_\infty$ และ $\|W_2T\|_\infty$ เล็กที่สุดพร้อมกัน

ตัวอย่าง U-3 · เกนพลานต์ไม่แน่นอน

### $L = \dfrac{K}{s(s+1)(s+2)}$ ออกแบบที่ $K = 2$ แต่พลานต์จริงมีเกนตั้งแต่ 0.5 ถึง 1.5 เท่าของค่าที่ออกแบบ ยังเสถียรไหม

- $K$ จริงอยู่ในช่วง 1 ถึง 3 · เสถียรเมื่อ $K \lt 6$ (R-5)

- มองด้วยมาร์จิน: GM = 3 เท่า (9.54 dB) ครอบความไม่แน่นอน 1.5 เท่า เหลือที่ว่างอีก 2 เท่า

เสถียรทุกกรณี (robustly stable) แต่ที่ $K = 3$ PM ลดเหลือประมาณ 20° แกว่งมาก ถ้าต้องการสมรรถนะทนทานด้วย (robust performance) ต้องออกแบบให้มาร์จินมากกว่านี้

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

ได้เครื่องมือครบแล้ว ส่วนที่ 9 คือการลงสนามจริง: เมคาทรอนิกส์ โรโบติกส์ และตัวแปลงกำลัง

## คำถามที่พบบ่อย

ลิมิตไซเคิลคืออะไร เกิดได้อย่างไร?
คือการแกว่งค้างที่มีแอมพลิจูดและความถี่คงที่ ไม่ขึ้นกับเงื่อนไขเริ่มต้น เกิดได้เฉพาะในระบบไม่เชิงเส้น เช่น ตัวควบคุมแบบ on–off ร่วมกับพลานต์ที่มีเฟสล่าช้ามาก หรือ backlash ในเกียร์ร่วมกับลูปตำแหน่งที่มีเกนสูง ฟังก์ชันพรรณนาใช้ทำนายแอมพลิจูดและความถี่ได้ล่วงหน้า

วิธีลียาปูนอฟใช้ทำอะไร?
ใช้พิสูจน์เสถียรภาพของระบบไม่เชิงเส้นโดยไม่ต้องแก้สมการ หาฟังก์ชันคล้ายพลังงาน V(x) ที่เป็นบวก ถ้าอนุพันธ์ตามเวลาเป็นลบเสมอ ระบบจะลู่เข้าจุดสมดุล ใช้มากในการพิสูจน์ตัวควบคุมหุ่นยนต์ เช่น PD + ชดเชยแรงโน้มถ่วง

การควบคุมแบบทนทาน (robust control) ต่างจากการจูนธรรมดาอย่างไร?
การออกแบบทั่วไปใช้แบบจำลองเดียว ส่วน robust control ระบุขอบเขตความไม่แน่นอนของพลานต์อย่างชัดเจน แล้วรับประกันว่าระบบเสถียรและได้สมรรถนะสำหรับพลานต์ทุกตัวในขอบเขตนั้น เกนมาร์จินและเฟสมาร์จินคือรูปแบบง่ายที่สุดของแนวคิดนี้

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**ลิมิตไซเคิลคืออะไร เกิดได้อย่างไร?**
คือการแกว่งค้างที่มีแอมพลิจูดและความถี่คงที่ ไม่ขึ้นกับเงื่อนไขเริ่มต้น เกิดได้เฉพาะในระบบไม่เชิงเส้น เช่น ตัวควบคุมแบบ on–off ร่วมกับพลานต์ที่มีเฟสล่าช้ามาก หรือ backlash ในเกียร์ร่วมกับลูปตำแหน่งที่มีเกนสูง ฟังก์ชันพรรณนาใช้ทำนายแอมพลิจูดและความถี่ได้ล่วงหน้า

**วิธีลียาปูนอฟใช้ทำอะไร?**
ใช้พิสูจน์เสถียรภาพของระบบไม่เชิงเส้นโดยไม่ต้องแก้สมการ หาฟังก์ชันคล้ายพลังงาน V(x) ที่เป็นบวก ถ้าอนุพันธ์ตามเวลาเป็นลบเสมอ ระบบจะลู่เข้าจุดสมดุล ใช้มากในการพิสูจน์ตัวควบคุมหุ่นยนต์ เช่น PD + ชดเชยแรงโน้มถ่วง

**การควบคุมแบบทนทาน (robust control) ต่างจากการจูนธรรมดาอย่างไร?**
การออกแบบทั่วไปใช้แบบจำลองเดียว ส่วน robust control ระบุขอบเขตความไม่แน่นอนของพลานต์อย่างชัดเจน แล้วรับประกันว่าระบบเสถียรและได้สมรรถนะสำหรับพลานต์ทุกตัวในขอบเขตนั้น เกนมาร์จินและเฟสมาร์จินคือรูปแบบง่ายที่สุดของแนวคิดนี้