---
title: "แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเชิงตัวเลข: เกาส์ LU จาโคบี หรือเกาส์-ไซเดล เลือกวิธีไหนดี"
url: https://modsengineeringmath.com/blog/jacobi-vs-gauss-seidel/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-25
---

> เปรียบเทียบวิธีเชิงตัวเลขสำหรับระบบสมการเชิงเส้นแบบเห็นภาพรวม การกำจัดแบบเกาส์กับการสลับแถว LU โชเลสกี จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR เงื่อนไขการลู่เข้า และเลขเงื่อนไข พร้อมตัวอย่างตัวเลขและตารางเลือกวิธี

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/blog/jacobi-vs-gauss-seidel/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเชิงตัวเลข: เกาส์ LU จาโคบี หรือเกาส์-ไซเดล เลือกวิธีไหนดี

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · วิธีเชิงตัวเลข


โปรแกรมจำลองวงจร วิเคราะห์โครงสร้าง และคำนวณความร้อนต้องแก้ $A\mathbf x = \mathbf b$ ที่มีตัวแปรนับพันถึงนับล้าน วิธีที่ใช้ในห้องเรียนจึงไม่พอ บทความนี้เปรียบเทียบวิธีหลักทั้งหมดแบบเห็นภาพรวม ว่าแต่ละวิธีทำงานอย่างไร เร็วแค่ไหน และควรเลือกเมื่อไร

สรุปใน 30 วินาที

- วิธีตรง (เกาส์ LU โชเลสกี โทมัส) จบในจำนวนขั้นที่แน่นอน เหมาะกับระบบหนาแน่นขนาดกลาง ต้องสลับแถวเสมอ

- วิธีทำซ้ำ (จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR) ปรับค่าเดาทีละรอบ เหมาะกับระบบใหญ่และเบาบาง

- เกาส์-ไซเดลมักเร็วกว่าจาโคบีราวสองเท่า SOR ที่ $\omega$ เหมาะสมเร็วกว่าอีกหลายเท่า

- ก่อนเชื่อคำตอบ ดูเลขเงื่อนไข $\kappa(A)$ ซึ่งบอกว่าอาจเสียความแม่นยำราว $\log_{10}\kappa$ หลัก

## ภาพรวม: วิธีตรงกับวิธีทำซ้ำ

สองตระกูลของวิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้น เลือกตามขนาด ความเบาบาง และโครงสร้างของเมทริกซ์

กฎของคราเมอร์ไม่อยู่ในแผนที่นี้ เพราะต้นทุนโตแบบแฟกทอเรียล ระบบ 20 ตัวแปรต้องคูณราว $5\times10^{19}$ ครั้ง ขณะที่การกำจัดแบบเกาส์ใช้ราว 2,700 ครั้ง (ดูเหตุผลใน บทความกฎของคราเมอร์)

## วิธีตรง: เกาส์ LU โชเลสกี และโทมัส

การกำจัดแบบเกาส์ ทำให้ใต้แนวทแยงเป็นศูนย์แล้วแทนค่าย้อนกลับ ใช้ราว $\tfrac23n^3$ flops จุดสำคัญคือการสลับแถว (partial pivoting) ให้ตัวหลักใหญ่ที่สุดในหลัก ตัวอย่างบนเครื่องที่เก็บ 3 หลักนัยสำคัญ

$$\begin{aligned} 0.0001x + y &= 1 \\ x + y &= 2 \end{aligned} \qquad \text{ไม่สลับ: } x = 0\ (\text{ผิด}),\qquad \text{สลับแถว: } x = 1.00\ (\text{ถูก})$$

เพราะตัวคูณ $1/0.0001 = 10^4$ ทำให้ $1 - 10^4$ ปัดเป็น $-1.00\times10^4$ ข้อมูลของสมการแรกหายไปหมด ลองปรับจำนวนหลักเองได้ใน แล็บการสลับแถว

- การแยก LU คือเกาส์ที่เก็บตัวคูณไว้ใน $L$ แยกครั้งเดียวแล้วแก้ $\mathbf b$ ใหม่ได้ด้วยต้นทุนแค่ $\approx 2n^2$ เหมาะกับวงจรที่แหล่งจ่ายเปลี่ยนแต่โครงสร้างเดิม

- โชเลสกี $A = LL^T$ สำหรับเมทริกซ์สมมาตรบวกแน่นอน เช่น เมทริกซ์ความนำของวงจรตัวต้านทาน เร็วกว่า LU สองเท่าและไม่ต้องสลับแถว

- โทมัส สำหรับเมทริกซ์สามแนวทแยง (แท่งความร้อน สายส่งแบบขั้นบันได) ใช้เวลา $O(n)$ เช่น แท่งที่ปลาย 100 °C กับ 0 °C แบ่ง 4 โหนดได้ $T = (80, 60, 40, 20)$ °C

## วิธีทำซ้ำ: จาโคบีเทียบเกาส์-ไซเดล

ทั้งสองวิธีแก้สมการที่ $i$ หา $x_i$ โดยใช้ค่าประมาณของตัวแปรอื่น ต่างกันแค่ว่าใช้ค่า “เก่า” หรือค่า “ใหม่”

$$\text{จาโคบี: } x_i^{(k+1)} = \frac{b_i - \sum_{j\ne i}a_{ij}x_j^{(k)}}{a_{ii}},\qquad \text{เกาส์-ไซเดล: ใช้ } x_j^{(k+1)} \text{ ทันทีสำหรับ } j \lt i$$

ระบบ $4x - y + z = 7,\ 4x - 8y + z = -21,\ -2x + y + 5z = 15$ มีคำตอบ $(2, 4, 3)$ เริ่มที่ $(1, 2, 2)$

| รอบ | จาโคบี | เกาส์-ไซเดล |

| 1 | (1.750, 3.375, 3.000) | (1.750, 3.750, 2.950) |

| 2 | (1.844, 3.875, 3.025) | (1.950, 3.969, 2.986) |

| 3 | (1.963, 3.925, 2.963) | (1.996, 3.996, 2.999) |

ความคลาดเคลื่อนของเกาส์-ไซเดลลดลงราว 8 เท่าต่อรอบ ($\rho = 0.125$) จาโคบีราว 3 เท่า ($\rho \approx 0.335$)

## ลู่เข้าเมื่อไร และ SOR เร่งได้อย่างไร

- ทแยงเด่นแท้ $|a_{ii}| \gt \sum_{j\ne i}|a_{ij}|$ ทุกแถว → ลู่เข้าแน่นอน ถ้าไม่ทแยงเด่นให้ลองสลับลำดับสมการก่อน

- เงื่อนไขแท้คือรัศมีสเปกตรัม $\rho(T) \lt 1$ และต้องใช้ราว $d/(-\log_{10}\rho)$ รอบเพื่อเพิ่มความแม่น $d$ หลัก

- SOR ก้าวเลยค่าของเกาส์-ไซเดลด้วยตัวประกอบ $1 \lt \omega \lt 2$ ระบบแท่งความร้อน 10 ตัวแปรต้องใช้ราว 334 รอบ (จาโคบี) 167 รอบ (เกาส์-ไซเดล) แต่ SOR ที่ $\omega \approx 1.56$ ใช้เพียงราว 24 รอบ

เปรียบเทียบทั้งสามวิธีพร้อมกันได้ใน ซิมูเลเตอร์จาโคบี · เกาส์-ไซเดล · SOR และดูความร้อนแผ่ในแผ่นโลหะทีละรอบใน แล็บแผ่นความร้อน

## เลขเงื่อนไข: คำตอบเชื่อได้แค่ไหน

ระบบที่สมการเกือบขนานกัน ข้อมูลผิดนิดเดียวคำตอบเปลี่ยนมาก เช่น $x + y = 2,\ x + 1.0001y = 2.0001$ มีคำตอบ $(1, 1)$ แต่ถ้าค่าทางขวาเป็น $2.0002$ คำตอบกลายเป็น $(0, 2)$ เลขเงื่อนไข $\kappa_\infty \approx 4\times10^4$ จึงอาจเสียความแม่นราว 4–5 หลัก

$$\frac{\lVert\delta\mathbf x\rVert}{\lVert\mathbf x\rVert} \le \kappa(A)\,\frac{\lVert\delta\mathbf b\rVert}{\lVert\mathbf b\rVert}$$

## ตารางเลือกวิธี

| ระบบของคุณ | ใช้ |

| 2–3 ตัวแปร ทำมือ | คราเมอร์หรือลดแถว |

| หนาแน่น ขนาดกลาง หลาย $\mathbf b$ | LU + การสลับแถว (numpy.linalg.solve, MATLAB A\b) |

| สมมาตรบวกแน่นอน | โชเลสกี |

| สามแนวทแยง | โทมัส |

| ใหญ่ เบาบาง ทแยงเด่น | เกาส์-ไซเดล หรือ SOR |

| ใหญ่มาก สมมาตรบวกแน่นอน | Conjugate Gradient + preconditioner |

## อ่านต่อในคลังความรู้

- ผลเฉลยเชิงตัวเลขฉบับเต็ม: สูตร N1–N26 ตัวอย่าง และซิมูเลเตอร์ 5 ชุด

- ระบบสมการเชิงเส้นและการกำจัดแบบเกาส์ (ทำมือ)

- ค่าเฉพาะ: ที่มาของรัศมีสเปกตรัม

- แนวข้อสอบวิธีเชิงตัวเลขพร้อมเฉลย

- บทความ: แรงก์ของเมทริกซ์และการมีคำตอบ

## คำถามที่พบบ่อย

จาโคบีกับเกาส์-ไซเดลต่างกันตรงไหน?
จาโคบีคำนวณทุกตัวแปรในรอบใหม่จากค่ารอบก่อนทั้งหมด ส่วนเกาส์-ไซเดลนำค่าที่เพิ่งได้ในรอบเดียวกันมาใช้ทันที เกาส์-ไซเดลจึงมักลู่เข้าเร็วกว่าราวสองเท่าและใช้หน่วยความจำน้อยกว่า ส่วนจาโคบีคำนวณแบบขนานได้ง่าย

เมื่อไรควรใช้วิธีทำซ้ำแทนการแยก LU?
เมื่อระบบใหญ่มากและเมทริกซ์ส่วนใหญ่เป็นศูนย์ (เบาบาง) เช่น การจำลองความร้อน สนามไฟฟ้า หรือไฟไนต์เอลิเมนต์ ที่มีตัวแปรหลักหมื่นถึงหลักล้าน วิธีทำซ้ำไม่ต้องเก็บเมทริกซ์เต็มและไม่เกิดการเติมศูนย์ ส่วนระบบหนาแน่นขนาดกลางให้ใช้ LU กับการสลับแถว

ทำไมต้องสลับแถวในการกำจัดแบบเกาส์?
เพื่อให้ตัวหลักเป็นค่าที่มีขนาดใหญ่ที่สุดในหลัก ตัวคูณจึงไม่เกิน 1 และความคลาดเคลื่อนจากการปัดเศษไม่ถูกขยาย ถ้าตัวหลักเล็กมาก เช่น 0.0001 เครื่องที่เก็บ 3 หลักจะได้คำตอบผิดทั้งหมด

วิธีทำซ้ำจะลู่เข้าเมื่อไร?
ถ้าเมทริกซ์ทแยงเด่นแท้ จาโคบีและเกาส์-ไซเดลลู่เข้าแน่นอน เงื่อนไขที่แท้จริงคือรัศมีสเปกตรัมของเมทริกซ์การทำซ้ำน้อยกว่า 1 และจำนวนรอบที่ต้องใช้ประมาณได้จากจำนวนหลักที่ต้องการหารด้วย −log₁₀ ของรัศมีสเปกตรัม

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

พีชคณิตเชิงเส้น
กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้
สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง
สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
เรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ให้จบ: แผนที่ 7 ขั้นจาก ม.ปลาย สอบเข้ามหาวิทยาลัย ถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม
แผนที่การเรียนเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ คราเมอร์ และวิธีเชิงตัวเลขแบบเห็นภาพรวม ควรเรียนอะไรก่อนหลัง สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้แค่ไหน…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**จาโคบีกับเกาส์-ไซเดลต่างกันตรงไหน?**
จาโคบีคำนวณทุกตัวแปรในรอบใหม่จากค่ารอบก่อนทั้งหมด ส่วนเกาส์-ไซเดลนำค่าที่เพิ่งได้ในรอบเดียวกันมาใช้ทันที เกาส์-ไซเดลจึงมักลู่เข้าเร็วกว่าราวสองเท่าและใช้หน่วยความจำน้อยกว่า ส่วนจาโคบีคำนวณแบบขนานได้ง่าย

**เมื่อไรควรใช้วิธีทำซ้ำแทนการแยก LU?**
เมื่อระบบใหญ่มากและเมทริกซ์ส่วนใหญ่เป็นศูนย์ (เบาบาง) เช่น การจำลองความร้อน สนามไฟฟ้า หรือไฟไนต์เอลิเมนต์ ที่มีตัวแปรหลักหมื่นถึงหลักล้าน วิธีทำซ้ำไม่ต้องเก็บเมทริกซ์เต็มและไม่เกิดการเติมศูนย์ ส่วนระบบหนาแน่นขนาดกลางให้ใช้ LU กับการสลับแถว

**ทำไมต้องสลับแถวในการกำจัดแบบเกาส์?**
เพื่อให้ตัวหลักเป็นค่าที่มีขนาดใหญ่ที่สุดในหลัก ตัวคูณจึงไม่เกิน 1 และความคลาดเคลื่อนจากการปัดเศษไม่ถูกขยาย ถ้าตัวหลักเล็กมาก เช่น 0.0001 เครื่องที่เก็บ 3 หลักจะได้คำตอบผิดทั้งหมด

**วิธีทำซ้ำจะลู่เข้าเมื่อไร?**
ถ้าเมทริกซ์ทแยงเด่นแท้ จาโคบีและเกาส์-ไซเดลลู่เข้าแน่นอน เงื่อนไขที่แท้จริงคือรัศมีสเปกตรัมของเมทริกซ์การทำซ้ำน้อยกว่า 1 และจำนวนรอบที่ต้องใช้ประมาณได้จากจำนวนหลักที่ต้องการหารด้วย −log₁₀ ของรัศมีสเปกตรัม