---
title: "Inverse Laplace Transform ทำอย่างไร: วิธีเศษส่วนย่อย 3 กรณีพร้อมตัวอย่าง"
url: https://modsengineeringmath.com/blog/inverse-laplace-transform-partial-fractions/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-16
---

> วิธีแปลงลาปลาซผกผันด้วยเศษส่วนย่อยสำหรับโพลเดี่ยว โพลซ้ำ และโพลเชิงซ้อน พร้อมตัวอย่างที่ตรวจคำตอบแล้ว และข้อควรระวังเมื่อดีกรีตัวเศษไม่น้อยกว่าตัวส่วน

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/blog/inverse-laplace-transform-partial-fractions/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# Inverse Laplace Transform ทำอย่างไร: วิธีเศษส่วนย่อย 3 กรณีพร้อมตัวอย่าง

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · Inverse Laplace Transform


หลังแก้สมการในโดเมน $s$ ได้ $Y(s)$ เป็นเศษส่วนของพหุนาม ขั้นสุดท้ายคือแปลงกลับเป็น $y(t)$ วิธีมาตรฐานที่ใช้ได้เกือบทุกโจทย์คือแยกเป็นเศษส่วนย่อยแล้วเปิดตาราง บทความนี้แยกเป็น 3 กรณีตามชนิดของโพล

สรุปใน 30 วินาที

- แยกตัวส่วนเป็นตัวประกอบ → ดูชนิดโพล → เขียนเศษส่วนย่อย → หาสัมประสิทธิ์ → เปิดตาราง

- โพลเดี่ยว: ใช้ cover-up · โพลซ้ำ: ต้องมีเทอม $(s+p)^k$ ครบทุกกำลัง · โพลเชิงซ้อน: เติมกำลังสอง

- ถ้าดีกรีตัวเศษ ≥ ตัวส่วน ให้หารยากก่อน

## คู่การแปลงที่ต้องใช้

ทั้งสามกรณีใช้คู่การแปลงชุดเล็ก ๆ นี้ (ชุดเต็มดู ตารางการแปลงลาปลาซ)

| $F(s)$ | $f(t)$, $t \ge 0$ |

| $\dfrac{1}{s}$ | $1$ |

| $\dfrac{1}{s+a}$ | $e^{-at}$ |

| $\dfrac{1}{(s+a)^2}$ | $t\,e^{-at}$ |

| $\dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}$ | $e^{-at}\sin\omega t$ |

| $\dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}$ | $e^{-at}\cos\omega t$ |

## กรณีที่ 1: โพลเดี่ยว (รากจริงไม่ซ้ำ)

ถ้า $F(s)=\dfrac{N(s)}{(s+p_1)(s+p_2)}$ เขียนได้เป็น $\dfrac{A}{s+p_1}+\dfrac{B}{s+p_2}$ โดย $A = \left[(s+p_1)F(s)\right]_{s=-p_1}$ นี่คือวิธี cover-up: ปิดตัวประกอบที่สนใจ แล้วแทนค่า $s$ ลงในส่วนที่เหลือ

ตัวอย่าง 1

### หา $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{3s+5}{(s+1)(s+2)}\right\}$

- หา $A$ ที่โพล $s=-1$: ปิด $(s+1)$ แล้วแทน $s=-1$

$$A = \frac{3(-1)+5}{(-1)+2} = \frac{2}{1} = 2$$

- หา $B$ ที่โพล $s=-2$

$$B = \frac{3(-2)+5}{(-2)+1} = \frac{-1}{-1} = 1$$

- เปิดตาราง

$$F(s)=\frac{2}{s+1}+\frac{1}{s+2} \;\Rightarrow\; f(t) = 2e^{-t} + e^{-2t}$$

ตรวจ: $\dfrac{2}{s+1}+\dfrac{1}{s+2} = \dfrac{2(s+2)+(s+1)}{(s+1)(s+2)} = \dfrac{3s+5}{(s+1)(s+2)}$ ✓

## กรณีที่ 2: โพลซ้ำ

โพลที่ซ้ำ $k$ ครั้งต้องมีเทอมครบทุกกำลังตั้งแต่ 1 ถึง $k$ เช่น $(s+1)^2$ ต้องเขียนเป็น $\dfrac{B}{s+1}+\dfrac{C}{(s+1)^2}$ ถ้าเขียนแค่เทอมกำลังสองจะหาสัมประสิทธิ์ไม่ลงตัว สัมประสิทธิ์ของกำลังสูงสุดหาด้วย cover-up ได้ ส่วนเทอมที่เหลือหาจากอนุพันธ์

$$\text{ถ้า } F(s)=\frac{G(s)}{(s+p)^2}: \quad C = G(-p), \quad B = \left.\frac{dG}{ds}\right|_{s=-p}$$

ตัวอย่าง 2

### หา $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s+1)^2}\right\}$

- เขียนรูปเศษส่วนย่อย

$$\frac{1}{s(s+1)^2} = \frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{(s+1)^2}$$

- โพลเดี่ยวที่ $s=0$: $A = \dfrac{1}{(0+1)^2}=1$

- โพลซ้ำที่ $s=-1$: ให้ $G(s)=1/s$ จะได้ $C=G(-1)=-1$ และ $B=G'(-1)=-\dfrac{1}{s^2}\Big|_{s=-1}=-1$

- เปิดตาราง

$$F(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^2} \;\Rightarrow\; f(t)=1-e^{-t}-t\,e^{-t}$$

ตรวจค่าเริ่มต้น: $f(0)=1-1-0=0$ ตรงกับทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น $\lim_{s\to\infty} sF(s)=\lim \dfrac{1}{(s+1)^2}=0$ ✓

## กรณีที่ 3: โพลเชิงซ้อน (เติมกำลังสอง)

ถ้าส่วนเป็นกำลังสองที่แยกเป็นรากจริงไม่ได้ อย่าแยกเป็นจำนวนเชิงซ้อน ให้เติมกำลังสองให้เป็น $(s+a)^2+\omega^2$ แล้วจัดตัวเศษให้อยู่ในรูป $(s+a)$ กับค่าคงที่ จะตรงกับคู่ cos และ sin ที่มีตัวคูณ $e^{-at}$

ตัวอย่าง 3

### หา $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{s+3}{s^2+2s+5}\right\}$

- เติมกำลังสองที่ตัวส่วน: $s^2+2s+5=(s+1)^2+2^2$

- จัดตัวเศษ: $s+3=(s+1)+2$ แล้วแยก

$$F(s)=\frac{s+1}{(s+1)^2+2^2}+\frac{2}{(s+1)^2+2^2}$$

- เปิดตาราง ด้วย $a=1$, $\omega=2$

$$f(t)=e^{-t}\cos 2t + e^{-t}\sin 2t = e^{-t}(\cos 2t+\sin 2t)$$

โพลอยู่ที่ $s=-1\pm j2$ ผลตอบสนองจึงเป็นการแกว่งที่ความถี่ 2 rad/s ซึ่งแอมพลิจูดลดลงด้วย $e^{-t}$ และเนื่องจากโพลอยู่ซีกซ้าย ระบบเสถียร

## เมื่อตัวเศษดีกรีสูงเกินไป

เศษส่วนย่อยใช้ได้กับเศษส่วนแท้เท่านั้น ถ้าดีกรีตัวเศษ ≥ ตัวส่วน ให้หารยาวก่อน ผลหารที่เป็นค่าคงที่คือแรงกระตุ้น $\delta(t)$ ส่วนผลหารที่เป็นพหุนามของ $s$ คืออนุพันธ์ของแรงกระตุ้น ซึ่งมักบ่งบอกว่าแบบจำลองมีการหาอนุพันธ์อินพุตที่ไม่เป็นจริงในทางกายภาพ ควรตรวจโจทย์อีกครั้ง

## เช็กลิสต์ก่อนส่งคำตอบ

- แทน $t=0$ เทียบกับทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: $f(0^+)=\lim_{s\to\infty}sF(s)$

- ถ้าโพลของ $sF(s)$ อยู่ซีกซ้ายทั้งหมด (โพลเดี่ยวที่ $s=0$ ใน $F(s)$ ใช้ได้) ลองเทียบ $f(\infty)$ กับ $\lim_{s\to0}sF(s)$

- รวมเศษส่วนย่อยกลับ ต้องได้ตัวเศษเดิม

## เรียนต่อในคลังความรู้

- การแปลงลาปลาซผกผันครบทุกกรณี พร้อมเครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ

- แผนภาพโพล-ซีโร่ และ ROC

- คุณสมบัติของการแปลงลาปลาซ (เลื่อนเวลา คอนโวลูชัน ฯลฯ)

- ย้อนไปอ่าน: การแปลงลาปลาซคืออะไร

## คำถามที่พบบ่อย

ถ้าดีกรีของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วนต้องทำอย่างไร?
ต้องหารยาวก่อนเพื่อให้เหลือเศษส่วนแท้ (ดีกรีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน) เช่น $\dfrac{s^2+1}{s(s+1)} = 1 + \dfrac{-s+1}{s(s+1)}$ จำนวน 1 ที่ได้คือแรงกระตุ้น $\delta(t)$ ในโดเมนเวลา

วิธี cover-up (ปิดตัวประกอบ) ใช้ได้กับกรณีไหน?
ใช้หาสัมประสิทธิ์ของโพลเดี่ยวได้เร็วที่สุด โดยคูณทั้งสองข้างด้วย $(s+p)$ แล้วแทน $s=-p$ สำหรับโพลซ้ำใช้ได้เฉพาะสัมประสิทธิ์ของเทอมกำลังสูงสุด ส่วนเทอมที่เหลือต้องหาอนุพันธ์หรือเทียบสัมประสิทธิ์

โพลเชิงซ้อนต้องแยกเป็นเศษส่วนย่อยที่มี j เสมอไหม?
ไม่จำเป็น สำหรับสมการกำลังสองที่รากเป็นเชิงซ้อน ให้เติมกำลังสองให้ส่วนอยู่ในรูป $(s+a)^2+\omega^2$ แล้วใช้คู่การแปลง $e^{-at}\cos\omega t$ และ $e^{-at}\sin\omega t$ ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงตั้งแต่ต้น

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

Laplace
ตารางการแปลงลาปลาซ (Laplace Transform Table) ที่ใช้บ่อย
ตารางคู่การแปลงลาปลาซ 15 คู่ที่พบบ่อยที่สุด และตารางคุณสมบัติ (เลื่อนเวลา เลื่อนความถี่ อนุพันธ์ ปริพันธ์ คอนโวลูชัน ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย)…
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

Laplace
การแปลงลาปลาซ (Laplace Transform) คืออะไร ใช้ทำอะไร
การแปลงลาปลาซเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ให้เป็นสมการพีชคณิต อธิบายนิยาม ขั้นตอน 3 ขั้น ตัวอย่าง y′ + 3y = 6 และวงจร RC ที่คำนวณทีละบรรทัด
16 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อนุกรมโลรองต์คืออะไร ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร (อธิบายด้วยภาพ)
อนุกรมโลรองต์ (Laurent series) เทียบกับอนุกรมเทย์เลอร์: กำลังลบ ส่วนหลัก วงแหวนการลู่เข้า ทำไมฟังก์ชันเดียวมีหลายอนุกรม ชนิดจุดเอกฐาน เรซิดิว…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดการแปลงลาปลาซ (3 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**ถ้าดีกรีของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วนต้องทำอย่างไร?**
ต้องหารยาวก่อนเพื่อให้เหลือเศษส่วนแท้ (ดีกรีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน) เช่น $\dfrac{s^2+1}{s(s+1)} = 1 + \dfrac{-s+1}{s(s+1)}$ จำนวน 1 ที่ได้คือแรงกระตุ้น $\delta(t)$ ในโดเมนเวลา

**วิธี cover-up (ปิดตัวประกอบ) ใช้ได้กับกรณีไหน?**
ใช้หาสัมประสิทธิ์ของโพลเดี่ยวได้เร็วที่สุด โดยคูณทั้งสองข้างด้วย $(s+p)$ แล้วแทน $s=-p$ สำหรับโพลซ้ำใช้ได้เฉพาะสัมประสิทธิ์ของเทอมกำลังสูงสุด ส่วนเทอมที่เหลือต้องหาอนุพันธ์หรือเทียบสัมประสิทธิ์

**โพลเชิงซ้อนต้องแยกเป็นเศษส่วนย่อยที่มี j เสมอไหม?**
ไม่จำเป็น สำหรับสมการกำลังสองที่รากเป็นเชิงซ้อน ให้เติมกำลังสองให้ส่วนอยู่ในรูป $(s+a)^2+\omega^2$ แล้วใช้คู่การแปลง $e^{-at}\cos\omega t$ และ $e^{-at}\sin\omega t$ ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงตั้งแต่ต้น