---
title: "อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series): สูตร ตัวอย่าง และวิธีหาผลบวก"
url: https://modsengineeringmath.com/blog/geometric-series-formula/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-17
---

> อนุกรมเรขาคณิตคืออะไร สูตรผลบวก n พจน์ และอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ (infinite geometric series) a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 พร้อมที่มาของสูตร ตัวอย่างทีละขั้น ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย และการใช้ในงานวิศวกรรม

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/blog/geometric-series-formula/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series): สูตร ตัวอย่าง และวิธีหาผลบวก

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · ลำดับและอนุกรม


อนุกรมเรขาคณิตคือการบวกตัวเลขที่คูณด้วยค่าเดิมทุกครั้ง เช่น $2 + 6 + 18 + 54$ มีสูตรเดียวที่ต้องจำ และมีเงื่อนไขเดียวที่ต้องดูเมื่อบวกไม่สิ้นสุด บทความนี้สรุปสูตร ที่มา และตัวอย่างที่ออกสอบบ่อย

สรุปใน 30 วินาที

- พจน์ทั่วไป: $a_n = a_1 r^{n-1}$ โดย $r$ คืออัตราส่วนร่วม (common ratio) $= a_{n+1}/a_n$

- ผลบวก n พจน์: $S_n = a_1\dfrac{1 - r^n}{1 - r}$ เมื่อ $r \ne 1$

- อนุกรมอนันต์: $S_\infty = \dfrac{a_1}{1 - r}$ ใช้ได้เฉพาะ $|r| < 1$

## อนุกรมเรขาคณิตคืออะไร

ลำดับเรขาคณิต (geometric sequence) คือลำดับที่พจน์ถัดไปได้จากการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงที่ $r$ เช่น $2, 6, 18, 54, \dots$ มี $r = 3$ ส่วนอนุกรมเรขาคณิต (geometric series) คือผลบวกของพจน์เหล่านั้น $2 + 6 + 18 + 54 + \cdots$

วิธีหา $r$: เอาพจน์ใดหารด้วยพจน์ก่อนหน้า ถ้าได้ค่าเท่ากันทุกคู่ก็เป็นเรขาคณิต $r$ เป็นลบได้ (เครื่องหมายสลับ) และเป็นเศษส่วนได้ (ค่าลดลง)

## สูตรผลบวก n พจน์ และที่มา

$$S_n = a_1 + a_1r + a_1r^2 + \cdots + a_1r^{n-1} = a_1\,\frac{1 - r^n}{1 - r},\quad r \ne 1$$

ที่มาใช้แค่สองบรรทัด: เขียน $S_n$ แล้วคูณด้วย $r$ จะได้พจน์ชุดเดียวกันที่เลื่อนไปหนึ่งตำแหน่ง

$$\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_1r + \cdots + a_1r^{n-1} \\ rS_n &= \phantom{a_1 + {}} a_1r + \cdots + a_1r^{n-1} + a_1r^n \end{aligned}$$

ลบกัน พจน์กลางหายหมด เหลือ $S_n - rS_n = a_1 - a_1r^n$ จึงได้สูตรข้างบน ถ้า $r > 1$ จะเขียนเป็น $a_1\dfrac{r^n - 1}{r - 1}$ ก็ได้ (ค่าเท่ากัน แต่ไม่ต้องจัดการเครื่องหมายลบ)

ตัวอย่าง 1

### ลำดับเรขาคณิตมี $a_2 = 6$ และ $a_5 = 162$ หา $S_6$

- $\dfrac{a_5}{a_2} = r^3 = \dfrac{162}{6} = 27$ จึงได้ $r = 3$ และ $a_1 = a_2/r = 2$

- $S_6 = 2\cdot\dfrac{3^6 - 1}{3 - 1} = 2\cdot\dfrac{728}{2} = 728$

$S_6 = 728$ ตรวจ: $2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728$ ✓

ตัวอย่าง 2 · หาจำนวนพจน์ก่อน

### หาผลบวก $3 + 6 + 12 + \cdots + 768$

- $a_1 = 3,\ r = 2$ พจน์สุดท้าย $3\cdot 2^{n-1} = 768 \Rightarrow 2^{n-1} = 256 = 2^8$ จึงมี $n = 9$ พจน์

- $S_9 = 3\cdot\dfrac{2^9 - 1}{2 - 1} = 3(511) = 1533$

$1533$ · ความผิดพลาดที่พบบ่อยคือนับ n ผิด ต้องหาจาก $a_n = a_1r^{n-1}$ ทุกครั้ง

## อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ (Infinite Geometric Series)

เมื่อบวกไม่สิ้นสุด ให้ดูว่า $r^n$ ในสูตร $S_n$ ไปทางไหนเมื่อ $n \to \infty$ ถ้า $|r| < 1$ แล้ว $r^n \to 0$ ผลบวกจึงเข้าใกล้ค่าจำกัด

$$S_\infty = a_1 + a_1r + a_1r^2 + \cdots = \frac{a_1}{1 - r},\qquad |r| < 1$$

| ค่า r | พฤติกรรมของอนุกรมอนันต์ |

| $|r| < 1$ | ลู่เข้า (convergent) ผลบวก $a_1/(1 - r)$ |

| $r = 1$ | ลู่ออก ผลบวกโตแบบ $na_1$ |

| $r = -1$ | ลู่ออก ผลบวกย่อยแกว่ง $a_1, 0, a_1, 0, \dots$ |

| $|r| > 1$ | ลู่ออก พจน์โตไม่มีขอบเขต |

ตัวอย่าง 3 · ทศนิยมซ้ำและ r ติดลบ

### (ก) เขียน $0.\overline{36}$ เป็นเศษส่วน (ข) หา $8 - 4 + 2 - 1 + \cdots$

- (ก) $0.3636\ldots = 0.36 + 0.0036 + \cdots$ มี $a_1 = 0.36,\ r = 0.01$: $\dfrac{0.36}{1 - 0.01} = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}$

- (ข) $a_1 = 8,\ r = -\tfrac12$ และ $|r| < 1$: $S_\infty = \dfrac{8}{1 + \frac12} = \dfrac{16}{3}$

(ก) $\tfrac{4}{11}$ (ข) $\tfrac{16}{3}$ · ด้วยเหตุผลเดียวกัน $0.999\ldots = \tfrac{0.9}{1 - 0.1} = 1$ พอดี

ตัวอย่าง 4 · ลูกบอลเด้ง

### ปล่อยลูกบอลจากความสูง 10 m ทุกครั้งที่กระทบพื้นเด้งขึ้น 60% ของความสูงเดิม หาระยะทางรวมทั้งหมด

- ขาลงครั้งแรก 10 m จากนั้นทุกการเด้งมีขาขึ้นและขาลงเท่ากัน: $6 + 3.6 + 2.16 + \cdots$ เป็นอนุกรมเรขาคณิต $a_1 = 6,\ r = 0.6$

- ระยะรวม $= 10 + 2\cdot\dfrac{6}{1 - 0.6} = 10 + 30 = 40\ \text{m}$

$40\ \text{m}$ · เด้งนับครั้งไม่ถ้วน แต่ระยะทางรวมมีค่าจำกัด

## ใช้ในงานวิศวกรรม

- ตัวกรองดิจิทัล (EMA) $y[n] = 0.8\,y[n-1] + 0.2\,x[n]$ ป้อนขั้นบันได 1 ได้ $y[n] = 0.2(1 + 0.8 + \cdots + 0.8^n) = 1 - 0.8^{n+1}$ ถึง 95% ที่ตัวอย่างที่ 14 และเสถียรเพราะ $|0.8| < 1$

- มูลค่าปัจจุบัน โซลาร์รูฟท็อปประหยัดปีละ 12,000 บาท นาน 20 ปี อัตราคิดลด 5%: $PV = 12000\cdot\dfrac{1 - 1.05^{-20}}{0.05} \approx 149{,}547$ บาท

- อนุกรมกำลัง $\dfrac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \cdots$ ($|x| < 1$) เป็นจุดตั้งต้นของอนุกรม $\ln(1 + x)$ และ $\arctan x$ ในอนุกรมเทย์เลอร์

## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

- ใช้ $a_1/(1 - r)$ ทั้งที่ $|r| \ge 1$ เช่น $1 + 2 + 4 + \cdots$ ไม่ได้เท่ากับ $\tfrac{1}{1 - 2} = -1$ แต่ลู่ออก

- ใช้สูตรตอน $r = 1$ (หารด้วยศูนย์) กรณีนี้ $S_n = na_1$

- นับจำนวนพจน์ผิด โดยเฉพาะเมื่อเริ่มที่ $r^0$ หรือเริ่มที่ $r^1$

- ลืมว่า $r$ ติดลบได้: ลำดับที่เครื่องหมายสลับก็เป็นเรขาคณิต

## เรียนต่อในคลังความรู้

- ลำดับและอนุกรมเรขาคณิตฉบับเต็ม พร้อมบทพิสูจน์ด้วยภาพ

- แล็บลำดับ: ดูพจน์ ผลบวกย่อย และลิมิตแบบโต้ตอบ

- อนุกรมอนันต์ฉบับเต็ม: เรขาคณิต กล้องส่องทางไกล ฮาร์มอนิก และอนุกรม p

- การทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมทุกแบบ พร้อมผังเลือกใช้และเกมฝึก

- บทความต่อ: เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร

- พิสูจน์สูตรอนุกรมเรขาคณิตด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

## คำถามที่พบบ่อย

อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ลู่เข้าเมื่อไร?
ลู่เข้าเมื่อ $|r|
ถ้า r = 1 ใช้สูตรผลบวกได้ไหม?
ไม่ได้ เพราะส่วน $1 - r = 0$ แต่กรณีนี้ทุกพจน์เท่ากับ $a_1$ ผลบวก n พจน์จึงเท่ากับ $n a_1$ โดยตรง

ลำดับเรขาคณิตกับอนุกรมเรขาคณิตต่างกันอย่างไร?
ลำดับเรขาคณิตคือรายการตัวเลข $a_1, a_1r, a_1r^2, \dots$ ส่วนอนุกรมเรขาคณิตคือผลบวกของตัวเลขเหล่านั้น $a_1 + a_1r + a_1r^2 + \cdots$

อนุกรมเรขาคณิตใช้ทำอะไรในงานวิศวกรรม?
ใช้หาผลตอบสนองของตัวกรองดิจิทัล มูลค่าปัจจุบันของโครงการ เช่นโซลาร์รูฟท็อป ระยะทางรวมของการสะท้อน และเป็นจุดเริ่มของอนุกรมกำลัง $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \cdots$ ที่ใช้สร้างอนุกรมเทย์เลอร์

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

ลำดับและอนุกรม
ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง? แผนที่ภาพรวมจากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์
ภาพรวมทั้งบทลำดับและอนุกรมในหน้าเดียว: แต่ละเรื่องตอบคำถามอะไร สูตรหัวใจ แนวข้อสอบ และต่อกันอย่างไร ตั้งแต่ลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้า…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) ตัวอย่างพร้อมวิธีทำทีละขั้น รวมอุปนัยแบบเข้ม
ตัวอย่างพิสูจน์ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 14 ข้อพร้อมวิธีทำ: เขียนข้อความ P(n) สูตรผลบวก การหารลงตัว อสมการ ลำดับเวียนเกิด และอุปนัยแบบเข้ม (strong…
17 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
อนุกรมเทย์เลอร์ (อนุกรมเทเลอร์, Taylor Series) คืออะไร ใช้ทำอะไร พร้อมตัวอย่าง
อนุกรมเทย์เลอร์ (อนุกรมเทเลอร์) คืออะไร สูตรและตารางอนุกรมแมคลอรินที่ต้องจำ ตัวอย่าง 8 ข้อ: ประมาณค่า กระจายรอบจุดอื่น ใช้กี่พจน์…
17 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดลำดับและอนุกรม (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ลู่เข้าเมื่อไร?**
ลู่เข้าเมื่อ $|r| < 1$ เท่านั้น และผลบวกคือ $\dfrac{a_1}{1 - r}$ ถ้า $|r| \ge 1$ พจน์ไม่เข้าใกล้ศูนย์ อนุกรมจึงลู่ออก

**ถ้า r = 1 ใช้สูตรผลบวกได้ไหม?**
ไม่ได้ เพราะส่วน $1 - r = 0$ แต่กรณีนี้ทุกพจน์เท่ากับ $a_1$ ผลบวก n พจน์จึงเท่ากับ $n a_1$ โดยตรง

**ลำดับเรขาคณิตกับอนุกรมเรขาคณิตต่างกันอย่างไร?**
ลำดับเรขาคณิตคือรายการตัวเลข $a_1, a_1r, a_1r^2, \dots$ ส่วนอนุกรมเรขาคณิตคือผลบวกของตัวเลขเหล่านั้น $a_1 + a_1r + a_1r^2 + \cdots$

**อนุกรมเรขาคณิตใช้ทำอะไรในงานวิศวกรรม?**
ใช้หาผลตอบสนองของตัวกรองดิจิทัล มูลค่าปัจจุบันของโครงการ เช่นโซลาร์รูฟท็อป ระยะทางรวมของการสะท้อน และเป็นจุดเริ่มของอนุกรมกำลัง $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \cdots$ ที่ใช้สร้างอนุกรมเทย์เลอร์