---
title: "วิเคราะห์โบด: เกนมาร์จิน เฟสมาร์จิน และเสถียรภาพจากกราฟ"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/margins/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-12
---

> เกนมาร์จิน (gain margin) และเฟสมาร์จิน (phase margin) คืออะไร อ่านจากโบดไดอะแกรมอย่างไร ความถี่ครอสโอเวอร์ของเกนและเฟส เกณฑ์เสถียรภาพจากโบด ความสัมพันธ์เฟสมาร์จินกับ ζ และ overshoot แบนด์วิดท์กับความเร็ว ดีเลย์มาร์จิน หา K ให้ได้เฟสมาร์จินตามต้องการ ระบบเสถียรแบบมีเงื่อนไข และค่าแนะนำในงานจริง พร้อมแล็บโบดและผลตอบสนองขั้นบันได

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/margins/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# วิเคราะห์โบด: เกนมาร์จิน เฟสมาร์จิน และเสถียรภาพจากกราฟ

// บทที่ 13.13 · ระบบควบคุม · Gain & Phase Margins


เราท์ตอบว่า “เสถียรหรือไม่” แต่วิศวกรต้องการรู้ว่าห่างจากความไม่เสถียรแค่ไหน เพราะพลานต์จริงเปลี่ยนตามอุณหภูมิ โหลด และอายุการใช้งาน มาร์จินคือ “ระยะปลอดภัย” สองตัวที่อ่านได้จากโบดของวงเปิดทันที โดยไม่ต้องปิดวงหรือแก้สมการ และแปลงเป็น overshoot ได้ด้วย สูตรใช้รหัส G

สรุปใน 30 วินาที

- $\omega_{gc}$: ที่ $|L| = 0$ dB → PM = $180^\circ + \angle L(j\omega_{gc})$

- $\omega_{pc}$: ที่ $\angle L = -180^\circ$ → GM = $-|L(j\omega_{pc})|_{\text{dB}}$

- วงเปิดเสถียร: วงปิดเสถียร $\iff$ GM > 0 dB และ PM > 0°

- $\zeta \approx \text{PM}/100$ · $\omega_{gc}$ ≈ ความเร็วของวงปิด · ค่าแนะนำ PM 45°–60°, GM ≥ 6–10 dB

ระดับพื้นฐาน เริ่มเรียนกลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง งานออกแบบ

## ทำไมจุดอันตรายคือ 0 dB กับ −180° พื้นฐาน

ขั้ววงปิดคือรากของ $1 + L(s) = 0$ หรือ $L(s) = -1$ ถ้าวงปิดมีขั้วบนแกน $j\omega$ (ขอบเสถียร) ที่ $s = j\omega_0$ แปลว่า $L(j\omega_0) = -1$ คือขนาด 1 (0 dB) และเฟส −180° พร้อมกัน ในเชิงฟิสิกส์: สัญญาณไซน์ที่วิ่งรอบลูปกลับมาขนาดเท่าเดิมและกลับเฟสพอดี เมื่อผ่านจุดลบของตัวเปรียบเทียบ กลายเป็นเฟสเดียวกันเสริมกัน วงจรจึงแกว่งค้างด้วยตัวเอง (หลักการเดียวกับวงจรออสซิลเลเตอร์ Barkhausen) มาร์จินวัดว่าเราอยู่ห่างจากสภาวะนี้แค่ไหน

## นิยามเกนมาร์จินและเฟสมาร์จิน พื้นฐาน

G1 Phase margin เฟสมาร์จิน

$$|L(j\omega_{gc})| = 1 \ (0 \text{ dB}), \qquad \text{PM} = 180^\circ + \angle L(j\omega_{gc})$$

เฟสที่ล่าช้าเพิ่มได้อีกเท่าไร (ที่ $\omega_{gc}$) ก่อนจะไม่เสถียร · บนโบด: ลากเส้นดิ่งจากจุดที่ขนาดตัด 0 dB ลงไปกราฟเฟส วัดระยะเหนือเส้น −180°

G2 Gain margin เกนมาร์จิน

$$\angle L(j\omega_{pc}) = -180^\circ, \qquad \text{GM} = \frac{1}{|L(j\omega_{pc})|} \quad \text{หรือ} \quad \text{GM}_{\text{dB}} = -20\log|L(j\omega_{pc})|$$

คูณเกนเพิ่มได้อีกกี่เท่าก่อนจะไม่เสถียร · บนโบด: จากจุดที่เฟสตัด −180° ลากขึ้นไปกราฟขนาด วัดระยะใต้เส้น 0 dB · GM เป็นเท่า = $K_{cr}/K$ จากเราท์

G3 Bode stability criterion เกณฑ์เสถียรภาพจากโบด

$$L(s) \text{ เสถียร, ตัด 0 dB และ −180° อย่างละครั้ง}: \quad \text{วงปิดเสถียร} \iff \text{GM}_{\text{dB}} \gt 0 \ \text{และ} \ \text{PM} \gt 0^\circ \ (\omega_{gc} \lt \omega_{pc})$$

นอกเงื่อนไขนี้ (วงเปิดไม่เสถียร ตัดหลายครั้ง เสถียรแบบมีเงื่อนไข) ต้องใช้ไนควิสต์ ซึ่งเป็นรากฐานของเกณฑ์นี้

ตัวอย่าง G-1 · ระบบเดิมจากเราท์และรูทโลคัส

### หา GM และ PM ของ $L(s) = \dfrac{2}{s(s+1)(s+2)}$

- หา $\omega_{pc}$: $\angle L = -90^\circ - \tan^{-1}\omega - \tan^{-1}\tfrac{\omega}{2} = -180^\circ \Rightarrow \tan^{-1}\omega + \tan^{-1}\tfrac{\omega}{2} = 90^\circ$

$$\Rightarrow\ \omega \cdot \tfrac{\omega}{2} = 1 \ \Rightarrow\ \omega_{pc} = \sqrt2 = 1.414$$

- $|L(j\sqrt2)| = \dfrac{2}{\sqrt2\cdot\sqrt3\cdot\sqrt6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac13$ ได้ GM $= 3$ เท่า $= 20\log3 = {9.54\ \text{dB}}$ G2

- หา $\omega_{gc}$: $\omega\sqrt{1 + \omega^2}\sqrt{4 + \omega^2} = 2$ แก้เชิงตัวเลข (ลองแทน) ได้ $\omega_{gc} = 0.749$

- $\angle L(j0.749) = -90^\circ - 36.8^\circ - 20.5^\circ = -147.4^\circ$ ได้ PM $= {32.6^\circ}$ G1

GM = 9.54 dB (เพิ่มเกนได้อีก 3 เท่า ถึง $K = 6$ ตรงกับเราท์) · PM = 32.6° ค่อนข้างน้อย คาดว่าจะแกว่งพอสมควร

python-control: GM = 9.54 dB ที่ 1.414 rad/s, PM = 32.6° ที่ 0.749 rad/s ✓ · สามเครื่องมือ (เราท์ รูทโลคัส โบด) ให้ $K_{cr} = 6$ เหมือนกัน

## แปลมาร์จินเป็นสเปกเวลา กลาง

สำหรับวงเปิด $L(s) = \dfrac{\omega_n^2}{s(s + 2\zeta\omega_n)}$ วงปิดคือระบบอันดับสองมาตรฐานพอดี จึงหาความสัมพันธ์แบบแม่นตรงได้ ระบบอื่นที่มีคู่ขั้วเด่นใช้เป็นค่าประมาณที่ดี

G4 Phase margin vs damping ratio เฟสมาร์จินกับ ζ

$$\text{PM} = \tan^{-1}\frac{2\zeta}{\sqrt{\sqrt{1 + 4\zeta^4} - 2\zeta^2}} \ \approx\ 100\zeta \ \ (\zeta \le 0.7)$$

ζ = 0.3 → 33° (Mp 37%) · ζ = 0.5 → 52° (Mp 16%) · ζ = 0.6 → 59° (Mp 9.5%) · ζ = 0.7 → 65° (Mp 4.6%)

G5 Crossover and speed ครอสโอเวอร์กับความเร็ว

$$\omega_{gc} = \omega_n\sqrt{\sqrt{1 + 4\zeta^4} - 2\zeta^2}, \qquad \omega_{gc} \lt \omega_{BW} \lt 2\omega_{gc}$$

กฎหัวแม่มือ: $t_r \approx 1.5/\omega_{gc}$ ถึง $2/\omega_{gc}$ · ครอสโอเวอร์สูง = เร็ว แต่ไวต่อสัญญาณรบกวน

G6 Delay margin ดีเลย์มาร์จิน

$$T_{max} = \frac{\text{PM (rad)}}{\omega_{gc}} = \frac{\text{PM}^\circ \cdot \pi/180}{\omega_{gc}}$$

หน่วงเวลาสูงสุดที่ลูปทนได้ก่อนไม่เสถียร · สำคัญมากกับตัวควบคุมดิจิทัลและระบบผ่านเครือข่าย

ตัวอย่าง G-2 · ดีเลย์มาร์จิน

### ระบบใน G-1 ($K = 2$) ทนหน่วงเวลาในลูปได้สูงสุดเท่าไร ถ้าใช้ไมโครคอนโทรลเลอร์ที่ทำให้หน่วง 0.1 s จะเหลือ PM เท่าไร

- G6: $T_{max} = \dfrac{32.6 \times \pi/180}{0.749} = \dfrac{0.569}{0.749} = {0.76\ \text{s}}$

- หน่วง 0.1 s กินเฟสที่ $\omega_{gc}$: $0.749 \times 0.1 \times 57.3 = 4.3^\circ$ (ขนาดไม่เปลี่ยน $\omega_{gc}$ จึงเท่าเดิม)

ทนได้ 0.76 s · หน่วง 0.1 s เหลือ PM $32.6^\circ - 4.3^\circ = 28.3^\circ$

## ออกแบบ: เลือก K ให้ได้เฟสมาร์จินตามต้องการ กลาง

เปลี่ยน $K$ แค่เลื่อนกราฟขนาดขึ้นลง กราฟเฟสไม่เปลี่ยน ดังนั้นวิธีคือหาความถี่ที่เฟสเท่ากับ $-180^\circ + \text{PM}$ ที่ต้องการ แล้วเลือก $K$ ให้ขนาดที่ความถี่นั้นเป็น 0 dB

ตัวอย่าง G-3 · PM = 45°

### หา $K$ ที่ทำให้ $L(s) = \dfrac{K}{s(s+1)(s+2)}$ มีเฟสมาร์จิน 45°

- ต้องการ $\angle L = -135^\circ$: $\tan^{-1}\omega + \tan^{-1}\tfrac{\omega}{2} = 45^\circ$

- ใช้ $\tan(A + B)$: $\dfrac{\omega + \omega/2}{1 - \omega^2/2} = 1 \Rightarrow \omega^2 + 3\omega - 2 = 0 \Rightarrow \omega = \dfrac{-3 + \sqrt{17}}{2} = 0.5616$

- ให้ $|L| = 1$ ที่ความถี่นั้น: $K = \omega\sqrt{1 + \omega^2}\sqrt{4 + \omega^2} = 0.5616 \times 1.147 \times 2.077 = {1.338}$

$K = 1.338$ ได้ PM = 45° ที่ $\omega_{gc} = 0.562$ rad/s และ GM = $20\log(6/1.338) = 13.0$ dB · ใช้ $\zeta \approx 0.45$ ทำนาย overshoot ราว 20%

python-control: PM = 45.0°, GM = 13.03 dB ✓ · overshoot จริง 23.8% (ระบบอันดับสาม ค่าประมาณ $\zeta \approx \text{PM}/100$ ใช้ได้ระดับคร่าว ๆ) · ถ้าต้องการทั้ง PM สูงและเร็วกว่านี้ ต้องใช้ตัวชดเชย lead

## เมื่อมาร์จินหลอกเรา ขั้นสูง

- เสถียรแบบมีเงื่อนไข (conditionally stable): เฟสลงต่ำกว่า −180° แล้วกลับขึ้นมา ทั้งลดและเพิ่มเกนอาจทำให้ไม่เสถียร เช่น $L = \dfrac{K(s+1)^2}{s^3}$ GM ที่อ่านได้มีสองค่า ต้องดูไนควิสต์ (ลองในแล็บ preset “เสถียรแบบมีเงื่อนไข” บนหน้าฮับ)

- วงเปิดไม่เสถียร: เช่น ลูกตุ้มกลับหัว กราฟโบดอาจดูเหมือนมาร์จินติดลบทั้งที่วงปิดเสถียร

- ยอดเรโซแนนซ์ใกล้ 0 dB: GM และ PM ดูดี แต่จุดบนไนควิสต์ผ่านใกล้ −1 ในทิศอื่น ตัวชี้วัดที่ดีกว่าคือระยะใกล้สุดถึง −1 $1/\max|S(j\omega)|$ (modulus margin, นิยม $M_s \lt 2$)

- ขั้วความถี่สูงที่ไม่ได้จำลอง: เซนเซอร์ ไดรเวอร์ ฟิลเตอร์ ADC ล้วนเพิ่มเฟสล่าช้า เผื่อมาร์จินไว้เสมอ

| งาน | PM ที่นิยม | GM ที่นิยม |

| กระบวนการอุตสาหกรรม (อุณหภูมิ การไหล) | 45°–60° | ≥ 6–8 dB |

| เซอร์โวตำแหน่ง แขนกลหุ่นยนต์ | 50°–70° | ≥ 10 dB |

| พาวเวอร์ซัพพลายแบบสวิตชิ่ง | 45°–70° | ≥ 10 dB (ครอสโอเวอร์ ≤ fsw/10) |

| แอมป์ป้อนกลับ / ออปแอมป์ (เสถียรที่ unity gain) | ≥ 45°–60° | ≥ 10 dB |

## แล็บมาร์จิน: เลื่อน K ดู PM GM และ overshoot

เลื่อน $K$ แล้วสังเกตสามอย่างพร้อมกัน: เส้นขนาดเลื่อนขึ้นลง $\omega_{gc}$ ขยับ PM (แท่งเขียวในกราฟเฟส) ลดลงเมื่อ $K$ เพิ่ม และผลตอบสนองขั้นบันไดแกว่งมากขึ้น ลอง $K = 1.338$ (PM 45°) และ $K = 6$ (GM 0 dB แกว่งค้าง)

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

มาร์จินจากโบดคือกรณีพิเศษของเกณฑ์ไนควิสต์ ซึ่งใช้ได้กับทุกระบบ ส่วนถ้ามาร์จินไม่พอ ไปออกแบบตัวชดเชย lead และ lag เพื่อดัดกราฟโบดให้ได้ตามสเปก

## คำถามที่พบบ่อย

เฟสมาร์จินเท่าไรถึงจะดี?
งานทั่วไปใช้ 45° ถึง 60° ซึ่งให้ overshoot ประมาณ 10% ถึง 25% ระบบที่ต้องนุ่มนวล เช่น เซอร์โวตำแหน่งหรือพาวเวอร์ซัพพลายใช้ 60° ขึ้นไป ต่ำกว่า 30° จะแกว่งมากและไวต่อการเปลี่ยนแปลงของพลานต์ เกนมาร์จินควรมากกว่า 6 dB (นิยม 10 dB ขึ้นไป)

เกนมาร์จินเป็นอนันต์หมายความว่าอะไร?
เฟสไม่ตัด −180° เลย เช่น ระบบอันดับหนึ่งหรือสองที่ไม่มีหน่วงเวลา เพิ่มเกนเท่าไรก็ไม่ไม่เสถียร (ในทางทฤษฎี) แต่ในงานจริงมีหน่วงเวลาและขั้วความถี่สูงที่ไม่ได้ใส่ในแบบจำลองเสมอ จึงอย่าเชื่อ GM อนันต์มากนัก ดูเฟสมาร์จินประกอบ

อ่านมาร์จินจากโบดใช้กับทุกระบบได้ไหม?
ใช้ได้กับระบบที่วงเปิดเสถียรและมีครอสโอเวอร์ครั้งเดียว ซึ่งเป็นกรณีส่วนใหญ่ ถ้าวงเปิดไม่เสถียร (มีขั้วฝั่งขวา) หรือขนาดตัด 0 dB หลายครั้ง หรือเป็นระบบเสถียรแบบมีเงื่อนไข ต้องใช้เกณฑ์ไนควิสต์ตัดสิน

ทำไมเฟสมาร์จินสัมพันธ์กับ overshoot?
สำหรับวงเปิด ωn²/(s(s + 2ζωn)) ซึ่งให้วงปิดเป็นระบบอันดับสองมาตรฐาน เฟสมาร์จินเป็นฟังก์ชันของ ζ อย่างเดียว ประมาณ PM ≈ 100ζ เมื่อ ζ ไม่เกิน 0.7 และ ζ กำหนด overshoot ระบบอันดับสูงที่มีขั้วเด่นคู่เดียวจึงใช้ความสัมพันธ์นี้ประมาณได้

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**เฟสมาร์จินเท่าไรถึงจะดี?**
งานทั่วไปใช้ 45° ถึง 60° ซึ่งให้ overshoot ประมาณ 10% ถึง 25% ระบบที่ต้องนุ่มนวล เช่น เซอร์โวตำแหน่งหรือพาวเวอร์ซัพพลายใช้ 60° ขึ้นไป ต่ำกว่า 30° จะแกว่งมากและไวต่อการเปลี่ยนแปลงของพลานต์ เกนมาร์จินควรมากกว่า 6 dB (นิยม 10 dB ขึ้นไป)

**เกนมาร์จินเป็นอนันต์หมายความว่าอะไร?**
เฟสไม่ตัด −180° เลย เช่น ระบบอันดับหนึ่งหรือสองที่ไม่มีหน่วงเวลา เพิ่มเกนเท่าไรก็ไม่ไม่เสถียร (ในทางทฤษฎี) แต่ในงานจริงมีหน่วงเวลาและขั้วความถี่สูงที่ไม่ได้ใส่ในแบบจำลองเสมอ จึงอย่าเชื่อ GM อนันต์มากนัก ดูเฟสมาร์จินประกอบ

**อ่านมาร์จินจากโบดใช้กับทุกระบบได้ไหม?**
ใช้ได้กับระบบที่วงเปิดเสถียรและมีครอสโอเวอร์ครั้งเดียว ซึ่งเป็นกรณีส่วนใหญ่ ถ้าวงเปิดไม่เสถียร (มีขั้วฝั่งขวา) หรือขนาดตัด 0 dB หลายครั้ง หรือเป็นระบบเสถียรแบบมีเงื่อนไข ต้องใช้เกณฑ์ไนควิสต์ตัดสิน

**ทำไมเฟสมาร์จินสัมพันธ์กับ overshoot?**
สำหรับวงเปิด ωn²/(s(s + 2ζωn)) ซึ่งให้วงปิดเป็นระบบอันดับสองมาตรฐาน เฟสมาร์จินเป็นฟังก์ชันของ ζ อย่างเดียว ประมาณ PM ≈ 100ζ เมื่อ ζ ไม่เกิน 0.7 และ ζ กำหนด overshoot ระบบอันดับสูงที่มีขั้วเด่นคู่เดียวจึงใช้ความสัมพันธ์นี้ประมาณได้