---
title: "แรงก์ของเมทริกซ์ (ค่าลำดับขั้น) คืออะไร หาอย่างไร และบอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ"
url: https://modsengineeringmath.com/blog/matrix-rank/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-25
---

> อธิบายแรงก์ (rank) หรือค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ให้เห็นภาพ วิธีหาด้วยการลดแถวและไมเนอร์ ใช้แรงก์ตัดสินว่าระบบสมการมีคำตอบเดียว ไม่จำกัด หรือไม่มี โจทย์พารามิเตอร์ k และการใช้ในวงจรไฟฟ้า

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/blog/matrix-rank/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# แรงก์ของเมทริกซ์ (ค่าลำดับขั้น) คืออะไร หาอย่างไร และบอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · พีชคณิตเชิงเส้น


แรงก์เป็นตัวเลขตัวเดียวที่บอกว่าในเมทริกซ์มี “ข้อมูลที่ไม่ซ้ำกัน” อยู่กี่แถว รู้แรงก์แล้วก็รู้ทันทีว่าระบบสมการมีคำตอบเดียว มีไม่จำกัด หรือไม่มีเลย โดยไม่ต้องแก้จนจบ บทความนี้อธิบายความหมาย วิธีหาสองวิธี และการใช้งานจริงแบบเห็นภาพรวม

สรุปใน 30 วินาที

- แรงก์ = จำนวนแถว (หรือหลัก) ที่อิสระเชิงเส้น = จำนวนตัวหลักหลังลดแถวเป็นขั้นบันได

- หาได้สองวิธี: ลดแถวแล้วนับแถวที่ไม่เป็นศูนย์ หรือหาไมเนอร์ (ดีเทอร์มิแนนต์ย่อย) ที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่เป็นศูนย์

- $\operatorname{rank}A \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b]$ ไม่มีคำตอบ · เท่ากัน $= n$ คำตอบเดียว · เท่ากัน $\lt n$ ไม่จำกัด

## แรงก์คือการนับข้อมูลที่ไม่ซ้ำ

ลองดูระบบ $x + 2y - z = 4,\ 2x + 3y + z = 9,\ 3x + 5y = 13$ สมการที่สามคือสมการที่หนึ่งบวกสมการที่สองพอดี จึงไม่ได้ให้ข้อมูลใหม่ ระบบนี้มีสามสมการ แต่มีข้อมูลจริงเพียงสอง เลข 2 นี้คือแรงก์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์

มองอีกแบบด้วยภาพ หลักแต่ละหลักของเมทริกซ์คือเวกเตอร์หนึ่งตัว แรงก์คือจำนวน “ทิศทางอิสระ” ที่เวกเตอร์ทั้งหมดกางออกได้ ถ้าทุกตัวอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน แรงก์เป็น 1 ถ้าอยู่บนระนาบเดียวกัน แรงก์เป็น 2

หลักของเมทริกซ์ที่อยู่บนเส้นเดียว ระนาบเดียว หรือกางเต็มสามมิติ ให้แรงก์ 1, 2 และ 3 ตามลำดับ

ข้อเท็จจริงที่ดูแปลกแต่จริงเสมอคือ จำนวนแถวอิสระเท่ากับจำนวนหลักอิสระทุกครั้ง แรงก์จึงไม่เกินจำนวนแถวและไม่เกินจำนวนหลัก: $\operatorname{rank}A \le \min(m, n)$

## วิธีที่ 1: ลดแถวแล้วนับ

การดำเนินการตามแถว (สลับแถว คูณแถว บวกพหุคูณของแถวอื่น) ไม่เปลี่ยนแรงก์ จึงลดแถวให้เป็นรูปขั้นบันได แล้วนับแถวที่ไม่เป็นศูนย์ได้เลย

ตัวอย่าง

### $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 0 \end{pmatrix}$

-
$$R_2 - 2R_1,\ R_3 - 3R_1:\quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$

-
$$R_3 - R_2:\quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

แถวไม่เป็นศูนย์ 2 แถว จึง $\operatorname{rank}A = 2$

วิธีนี้ใช้ได้กับเมทริกซ์ทุกขนาด รวมถึงเมทริกซ์ที่ไม่จัตุรัส ลองพิมพ์เมทริกซ์ของคุณเองใน แล็บหาแรงก์ทีละขั้น ซึ่งแสดงทุกขั้นแบบเศษส่วนแม่นตรง

## วิธีที่ 2: ไมเนอร์ (ดีเทอร์มิแนนต์ย่อย)

แรงก์คืออันดับของไมเนอร์ที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่เป็นศูนย์ สำหรับเมทริกซ์จัตุรัส $n\times n$ จึงได้กฎสั้น ๆ ว่า $\det A \ne 0 \iff \operatorname{rank}A = n$

ตัวอย่างคลาสสิก $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ มีดีเทอร์มิแนนต์ $225 - 225 = 0$ แรงก์จึงน้อยกว่า 3 แต่ไมเนอร์มุมบนซ้าย $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = -3 \ne 0$ แรงก์จึงเป็น 2

กับดัก $\det A = 0$ บอกแค่ว่าแรงก์ไม่เต็ม ไม่ได้บอกว่าเหลือเท่าไร เมทริกซ์ $3\times3$ ที่ทุกตัวเป็น 1 มี $\det = 0$ และแรงก์เพียง 1

## แรงก์บอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ

นี่คือเหตุผลหลักที่ต้องเรียนแรงก์ เทียบแรงก์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ $A$ กับเมทริกซ์แต่งเติม $[A\mid\mathbf b]$ ตามทฤษฎีบทรูเช-กาเปลลี

$$\begin{cases} \operatorname{rank}A \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] & \text{ไม่มีคำตอบ} \\ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = n & \text{คำตอบเดียว} \\ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = r \lt n & \text{ไม่จำกัด มีตัวแปรอิสระ } n - r \text{ ตัว} \end{cases}$$

สามสมการสามตัวแปรคือสามระนาบ แรงก์สองตัวบอกว่ามันตัดกันแบบไหน (ดูแบบหมุนได้ใน แล็บสามระนาบ 3 มิติ)

ตัวอย่าง

### ระบบ $x + y + z = 1,\ x + 2y + 3z = 2,\ x + 3y + az = b$

- ลดแถวเมทริกซ์แต่งเติมจนแถวสุดท้ายเป็น

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & a - 5 & b - 3 \end{array}\right)$$

- $a \ne 5$: แรงก์ทั้งสองเป็น 3 คำตอบเดียว · $a = 5,\ b = 3$: แถวศูนย์ทั้งแถว แรงก์ 2 = 2 คำตอบไม่จำกัด · $a = 5,\ b \ne 3$: แรงก์ 2 กับ 3 ไม่มีคำตอบ

กรณีไม่จำกัด $(x, y, z) = (t,\ 1 - 2t,\ t)$ มีตัวแปรอิสระ $3 - 2 = 1$ ตัว

## โจทย์แรงก์ที่มีพารามิเตอร์ k

ข้อสอบชอบถาม “แรงก์ของ $A$ เป็นเท่าใดสำหรับทุกค่า $k$” ขั้นตอนคือ หา $\det A(k)$ แยกตัวประกอบ ค่า $k$ ที่ไม่ทำให้ $\det$ เป็นศูนย์ได้แรงก์เต็ม แล้วแทนค่า $k$ ที่ทำให้ $\det = 0$ ทีละค่าเพื่อลดแถวนับแรงก์จริง เช่น

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k \\ 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \end{pmatrix},\quad \det A = -(k - 1)^2(k + 2)$$

ได้แรงก์ 3 เมื่อ $k \ne 1, -2$ · แรงก์ 1 เมื่อ $k = 1$ (ทุกแถวเหมือนกัน) · แรงก์ 2 เมื่อ $k = -2$ เลื่อนค่า $k$ ดูเองได้ใน แล็บแรงก์กับพารามิเตอร์ k

## แรงก์ในงานวิศวกรรม

- วงจรไฟฟ้า: เมทริกซ์อุบัติการณ์ของวงจร $n$ โนดมีแรงก์ $n - 1$ เสมอ จึงเขียน KCL ที่อิสระได้ $n - 1$ สมการ และ KVL อิสระ $b - n + 1$ สมการ (เท่าจำนวนเมช) — เหตุผลที่ต้องเลือกโนดอ้างอิงหนึ่งโนด

- ระบบควบคุม: ระบบควบคุมได้ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ $[B\ AB\ \cdots\ A^{n-1}B]$ มีแรงก์เต็ม $n$ (การทดสอบของคาลมาน)

- ข้อมูลจริง: ข้อมูลวัดมีความคลาดเคลื่อน จึงใช้แรงก์เชิงตัวเลขจากค่าเอกฐาน (SVD) นับเฉพาะค่าที่ใหญ่กว่าระดับสัญญาณรบกวน

## อ่านต่อในคลังความรู้

- ค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ฉบับเต็ม: ไมเนอร์ ปริภูมิศูนย์ แรงก์-ภาวะศูนย์ และแล็บ 3 มิติ

- ระบบสมการเชิงเส้นและการกำจัดแบบเกาส์

- กฎของคราเมอร์: เมื่อ Δ = 0 ต้องใช้แรงก์ตัดสิน

- แนวข้อสอบแรงก์และระบบสมการพร้อมเฉลย

- บทความ: แผนที่การเรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์

## คำถามที่พบบ่อย

แรงก์กับค่าลำดับขั้นคือสิ่งเดียวกันไหม?
ใช่ ค่าลำดับขั้น (บางตำราเรียกลำดับชั้น) คือคำแปลของ rank of a matrix หมายถึงจำนวนแถวหรือหลักที่อิสระเชิงเส้น ซึ่งเท่ากับจำนวนตัวหลักเมื่อลดแถวเป็นรูปขั้นบันได

แรงก์ของเมทริกซ์ 3×4 มีค่าได้มากที่สุดเท่าใด?
3 เพราะแรงก์ไม่เกินจำนวนแถวและไม่เกินจำนวนหลัก rank A ≤ min(m, n) เมทริกซ์ 3×4 จึงมีแรงก์ได้ 0, 1, 2 หรือ 3

det A = 0 แปลว่าแรงก์เท่ากับ n − 1 ใช่ไหม?
ไม่เสมอไป det A = 0 บอกเพียงว่าแรงก์น้อยกว่า n อาจเป็น n − 1 หรือน้อยกว่านั้น เช่น เมทริกซ์ 3×3 ที่ทุกสมาชิกเป็น 1 มี det = 0 และแรงก์เพียง 1 ต้องลดแถวเพื่อนับแรงก์จริง

แรงก์ใช้ตัดสินว่าระบบสมการมีคำตอบได้อย่างไร?
เทียบ rank A กับ rank [A|b] ถ้า rank A น้อยกว่า ระบบไม่มีคำตอบ ถ้าเท่ากันและเท่ากับจำนวนตัวแปร มีคำตอบเดียว ถ้าเท่ากันแต่น้อยกว่าจำนวนตัวแปร มีคำตอบไม่จำกัด โดยมีตัวแปรอิสระเท่ากับจำนวนตัวแปรลบแรงก์

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

พีชคณิตเชิงเส้น
กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้
สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง
สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
เรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ให้จบ: แผนที่ 7 ขั้นจาก ม.ปลาย สอบเข้ามหาวิทยาลัย ถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม
แผนที่การเรียนเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ คราเมอร์ และวิธีเชิงตัวเลขแบบเห็นภาพรวม ควรเรียนอะไรก่อนหลัง สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้แค่ไหน…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**แรงก์กับค่าลำดับขั้นคือสิ่งเดียวกันไหม?**
ใช่ ค่าลำดับขั้น (บางตำราเรียกลำดับชั้น) คือคำแปลของ rank of a matrix หมายถึงจำนวนแถวหรือหลักที่อิสระเชิงเส้น ซึ่งเท่ากับจำนวนตัวหลักเมื่อลดแถวเป็นรูปขั้นบันได

**แรงก์ของเมทริกซ์ 3×4 มีค่าได้มากที่สุดเท่าใด?**
3 เพราะแรงก์ไม่เกินจำนวนแถวและไม่เกินจำนวนหลัก rank A ≤ min(m, n) เมทริกซ์ 3×4 จึงมีแรงก์ได้ 0, 1, 2 หรือ 3

**det A = 0 แปลว่าแรงก์เท่ากับ n − 1 ใช่ไหม?**
ไม่เสมอไป det A = 0 บอกเพียงว่าแรงก์น้อยกว่า n อาจเป็น n − 1 หรือน้อยกว่านั้น เช่น เมทริกซ์ 3×3 ที่ทุกสมาชิกเป็น 1 มี det = 0 และแรงก์เพียง 1 ต้องลดแถวเพื่อนับแรงก์จริง

**แรงก์ใช้ตัดสินว่าระบบสมการมีคำตอบได้อย่างไร?**
เทียบ rank A กับ rank [A|b] ถ้า rank A น้อยกว่า ระบบไม่มีคำตอบ ถ้าเท่ากันและเท่ากับจำนวนตัวแปร มีคำตอบเดียว ถ้าเท่ากันแต่น้อยกว่าจำนวนตัวแปร มีคำตอบไม่จำกัด โดยมีตัวแปรอิสระเท่ากับจำนวนตัวแปรลบแรงก์