---
title: "ระบบควบคุม (Control Systems Engineering): ป้อนกลับ เสถียรภาพ รูทโลคัส โบด และ PID"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-12
---

> คลังวิศวกรรมระบบควบคุมภาษาไทย ตั้งแต่พื้นฐานถึงขั้นสูง ระบบควบคุมป้อนกลับ (feedback control) แบบจำลอง บล็อกไดอะแกรม ผลตอบสนองเวลา เสถียรภาพ เกณฑ์เราท์–เฮอร์วิตซ์ รูทโลคัสวาดด้วยมือ โบดไดอะแกรม เกนและเฟสมาร์จิน ไนควิสต์ ตัวชดเชย lead lag ตัวควบคุม P PI PD PID ปริภูมิสถานะ ควบคุมดิจิทัล เมคาทรอนิกส์ โรโบติกส์ และการควบคุมตัวแปลงกำลัง พร้อมแล็บรูทโลคัส โบด และไนควิสต์แบบโต้ตอบ

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# ระบบควบคุม (Control Systems Engineering): ป้อนกลับ เสถียรภาพ รูทโลคัส โบด และ PID

// บทที่ 13 · วิศวกรรมไฟฟ้า · Control Systems Engineering


เครื่องปรับอากาศที่รักษาอุณหภูมิ มอเตอร์ที่หมุนได้ความเร็วตามสั่ง แขนหุ่นยนต์ที่หยุดตรงตำแหน่ง โดรนที่ลอยนิ่งกลางลม และพาวเวอร์ซัพพลายที่จ่าย 5.00 V ไม่ว่าโหลดจะเปลี่ยนแค่ไหน ทั้งหมดใช้หลักการเดียวกัน คือวัดผลลัพธ์ เทียบกับเป้าหมาย แล้วแก้ไข ชุดบทเรียนนี้เริ่มจากวงจรไฟฟ้าที่เราคุ้นเคย ไล่ไปถึงการวาดรูทโลคัสด้วยมือ วิเคราะห์โบด ออกแบบตัวชดเชยและ PID จนถึงหุ่นยนต์และตัวแปลงกำลัง

ทั้งวิชาในหนึ่งนาที

- เขียนพลานต์เป็นฟังก์ชันถ่ายโอน $G(s)$ ต่อตัวควบคุม $C(s)$ แล้วปิดวงได้ $T(s) = \dfrac{CG}{1 + CG}$ บล็อกไดอะแกรม

- ระบบเสถียรเมื่อรากของ $1 + KG(s) = 0$ อยู่ซ้ายของแกน $j\omega$ ทุกตัว ตรวจได้โดยไม่ต้องหาราก เราท์–เฮอร์วิตซ์

- รากเหล่านั้นเดินอย่างไรเมื่อปรับ $K$ รูทโลคัส · ห่างจากความไม่เสถียรแค่ไหน เกนและเฟสมาร์จิน

- ไม่ได้ตามสเปก เพิ่มขั้วและศูนย์อย่างมีชั้นเชิง lead · lag และ PID

## Control Engineering หรือ Control Systems เรียกอะไรดี

ทั่วโลกใช้สองคำนี้แทนกันได้ แต่มีน้ำหนักต่างกันเล็กน้อย Control Systems คือชื่อวิชาที่มหาวิทยาลัยส่วนใหญ่ใช้ (Control Systems Engineering ของ Nise, Modern Control Systems ของ Dorf) เน้นตัวระบบและเครื่องมือวิเคราะห์ ส่วน Control Engineering คือชื่อสาขาวิชาชีพ เน้นงานออกแบบ หน้านี้จึงใช้ชื่อเต็ม Control Systems Engineering ครอบทั้งสองคำ ภาษาไทยใช้ ระบบควบคุม และ วิศวกรรมระบบควบคุม

| คำ | ความหมายที่ใช้ในชุดนี้ | เชื่อมไปหน้า |

| Control system | ระบบที่จัดการให้ตัวแปรหนึ่งเป็นไปตามที่ต้องการ | ภาพรวม |

| Feedback control system | ระบบวงปิดที่วัดเอาต์พุตย้อนกลับมาเทียบกับค่าอ้างอิง | ภาพรวม · บล็อก |

| Automatic control | การควบคุมที่ทำงานเองโดยไม่ต้องมีคนคอยปรับ | PID |

| Classical control | วิเคราะห์ในโดเมน $s$ และความถี่: Routh รูทโลคัส โบด ไนควิสต์ | ส่วนที่ 2 ถึง 6 |

| Modern control | วิเคราะห์ในปริภูมิสถานะด้วยเมทริกซ์ | ส่วนที่ 7 |

| Mechatronics | กลไก + ไฟฟ้า + อิเล็กทรอนิกส์ + ซอฟต์แวร์ ที่มีระบบควบคุมเป็นแกนกลาง | เมคาทรอนิกส์ |

| Robotics | เมคาทรอนิกส์ที่มีหลายข้อต่อ รับรู้ และตัดสินใจเอง | โรโบติกส์ |

## แผนที่การเรียน: classical ก่อน แล้วค่อย modern

ลำดับในชุดนี้ตั้งใจเรียงแบบที่อาจารย์สอนในห้อง เริ่ม classical ก่อน เพราะฟังก์ชันถ่ายโอนให้ภาพทางกายภาพชัด (ขั้วคือความเร็วตอบสนอง เฟสคือความล่าช้า) งานออกแบบในอุตสาหกรรมส่วนใหญ่จบได้ที่ PID และตัวชดเชย และเป็นภาษาที่ datasheet ของไอซีควบคุมใช้ เมื่อแน่นแล้วจึงขึ้น modern control ที่ต่อยอดจากค่าเฉพาะ สำหรับระบบหลายตัวแปร หุ่นยนต์ และการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด

1–2แบบจำลอง · สมรรถนะ
→
3เสถียรภาพ · Routh
→
4รูทโลคัส
→
5โบด · ไนควิสต์
→
6Lead · Lag · PID
→
7–9Modern · ดิจิทัล · งานจริง

พื้นฐาน

### ปี 2–3 · เริ่มเรียนวิชาควบคุม

- วงเปิด วงปิด ทำไมต้องป้อนกลับ

- ฟังก์ชันถ่ายโอนของวงจร RLC และมอเตอร์

- ลดรูปบล็อกไดอะแกรม

- สเปก Mp, tr, ts จากขั้ว

- ขั้วบนระนาบ s กับเสถียรภาพ

- สร้างตารางเราท์

กลาง

### ปี 3–4 · ออกแบบตัวควบคุม

- ช่วง K ที่เสถียร · กรณีพิเศษ

- กฎวาดรูทโลคัสทุกข้อ · ฝึกวาด

- วาดโบดด้วยเส้นกำกับ · มาร์จิน

- ออกแบบ lead · lag

- P PI PD PID · จูน PID

ขั้นสูง

### ป.โท · งานวิจัย · งานจริง

- ไนควิสต์และระบบเสถียรแบบมีเงื่อนไข

- ปริภูมิสถานะ · วางขั้ว LQR ตัวสังเกต

- ควบคุมดิจิทัลบนไมโครคอนโทรลเลอร์

- ไม่เชิงเส้นและความทนทาน

- ตัวชดเชย Type II/III ของ SMPS

บางหน้ายังเขียนไม่เสร็จ ลิงก์ของหน้านั้นจะพาไปการ์ดในหัวข้อถัดไปซึ่งติดป้าย “เร็วๆ นี้” ไว้

## เริ่มจากไฟฟ้า ปูทางไปอิเล็กทรอนิกส์กำลัง

นักศึกษาไฟฟ้ามีข้อได้เปรียบ เพราะวงจร RC คือระบบอันดับหนึ่ง วงจร RLC คือระบบอันดับสอง และออปแอมป์คือตัวควบคุมที่สร้างได้จริงบนโต๊ะ ชุดนี้จึงใช้วงจรเป็นตัวอย่างหลักตลอดทาง แล้วค่อยขยายไปมอเตอร์ กลไก และหุ่นยนต์ ปลายทางคือตัวแปลงกำลังแบบสวิตชิ่ง ซึ่งรวมทุกเรื่องในชุดนี้ไว้ในวงจรเดียว

| สิ่งที่รู้จากไฟฟ้า | ในภาษาระบบควบคุม | ใช้ต่อที่ |

| วงจร RC, $\tau = RC$ | ระบบอันดับหนึ่ง ขั้ว $s = -1/\tau$ | แล็บระบบอันดับ 1 |

| วงจร RLC อนุกรม | ระบบอันดับสอง $\zeta,\ \omega_n$ | แล็บระบบอันดับ 2 |

| อิมพีแดนซ์ $Z(s)$ | ฟังก์ชันถ่ายโอน $G(s)$ | แบบจำลอง |

| ออปแอมป์อินเวอร์ติง $-Z_f/Z_i$ | ตัวควบคุม PI, PD, lead, lag | แล็บออปแอมป์ · ตัวชดเชย |

| ฟิลเตอร์ low-pass, $-3$ dB | แบนด์วิดท์ โบดไดอะแกรม | โบด |

| ฟังก์ชันเจเนอเรเตอร์ + สโคป วัดเกนและเฟส | วัดผลตอบสนองความถี่จริง | แล็บ FG + สโคป |

| มอเตอร์ DC: $V = Ri + L\,di/dt + K_e\omega$ | พลานต์ของเซอร์โว | เมคาทรอนิกส์ |

| บั๊กคอนเวอร์เตอร์, LC ฟิลเตอร์, PWM | $G_{vd}(s)$ และตัวชดเชย Type III | สะพานสู่อิเล็กทรอนิกส์กำลัง |

## ทุกหน้าในชุดนี้ แบ่งเป็น 9 ส่วน

อ่านตามลำดับเลขหน้า ตัวอักษรท้ายการ์ดคือรหัสสูตรของหน้านั้น เช่น R3 คือสูตรที่ 3 ของหน้าเราท์–เฮอร์วิตซ์ ใช้อ้างอิงในรายงานหรือค้นหาในหัวข้อถัดไปได้

ส่วนที่ 1

### ภาพรวมและแบบจำลอง Foundations & Modeling
เริ่มจากวงจรไฟฟ้าที่เรารู้จัก แล้วมองมันเป็นระบบที่มีอินพุต เอาต์พุต และป้อนกลับ

⟲13.1
ระบบควบคุมคืออะไร: วงเปิด วงปิด และการป้อนกลับ
What Is a Control System?
ระบบควบคุมอัตโนมัติทำงานอย่างไร เปรียบเทียบวงเปิดกับวงปิด ป้อนกลับลดความผิดพลาดและต้านการรบกวนได้อย่างไร เป้าหมายการออกแบบ และตัวอย่างระบบจริงจากไฟฟ้า เมคาทรอนิกส์ โรโบติกส์ ถึงอิเล็กทรอนิกส์กำลัง
เปิดหน้า →สูตร F1, F2, …

G(s)13.2
แบบจำลองทางคณิตศาสตร์: วงจรไฟฟ้า มอเตอร์ กลไก ความร้อน
Mathematical Modeling
จากกฎฟิสิกส์สู่ฟังก์ชันถ่ายโอน วงจร RLC ออปแอมป์ มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง มวล-สปริง-ดัมเปอร์ ระบบหมุน ความร้อน ของไหล ความคล้ายเชิงอุปมาไฟฟ้า-กล และการทำให้เป็นเชิงเส้น
เปิดหน้า →สูตร M1, M2, …

▭→▭13.3
บล็อกไดอะแกรม แผนภาพสัญญาณ และฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด
Block Diagrams & Signal-Flow Graphs
การลดรูปบล็อกแบบอนุกรม ขนาน และป้อนกลับ ย้ายจุดรวมสัญญาณและจุดแยก กฎของเมสัน ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด ความผิดพลาด และสัญญาณรบกวน
เปิดหน้า →สูตร B1, B2, …

ส่วนที่ 2

### สมรรถนะของระบบ Performance
ระบบดีหรือไม่ดี วัดจากอะไร: ความเร็ว overshoot และความแม่นยำ

y(t)13.4
ผลตอบสนองเวลา: ขั้ว ศูนย์ และสเปกการออกแบบ
Time Response & Specifications
ผลตอบสนองต่อขั้นบันไดของระบบอันดับหนึ่ง สอง และสูงกว่า ขั้วเด่น ผลของศูนย์และขั้วเพิ่ม เวลาขึ้น overshoot เวลาเข้าที่ และความสัมพันธ์กับตำแหน่งบนระนาบ s
เปิดหน้า →สูตร T1, T2, …

e∞13.5
ความผิดพลาดสถานะอยู่ตัว ชนิดของระบบ และความไว
Steady-State Error & System Type
ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย ชนิดของระบบ (type 0, 1, 2) ค่าคงตัวความผิดพลาด Kp Kv Ka ความผิดพลาดจากการรบกวน ความไว (sensitivity) และการยกชนิดด้วยอินทิเกรเตอร์
เปิดหน้า →สูตร E1, E2, …

ส่วนที่ 3

### เสถียรภาพ Stability
คำถามแรกของวิศวกรควบคุม: ระบบนี้เสถียรไหม และเสถียรได้ถึงเกนเท่าไร

Re s<013.6
เสถียรภาพของระบบควบคุม: ขั้วบนระนาบ s และเงื่อนไขเบื้องต้น
Stability of Control Systems
นิยามเสถียรภาพแบบ BIBO และเชิงอาการ ตำแหน่งขั้วบนระนาบ s เสถียรวิกฤต เงื่อนไขจำเป็นของสัมประสิทธิ์ ความไม่เสถียรจากการป้อนกลับ และเสถียรภาพสัมพัทธ์
เปิดหน้า →สูตร S1, S2, …

R13.7
เกณฑ์เสถียรภาพของเราท์–เฮอร์วิตซ์ (Routh–Hurwitz Criterion)
Routh–Hurwitz Stability Criterion
สร้างตารางเราท์ทีละขั้น นับขั้วฝั่งขวา กรณีพิเศษ (ศูนย์ในคอลัมน์แรก แถวเป็นศูนย์) หาช่วงเกน K ที่เสถียร เกนวิกฤตและความถี่วิกฤต ε-method พหุนามช่วย เฮอร์วิตซ์ดีเทอร์มิแนนต์ และเสถียรภาพสัมพัทธ์
เปิดหน้า →สูตร R1, R2, …

ส่วนที่ 4

### รูทโลคัส Root Locus
ดูว่าขั้วเคลื่อนอย่างไรเมื่อปรับเกน วาดด้วยมือให้ได้ก่อนเปิดโปรแกรม

K→13.8
รูทโลคัส (Root Locus): นิยามและกฎการวาดทุกข้อ
Root Locus: Definition & Sketching Rules
ขั้วของวงปิดเคลื่อนอย่างไรเมื่อเกน K เปลี่ยน เงื่อนไขมุมและขนาด กฎการวาดทุกข้อ: จุดเริ่ม-จบ เส้นกำกับ จุดแยก จุดตัดแกน jω มุมออก-เข้า พร้อมที่มาของแต่ละกฎ
เปิดหน้า →สูตร L1, L2, …

✎13.9
ฝึกวาดรูทโลคัสด้วยมือ: ทีละขั้น พร้อมตัวอย่างและแกลเลอรีรูปแบบ
Sketching Root Loci by Hand
ตัวอย่างวาดด้วยมือทีละขั้นตั้งแต่ระบบง่ายถึงซับซ้อน ขั้วเชิงซ้อน ศูนย์ จุดแยกเชิงซ้อน ขั้วซ้ำ ผลของการเพิ่มศูนย์ (PD) แกลเลอรีรูปแบบมาตรฐาน และแล็บที่ตรวจคำตอบของกฎแต่ละข้อ ใช้แทน MATLAB
เปิดหน้า →สูตร W1, W2, …

ζ13.10
ออกแบบด้วยรูทโลคัส: เลือกเกน เพิ่มขั้วหรือศูนย์ และตัวชดเชย
Design by Root Locus
เลือก K จากสเปก ζ และ ωn ผลของการเพิ่มขั้วและศูนย์ต่อรูปร่างโลคัส ออกแบบ PD PI และ lead/lag ด้วยรูทโลคัส การหักล้างขั้ว-ศูนย์ รูทโลคัสเมื่อ K ติดลบ และรูทโลคัสของพารามิเตอร์อื่น
เปิดหน้า →สูตร J1, J2, …

ส่วนที่ 5

### ตอบสนองความถี่ Frequency Response
มองระบบผ่านไซน์: Bode, margin และ Nyquist ภาษาที่วิศวกรทั่วโลกใช้

G(jω)13.11
ผลตอบสนองความถี่: G(jω) ขนาด เฟส และแบนด์วิดท์
Frequency Response
ป้อนไซน์เข้าระบบเชิงเส้น ออกมาเป็นไซน์ที่ขนาดและเฟสเปลี่ยน ที่มาของ G(jω) ความถี่เรโซแนนซ์ ยอดเรโซแนนซ์ Mr แบนด์วิดท์ และความสัมพันธ์กับผลตอบสนองเวลาของระบบอันดับสอง
เปิดหน้า →สูตร Q1, Q2, …

dB13.12
โบดไดอะแกรม (Bode Plot): วาดด้วยมือทีละขั้น
Bode Plot by Hand
เดซิเบล เดคาด การวาดขนาดและเฟสด้วยเส้นกำกับ ปัจจัยพื้นฐาน K sⁿ (1+τs) อันดับสอง และหน่วงเวลา ค่าแก้ที่จุดมุม ตัวอย่างหลายแบบ การหาฟังก์ชันถ่ายโอนจากกราฟ และแล็บโบดที่ตรวจคำตอบ
เปิดหน้า →สูตร D1, D2, …

PM13.13
วิเคราะห์โบด: เกนมาร์จิน เฟสมาร์จิน และเสถียรภาพจากกราฟ
Gain & Phase Margins
ความถี่ครอสโอเวอร์ เกนมาร์จิน เฟสมาร์จิน อ่านจากโบด ความสัมพันธ์ PM กับ ζ และ overshoot แบนด์วิดท์กับความเร็ว ระบบเสถียรแบบมีเงื่อนไข ผลของหน่วงเวลา และฟังก์ชันความไว S T
เปิดหน้า →สูตร G1, G2, …

−113.14
เกณฑ์เสถียรภาพของไนควิสต์ (Nyquist Criterion)
Nyquist Stability Criterion
ทฤษฎีบทอาร์กิวเมนต์ เส้นทางไนควิสต์ Z = N + P วาดกราฟขั้วทีละขั้น จัดการขั้วบนแกน jω ตัวอย่างเสถียร ไม่เสถียร และมีเงื่อนไข อ่านมาร์จิน และเปรียบเทียบกับโบด
เปิดหน้า →สูตร N1, N2, …

ส่วนที่ 6

### ออกแบบตัวควบคุม Compensator & PID Design
นำทุกเครื่องมือมาออกแบบ lead lag และ PID ให้ได้ตามสเปก

α13.15
ตัวชดเชย Lead, Lag และ Lag-Lead: ออกแบบด้วยโบดและรูทโลคัส
Lead, Lag & Lag-Lead Compensators
ตัวชดเชยเลื่อนเฟส (lead) ลดความผิดพลาดอยู่ตัว (lag) และรวมสองแบบ สูตรเลือก α และ T ขั้นตอนออกแบบทีละขั้นด้วยโบดและรูทโลคัส วงจรออปแอมป์และ RC จริง และข้อควรระวัง
เปิดหน้า →สูตร C1, C2, …

PID13.16
ตัวควบคุม P, PI, PD และ PID: โครงสร้าง ผลของแต่ละเทอม และการออกแบบ
P, PI, PD & PID Controllers
โครงสร้างขนาน อุดมคติ และอนุกรม ผลของเทอม P I D ต่อ rise time overshoot และความผิดพลาดอยู่ตัว ความเกี่ยวข้องกับ lead/lag ออกแบบ PID ด้วยรูทโลคัสและโบด พร้อมแล็บ PID แบบโต้ตอบ
เปิดหน้า →สูตร P1, P2, …

ZN13.17
การจูน PID: Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, IMC และเรื่องที่ใช้งานจริง
PID Tuning & Practical Issues
จูนจากกราฟตอบสนองขั้นบันได (reaction curve) และเกนวิกฤต (ultimate gain) Cohen–Coon, Lambda/IMC ฟิลเตอร์อนุพันธ์ anti-windup setpoint weighting ตัวควบคุม 2 องศาอิสระ และ relay auto-tune
เปิดหน้า →สูตร Z1, Z2, …

ส่วนที่ 7

### ระบบควบคุมสมัยใหม่ Modern Control
ปริภูมิสถานะ ต่อยอดจากพีชคณิตเชิงเส้น: วางขั้ว ตัวสังเกต LQR

ẋ=Ax13.18
ปริภูมิสถานะ (State-Space): สมการสถานะ รูปแบบมาตรฐาน และ e^{At}
State-Space Representation
ตัวแปรสถานะ สมการสถานะและสมการเอาต์พุต จากสมการเชิงอนุพันธ์ วงจร และฟังก์ชันถ่ายโอน รูปแบบมาตรฐานควบคุมได้ สังเกตได้ และโมดัล คำตอบ e^{At} ขั้วคือค่าเฉพาะ G(s) = C(sI − A)⁻¹B + D
เปิดหน้า →สูตร X1, X2, …

𝒞13.19
ความสามารถควบคุมได้และสังเกตได้ (Controllability & Observability)
Controllability & Observability
นิยาม เมทริกซ์ควบคุมได้และสังเกตได้ ทดสอบแบบ Kalman และ PBH การแยกส่วนของ Kalman ความเกี่ยวข้องกับการหักล้างขั้ว-ศูนย์ และ realization ที่น้อยที่สุด
เปิดหน้า →สูตร O1, O2, …

u=−Kx13.20
ป้อนกลับสถานะ: วางขั้ว ตัวสังเกต และ LQR
State Feedback, Observers & LQR
การวางขั้ว (pole placement) สูตร Ackermann ตัวสังเกตสถานะ Luenberger หลักการแยกส่วน การติดตามสัญญาณอ้างอิงและอินทิเกรเตอร์ LQR สมการริคคาติเบื้องต้น และตัวกรองคาลมานโดยย่อ
เปิดหน้า →สูตร V1, V2, …

ส่วนที่ 8

### ดิจิทัลและขั้นสูง Digital & Advanced
เมื่อตัวควบคุมคือไมโครคอนโทรลเลอร์ และเมื่อโลกไม่เป็นเชิงเส้น

z13.21
ระบบควบคุมดิจิทัล: การสุ่ม z-transform และ PID ดิจิทัล
Digital Control
การสุ่มและ ZOH, aliasing, การแปลง z, ฟังก์ชันถ่ายโอนแบบไม่ต่อเนื่อง เสถียรภาพบนวงกลมหนึ่งหน่วย (Jury) การแปลงตัวควบคุม (Euler, Tustin) PID ดิจิทัล และการเลือกความถี่สุ่ม
เปิดหน้า →สูตร Y1, Y2, …

NL13.22
ระบบไม่เชิงเส้นและการควบคุมแบบทนทาน
Nonlinear & Robust Control
การอิ่มตัว dead-zone backlash ฟังก์ชันพรรณนา (describing function) ลิมิตไซเคิล ระนาบเฟส เสถียรภาพแบบลียาปูนอฟ sliding mode ความไม่แน่นอนของแบบจำลอง ความทนทาน และแนวคิด H∞
เปิดหน้า →สูตร U1, U2, …

ส่วนที่ 9

### งานประยุกต์ Mechatronics, Robotics & Power Electronics
ทฤษฎีลงสนามจริง: มอเตอร์ หุ่นยนต์ และตัวแปลงกำลัง ทางไปสู่อิเล็กทรอนิกส์กำลัง

M13.23
ระบบควบคุมเมคาทรอนิกส์: เซนเซอร์ แอคชูเอเตอร์ เซอร์โว และคาสเคด
Mechatronic Systems Control
มอเตอร์ DC เซนเซอร์ (เอนโค้ดเดอร์ โพเทนชิโอมิเตอร์ IMU) ไดรเวอร์และ PWM ลูปกระแส-ความเร็ว-ตำแหน่งแบบคาสเคด เซอร์โวตำแหน่ง ชุดเกียร์ ความฝืด backlash และตัวอย่างจริง
เปิดหน้า →สูตร K1, K2, …

θ13.24
ระบบควบคุมโรโบติกส์: แขนกล หุ่นยนต์เคลื่อนที่ และการควบคุมข้อต่อ
Robotics & Robot Control
จลนศาสตร์ตรงและผกผัน จาโคเบียน พลศาสตร์แขนกล (Euler–Lagrange) ควบคุมข้อต่อแบบ PD/PID ชดเชยแรงโน้มถ่วง computed torque การสร้างวิถี หุ่นยนต์ล้อ differential drive และการติดตามเส้นทาง
เปิดหน้า →สูตร A1, A2, …

DC13.25
ควบคุมตัวแปลงกำลัง: จากฟังก์ชันถ่ายโอนบั๊กคอนเวอร์เตอร์ ถึงตัวชดเชย Type II/III
Control of Power Converters
แบบจำลองสัญญาณเล็กของบั๊กคอนเวอร์เตอร์ Gvd(s) โหมดแรงดันและโหมดกระแส เลือกความถี่ครอสโอเวอร์ ตัวชดเชย Type II และ Type III ด้วยออปแอมป์ เฟสมาร์จิน และเส้นทางสู่บทอิเล็กทรอนิกส์กำลัง
เปิดหน้า →สูตร H1, H2, …

✦13.26
คลังไอเดียระบบควบคุม 60+ ระบบ: ตั้งแต่เทอร์โมสตัทถึงโดรน
Control Systems Examples Gallery
รวมระบบควบคุมรอบตัวพร้อมตัวแปรที่ควบคุม แอคชูเอเตอร์ เซนเซอร์ ชนิดตัวควบคุม และบทเรียนที่เกี่ยวข้อง ใช้เป็นโจทย์โปรเจกต์ ไอเดียสอน และแรงบันดาลใจ
เปิดหน้า →ตารางและโจทย์โปรเจกต์

## แล็บระบบควบคุม: รูทโลคัส โบด ไนควิสต์ ในจอเดียว

พิมพ์ฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด $L(s)$ เช่น 1/(s(s+1)(s+2)) หรือ (s+3)/(s^2(s+10)) แล้วเลื่อนเกน $K$ ดูขั้ววงปิด (จุดส้ม) เดินตามรูทโลคัส พร้อมกับโบดที่เลื่อนขึ้นลงและกราฟไนควิสต์ที่ขยายจนอ้อม $-1$ ลากขั้ว × หรือศูนย์ ○ เพื่อดูว่ารูปร่างเปลี่ยนอย่างไร คลิกบนเส้นโลคัสเพื่อเลือก $K$ ที่จุดนั้น

ลองตั้งโจทย์ให้ตัวเอง: ระบบ $\dfrac{K}{s(s+1)(s+2)}$ เสถียรถึง $K$ เท่าไร (เฉลย $K = 6$ ที่ $\omega = \sqrt2$ ซึ่งตรงกับตารางเราท์ในหน้าเราท์–เฮอร์วิตซ์ และเกนมาร์จินที่ $K = 1$ คือ $20\log 6 = 15.6$ dB ในหน้ามาร์จิน) สามวิธีให้คำตอบเดียวกัน นี่คือความงามของวิชานี้

## ค้นหาสูตรทั้งหมดในที่เดียว

รวมทุกสูตรจากทุกหน้าที่เปิดแล้ว พิมพ์ได้ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ หรือรหัสสูตรตรง ๆ เช่น L4 (จุดตัดเส้นกำกับ) หรือ G3 (เฟสมาร์จินกับ ζ)

## ไอเดียระบบควบคุม: จากไฟฟ้า สู่เมคาทรอนิกส์และหุ่นยนต์

เข้าใจลูปเดียว ใช้ได้กับทุกระบบ ต่างกันแค่ว่าพลานต์คืออะไร วัดด้วยอะไร และขับด้วยอะไร ตารางนี้เป็นตัวอย่างบางส่วน ฉบับเต็ม 60+ ระบบอยู่ในคลังไอเดีย

| ระบบ | ตัวแปรที่ควบคุม | เซนเซอร์ | แอคชูเอเตอร์ | ตัวควบคุมที่นิยม |

| บั๊กคอนเวอร์เตอร์ 12 V → 5 V | แรงดันเอาต์พุต | ตัวแบ่งแรงดัน | PWM + MOSFET | Type III (PID + ขั้ว) |

| ไดรฟ์มอเตอร์ DC | ความเร็วรอบ | เอนโค้ดเดอร์ | H-bridge | PI ลูปกระแส + PI ลูปความเร็ว |

| เซอร์โวตำแหน่ง (เครื่อง CNC, 3D printer) | ตำแหน่งแกน | เอนโค้ดเดอร์เชิงเส้น | เซอร์โวมอเตอร์ | คาสเคด P–PI–PI + feedforward |

| แขนกลหุ่นยนต์ 6 แกน | มุมข้อต่อ | เอนโค้ดเดอร์สัมบูรณ์ | มอเตอร์ BLDC + harmonic drive | PD + ชดเชยแรงโน้มถ่วง, computed torque |

| โดรนสี่ใบพัด | มุมเอียง ความสูง | IMU, บารอมิเตอร์ | ESC + มอเตอร์ BLDC | PID คาสเคดมุม–อัตราหมุน |

| หุ่นยนต์ทรงตัวสองล้อ | มุมเอียง | IMU | มอเตอร์ล้อ | LQR หรือ PID สองลูป |

| หุ่นยนต์เดินตามเส้น | ระยะเบี่ยงจากเส้น | อาร์เรย์อินฟราเรด | มอเตอร์ซ้าย–ขวา | PD |

| หุ่นยนต์ล้อแบบ differential drive | ตำแหน่ง ทิศทาง | เอนโค้ดเดอร์ล้อ, LiDAR | มอเตอร์สองล้อ | pure pursuit + PI ความเร็วล้อ |

| อินเวอร์เตอร์ต่อกริด (โซลาร์) | กระแสที่จ่ายเข้ากริด | เซนเซอร์กระแส, PLL | อินเวอร์เตอร์ PWM | PI ในแกน dq / PR |

| ที่ชาร์จแบตเตอรี่ CC–CV | กระแส แล้วแรงดัน | shunt, ตัวแบ่งแรงดัน | ตัวแปลง DC–DC | PI สองลูปสลับโหมด |

| เตาอบรีโฟลว์ / เครื่องพิมพ์ 3D หัวฉีด | อุณหภูมิ | เทอร์โมคัปเปิล | ฮีตเตอร์ + SSR | PID + anti-windup |

| ลิฟต์ | ตำแหน่ง ความเร่งที่นุ่มนวล | เอนโค้ดเดอร์ | มอเตอร์เหนี่ยวนำ + อินเวอร์เตอร์ | จำกัด jerk + PI คาสเคด |

| ลอยแม่เหล็ก (maglev) | ระยะลอย | Hall sensor | ขดลวดแม่เหล็ก | lead (พลานต์ไม่เสถียรวงเปิด) |

| ระบบเบรก ABS | อัตราลื่นไถลของล้อ | เซนเซอร์ความเร็วล้อ | วาล์วไฮดรอลิก | ควบคุมแบบไม่เชิงเส้น / sliding mode |

## สัญลักษณ์ที่ใช้ในชุดนี้

| สัญลักษณ์ | ความหมาย | English |

| $r,\ y,\ e,\ u,\ d$ | ค่าอ้างอิง เอาต์พุต ความผิดพลาด สัญญาณควบคุม สัญญาณรบกวน | reference, output, error, control, disturbance |

| $G(s),\ C(s),\ H(s)$ | พลานต์ ตัวควบคุม เซนเซอร์ (ทางป้อนกลับ) | plant, controller, feedback path |

| $L(s) = KG(s)H(s)$ | ฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด (loop gain) | open-loop / loop transfer function |

| $T(s),\ S(s)$ | ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด และฟังก์ชันความไว $S = 1/(1 + L)$ | complementary sensitivity, sensitivity |

| $\zeta,\ \omega_n,\ \omega_d$ | อัตราส่วนการหน่วง ความถี่ธรรมชาติ ความถี่แกว่งหน่วง | damping ratio, natural / damped frequency |

| $M_p,\ t_r,\ t_p,\ t_s$ | พุ่งเกิน เวลาขึ้น เวลายอด เวลาเข้าที่ | overshoot, rise, peak, settling time |

| $K_p,\ K_v,\ K_a$ | ค่าคงตัวความผิดพลาดตำแหน่ง ความเร็ว ความเร่ง | static error constants |

| $\sigma_a,\ \theta_a$ | จุดตัดและมุมของเส้นกำกับรูทโลคัส | asymptote centroid, angle |

| $\omega_{gc},\ \omega_{pc}$ | ความถี่ครอสโอเวอร์ของเกน และของเฟส | gain / phase crossover frequency |

| GM, PM | เกนมาร์จิน เฟสมาร์จิน | gain margin, phase margin |

| $K_P,\ K_I,\ K_D,\ T_i,\ T_d$ | เกนและค่าคงเวลาของ PID | PID gains, integral / derivative time |

| $\mathbf x,\ A,\ B,\ C,\ D$ | เวกเตอร์สถานะและเมทริกซ์ในปริภูมิสถานะ | state vector, state-space matrices |

| $j$ | หน่วยจินตภาพ $j^2 = -1$ | imaginary unit |

## ต้องรู้อะไรมาก่อน

- การแปลงลาปลาซ: ฟังก์ชันถ่ายโอน เศษส่วนย่อย ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย

- ระบบอันดับหนึ่ง และ ระบบอันดับสอง: $\tau,\ \zeta,\ \omega_n$ และสเปกเวลา

- สัญญาณเบื้องต้น: ขั้นบันได อิมพัลส์ ไซน์

- พีชคณิตเชิงเส้น โดยเฉพาะค่าเฉพาะ: สำหรับส่วนที่ 7

- ตรีโกณมิติ: มุมของเวกเตอร์เชิงซ้อน ซึ่งใช้ตลอดในเงื่อนไขมุมของรูทโลคัส

## ดูวิดีโอประกอบ

G(s)

### Control Systems Engineering
ระบบควบคุม (Control Systems Engineering) · เพลย์ลิสต์บน YouTube

สอนโดยอาจารย์มด · ภาษาไทยเปิดใน YouTube ↗

## คำถามที่พบบ่อย

Control Engineering กับ Control Systems ต่างกันอย่างไร?
ใช้แทนกันได้เกือบทั้งหมด Control Systems มักหมายถึงตัวระบบและทฤษฎีที่ใช้วิเคราะห์ (ชื่อวิชาในมหาวิทยาลัยส่วนใหญ่) ส่วน Control Engineering หมายถึงสาขาวิชาชีพที่ออกแบบระบบเหล่านั้น หน้านี้ใช้ชื่อเต็ม Control Systems Engineering เพื่อให้ครอบคลุมทั้งสองคำ คำค้นที่เกี่ยวข้องคือ feedback control, automatic control และ control theory

ควรเรียน classical control หรือ modern control ก่อน?
แนะนำ classical ก่อน (ฟังก์ชันถ่ายโอน เสถียรภาพ รูทโลคัส โบด PID) เพราะให้ภาพทางกายภาพชัด ใช้ออกแบบงานจริงส่วนใหญ่ได้ และเป็นภาษาที่ datasheet กับวิศวกรใช้คุยกัน จากนั้นต่อ modern control (ปริภูมิสถานะ) ซึ่งต่อยอดจากพีชคณิตเชิงเส้นและจำเป็นกับระบบหลายอินพุตหลายเอาต์พุต หุ่นยนต์ และการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด

ต้องมีพื้นฐานอะไรก่อนเรียนระบบควบคุม?
การแปลงลาปลาซ จำนวนเชิงซ้อน สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสอง และวงจรไฟฟ้าเบื้องต้น ถ้าจะเรียน modern control ต้องมีพีชคณิตเชิงเส้น โดยเฉพาะค่าเฉพาะ ทุกหัวข้อนี้มีหน้าอธิบายในคลังความรู้ของเว็บนี้

ระบบควบคุมเกี่ยวกับอิเล็กทรอนิกส์กำลังอย่างไร?
สวิตชิงพาวเวอร์ซัพพลายทุกตัวคือระบบควบคุมป้อนกลับ ตัวแปลงบั๊ก บูสต์ คือพลานต์ ไอซีควบคุม PWM คือแอคชูเอเตอร์ และตัวชดเชย Type II หรือ Type III คือตัวควบคุม การเลือกความถี่ครอสโอเวอร์และเฟสมาร์จินใช้โบดไดอะแกรมชุดเดียวกับในหน้านี้ทุกประการ

แล็บในหน้านี้ใช้แทน MATLAB ได้ไหม?
สำหรับการเรียนและตรวจการบ้านระดับปริญญาตรีใช้แทนได้: วาดรูทโลคัส โบด ไนควิสต์ ผลตอบสนองขั้นบันได และคำนวณมาร์จินให้ ตัวเลขทุกตัวตรวจเทียบกับ python-control แล้ว แต่สิ่งสำคัญกว่าคือฝึกวาดด้วยมือให้ได้ก่อน แล้วใช้แล็บตรวจ ซึ่งเป็นจุดประสงค์หลักของชุดบทเรียนนี้

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**Control Engineering กับ Control Systems ต่างกันอย่างไร?**
ใช้แทนกันได้เกือบทั้งหมด Control Systems มักหมายถึงตัวระบบและทฤษฎีที่ใช้วิเคราะห์ (ชื่อวิชาในมหาวิทยาลัยส่วนใหญ่) ส่วน Control Engineering หมายถึงสาขาวิชาชีพที่ออกแบบระบบเหล่านั้น หน้านี้ใช้ชื่อเต็ม Control Systems Engineering เพื่อให้ครอบคลุมทั้งสองคำ คำค้นที่เกี่ยวข้องคือ feedback control, automatic control และ control theory

**ควรเรียน classical control หรือ modern control ก่อน?**
แนะนำ classical ก่อน (ฟังก์ชันถ่ายโอน เสถียรภาพ รูทโลคัส โบด PID) เพราะให้ภาพทางกายภาพชัด ใช้ออกแบบงานจริงส่วนใหญ่ได้ และเป็นภาษาที่ datasheet กับวิศวกรใช้คุยกัน จากนั้นต่อ modern control (ปริภูมิสถานะ) ซึ่งต่อยอดจากพีชคณิตเชิงเส้นและจำเป็นกับระบบหลายอินพุตหลายเอาต์พุต หุ่นยนต์ และการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด

**ต้องมีพื้นฐานอะไรก่อนเรียนระบบควบคุม?**
การแปลงลาปลาซ จำนวนเชิงซ้อน สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสอง และวงจรไฟฟ้าเบื้องต้น ถ้าจะเรียน modern control ต้องมีพีชคณิตเชิงเส้น โดยเฉพาะค่าเฉพาะ ทุกหัวข้อนี้มีหน้าอธิบายในคลังความรู้ของเว็บนี้

**ระบบควบคุมเกี่ยวกับอิเล็กทรอนิกส์กำลังอย่างไร?**
สวิตชิงพาวเวอร์ซัพพลายทุกตัวคือระบบควบคุมป้อนกลับ ตัวแปลงบั๊ก บูสต์ คือพลานต์ ไอซีควบคุม PWM คือแอคชูเอเตอร์ และตัวชดเชย Type II หรือ Type III คือตัวควบคุม การเลือกความถี่ครอสโอเวอร์และเฟสมาร์จินใช้โบดไดอะแกรมชุดเดียวกับในหน้านี้ทุกประการ

**แล็บในหน้านี้ใช้แทน MATLAB ได้ไหม?**
สำหรับการเรียนและตรวจการบ้านระดับปริญญาตรีใช้แทนได้: วาดรูทโลคัส โบด ไนควิสต์ ผลตอบสนองขั้นบันได และคำนวณมาร์จินให้ ตัวเลขทุกตัวตรวจเทียบกับ python-control แล้ว แต่สิ่งสำคัญกว่าคือฝึกวาดด้วยมือให้ได้ก่อน แล้วใช้แล็บตรวจ ซึ่งเป็นจุดประสงค์หลักของชุดบทเรียนนี้