---
title: "ผลตอบสนองความถี่: G(jω) ขนาด เฟส และแบนด์วิดท์"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/frequency-response/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-12
---

> ผลตอบสนองความถี่ของระบบเชิงเส้น ป้อนไซน์ได้ไซน์ ที่มาของ G(jω) ขนาดและเฟส วัดด้วยฟังก์ชันเจเนอเรเตอร์และออสซิลโลสโคป ยอดเรโซแนนซ์ Mr ความถี่เรโซแนนซ์ แบนด์วิดท์ ความสัมพันธ์กับ ζ ωn rise time และ overshoot การมองวงปิดจากวงเปิด และเหตุผลที่วิศวกรใช้โดเมนความถี่ในการออกแบบ

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/frequency-response/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# ผลตอบสนองความถี่: G(jω) ขนาด เฟส และแบนด์วิดท์

// บทที่ 13.11 · ระบบควบคุม · Frequency Response


ต่อฟังก์ชันเจเนอเรเตอร์ป้อนไซน์เข้าวงจร แล้ววัดเอาต์พุตด้วยสโคป จะเห็นไซน์ความถี่เดิม แต่ขนาดและเฟสเปลี่ยน กวาดความถี่ตั้งแต่ต่ำถึงสูง ก็ได้ “ลายนิ้วมือ” ของระบบครบถ้วน นี่คือผลตอบสนองความถี่ ซึ่งเป็นฐานของโบด ไนควิสต์ และการออกแบบตัวชดเชยทั้งหมดในส่วนที่ 5–6 สูตรใช้รหัส Q

สรุปใน 30 วินาที

- อินพุต $A\sin\omega t$ → เอาต์พุตอยู่ตัว $A|G(j\omega)|\sin(\omega t + \angle G(j\omega))$

- หา $G(j\omega)$: แทน $s = j\omega$ แล้วหาขนาดและมุมของจำนวนเชิงซ้อน

- วงปิดอันดับสอง: $M_r = \frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}$, แบนด์วิดท์ $\approx \omega_n$ (×1.27 ที่ ζ = 0.5)

- แบนด์วิดท์กว้าง = เร็ว · ยอดเรโซแนนซ์สูง = แกว่งมาก

## ป้อนไซน์ ได้ไซน์ พื้นฐาน

Q1 Sinusoidal steady state ผลตอบสนองต่อไซน์ในสถานะอยู่ตัว

$$u(t) = A\sin\omega t \ \Rightarrow\ y_{ss}(t) = A\,|G(j\omega)|\sin\big(\omega t + \angle G(j\omega)\big)$$

ใช้ได้เมื่อ $G$ เสถียร (พจน์ชั่วครู่หายไปแล้ว) · $|G(j\omega)|$ = อัตราขยาย · $\angle G(j\omega)$ = เฟส (ลบ = ล้าหลัง) · คือแนวคิดเฟสเซอร์ในวงจร AC นั่นเอง

ตัวอย่าง Q-1 · วงจร RC กับสโคป

### วงจร RC $R = 1\ \text{k}\Omega,\ C = 1\ \mu\text{F}$ ป้อน $2\sin(2\pi \cdot 1000t)$ V จะเห็นเอาต์พุตบนสโคปเป็นอย่างไร

- $G(s) = \dfrac{1}{RCs + 1} = \dfrac{1}{0.001s + 1}$ ความถี่มุม 1000 rad/s (159 Hz)

- $\omega = 6283$ rad/s: $G(j\omega) = \dfrac{1}{1 + j6.283}$ Q1

$$|G| = \frac{1}{\sqrt{1 + 6.283^2}} = 0.157 \ (-16.1\ \text{dB}), \qquad \angle G = -\tan^{-1}6.283 = -81^\circ$$

เอาต์พุต $0.314\sin(\omega t - 81^\circ)$ V: แอมพลิจูด 0.31 V ล้าหลังเกือบ 90° (เลื่อนไปทางขวา 0.225 ms บนสโคป) · ลองวัดจริงในออสซิลโลสโคปจำลอง

## สเปกในโดเมนความถี่ของวงปิด กลาง

Q2 Resonant peak ยอดเรโซแนนซ์ของวงปิดอันดับสอง

$$M_r = \frac{1}{2\zeta\sqrt{1 - \zeta^2}}, \qquad \omega_r = \omega_n\sqrt{1 - 2\zeta^2} \qquad (\zeta \lt 0.707)$$

$M_r$ สูง ↔ overshoot มาก · ค่าที่นิยมในการออกแบบ $1.1 \lt M_r \lt 1.5$ (0.8–3.5 dB)

Q3 Bandwidth แบนด์วิดท์วงปิด (−3 dB)

$$\omega_{BW} = \omega_n\sqrt{1 - 2\zeta^2 + \sqrt{4\zeta^4 - 4\zeta^2 + 2}}, \qquad t_r\,\omega_{BW} \approx 1.8 \text{ ถึง } 2.2$$

ζ = 0.5 → $1.27\omega_n$ · ζ = 0.707 → $\omega_n$ · ζ = 1 → $0.64\omega_n$ · ใช้ $\omega_{BW} \approx \omega_{gc}$ ถึง $2\omega_{gc}$ จากโบดวงเปิด (G5)

Q4 Closed loop from open loop อ่านวงปิดจากวงเปิด

$$|L| \gg 1:\ T \approx 1,\ S \approx \frac1L \qquad\qquad |L| \ll 1:\ T \approx L,\ S \approx 1$$

ความถี่ต่ำที่ลูปเกนสูง วงปิดติดตามดี · ความถี่สูงที่ลูปเกนต่ำ วงปิดเท่ากับวงเปิด (ลดสัญญาณรบกวน) · ช่วงรอยต่อที่ $|L| \approx 1$ คือจุดที่เสถียรภาพตัดสิน (มาร์จิน)

ตัวอย่าง Q-2 · ระบบ ζ = 0.5

### วงปิด $T(s) = \dfrac{16}{s^2 + 4s + 16}$ หา $M_r,\ \omega_r$ และแบนด์วิดท์

- $\omega_n = 4,\ \zeta = 0.5$ · $M_r = \dfrac{1}{2(0.5)(0.866)} = 1.155$ (1.25 dB) Q2

- $\omega_r = 4\sqrt{0.5} = 2.83$ rad/s · $\omega_{BW} = 4 \times 1.272 = 5.09$ rad/s Q3

$M_r = 1.155$ ที่ 2.83 rad/s · แบนด์วิดท์ 5.09 rad/s · ทำนายเวลาขึ้น $\approx 1.8/5.09 = 0.35$ s ถึง $2.2/5.09 = 0.43$ s (ค่าจริง 10–90% คือ 0.42 s)

## ทำไมต้องมองในโดเมนความถี่

- วัดได้จริง: ไม่ต้องมีสมการ ใช้ FG + สโคป หรือ network analyzer กวาดความถี่ (ห้องแล็บพาวเวอร์ซัพพลายทำแบบนี้ทุกวัน)

- ต่ออนุกรม = บวกกราฟ: บนโบด เพิ่มตัวชดเชยแค่บวกเส้น

- ใช้กับคลื่นอะไรก็ได้ที่เป็นคาบ: แยกเป็นฮาร์มอนิกด้วยอนุกรมฟูเรียร์ แล้วคูณ $H(jn\omega_0)$ ทีละตัว (วิเคราะห์วงจรทีละฮาร์มอนิก)

- หน่วงเวลาไม่ใช่ปัญหา: $e^{-j\omega T}$ มีขนาด 1 เฟส $-\omega T$

- เห็นสัญญาณรบกวนและเรโซแนนซ์: รู้ทันทีว่าความถี่ไหนถูกขยาย

- ความทนทาน: มาร์จินบอกว่าพลานต์เปลี่ยนได้แค่ไหน

## แล็บ: ชี้ความถี่ อ่านขนาดและเฟส

ชี้เมาส์บนกราฟโบดเพื่ออ่าน $|L(j\omega)|$ และ $\angle L(j\omega)$ ที่ความถี่ใดก็ได้ ลองพิมพ์ $16/(s^2+4s+16)$ แล้วหายอดเรโซแนนซ์

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

ข้อมูลความถี่ทั้งหมดวาดให้เร็วและออกแบบได้ด้วยโบดไดอะแกรม ไปฝึกวาดด้วยมือต่อเลย

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมป้อนไซน์เข้าระบบเชิงเส้นแล้วได้ไซน์ความถี่เดิม?
เพราะ e^{jωt} เป็นฟังก์ชันเฉพาะ (eigenfunction) ของระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา ผ่านอนุพันธ์และอินทิกรัลแล้วยังเป็นรูปเดิม ถูกคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อน G(jω) เท่านั้น ขนาดจึงถูกคูณด้วย |G(jω)| และเฟสถูกเลื่อน ∠G(jω) ส่วนความถี่ไม่เปลี่ยน

แบนด์วิดท์ของระบบควบคุมบอกอะไร?
บอกช่วงความถี่ที่ระบบวงปิดติดตามค่าอ้างอิงได้ดี (ขนาดลดไม่เกิน 3 dB) แบนด์วิดท์กว้างหมายถึงตอบสนองเร็ว เวลาขึ้นประมาณ 1.8 ถึง 2.2 หารด้วยแบนด์วิดท์ แต่ก็รับสัญญาณรบกวนความถี่สูงเข้ามามากขึ้นด้วย

ทำไมวิศวกรชอบออกแบบในโดเมนความถี่?
เพราะวัดได้จากระบบจริงโดยไม่ต้องมีแบบจำลอง จัดการหน่วงเวลาได้ตรง ๆ เห็นผลของสัญญาณรบกวนและเรโซแนนซ์ชัด และการต่อบล็อกอนุกรมเป็นแค่การบวกกราฟโบด จึงเป็นภาษาหลักของงานออกแบบแอมป์ พาวเวอร์ซัพพลาย และเซอร์โว

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**ทำไมป้อนไซน์เข้าระบบเชิงเส้นแล้วได้ไซน์ความถี่เดิม?**
เพราะ e^{jωt} เป็นฟังก์ชันเฉพาะ (eigenfunction) ของระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา ผ่านอนุพันธ์และอินทิกรัลแล้วยังเป็นรูปเดิม ถูกคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อน G(jω) เท่านั้น ขนาดจึงถูกคูณด้วย |G(jω)| และเฟสถูกเลื่อน ∠G(jω) ส่วนความถี่ไม่เปลี่ยน

**แบนด์วิดท์ของระบบควบคุมบอกอะไร?**
บอกช่วงความถี่ที่ระบบวงปิดติดตามค่าอ้างอิงได้ดี (ขนาดลดไม่เกิน 3 dB) แบนด์วิดท์กว้างหมายถึงตอบสนองเร็ว เวลาขึ้นประมาณ 1.8 ถึง 2.2 หารด้วยแบนด์วิดท์ แต่ก็รับสัญญาณรบกวนความถี่สูงเข้ามามากขึ้นด้วย

**ทำไมวิศวกรชอบออกแบบในโดเมนความถี่?**
เพราะวัดได้จากระบบจริงโดยไม่ต้องมีแบบจำลอง จัดการหน่วงเวลาได้ตรง ๆ เห็นผลของสัญญาณรบกวนและเรโซแนนซ์ชัด และการต่อบล็อกอนุกรมเป็นแค่การบวกกราฟโบด จึงเป็นภาษาหลักของงานออกแบบแอมป์ พาวเวอร์ซัพพลาย และเซอร์โว