--- title: "อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) ตัวอย่างพร้อมวิธีทำทีละขั้น รวมอุปนัยแบบเข้ม" url: https://modsengineeringmath.com/blog/mathematical-induction-examples/ site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)" language: th updated: 2026-10-26 --- > ตัวอย่างพิสูจน์ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 14 ข้อพร้อมวิธีทำ: เขียนข้อความ P(n) สูตรผลบวก การหารลงตัว อสมการ ลำดับเวียนเกิด และอุปนัยแบบเข้ม (strong induction) พร้อมแม่แบบ 4 ขั้นและข้อผิดพลาดที่เสียคะแนน ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/blog/mathematical-induction-examples/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ # อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) ตัวอย่างพร้อมวิธีทำทีละขั้น รวมอุปนัยแบบเข้ม THภาษาไทยENEnglish // บทความ · ลำดับและอนุกรม อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ใช้พิสูจน์ข้อความที่ต้องจริงกับ “ทุกจำนวนนับ n” บทความนี้เริ่มจากวิธีเขียนข้อความ P(n) แล้วรวมตัวอย่าง 14 ข้อในแบบที่ออกสอบบ่อยที่สุด ได้แก่ สูตรผลบวก การหารลงตัว อสมการ ลำดับเวียนเกิดและอนุพันธ์ และอุปนัยแบบเข้ม ทุกข้อเขียนตามแม่แบบเดียวกันเพื่อให้เห็นว่าต่างกันแค่ลูกเล่นพีชคณิตในขั้นอุปนัย สรุปใน 30 วินาที - ข้อความ P(n) (induction statement): เขียนเป็นประโยคที่จริงหรือเท็จได้สำหรับแต่ละ n - กรณีฐาน (base case): แสดงว่า $P(n_0)$ จริง โดยคำนวณสองข้างแยกกัน - ขั้นอุปนัย (inductive step): สมมติ $P(k)$ จริง แล้วแสดงว่า $P(k+1)$ จริง โดยต้องใช้สมมติฐานให้เห็น - อุปนัยแบบเข้ม (strong induction): สมมติทุกกรณีจนถึง $P(k)$ เมื่อขั้นอุปนัยต้องใช้กรณีก่อนหน้า และตรวจกรณีฐานให้ครบเท่าจำนวนขั้นที่ย้อน ## ข้อความ P(n) (induction statement): สิ่งแรกที่ต้องเขียน ทุกบทพิสูจน์ด้วยอุปนัยเริ่มจากการตั้งชื่อข้อความที่จะพิสูจน์ $P(n)$ คือประโยคเกี่ยวกับ $n$ ที่เป็นจริงหรือเท็จได้เมื่อแทนตัวเลข การเขียนให้ครบไม่ใช่พิธีการ เพราะขั้นถัดไปต้องแทน $k$ และ $k+1$ ลงไป และความผิดพลาดทางพีชคณิตส่วนใหญ่มาจากการเขียน P(k+1) ไม่ระวัง | โจทย์บอกว่า | ข้อความ P(n) | เริ่มที่ | | ผลบวกของจำนวนคี่ n ตัวแรกเท่ากับ n² | $1 + 3 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ | $n = 1$ | | $4^n - 1$ เป็นพหุคูณของ 3 | มีจำนวนเต็ม $m$ ที่ $4^n - 1 = 3m$ | $n = 1$ | | ในที่สุด $2^n$ จะมากกว่า $n^2$ | $2^n > n^2$ | $n = 5$ | | ลำดับ $a_1 = 1,\ a_{n+1} = 2a_n + 1$ มีรูปปิด | $a_n = 2^n - 1$ | $n = 1$ | - ต้องเป็นข้อความ ไม่ใช่นิพจน์ “ให้ $P(n) = n^2 + n$” ไม่ใช่ข้อความอุปนัย เพราะไม่มีค่าความจริง ต้องเขียนว่า “$P(n)$: $n^2 + n$ เป็นจำนวนคู่” - สร้าง P(k+1) โดยแทน n ทุกตัวด้วย k+1 รวมทั้งพจน์สุดท้ายของผลบวก: พจน์สุดท้ายของ $1 + 3 + \cdots + (2n - 1)$ กลายเป็น $2(k+1) - 1 = 2k + 1$ และด้านขวากลายเป็น $(k+1)^2$ - เขียนเป้าหมาย P(k+1) ก่อนเริ่มจัดรูป รู้ปลายทางแล้วจะรู้ว่าต้องดึงตัวร่วมตัวไหน หรือต้องบวกลบพจน์ใด ## แม่แบบ 4 ขั้นที่ใช้ได้ทุกข้อ - นิยาม ให้ $P(n)$ แทนข้อความ … (เขียนให้ชัด) - กรณีฐาน แทน $n = n_0$ คำนวณด้านซ้ายและด้านขวาแยกกัน แล้วแสดงว่าเป็นจริง - สมมติฐานการอุปนัย สมมติว่า $P(k)$ จริงสำหรับจำนวนเต็ม $k \ge n_0$ บางค่า (เขียน P(k) ออกมาเต็ม ๆ และเขียนเป้าหมาย P(k+1)) - ขั้นอุปนัย เริ่มจากด้านซ้ายของ P(k+1) จัดรูปให้เห็นก้อนของ P(k) ใช้สมมติฐาน แล้วจัดรูปจนได้ด้านขวา สรุปด้วยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ ## ตัวอย่างแบบที่ 1: สูตรผลบวก เทคนิค: ดึงพจน์สุดท้ายออก ส่วนที่เหลือคือด้านซ้ายของ P(k) พอดี ตัวอย่าง 1 ### พิสูจน์ว่า $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ ทุกจำนวนนับ $n$ - ให้ $P(n)$: $1 + 3 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ - กรณีฐาน $n = 1$: ซ้าย $= 1$ ขวา $= 1^2 = 1$ จริง - สมมติ $1 + 3 + \cdots + (2k - 1) = k^2$ ต้องแสดงว่า $1 + 3 + \cdots + (2k + 1) = (k+1)^2$ - $\underbrace{1 + 3 + \cdots + (2k - 1)}_{= k^2\ \text{(สมมติฐาน)}} + (2k + 1) = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$ ✓ โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ $P(n)$ จริงทุก $n \ge 1$ ∎ ตัวอย่าง 2 ### พิสูจน์ว่า $1\cdot2 + 2\cdot3 + \cdots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$ - กรณีฐาน $n = 1$: ซ้าย $= 1\cdot 2 = 2$ ขวา $= \dfrac{1\cdot2\cdot3}{3} = 2$ จริง - สมมติจริงที่ $n = k$ ต้องแสดงว่าผลบวกถึงพจน์ $(k+1)(k+2)$ เท่ากับ $\dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$ - $\dfrac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) = \dfrac{(k+1)(k+2)\,(k + 3)}{3}$ (ดึงตัวร่วม $(k+1)(k+2)$ ไม่ต้องกระจาย) ✓ จริงทุก $n \ge 1$ · เคล็ดลับ: เขียนเป้าหมายก่อนเสมอ จะรู้ว่าต้องดึงตัวร่วมอะไร ตัวอย่าง 3 ### พิสูจน์ว่า $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ - กรณีฐาน $n = 1$: ซ้าย $= 1$ ขวา $= \dfrac{1\cdot2\cdot3}{6} = 1$ จริง - สมมติ $1^2 + \cdots + k^2 = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ เป้าหมาย: $1^2 + \cdots + (k+1)^2 = \dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$ - $\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = \dfrac{(k+1)\big[k(2k+1) + 6(k+1)\big]}{6} = \dfrac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6}$ - $2k^2 + 7k + 6 = (k+2)(2k+3)$ จึงได้ผลบวกเท่ากับ $\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$ ✓ จริงทุก $n \ge 1$ · เป้าหมายบอกให้มองหาตัวประกอบ $(k+2)$ และ $(2k+3)$ ในวงเล็บ ## ตัวอย่างแบบที่ 2: การหารลงตัว เทคนิค: เขียน “3 หาร b ลงตัว” เป็นสมการ $b = 3m$ แล้วแยก $f(k+1)$ ให้เห็นก้อน $f(k)$ ตัวอย่าง 4 ### พิสูจน์ว่า $4^n - 1$ หารด้วย 3 ลงตัว ทุกจำนวนนับ $n$ - กรณีฐาน $n = 1$: $4 - 1 = 3 = 3\cdot1$ หารลงตัว - สมมติ $4^k - 1 = 3m$ สำหรับจำนวนเต็ม $m$ บางตัว - $4^{k+1} - 1 = 4\cdot 4^k - 1 = 4(4^k - 1) + 3 = 4(3m) + 3 = 3(4m + 1)$ หารด้วย 3 ลงตัว ✓ จริงทุก $n \ge 1$ · กลเม็ดหลัก: “บวกลบ” ให้ได้ $4(4^k - 1)$ ซึ่งเป็นก้อนของสมมติฐาน ตัวอย่าง 5 ### พิสูจน์ว่า $7^n - 2^n$ หารด้วย 5 ลงตัว ทุกจำนวนนับ $n$ - กรณีฐาน $n = 1$: $7 - 2 = 5$ หารลงตัว - สมมติ $7^k - 2^k = 5m$ สำหรับจำนวนเต็ม $m$ บางตัว - $7^{k+1} - 2^{k+1} = 7\cdot7^k - 2\cdot2^k = 7(7^k - 2^k) + 7\cdot2^k - 2\cdot2^k = 7(5m) + 5\cdot2^k = 5(7m + 2^k)$ ✓ จริงทุก $n \ge 1$ · เมื่อมีฐานสองตัว ให้บวกลบ $7\cdot2^k$ เพื่อให้วงเล็บหนึ่งเป็น $f(k)$ พอดี ตัวอย่าง 6 ### พิสูจน์ว่า $n^3 - n$ หารด้วย 6 ลงตัว ทุกจำนวนนับ $n$ - กรณีฐาน $n = 1$: $1 - 1 = 0 = 6\cdot0$ หารลงตัว - สมมติ $k^3 - k = 6m$ - $(k+1)^3 - (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 = (k^3 - k) + 3k(k+1) = 6m + 3k(k+1)$ - $k(k+1)$ เป็นผลคูณของจำนวนเต็มสองตัวที่ติดกัน จึงเป็นจำนวนคู่: $k(k+1) = 2j$ ได้ $3k(k+1) = 6j$ รวมเป็น $6(m + j)$ ✓ จริงทุก $n \ge 1$ · ขั้นอุปนัยต้องใช้ข้อเท็จจริงเพิ่มหนึ่งข้อ (จำนวนเต็มสองตัวติดกันต้องมีตัวหนึ่งเป็นเลขคู่) ให้เขียนบอกให้ชัด อย่าข้าม ## ตัวอย่างแบบที่ 3: อสมการ เทคนิค: ใช้สมมติฐานเพื่อให้เกิดเครื่องหมาย > แล้วต่อด้วยอสมการช่วยที่ต้องใช้เงื่อนไขของ k ซึ่งเป็นตัวบอกว่ากรณีฐานต้องเริ่มที่เท่าไร ตัวอย่าง 7 ### พิสูจน์ว่า $2^n > n^2$ สำหรับทุก $n \ge 5$ - ทำไมเริ่มที่ 5: $n = 2, 3, 4$ ได้ $4 = 4,\ 8 < 9,\ 16 = 16$ ไม่จริง - กรณีฐาน $n = 5$: $2^5 = 32 > 25$ จริง - สมมติ $2^k > k^2$ ($k \ge 5$): $2^{k+1} = 2\cdot 2^k > 2k^2$ - $2k^2 - (k+1)^2 = (k-1)^2 - 2 > 0$ เมื่อ $k \ge 3$ จึงได้ $2^{k+1} > 2k^2 > (k+1)^2$ ✓ จริงทุก $n \ge 5$ ตัวอย่าง 8 ### พิสูจน์ว่า $n! > 2^n$ สำหรับทุก $n \ge 4$ - ทำไมเริ่มที่ 4: $1! = 1 < 2,\ 2! = 2 < 4,\ 3! = 6 < 8$ แต่ $4! = 24 > 16$ - กรณีฐาน $n = 4$: $24 > 16$ จริง - สมมติ $k! > 2^k$ ($k \ge 4$): $(k+1)! = (k+1)\cdot k! > (k+1)\cdot 2^k$ - เพราะ $k + 1 \ge 5 > 2$: $(k+1)\cdot2^k > 2\cdot 2^k = 2^{k+1}$ ✓ จริงทุก $n \ge 4$ · นี่คือเหตุผลที่พจน์ $x^n/n!$ ในอนุกรมเลขชี้กำลังเล็กลงเร็วมาก ตัวอย่าง 9 · อสมการแบร์นูลลี ### พิสูจน์ว่า $(1 + x)^n \ge 1 + nx$ ทุกจำนวนนับ $n$ และทุกจำนวนจริง $x \ge -1$ - กรณีฐาน $n = 1$: $1 + x \ge 1 + x$ จริง - สมมติ $(1 + x)^k \ge 1 + kx$ - คูณทั้งสองข้างด้วย $1 + x$ ซึ่งทำได้โดยเครื่องหมายไม่กลับ เพราะ $1 + x \ge 0$: $(1 + x)^{k+1} \ge (1 + x)(1 + kx) = 1 + (k+1)x + kx^2$ - $kx^2 \ge 0$ จึงได้ $(1 + x)^{k+1} \ge 1 + (k+1)x$ ✓ จริงทุก $n \ge 1$, $x \ge -1$ · เงื่อนไข $x \ge -1$ ถูกใช้ในบรรทัดเดียว คือตอนคูณอสมการด้วย $1 + x$ ## ตัวอย่างแบบที่ 4: ลำดับเวียนเกิดและอนุพันธ์อันดับ n เทคนิค: นิยามของลำดับ (หรือของอนุพันธ์) คือสะพานจาก k ไป k+1 อยู่แล้ว ให้เดารูปแบบจากพจน์แรก ๆ แล้วพิสูจน์ด้วยอุปนัย ตัวอย่าง 10 ### $a_1 = 1,\ a_{n+1} = 2a_n + 1$ พิสูจน์ว่า $a_n = 2^n - 1$ - พจน์แรก ๆ: $1, 3, 7, 15, \dots$ น้อยกว่า $2, 4, 8, 16$ อยู่หนึ่ง จึงเดาว่า $2^n - 1$ - กรณีฐาน $n = 1$: $a_1 = 1 = 2^1 - 1$ จริง - สมมติ $a_k = 2^k - 1$: $a_{k+1} = 2a_k + 1 = 2(2^k - 1) + 1 = 2^{k+1} - 1$ ✓ $a_n = 2^n - 1$ ทุก $n \ge 1$ · คือจำนวนครั้งที่ต้องย้ายในปัญหาหอคอยฮานอยที่มี n แผ่น ตัวอย่าง 11 · แคลคูลัส ### พิสูจน์ว่า $\dfrac{d^n}{dx^n}\big(xe^x\big) = (x + n)e^x$ ทุกจำนวนนับ $n$ - กรณีฐาน $n = 1$: กฎผลคูณ $\dfrac{d}{dx}(xe^x) = e^x + xe^x = (x + 1)e^x$ จริง - สมมติ $\dfrac{d^k}{dx^k}(xe^x) = (x + k)e^x$ - $\dfrac{d^{k+1}}{dx^{k+1}}(xe^x) = \dfrac{d}{dx}\big[(x + k)e^x\big] = e^x + (x + k)e^x = (x + k + 1)e^x$ ✓ จริงทุก $n \ge 1$ · ที่ $x = 0$ อนุพันธ์อันดับ n มีค่า $n$ ได้อนุกรมแมคลอริน $xe^x = \sum_{n\ge1} \dfrac{x^n}{(n-1)!}$ ดูอนุกรมเทย์เลอร์คืออะไร ## ตัวอย่างอุปนัยแบบเข้ม (Strong Induction) ในอุปนัยแบบเข้ม (strong หรือ complete induction) สมมติฐานคือทุกกรณี $P(n_0), P(n_0 + 1), \dots, P(k)$ เป็นจริง ไม่ใช่แค่ $P(k)$ ผลที่พิสูจน์ได้เป็นแบบเดียวกันทุกอย่าง เพียงแต่อนุญาตให้ขั้นอุปนัยใช้กรณีก่อนหน้าได้ ใช้เมื่อการไปถึง $k+1$ ต้องพึ่ง $P(k-1)$, $P(k-3)$ หรือกรณีที่เล็กกว่าซึ่งบอกล่วงหน้าไม่ได้ อยากฝึกให้เข้มข้นขึ้น: ดู อุปนัยแบบเข้ม 17 ตัวอย่างพร้อมแล็บฝึกพิสูจน์ (กรณีฐานกี่ตัว แสตมป์ ฟีโบนัชชี เกม merge sort) และใช้ เครื่องแก้ความสัมพันธ์เวียนเกิด ที่เขียนบทพิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้มให้อัตโนมัติ ตัวอย่าง 12 · อุปนัยแบบเข้ม ### พิสูจน์ว่าจำนวนเต็ม $n \ge 2$ ทุกตัวเป็นจำนวนเฉพาะ หรือเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ - กรณีฐาน $n = 2$: 2 เป็นจำนวนเฉพาะ จริง - สมมติฐานแบบเข้ม: สมมติว่าจำนวนเต็ม $j$ ทุกตัวที่ $2 \le j \le k$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือผลคูณของจำนวนเฉพาะ - พิจารณา $k + 1$ ถ้าเป็นจำนวนเฉพาะก็จบ ถ้าไม่ใช่ จะเขียนได้ $k + 1 = ab$ โดย $2 \le a \le k$ และ $2 \le b \le k$ - ตามสมมติฐาน $a$ และ $b$ ต่างเป็นจำนวนเฉพาะหรือผลคูณของจำนวนเฉพาะ ดังนั้น $ab = k + 1$ เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ ✓ จริงทุก $n \ge 2$ · อุปนัยธรรมดาใช้ไม่ได้ในข้อนี้ เพราะรู้เรื่องของ $k$ ก็ไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับตัวประกอบของ $k + 1$ ซึ่งเป็นจำนวนที่เล็กกว่าตัวไหนก็ได้ ตัวอย่าง 13 · อุปนัยแบบเข้ม ### มีแสตมป์ราคา 3 บาทและ 5 บาทเท่านั้น แสดงว่ารวมได้พอดีทุกราคา $n \ge 8$ บาท - กรณีฐาน (สามค่า): $8 = 3 + 5,\ 9 = 3 + 3 + 3,\ 10 = 5 + 5$ - สมมติฐานแบบเข้ม: ให้ $k \ge 10$ และสมมติว่าทุกราคาตั้งแต่ 8 ถึง $k$ บาทรวมได้ - $k + 1 = (k - 2) + 3$ และ $8 \le k - 2 \le k$ ราคา $k - 2$ จึงรวมได้ตามสมมติฐาน เติมแสตมป์ 3 บาทอีกดวง ✓ รวมได้ทุกราคาตั้งแต่ 8 บาทขึ้นไป (7 บาทรวมไม่ได้) · ขั้นอุปนัยย้อนไป 3 ขั้น จึงต้องมีกรณีฐาน 3 ค่า ถ้าตรวจแค่ $n = 8$ ขั้นจาก 8 ไป 9 จะต้องพึ่ง $9 - 3 = 6$ ซึ่งไม่เคยแสดงไว้ ตัวอย่าง 14 · อุปนัยแบบเข้มกับลำดับเวียนเกิด ### $a_1 = 1,\ a_2 = 5,\ a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2}$ เมื่อ $n \ge 3$ พิสูจน์ว่า $a_n = 2^n + (-1)^n$ - กรณีฐาน (สองค่า เพราะความสัมพันธ์ใช้สองพจน์ก่อนหน้า): $a_1 = 2 - 1 = 1$ และ $a_2 = 4 + 1 = 5$ จริง - สมมติฐานแบบเข้ม: ให้ $k \ge 2$ และสมมติ $a_j = 2^j + (-1)^j$ ทุก $j \le k$ - $a_{k+1} = a_k + 2a_{k-1} = 2^k + (-1)^k + 2\big(2^{k-1} + (-1)^{k-1}\big) = 2^{k+1} + (-1)^{k-1}\big(-1 + 2\big)$ - $= 2^{k+1} + (-1)^{k-1} = 2^{k+1} + (-1)^{k+1}$ ✓ (ตรวจ: $a_3 = 7,\ a_4 = 17,\ a_5 = 31$) จริงทุก $n \ge 1$ · แนวคิดเดียวกันใช้พิสูจน์ขอบเขตของเลขฟีโบนัชชี และรูปปิดของสมการผลต่างอันดับสองที่ใช้ในระบบควบคุมดิจิทัล ## เปรียบเทียบอุปนัยธรรมดากับอุปนัยแบบเข้ม | | อุปนัยธรรมดา (weak) | อุปนัยแบบเข้ม (strong) | | สมมติฐาน | $P(k)$ จริง | $P(n_0), \dots, P(k)$ จริงทั้งหมด | | ใช้เมื่อขั้นอุปนัยต้องการ | กรณีก่อนหน้าหนึ่งกรณี | $P(k-1)$, $P(k-2)$ หรือกรณีที่เล็กกว่าซึ่งไม่รู้ล่วงหน้า | | กรณีฐาน | มักมีค่าเดียว | เท่ากับจำนวนขั้นที่ย้อน (2 ค่าเมื่อใช้ $a_{k-1}$ กับ $a_k$, 3 ค่าเมื่อใช้ “$k - 2$ แล้วเติมแสตมป์ 3 บาท”) | | โจทย์ที่พบบ่อย | ผลบวก หารลงตัว อสมการ ลำดับเวียนเกิดอย่างง่าย | แยกตัวประกอบเฉพาะ แสตมป์และเหรียญ ฟีโบนัชชี ลำดับที่ใช้สองพจน์ก่อนหน้า | ทั้งสองแบบมีพลังเท่ากัน อะไรที่พิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้มได้ ก็เขียนใหม่เป็นอุปนัยธรรมดาบนข้อความ “$P(n_0), \dots, P(n)$ จริงทั้งหมด” ได้เสมอ เลือกแบบที่ทำให้ขั้นอุปนัยเขียนง่ายกว่า ## ข้อผิดพลาดที่ทำให้เสียคะแนน - ลืมกรณีฐาน: สูตรผิด $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n^2 + n + 2}{2}$ ผ่านขั้นอุปนัยได้ แต่ที่ $n = 1$ ได้ $2 \ne 1$ - สรุปจากตัวอย่าง: $n^2 + n + 41$ เป็นจำนวนเฉพาะถึง $n = 39$ แต่ $n = 40$ ได้ $41^2$ - เขียนสมการ P(k+1) แล้วจัดรูปสองข้างจนได้ 0 = 0: เท่ากับสมมติสิ่งที่จะพิสูจน์ ให้เริ่มจากด้านซ้ายด้านเดียว - ขั้นอุปนัยใช้ไม่ได้กับ k เล็ก: ปัญหา “ม้าทุกตัวสีเดียวกัน” พังที่ขั้น 1 → 2 - อุปนัยแบบเข้มแต่กรณีฐานไม่ครบ: ถ้าขั้นอุปนัยใช้ $P(k-2)$ กรณีที่ย้อนลงไปถึงไม่ได้ต้องตรวจตรงทุกค่า เหมือนตัวอย่าง 13 ## ลองทำเอง - พิสูจน์ว่า $1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-1} = 2^n - 1$ คำใบ้ ดึง $2^k$ ออก: $(2^k - 1) + 2^k = 2^{k+1} - 1$ - พิสูจน์ว่า $5^n - 1$ หารด้วย 4 ลงตัว คำใบ้ $5^{k+1} - 1 = 5(5^k - 1) + 4$ - พิสูจน์ว่า $3^n > 2n + 1$ ทุก $n \ge 2$ คำใบ้ กรณีฐาน $9 > 5$ แล้ว $3^{k+1} > 3(2k + 1) = 6k + 3 > 2k + 3$ - มีแสตมป์ 4 บาทและ 7 บาท หาค่า $N$ ที่น้อยที่สุดที่รวมได้ทุกราคา $n \ge N$ แล้วพิสูจน์ด้วยอุปนัยแบบเข้ม เฉลย $N = 18$ (17 บาทรวมไม่ได้) กรณีฐาน 18 ถึง 21 (สี่ค่า เพราะขั้นอุปนัยคือ $k + 1 = (k - 3) + 4$) ## เรียนต่อในคลังความรู้ - อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ฉบับเต็ม: แบบเข้ม แคลคูลัส ลาปลาซ และงานวิศวกรรม - อุปนัยแบบเข้มเพิ่มเติม: แสตมป์ 4 และ 5 บาท ขอบเขตฟีโบนัชชี และลำดับเวียนเกิดที่มีขอบเขต - ตัวตรวจอุปนัย: แทนตัวเลขในขั้นอุปนัย และตรวจสูตรผลบวกของคุณเอง - เกมหาบรรทัดผิดในบทพิสูจน์ 5 ข้อ - สูตรซิกมาและผลบวกที่ใช้อุปนัยพิสูจน์ - อ่านต่อ: สูตรอนุกรมเรขาคณิต และเมื่อไรจึงลู่เข้า ## คำถามที่พบบ่อย อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มีกี่ขั้นตอน? สองขั้นหลัก คือกรณีฐาน (แสดงว่า $P(n_0)$ จริง) และขั้นอุปนัย (สมมติ $P(k)$ จริงแล้วแสดงว่า $P(k+1)$ จริง) เวลาเขียนตอบนิยมแบ่งเป็น 4 ส่วน: นิยาม P(n) กรณีฐาน สมมติฐานการอุปนัย และขั้นอุปนัยพร้อมข้อสรุป ข้อความ P(n) (induction statement) คืออะไร? คือประโยคที่ต้องการพิสูจน์ เขียนให้เป็นจริงหรือเท็จได้เมื่อแทนค่า n เช่น $P(n)$: $1 + 3 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ ต้องเป็นข้อความ ไม่ใช่นิพจน์ การเขียนว่า “ให้ $P(n) = n^2 + n$” ไม่ใช่ข้อความอุปนัย เพราะไม่มีค่าความจริง อุปนัยธรรมดากับอุปนัยแบบเข้ม (strong induction) ต่างกันอย่างไร? อุปนัยธรรมดาสมมติเพียง $P(k)$ เพื่อพิสูจน์ $P(k+1)$ ส่วนอุปนัยแบบเข้มสมมติทุกกรณีตั้งแต่ $P(n_0)$ ถึง $P(k)$ ใช้เมื่อขั้นอุปนัยต้องพึ่งกรณีก่อนหน้า เช่น $P(k-1)$ หรือกรณีที่เล็กกว่าซึ่งไม่รู้ล่วงหน้า เช่นลำดับเวียนเกิดที่ใช้สองพจน์ก่อนหน้า การแยกตัวประกอบเฉพาะ และโจทย์แสตมป์หรือเหรียญ อุปนัยแบบเข้มต้องมีกรณีฐานเท่ากับจำนวนขั้นที่ย้อนกลับไป กรณีฐานต้องเริ่มที่ n = 1 เสมอไหม? ไม่เสมอ เริ่มที่ค่าแรกที่ข้อความจริงและขั้นอุปนัยใช้ได้ต่อเนื่อง เช่น $2^n > n^2$ ต้องเริ่มที่ $n = 5$ เพราะ $n = 2, 3, 4$ ไม่จริง ทำไมตรวจหลายค่าแล้วยังไม่ถือว่าพิสูจน์? เพราะจำนวนนับมีไม่สิ้นสุด เช่น $n^2 + n + 41$ เป็นจำนวนเฉพาะทุกค่าตั้งแต่ $n = 0$ ถึง $39$ แต่ที่ $n = 40$ ได้ $1681 = 41^2$ ต้องมีขั้นอุปนัยที่ใช้ได้กับทุก k ถ้าพิสูจน์ขั้นอุปนัยได้โดยไม่ใช้สมมติฐานเลย ผิดไหม? ไม่ผิดทางตรรกะ แต่แปลว่าข้อนั้นพิสูจน์ตรงได้โดยไม่ต้องใช้อุปนัย ในข้อสอบส่วนใหญ่ ถ้าไม่ได้ใช้สมมติฐานมักเป็นสัญญาณว่ามีอะไรผิด ควรทำเครื่องหมายบรรทัดที่ใช้สมมติฐานให้ชัด ## บทความอื่นที่น่าอ่าน ลำดับและอนุกรม ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง? แผนที่ภาพรวมจากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์ ภาพรวมทั้งบทลำดับและอนุกรมในหน้าเดียว: แต่ละเรื่องตอบคำถามอะไร สูตรหัวใจ แนวข้อสอบ และต่อกันอย่างไร ตั้งแต่ลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้า… 24 ต.ค. 2569อ่านบทความ → ลำดับและอนุกรม อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series): สูตร ตัวอย่าง และวิธีหาผลบวก อนุกรมเรขาคณิตคืออะไร สูตรผลบวก n พจน์ และอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ (infinite geometric series) a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 พร้อมที่มาของสูตร… 17 ต.ค. 2569อ่านบทความ → ลำดับและอนุกรม อนุกรมเทย์เลอร์ (อนุกรมเทเลอร์, Taylor Series) คืออะไร ใช้ทำอะไร พร้อมตัวอย่าง อนุกรมเทย์เลอร์ (อนุกรมเทเลอร์) คืออะไร สูตรและตารางอนุกรมแมคลอรินที่ต้องจำ ตัวอย่าง 8 ข้อ: ประมาณค่า กระจายรอบจุดอื่น ใช้กี่พจน์… 17 ต.ค. 2569อ่านบทความ → ดูบทความทั้งหมดในหมวดลำดับและอนุกรม (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด ## คำถามที่พบบ่อย (FAQ) **อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มีกี่ขั้นตอน?** สองขั้นหลัก คือกรณีฐาน (แสดงว่า $P(n_0)$ จริง) และขั้นอุปนัย (สมมติ $P(k)$ จริงแล้วแสดงว่า $P(k+1)$ จริง) เวลาเขียนตอบนิยมแบ่งเป็น 4 ส่วน: นิยาม P(n) กรณีฐาน สมมติฐานการอุปนัย และขั้นอุปนัยพร้อมข้อสรุป **ข้อความ P(n) (induction statement) คืออะไร?** คือประโยคที่ต้องการพิสูจน์ เขียนให้เป็นจริงหรือเท็จได้เมื่อแทนค่า n เช่น $P(n)$: $1 + 3 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ ต้องเป็นข้อความ ไม่ใช่นิพจน์ การเขียนว่า “ให้ $P(n) = n^2 + n$” ไม่ใช่ข้อความอุปนัย เพราะไม่มีค่าความจริง **อุปนัยธรรมดากับอุปนัยแบบเข้ม (strong induction) ต่างกันอย่างไร?** อุปนัยธรรมดาสมมติเพียง $P(k)$ เพื่อพิสูจน์ $P(k+1)$ ส่วนอุปนัยแบบเข้มสมมติทุกกรณีตั้งแต่ $P(n_0)$ ถึง $P(k)$ ใช้เมื่อขั้นอุปนัยต้องพึ่งกรณีก่อนหน้า เช่น $P(k-1)$ หรือกรณีที่เล็กกว่าซึ่งไม่รู้ล่วงหน้า เช่นลำดับเวียนเกิดที่ใช้สองพจน์ก่อนหน้า การแยกตัวประกอบเฉพาะ และโจทย์แสตมป์หรือเหรียญ อุปนัยแบบเข้มต้องมีกรณีฐานเท่ากับจำนวนขั้นที่ย้อนกลับไป **กรณีฐานต้องเริ่มที่ n = 1 เสมอไหม?** ไม่เสมอ เริ่มที่ค่าแรกที่ข้อความจริงและขั้นอุปนัยใช้ได้ต่อเนื่อง เช่น $2^n > n^2$ ต้องเริ่มที่ $n = 5$ เพราะ $n = 2, 3, 4$ ไม่จริง **ทำไมตรวจหลายค่าแล้วยังไม่ถือว่าพิสูจน์?** เพราะจำนวนนับมีไม่สิ้นสุด เช่น $n^2 + n + 41$ เป็นจำนวนเฉพาะทุกค่าตั้งแต่ $n = 0$ ถึง $39$ แต่ที่ $n = 40$ ได้ $1681 = 41^2$ ต้องมีขั้นอุปนัยที่ใช้ได้กับทุก k **ถ้าพิสูจน์ขั้นอุปนัยได้โดยไม่ใช้สมมติฐานเลย ผิดไหม?** ไม่ผิดทางตรรกะ แต่แปลว่าข้อนั้นพิสูจน์ตรงได้โดยไม่ต้องใช้อุปนัย ในข้อสอบส่วนใหญ่ ถ้าไม่ได้ใช้สมมติฐานมักเป็นสัญญาณว่ามีอะไรผิด ควรทำเครื่องหมายบรรทัดที่ใช้สมมติฐานให้ชัด