---
title: "อนุกรมโลรองต์คืออะไร ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร (อธิบายด้วยภาพ)"
url: https://modsengineeringmath.com/blog/laurent-series-vs-taylor-series/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-24
---

> อนุกรมโลรองต์ (Laurent series) เทียบกับอนุกรมเทย์เลอร์: กำลังลบ ส่วนหลัก วงแหวนการลู่เข้า ทำไมฟังก์ชันเดียวมีหลายอนุกรม ชนิดจุดเอกฐาน เรซิดิว และความเชื่อมโยงกับการแปลง Z พร้อมตัวอย่างทีละขั้น

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/blog/laurent-series-vs-taylor-series/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# อนุกรมโลรองต์คืออะไร ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร (อธิบายด้วยภาพ)

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · ลำดับและอนุกรม


อนุกรมเทย์เลอร์เขียนฟังก์ชันเป็นพหุนามยาวไม่สิ้นสุดรอบจุดที่ฟังก์ชัน “ปกติดี” แต่ในงานวิศวกรรมเรามักสนใจจุดที่ฟังก์ชันระเบิด เช่น โพลของฟังก์ชันถ่ายโอน อนุกรมโลรองต์แก้ปัญหานี้ด้วยไอเดียเดียว: ยอมให้มีกำลังลบ บทความนี้เทียบสองอนุกรมแบบเห็นภาพ และพาไปถึงเหตุผลที่วิศวกรไฟฟ้าใช้มันทุกวันผ่านการแปลง Z

สรุปใน 30 วินาที

- เทย์เลอร์: $\sum_{n\ge0} a_n(z-c)^n$ ลู่เข้าในดิสก์ · โลรองต์: $\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z-c)^n$ ลู่เข้าในวงแหวน

- ฟังก์ชันเดียวมีอนุกรมโลรองต์ได้หลายแบบ หนึ่งแบบต่อหนึ่งวงแหวน

- สัมประสิทธิ์ $a_{-1}$ คือเรซิดิว · การแปลง Z คืออนุกรมโลรองต์รอบ 0

## เทียบกันตรง ๆ

| | อนุกรมเทย์เลอร์ | อนุกรมโลรองต์ |

| รูป | $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-c)^n$ | $\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z-c)^n$ |

| บริเวณที่ลู่เข้า | ดิสก์ $|z - c| < R$ | วงแหวน $r_1 < |z - c| < r_2$ |

| ต้องการ | f วิเคราะห์ที่ c | f วิเคราะห์ในวงแหวน (ที่ c จะเป็นอะไรก็ได้) |

| สัมประสิทธิ์ | $a_n = f^{(n)}(c)/n!$ | $a_n = \frac{1}{2\pi i}\oint\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}dz$ |

| จำนวนแบบต่อฟังก์ชัน | หนึ่งแบบต่อจุด c | หนึ่งแบบต่อวงแหวน |

| ใช้ทำอะไร | ประมาณค่า ลิมิต ทำให้เป็นเชิงเส้น | จำแนกจุดเอกฐาน เรซิดิว อินทิกรัล การแปลง Z |

## ทำไมต้องมีกำลังลบ

ลองกระจาย $\dfrac{e^z}{z^2}$ รอบ 0 ด้วยเทย์เลอร์ ทำไม่ได้เพราะ $f(0)$ ไม่นิยาม แต่ถ้าเอาอนุกรม $e^z = 1 + z + \tfrac{z^2}{2} + \cdots$ มาหารด้วย $z^2$ จะได้ทันที

$$\frac{e^z}{z^2} = \underbrace{\frac{1}{z^2} + \frac{1}{z}}_{\text{ส่วนหลัก}} + \underbrace{\frac12 + \frac{z}{6} + \frac{z^2}{24} + \cdots}_{\text{ส่วนที่เหมือนเทย์เลอร์}},\qquad 0 < |z| < \infty$$

พจน์กำลังลบสองตัวแรกบอกพฤติกรรมใกล้ 0 ทั้งหมด: ฟังก์ชันระเบิดแบบ $1/z^2$ (โพลอันดับ 2) และพจน์ $1/z$ มีสัมประสิทธิ์ 1 ซึ่งคือเรซิดิว ส่วนที่เหลือเป็นพหุนามธรรมดาที่ไม่มีปัญหา

## ฟังก์ชันเดียว หลายอนุกรม: เรื่องของวงแหวน

นี่คือจุดที่ทำให้นักศึกษาสับสนมากที่สุด $f(z) = \dfrac{1}{(z-1)(z-2)}$ มีโพลที่ 1 และ 2 วงกลมที่ผ่านโพลแบ่งระนาบรอบ 0 ออกเป็นสามบริเวณ และแต่ละบริเวณมีอนุกรมของตัวเอง

สามบริเวณรอบ 0: (ก) ดิสก์ |z| < 1 ให้อนุกรมเทย์เลอร์ (ข) วงแหวน 1 < |z| < 2 (ค) ภายนอก |z| > 2

เคล็ดลับมีข้อเดียว: แยกเศษส่วนย่อย $f = \dfrac{1}{z-2} - \dfrac{1}{z-1}$ แล้วกระจายแต่ละตัวด้วยอนุกรมเรขาคณิต โดยโพลที่อยู่ข้างในบริเวณให้กำลังลบ โพลที่อยู่ข้างนอกให้กำลังบวก

- (ก) $|z| < 1$: $f = \tfrac12 + \tfrac34 z + \tfrac78 z^2 + \cdots$ (ไม่มีกำลังลบ = เทย์เลอร์)

- (ข) $1 < |z| < 2$: $f = \cdots - \tfrac{1}{z^2} - \tfrac{1}{z} - \tfrac12 - \tfrac{z}{4} - \tfrac{z^2}{8} - \cdots$ (มีทั้งสองทิศ)

- (ค) $|z| > 2$: $f = \tfrac{1}{z^2} + \tfrac{3}{z^3} + \tfrac{7}{z^4} + \cdots$ (มีแต่กำลังลบ)

ตรวจด้วยการแทนค่าก็ได้: ที่ $z = 1.5$ อนุกรม (ข) ลู่เข้าสู่ $f(1.5) = -4$ แต่ถ้าใช้อนุกรม (ก) ที่ $z = 1.5$ จะลู่ออก ทั้งที่ f(1.5) มีค่าปกติ ลองลากจุดดูเองในแล็บวงแหวนโลรองต์

## อ่านชนิดจุดเอกฐานจากส่วนหลัก

ถอดได้: มีขอบเขต · โพล: ระเบิดทุกทิศ · เอกฐานแท้: พฤติกรรมขึ้นกับทิศที่เข้าใกล้

- ไม่มีกำลังลบ → ถอดได้ เช่น $\tfrac{\sin z}{z} = 1 - \tfrac{z^2}{6} + \cdots$

- กำลังลบจำนวนจำกัด สูงสุด m → โพลอันดับ m เช่น $\tfrac{\sin z}{z^4} = \tfrac{1}{z^3} - \tfrac{1}{6z} + \cdots$ (อันดับ 3)

- กำลังลบอนันต์พจน์ → เอกฐานแท้ เช่น $e^{1/z} = 1 + \tfrac1z + \tfrac{1}{2z^2} + \cdots$

## เรซิดิว: ตัวเลขตัวเดียวที่เหลือจากอินทิกรัล

เมื่ออินทิเกรตอนุกรมโลรองต์รอบวงกลมในวงแหวน ทุกพจน์ $(z-c)^n$ ให้ศูนย์ ยกเว้น $n = -1$ ที่ให้ $2\pi i$ ดังนั้น $\oint f\,dz = 2\pi i\,a_{-1}$ ตัวเลข $a_{-1}$ จึงชื่อเรซิดิว (ส่วนที่เหลือ) และนี่คือที่มาของเทคนิค “cover-up” ในการแยกเศษส่วนย่อยเพื่อหาการแปลงลาปลาซผกผัน ซึ่งแท้จริงคือการหาเรซิดิวที่แต่ละโพล

## ทำไมวิศวกรไฟฟ้าต้องรู้: การแปลง Z

การแปลง Z ของสัญญาณดิจิทัล $X(z) = \sum x[n]z^{-n}$ คืออนุกรมโลรองต์รอบ 0 โดยตรง สัญญาณ x[n] คือสัมประสิทธิ์ของ $z^{-n}$ เรื่องที่ตำราระบบสัญญาณเรียก “ROC” ก็คือวงแหวนการลู่เข้า ตัวอย่าง $X(z) = \dfrac{z}{z - 0.5}$:

- ROC $|z| > 0.5$ (นอกโพล): $X = 1 + 0.5z^{-1} + 0.25z^{-2} + \cdots$ ⇒ $x[n] = 0.5^n u[n]$ สัญญาณข้างขวา

- ROC $|z| < 0.5$ (ในโพล): กระจายเป็นกำลังบวก ⇒ $x[n] = -0.5^n u[-n-1]$ สัญญาณข้างซ้าย

สูตรเดียวกัน สองสัญญาณ ต่างกันที่วงแหวน และระบบเสถียรเมื่อวงแหวนครอบวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งคือเงื่อนไขการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ $\sum|h[n]| < \infty$ ดูตัวอย่างสามบริเวณแบบเต็มในหัวข้อการแปลง Z

## สรุป: ใช้ตัวไหนเมื่อไร

- ต้องการประมาณค่า ทำให้เป็นเชิงเส้น หาลิมิต → เทย์เลอร์

- ต้องการรู้พฤติกรรมใกล้โพล หาเรซิดิว อินทิกรัลเส้นปิด การแปลงผกผัน → โลรองต์

- ถ้าบริเวณที่สนใจไม่มีจุดเอกฐานเลย สองอย่างคืออนุกรมเดียวกัน

## เรียนต่อในคลังความรู้

- อนุกรมโลรองต์ฉบับเต็ม: วงแหวน ชนิดจุดเอกฐาน เรซิดิว อินทิกรัลจริง การแปลง Z

- อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอริน: ตาราง เศษเหลือ เทคนิคลัด

- จำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชันวิเคราะห์ และทฤษฎีบทเรซิดิว

- แนวข้อสอบคณิตศาสตร์วิศวกรรมชุด C

## คำถามที่พบบ่อย

อนุกรมโลรองต์ใช้เมื่อไร แทนอนุกรมเทย์เลอร์?
ใช้เมื่อต้องการกระจายฟังก์ชันรอบจุดที่ฟังก์ชันไม่วิเคราะห์ (จุดเอกฐาน) หรือในบริเวณที่มีจุดเอกฐานอยู่ข้างใน เช่นวงแหวน $1
ส่วนหลัก (principal part) คืออะไร?
คือกลุ่มพจน์กำลังลบ $\sum_{n\ge1} a_{-n}(z-c)^{-n}$ ของอนุกรมโลรองต์ เป็นส่วนที่บอกว่าฟังก์ชัน “ระเบิด” อย่างไรใกล้ c ไม่มีส่วนหลักคือจุดเอกฐานที่ถอดได้ มีจำนวนจำกัดคือโพล มีอนันต์คือเอกฐานแท้

เรซิดิวสำคัญอย่างไร?
เรซิดิวคือสัมประสิทธิ์ $a_{-1}$ เป็นพจน์เดียวที่เหลือเมื่ออินทิเกรตรอบเส้นปิด จึงได้ทฤษฎีบทเรซิดิว $\oint f\,dz = 2\pi i\sum\operatorname{Res}$ ใช้คำนวณอินทิกรัลจริงที่ยาก การแปลงลาปลาซผกผัน และการแปลง Z ผกผัน

การแปลง Z เกี่ยวกับอนุกรมโลรองต์อย่างไร?
การแปลง Z นิยามเป็น $X(z) = \sum x[n]z^{-n}$ ซึ่งคืออนุกรมโลรองต์รอบ 0 สัญญาณ x[n] คือสัมประสิทธิ์ และบริเวณการลู่เข้า (ROC) คือวงแหวนของอนุกรม X(z) เดียวกันกับ ROC ต่างกันจึงให้สัญญาณต่างกัน

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

ลำดับและอนุกรม
เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น พร้อมตัวอย่างทุกขั้น
วิธีเลือกการทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมให้ถูกตั้งแต่ครั้งแรก: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น (พจน์ที่ n เรขาคณิต อนุกรม p กล้องส่องทางไกล เปรียบเทียบลิมิต…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
รัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังหาอย่างไร: 3 วิธี ตรวจปลายช่วง และเหตุผลจากระนาบเชิงซ้อน
วิธีหารัศมีการลู่เข้า (radius of convergence) ของอนุกรมกำลัง 3 วิธี: การทดสอบอัตราส่วน การทดสอบราก และระยะถึงจุดเอกฐานเชิงซ้อน…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง? แผนที่ภาพรวมจากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์
ภาพรวมทั้งบทลำดับและอนุกรมในหน้าเดียว: แต่ละเรื่องตอบคำถามอะไร สูตรหัวใจ แนวข้อสอบ และต่อกันอย่างไร ตั้งแต่ลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้า…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดลำดับและอนุกรม (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**อนุกรมโลรองต์ใช้เมื่อไร แทนอนุกรมเทย์เลอร์?**
ใช้เมื่อต้องการกระจายฟังก์ชันรอบจุดที่ฟังก์ชันไม่วิเคราะห์ (จุดเอกฐาน) หรือในบริเวณที่มีจุดเอกฐานอยู่ข้างใน เช่นวงแหวน $1 < |z| < 2$ ของ $1/((z-1)(z-2))$ ถ้าฟังก์ชันวิเคราะห์ทั้งดิสก์ อนุกรมโลรองต์จะกลายเป็นอนุกรมเทย์เลอร์เอง

**ส่วนหลัก (principal part) คืออะไร?**
คือกลุ่มพจน์กำลังลบ $\sum_{n\ge1} a_{-n}(z-c)^{-n}$ ของอนุกรมโลรองต์ เป็นส่วนที่บอกว่าฟังก์ชัน “ระเบิด” อย่างไรใกล้ c ไม่มีส่วนหลักคือจุดเอกฐานที่ถอดได้ มีจำนวนจำกัดคือโพล มีอนันต์คือเอกฐานแท้

**เรซิดิวสำคัญอย่างไร?**
เรซิดิวคือสัมประสิทธิ์ $a_{-1}$ เป็นพจน์เดียวที่เหลือเมื่ออินทิเกรตรอบเส้นปิด จึงได้ทฤษฎีบทเรซิดิว $\oint f\,dz = 2\pi i\sum\operatorname{Res}$ ใช้คำนวณอินทิกรัลจริงที่ยาก การแปลงลาปลาซผกผัน และการแปลง Z ผกผัน

**การแปลง Z เกี่ยวกับอนุกรมโลรองต์อย่างไร?**
การแปลง Z นิยามเป็น $X(z) = \sum x[n]z^{-n}$ ซึ่งคืออนุกรมโลรองต์รอบ 0 สัญญาณ x[n] คือสัมประสิทธิ์ และบริเวณการลู่เข้า (ROC) คือวงแหวนของอนุกรม X(z) เดียวกันกับ ROC ต่างกันจึงให้สัญญาณต่างกัน