---
title: "ความสามารถควบคุมได้และสังเกตได้ (Controllability & Observability)"
url: https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/controllability-observability/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-12
---

> นิยามความสามารถควบคุมได้และสังเกตได้ของระบบปริภูมิสถานะ เมทริกซ์ควบคุมได้และเมทริกซ์สังเกตได้ของคาลมาน การทดสอบด้วยแรงก์ การทดสอบ PBH ความเป็นคู่ (duality) ความสัมพันธ์กับการหักล้างขั้ว-ศูนย์ การแยกส่วนของคาลมาน realization ที่น้อยที่สุด เสถียรภาพที่ซ่อนอยู่ และตัวอย่างจากวงจรและมอเตอร์

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/learn/control-systems/controllability-observability/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# ความสามารถควบคุมได้และสังเกตได้ (Controllability & Observability)

// บทที่ 13.19 · ระบบควบคุม · Controllability & Observability


ก่อนออกแบบตัวควบคุมแบบป้อนกลับสถานะ ต้องตอบสองคำถาม: อินพุตเอื้อมถึงทุกสถานะไหม (ควบคุมได้) และเอาต์พุตที่วัดบอกทุกสถานะไหม (สังเกตได้) ถ้าคำตอบคือใช่ทั้งคู่ เราวางขั้ววงปิดได้ทุกตำแหน่งและประมาณสถานะได้ครบ คาลมานให้วิธีตรวจด้วยแรงก์ของเมทริกซ์ ซึ่งใช้ความรู้จากระบบสมการเชิงเส้นและแรงก์โดยตรง สูตรใช้รหัส O

สรุปใน 30 วินาที

- ควบคุมได้ $\iff \operatorname{rank}[B\ \ AB\ \cdots\ A^{n-1}B] = n$

- สังเกตได้ $\iff \operatorname{rank}\begin{bmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1}\end{bmatrix} = n$

- ระบบเดียว: เช็กด้วย $\det \ne 0$ ได้เลย · หักล้างขั้ว-ศูนย์ = เสียอย่างใดอย่างหนึ่ง

- ควบคุมได้ → วางขั้วได้ทุกตำแหน่ง · สังเกตได้ → ออกแบบตัวสังเกตได้

## การทดสอบของคาลมานและ PBH กลาง

O1 Controllability (Kalman) ความสามารถควบคุมได้

$$\mathcal C = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix}, \qquad \text{ควบคุมได้} \iff \operatorname{rank}\mathcal C = n$$

อินพุตเดียว: $\mathcal C$ เป็นจัตุรัส ตรวจ $\det\mathcal C \ne 0$ (ดีเทอร์มิแนนต์)

O2 Observability (Kalman) ความสามารถสังเกตได้

$$\mathcal O = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}, \qquad \text{สังเกตได้} \iff \operatorname{rank}\mathcal O = n$$

ความเป็นคู่ (duality): $(A, C)$ สังเกตได้ $\iff (A^T, C^T)$ ควบคุมได้ จึงใช้เครื่องมือเดียวกันออกแบบตัวสังเกต

O3 PBH test การทดสอบ Popov–Belevitch–Hautus

$$\text{ควบคุมได้} \iff \operatorname{rank}\big[\lambda I - A\ \ \ B\big] = n \ \ \forall\lambda \in \operatorname{eig}(A), \qquad \text{สังเกตได้} \iff \operatorname{rank}\begin{bmatrix} \lambda I - A \\ C \end{bmatrix} = n$$

บอกว่าโหมดไหน (ค่าเฉพาะตัวไหน) ที่ควบคุมไม่ได้หรือสังเกตไม่ได้ · ถ้าโหมดที่มีปัญหาเสถียร เรียกว่า stabilizable / detectable ซึ่งยังพอใช้งานได้

ตัวอย่าง O-1 · ระบบปกติ

### ตรวจ $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ C = (3\ \ 1)$ (จาก X-2)

- $AB = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ ได้ $\mathcal C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$, $\det = -1 \ne 0$ ✓ O1

- $CA = (3\ \ 1)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} = (-2\ \ 0)$ ได้ $\mathcal O = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$, $\det = 2 \ne 0$ ✓ O2

ทั้งควบคุมได้และสังเกตได้ (สอดคล้องกับ $G = \frac{s+3}{(s+1)(s+2)}$ ที่ไม่มีการหักล้าง)

ตัวอย่าง O-2 · หักล้างแล้วมองไม่เห็น

### เปลี่ยนเป็น $C = (1\ \ 1)$ คือ $G = \dfrac{s + 1}{(s+1)(s+2)}$ ตรวจอีกครั้ง

- $\mathcal C$ เหมือนเดิม: ควบคุมได้ ✓

- $CA = (-2\ \ -2)$ ได้ $\mathcal O = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$, $\det = 0$ ✗

- PBH ที่ $\lambda = -1$: $\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ แรงก์ 1 $\lt 2$ → โหมด $e^{-t}$ สังเกตไม่ได้ O3

ไม่สังเกตได้: โหมด −1 ถูกศูนย์ที่ −1 ซ่อนไว้ ฟังก์ชันถ่ายโอนเหลือ $\frac{1}{s+2}$ (อันดับหนึ่ง) แต่ระบบจริงยังมีอันดับสอง · ปลอดภัยเพราะโหมดนั้นเสถียร (detectable) ถ้าเป็นขั้วฝั่งขวาจะอันตรายมาก (ดูเสถียรภาพภายใน)

ตัวอย่าง O-3 · สองมอเตอร์เหมือนกันจากไดรเวอร์เดียว

### มอเตอร์สองตัวที่เหมือนกันทุกประการ $\dot\omega_i = -\omega_i + u$ ขับด้วยสัญญาณเดียวกัน ควบคุมความเร็วแยกกันได้ไหม

- $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ · $AB = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}$

- $\mathcal C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, $\det = 0$ ✗

ควบคุมไม่ได้: ผลต่าง $\omega_1 - \omega_2$ ลดลงเองตาม $e^{-t}$ อินพุตไปแตะไม่ได้ ถ้าต้องการให้ล้อซ้ายขวาของหุ่นยนต์หมุนต่างกัน (เลี้ยว) ต้องมีไดรเวอร์แยก ตรงตามสามัญสำนึก แต่คณิตศาสตร์บอกเราล่วงหน้าได้ในระบบที่ซับซ้อนกว่านี้มาก

## Realization ที่น้อยที่สุดและการแยกส่วนของคาลมาน ขั้นสูง

O4 Minimal realization แบบจำลองที่น้อยที่สุด

$$(A, B, C) \text{ น้อยที่สุด} \iff \text{ควบคุมได้และสังเกตได้} \iff n = \text{ดีกรีตัวส่วนของ } G(s) \text{ หลังตัดทอน}$$

การแยกส่วนของคาลมานแบ่งสถานะเป็นสี่กลุ่ม (ควบคุมได้/ไม่ได้ × สังเกตได้/ไม่ได้) ฟังก์ชันถ่ายโอนแสดงเฉพาะกลุ่มที่ควบคุมได้และสังเกตได้

## ต่อยอดไปหน้าถัดไป

เมื่อควบคุมได้ ก็วางขั้ววงปิดได้ทุกตำแหน่งด้วยป้อนกลับสถานะ และเมื่อสังเกตได้ ก็สร้างตัวสังเกตประมาณสถานะที่ไม่ได้วัดได้

## คำถามที่พบบ่อย

ควบคุมได้ (controllable) หมายความว่าอะไรในทางปฏิบัติ?
หมายความว่าอินพุตที่มีอยู่สามารถพาสถานะทุกตัวไปยังค่าใดก็ได้ภายในเวลาจำกัด ถ้าไม่ควบคุมได้ จะมีโหมดบางโหมดที่ตัวขับเอื้อมไม่ถึง ไม่ว่าออกแบบตัวควบคุมอย่างไรก็เปลี่ยนขั้วของโหมดนั้นไม่ได้ ถ้าโหมดนั้นไม่เสถียรก็จบ

ถ้าไม่สังเกตได้ จะเกิดอะไร?
จะมีสถานะบางส่วนที่ไม่ส่งผลถึงเอาต์พุตที่วัด จึงประมาณค่าด้วยตัวสังเกตไม่ได้ ถ้าโหมดนั้นเสถียรก็พอยอมรับได้ (detectable) แต่ถ้าไม่เสถียร สถานะภายในจะโตขึ้นโดยที่เซนเซอร์มองไม่เห็นเลย

ทำไมการหักล้างขั้ว-ศูนย์เกี่ยวกับเรื่องนี้?
ฟังก์ชันถ่ายโอนแสดงเฉพาะส่วนที่ทั้งควบคุมได้และสังเกตได้ เมื่อมีการหักล้างขั้ว-ศูนย์ แบบจำลองปริภูมิสถานะที่มีอันดับเต็มจะสูญเสียความสามารถควบคุมได้หรือสังเกตได้อย่างน้อยหนึ่งอย่าง และโหมดที่ถูกหักล้างจะหายไปจากฟังก์ชันถ่ายโอน

มด

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**ควบคุมได้ (controllable) หมายความว่าอะไรในทางปฏิบัติ?**
หมายความว่าอินพุตที่มีอยู่สามารถพาสถานะทุกตัวไปยังค่าใดก็ได้ภายในเวลาจำกัด ถ้าไม่ควบคุมได้ จะมีโหมดบางโหมดที่ตัวขับเอื้อมไม่ถึง ไม่ว่าออกแบบตัวควบคุมอย่างไรก็เปลี่ยนขั้วของโหมดนั้นไม่ได้ ถ้าโหมดนั้นไม่เสถียรก็จบ

**ถ้าไม่สังเกตได้ จะเกิดอะไร?**
จะมีสถานะบางส่วนที่ไม่ส่งผลถึงเอาต์พุตที่วัด จึงประมาณค่าด้วยตัวสังเกตไม่ได้ ถ้าโหมดนั้นเสถียรก็พอยอมรับได้ (detectable) แต่ถ้าไม่เสถียร สถานะภายในจะโตขึ้นโดยที่เซนเซอร์มองไม่เห็นเลย

**ทำไมการหักล้างขั้ว-ศูนย์เกี่ยวกับเรื่องนี้?**
ฟังก์ชันถ่ายโอนแสดงเฉพาะส่วนที่ทั้งควบคุมได้และสังเกตได้ เมื่อมีการหักล้างขั้ว-ศูนย์ แบบจำลองปริภูมิสถานะที่มีอันดับเต็มจะสูญเสียความสามารถควบคุมได้หรือสังเกตได้อย่างน้อยหนึ่งอย่าง และโหมดที่ถูกหักล้างจะหายไปจากฟังก์ชันถ่ายโอน