--- title: "อนุกรมเทย์เลอร์ (อนุกรมเทเลอร์, Taylor Series) คืออะไร ใช้ทำอะไร พร้อมตัวอย่าง" url: https://modsengineeringmath.com/blog/what-is-taylor-series/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-25 --- > อนุกรมเทย์เลอร์ (อนุกรมเทเลอร์) คืออะไร สูตรและตารางอนุกรมแมคลอรินที่ต้องจำ ตัวอย่าง 8 ข้อ: ประมาณค่า กระจายรอบจุดอื่น ใช้กี่พจน์ หาอินทิกรัลและลิมิต พร้อมการใช้ในงานวิศวกรรม ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/blog/what-is-taylor-series/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # อนุกรมเทย์เลอร์ (อนุกรมเทเลอร์, Taylor Series) คืออะไร ใช้ทำอะไร พร้อมตัวอย่าง THภาษาไทยENEnglish // บทความ · ลำดับและอนุกรม เครื่องคิดเลขไม่รู้จัก sin หรือ eˣ โดยตรง มันรู้แค่บวกและคูณ อนุกรมเทย์เลอร์ (หลายตำราสะกดว่า อนุกรมเทเลอร์) คือวิธีเปลี่ยนฟังก์ชันอะไรก็ได้ให้เป็นพหุนามที่คำนวณด้วยการบวกและคูณ และเป็นเหตุผลที่วิศวกรเขียน $\sin\theta \approx \theta$ ได้อย่างมั่นใจ บทความนี้มีสูตร ตารางอนุกรมที่ต้องจำ และตัวอย่าง 8 ข้อพร้อมวิธีทำ สรุปใน 30 วินาที - $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k$ ภายในรัศมีการลู่เข้า - กระจายรอบ $a = 0$ เรียกว่าอนุกรมแมคลอริน (Maclaurin series) - ตัดไว้ n พจน์ได้พหุนามเทย์เลอร์ $P_n(x)$ และคลาดไม่เกิน $\dfrac{M|x - a|^{n+1}}{(n+1)!}$ ## อนุกรมเทย์เลอร์คืออะไร ถ้าต้องการพหุนามที่ “เหมือน” $f(x)$ มากที่สุดรอบจุด $a$ ให้บังคับให้ค่าฟังก์ชัน ความชัน ความโค้ง และอนุพันธ์อันดับสูงขึ้นไปที่ $a$ ตรงกันทั้งหมด ผลที่ได้คือสัมประสิทธิ์ $c_k = \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}$ และอนุกรม $$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots$$ พจน์แรกสองพจน์ $f(a) + f'(a)(x - a)$ คือเส้นสัมผัส ซึ่งเป็นการประมาณเชิงเส้น (linearization) ที่ใช้บ่อยที่สุดในวิศวกรรม พจน์ที่เพิ่มเข้ามาแต่ละพจน์ทำให้พหุนามแนบฟังก์ชันได้ไกลขึ้น ## วิธีหาอนุกรมเทย์เลอร์: ตัวอย่าง eˣ ตัวอย่าง 1 ### หาอนุกรมแมคลอรินของ $e^x$ แล้วประมาณ $e^{0.5}$ ด้วย 5 พจน์ - อนุพันธ์ทุกอันดับของ $e^x$ คือ $e^x$ ที่ $x = 0$ ได้ $f^{(k)}(0) = 1$ ทุก k - สัมประสิทธิ์ $c_k = \dfrac{1}{k!}$: $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \cdots$ - $e^{0.5} \approx 1 + 0.5 + 0.125 + 0.0208333 + 0.0026042 = 1.6484375$ - ค่าจริง $1.6487213$ คลาด $2.8\times10^{-4}$ ขอบเขตลากรองจ์: $\dfrac{e^{0.5}(0.5)^5}{5!} < \dfrac{1.65\times0.03125}{120} \approx 4.3\times10^{-4}$ ✓ $e^{0.5} \approx 1.6484$ ด้วยการบวกเพียง 5 พจน์ และรู้ล่วงหน้าว่าคลาดไม่เกิน $4.3\times10^{-4}$ ### ตารางอนุกรมแมคลอรินที่ต้องจำ ทำแบบเดียวกันกับฟังก์ชันอื่นได้ตารางด้านล่าง ช่องขวาสุดคือช่วงที่อนุกรมลู่เข้าสู่ฟังก์ชัน นอกช่วงนี้ใช้ไม่ได้ | ฟังก์ชัน | อนุกรมแมคลอริน | ใช้ได้เมื่อ | | $e^x$ | $1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$ | ทุก x | | $\sin x$ | $x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$ | ทุก x | | $\cos x$ | $1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \cdots$ | ทุก x | | $\dfrac{1}{1 - x}$ | $1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ | $|x| < 1$ | | $\ln(1 + x)$ | $x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$ | $-1 < x \le 1$ | | $\tan^{-1} x$ | $x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \cdots$ | $|x| \le 1$ | | $(1 + x)^{\alpha}$ | $1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots$ | $|x| < 1$ | จำสามแถวแรกกับอนุกรมเรขาคณิต $1/(1 - x)$ ไว้ก็สร้างแถวอื่นได้ เช่น อินทิเกรต $1/(1 + t)$ ได้ $\ln(1 + x)$ และอินทิเกรต $1/(1 + t^2)$ ได้ $\tan^{-1} x$ (ดูสูตรอนุกรมเรขาคณิต) ## ตัวอย่างการประมาณค่า ตัวอย่าง 2 · การประมาณมุมเล็ก ### ใช้ $\sin\theta \approx \theta$ ที่ $\theta = 5^\circ$ คลาดกี่เปอร์เซ็นต์ และถ้าเพิ่มพจน์ $-\theta^3/6$ จะแม่นขึ้นเท่าไร - แปลงเป็นเรเดียน: $\theta = 5\pi/180 = 0.0872665$ ค่าจริง $\sin 5^\circ = 0.0871557$ - $\sin\theta \approx \theta$ คลาด $0.0001107$ หรือ $0.13\%$ - $\theta - \theta^3/6 = 0.0871557$ คลาดเพียง $4.2\times10^{-8}$ มุม 5° ใช้ $\sin\theta \approx \theta$ คลาดแค่ 0.13% ต้องเป็นเรเดียนเท่านั้น (ดูตารางความคลาดเคลื่อนตามมุมในหน้าตรีโกณมิติ) ตัวอย่าง 3 ### ประมาณ $\cos 0.2$ และ $\sqrt{1.02}$ โดยไม่ใช้เครื่องคิดเลข - $\cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}$: $\cos 0.2 \approx 1 - 0.02 + 0.0000667 = 0.9800667$ (จริง 0.9800666) - $\sqrt{1 + x} \approx 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8}$: $\sqrt{1.02} \approx 1 + 0.01 - 0.00005 = 1.00995$ (จริง 1.0099505) $\cos 0.2 \approx 0.98007$ · $\sqrt{1.02} \approx 1.00995$ ## อนุกรมเทย์เลอร์รอบจุดอื่นที่ไม่ใช่ 0 ถ้า x ที่ต้องการอยู่ไกลจาก 0 อนุกรมแมคลอรินต้องใช้หลายพจน์ ให้เลือกจุดกระจาย $a$ ที่รู้ค่าฟังก์ชันง่าย ๆ และอยู่ใกล้ x แทน พจน์จะเป็นกำลังของ $(x - a)$ ซึ่งเล็กมาก ตัวอย่าง 4 ### ใช้พหุนามเทย์เลอร์อันดับ 2 ของ $\sqrt{x}$ รอบ $a = 4$ ประมาณ $\sqrt{4.1}$ พร้อมขอบเขตความคลาดเคลื่อน - $f(x) = x^{1/2},\ f'(x) = \tfrac12 x^{-1/2},\ f''(x) = -\tfrac14 x^{-3/2}$ ที่ $a = 4$: $f = 2,\ f' = \tfrac14,\ f'' = -\tfrac{1}{32}$ - $P_2(x) = 2 + \dfrac{x - 4}{4} - \dfrac{(x - 4)^2}{64}$ (สัมประสิทธิ์อันดับ 2 คือ $f''(4)/2! = -1/64$) - $P_2(4.1) = 2 + 0.025 - 0.00015625 = 2.02484375$ ค่าจริง $2.02484567$ คลาด $1.92\times10^{-6}$ - ขอบเขตลากรองจ์: $f'''(x) = \tfrac38 x^{-5/2} \le \tfrac38\cdot\tfrac{1}{32}$ บนช่วง $[4,\ 4.1]$ จึงได้ $|R_2| \le \dfrac{3/256}{3!}(0.1)^3 \approx 1.95\times10^{-6}$ ✓ $\sqrt{4.1} \approx 2.024844$ ถูกถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 5 ด้วยพหุนามแค่ดีกรีสอง เพราะ $x - a = 0.1$ เล็ก ## ต้องใช้กี่พจน์: ตัวอย่างหาค่า e ตัวอย่าง 5 ### ต้องใช้อนุกรมของ $e^x$ ถึงพจน์ใด จึงรับประกันว่าค่า $e = e^1$ คลาดไม่เกิน $5\times10^{-5}$ (ถูกทศนิยม 4 ตำแหน่ง) - ขอบเขตลากรองจ์ที่ $x = 1$: $|R_n| \le \dfrac{M}{(n+1)!}$ โดย $M = \max e^c \le e < 3$ บนช่วง $[0,\ 1]$ - ต้องการ $\dfrac{3}{(n+1)!} < 5\times10^{-5}$ หรือ $(n+1)! > 60\,000$ เนื่องจาก $8! = 40\,320$ ยังไม่พอ แต่ $9! = 362\,880$ พอ จึงได้ $n = 8$ - $\sum_{k=0}^{8} \dfrac{1}{k!} = 2.7182788$ ค่าจริง $2.7182818$ คลาด $3.1\times10^{-6}$ ✓ ใช้ถึงพจน์ $x^8/8!$ (9 พจน์) จึงรับประกันได้ · ที่จริงถึง $x^7/7!$ ก็คลาดเพียง $2.8\times10^{-5}$ แล้ว ขอบเขตลากรองจ์เป็นค่ารับประกัน จึงมักมากกว่าความคลาดเคลื่อนจริง ## สร้างอนุกรมใหม่จากตาราง: หาอินทิกรัลและลิมิต ไม่ต้องหาอนุพันธ์ใหม่ทุกครั้ง แทนตัวแปร คูณ อินทิเกรต หรือหาอนุพันธ์ของอนุกรมในตารางทีละพจน์ได้เลย (ภายในรัศมีการลู่เข้า) วิธีนี้ทำให้หาค่าอินทิกรัลที่ไม่มีปฏิยานุพันธ์ในรูปฟังก์ชันพื้นฐานได้ ตัวอย่าง 6 · อินทิกรัลที่อินทิเกรตตรงไม่ได้ ### ประมาณค่า $\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ - แทน $x$ ด้วย $-x^2$ ในอนุกรมของ $e^x$: $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \dfrac{x^4}{2!} - \dfrac{x^6}{3!} + \dfrac{x^8}{4!} - \cdots$ - อินทิเกรตทีละพจน์จาก 0 ถึง 1: $1 - \dfrac13 + \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{42} + \dfrac{1}{216} - \dfrac{1}{1320} + \cdots$ - ห้าพจน์แรก: $1 - 0.333333 + 0.1 - 0.023810 + 0.004630 = 0.747487$ - เป็นอนุกรมสลับเครื่องหมายที่พจน์ลดลง ความคลาดเคลื่อนจึงไม่เกินพจน์ถัดไป $1/1320 \approx 7.6\times10^{-4}$ ค่าจริง $0.746824$ คลาด $6.6\times10^{-4}$ ✓ $\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}dx \approx 0.7475$ · ฟังก์ชันนี้ไม่มีปฏิยานุพันธ์ในรูปฟังก์ชันพื้นฐาน แต่เป็นหัวใจของการแจกแจงปกติและฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อน (error function) ที่ใช้วิเคราะห์สัญญาณรบกวน ตัวอย่าง 7 · ลิมิตรูปแบบ 0/0 ### หา $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x}{x^3}$ - แทนอนุกรม: $\sin x - x = -\dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots$ - หารด้วย $x^3$: $-\dfrac16 + \dfrac{x^2}{120} - \cdots \to -\dfrac16$ เมื่อ $x \to 0$ ลิมิตเท่ากับ $-\tfrac16$ · ถ้าใช้กฎโลปีตาลต้องหาอนุพันธ์สามรอบ อนุกรมเทย์เลอร์ให้คำตอบในบรรทัดเดียว และยังบอกด้วยว่า $\sin x$ ต่างจาก $x$ ประมาณ $x^3/6$ ## ใช้ในงานวิศวกรรม ตัวอย่าง 8 · แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอด ### ไดโอดมี $i = I_S e^{v/V_T}$ ทำงานที่ $I_D = 1\ \text{mA}$, $V_T = 26\ \text{mV}$ ถ้าแรงดันเพิ่ม $\Delta v = 2\ \text{mV}$ กระแสเป็นเท่าไร - เทย์เลอร์อันดับหนึ่งรอบจุดทำงาน: $i \approx I_D\left(1 + \dfrac{\Delta v}{V_T}\right)$ ความต้านทานสัญญาณเล็ก $r_d = V_T/I_D = 26\ \Omega$ - ประมาณ: $1\ \text{mA}\times(1 + 2/26) = 1.0769\ \text{mA}$ - ค่าจริง: $1\ \text{mA}\times e^{2/26} = 1.0800\ \text{mA}$ คลาด 0.3% เพราะ $\Delta v$ เล็กกว่า $V_T$ มาก $\approx 1.077\ \text{mA}$ นี่คือที่มาของวงจรสมมูลสัญญาณเล็กทั้งหมดในอิเล็กทรอนิกส์ - ลูกตุ้มและระบบควบคุม $\sin\theta \approx \theta$ ทำให้สมการไม่เชิงเส้นกลายเป็นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่แก้ด้วยลาปลาซได้ - ความไวของปริมาณ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$: แรงดันเพิ่ม 3% กำลัง $V^2/R$ เพิ่มราว 6% - เฟิร์มแวร์ ไมโครคอนโทรลเลอร์ที่ไม่มีหน่วยคำนวณ sin ใช้พหุนามเทย์เลอร์ไม่กี่พจน์บนช่วงมุมแคบ ## เรียนต่อในคลังความรู้ - อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอรินฉบับเต็ม: ตารางที่ต้องจำ เศษเหลือลากรองจ์ และใช้กี่พจน์ - อนุกรมกำลังและรัศมีการลู่เข้า พร้อมแล็บดิสก์ในระนาบเชิงซ้อน - แล็บพหุนามเทย์เลอร์: เลือกฟังก์ชัน จุดกระจาย และดีกรีเอง - บทความต่อ: อนุกรมโลรองต์ต่างจากเทย์เลอร์อย่างไร - หาสูตรอนุพันธ์อันดับ n ด้วยอุปนัย เพื่อใช้กับอนุกรมเทย์เลอร์ - บทความต่อ: ตัวอย่างอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 14 ข้อ รวมสูตรอนุพันธ์อันดับ n - บทความต่อ: รัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังหาอย่างไร - ทบทวนอนุพันธ์ ซึ่งเป็นพื้นฐานของสัมประสิทธิ์เทย์เลอร์ ## คำถามที่พบบ่อย อนุกรมเทเลอร์กับอนุกรมเทย์เลอร์เป็นเรื่องเดียวกันไหม? เป็นเรื่องเดียวกัน คือ Taylor series ที่ตั้งชื่อตาม Brook Taylor ต่างกันแค่การสะกดชื่อเป็นภาษาไทย ตำราและข้อสอบบางแห่งเขียน เทเลอร์ บางแห่งเขียน เทย์เลอร์ สูตรและวิธีใช้เหมือนกันทุกอย่าง อนุกรมเทย์เลอร์กับอนุกรมแมคลอรินต่างกันอย่างไร? อนุกรมแมคลอรินคืออนุกรมเทย์เลอร์ที่กระจายรอบ $a = 0$ เป็นกรณีพิเศษ สูตรเหมือนกันทุกอย่างเพียงแทน $a = 0$ ต้องใช้กี่พจน์จึงพอ? ขึ้นกับความแม่นที่ต้องการและระยะ $|x - a|$ ใช้ขอบเขตเศษเหลือลากรองจ์ $|R_n| \le M|x - a|^{n+1}/(n+1)!$ เลือก n ที่ทำให้ขอบเขตต่ำกว่าค่าที่ยอมรับได้ ยิ่ง x อยู่ใกล้ a ยิ่งใช้พจน์น้อย อนุกรมเทย์เลอร์ใช้ได้ทุกค่า x ไหม? ไม่เสมอ ใช้ได้ภายในรัศมีการลู่เข้า R เท่านั้น เช่น $e^x,\ \sin x,\ \cos x$ มี $R = \infty$ แต่ $\ln(1 + x)$ และ $1/(1 - x)$ มี $R = 1$ นอกช่วงนี้เพิ่มพจน์เท่าไรก็ไม่เข้าใกล้ค่าจริง วิศวกรใช้อนุกรมเทย์เลอร์ทำอะไร? ใช้ประมาณฟังก์ชันซับซ้อนด้วยพหุนาม เช่น $\sin\theta \approx \theta$ ในลูกตุ้มและระบบควบคุม การทำให้เป็นเชิงเส้นรอบจุดทำงานในแบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอดและทรานซิสเตอร์ และการคำนวณ sin, eˣ ในไมโครคอนโทรลเลอร์ ## บทความอื่นที่น่าอ่าน ลำดับและอนุกรม ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง? แผนที่ภาพรวมจากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์ ภาพรวมทั้งบทลำดับและอนุกรมในหน้าเดียว: แต่ละเรื่องตอบคำถามอะไร สูตรหัวใจ แนวข้อสอบ และต่อกันอย่างไร ตั้งแต่ลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้า… 24 ต.ค. 2569อ่านบทความ → ลำดับและอนุกรม อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series): สูตร ตัวอย่าง และวิธีหาผลบวก อนุกรมเรขาคณิตคืออะไร สูตรผลบวก n พจน์ และอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ (infinite geometric series) a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 พร้อมที่มาของสูตร… 17 ต.ค. 2569อ่านบทความ → ลำดับและอนุกรม อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) ตัวอย่างพร้อมวิธีทำทีละขั้น รวมอุปนัยแบบเข้ม ตัวอย่างพิสูจน์ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 14 ข้อพร้อมวิธีทำ: เขียนข้อความ P(n) สูตรผลบวก การหารลงตัว อสมการ ลำดับเวียนเกิด และอุปนัยแบบเข้ม (strong… 17 ต.ค. 2569อ่านบทความ → ดูบทความทั้งหมดในหมวดลำดับและอนุกรม (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **อนุกรมเทเลอร์กับอนุกรมเทย์เลอร์เป็นเรื่องเดียวกันไหม?** เป็นเรื่องเดียวกัน คือ Taylor series ที่ตั้งชื่อตาม Brook Taylor ต่างกันแค่การสะกดชื่อเป็นภาษาไทย ตำราและข้อสอบบางแห่งเขียน เทเลอร์ บางแห่งเขียน เทย์เลอร์ สูตรและวิธีใช้เหมือนกันทุกอย่าง **อนุกรมเทย์เลอร์กับอนุกรมแมคลอรินต่างกันอย่างไร?** อนุกรมแมคลอรินคืออนุกรมเทย์เลอร์ที่กระจายรอบ $a = 0$ เป็นกรณีพิเศษ สูตรเหมือนกันทุกอย่างเพียงแทน $a = 0$ **ต้องใช้กี่พจน์จึงพอ?** ขึ้นกับความแม่นที่ต้องการและระยะ $|x - a|$ ใช้ขอบเขตเศษเหลือลากรองจ์ $|R_n| \le M|x - a|^{n+1}/(n+1)!$ เลือก n ที่ทำให้ขอบเขตต่ำกว่าค่าที่ยอมรับได้ ยิ่ง x อยู่ใกล้ a ยิ่งใช้พจน์น้อย **อนุกรมเทย์เลอร์ใช้ได้ทุกค่า x ไหม?** ไม่เสมอ ใช้ได้ภายในรัศมีการลู่เข้า R เท่านั้น เช่น $e^x,\ \sin x,\ \cos x$ มี $R = \infty$ แต่ $\ln(1 + x)$ และ $1/(1 - x)$ มี $R = 1$ นอกช่วงนี้เพิ่มพจน์เท่าไรก็ไม่เข้าใกล้ค่าจริง **วิศวกรใช้อนุกรมเทย์เลอร์ทำอะไร?** ใช้ประมาณฟังก์ชันซับซ้อนด้วยพหุนาม เช่น $\sin\theta \approx \theta$ ในลูกตุ้มและระบบควบคุม การทำให้เป็นเชิงเส้นรอบจุดทำงานในแบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอดและทรานซิสเตอร์ และการคำนวณ sin, eˣ ในไมโครคอนโทรลเลอร์