---
title: "Dot Product กับ Cross Product ต่างกันอย่างไร: สูตร ความหมาย ตัวอย่าง"
url: https://modsengineeringmath.com/blog/dot-product-cross-product/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-16
---

> เปรียบเทียบ dot product (ผลคูณเชิงสเกลาร์) กับ cross product (ผลคูณเชิงเวกเตอร์) ทั้งสูตร ความหมายทางเรขาคณิต วิธีคำนวณด้วยองค์ประกอบ และการใช้หางาน แรงบิด และมุม

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/blog/dot-product-cross-product/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# Dot Product กับ Cross Product ต่างกันอย่างไร: สูตร ความหมาย ตัวอย่าง

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · เวกเตอร์


เวกเตอร์สองตัวคูณกันได้สองแบบ แบบแรกได้ตัวเลข แบบที่สองได้เวกเตอร์ใหม่ ทั้งสองมีความหมายทางกายภาพที่ชัดเจน: dot product ใช้หางานและมุม ส่วน cross product ใช้หาแรงบิดและพื้นที่

สรุปใน 30 วินาที

- Dot: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$ → สเกลาร์

- Cross: $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$ → เวกเตอร์ ตั้งฉากกับทั้งคู่ ทิศตามกฎมือขวา

- Dot = 0 ⇒ ตั้งฉาก · Cross = 0 ⇒ ขนาน

## เปรียบเทียบสั้น ๆ

| | Dot product $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ | Cross product $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ |

| ผลลัพธ์ | สเกลาร์ | เวกเตอร์ (3 มิติ) |

| สูตรด้วยมุม | $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$ | ขนาด $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$ |

| สูตรด้วยองค์ประกอบ | $a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$ | ดีเทอร์มิแนนต์ของ $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ |

| ความหมายเรขาคณิต | ภาพฉายของเวกเตอร์หนึ่งบนอีกเวกเตอร์ × ความยาว | พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์ทั้งสองสร้างขึ้น |

| สลับลำดับ | เหมือนเดิม | เครื่องหมายกลับ |

| เท่ากับศูนย์เมื่อ | ตั้งฉากกัน | ขนานกัน |

| ใช้หา | งาน มุม ภาพฉาย กำลังจริง | แรงบิด สนามแม่เหล็ก ทิศตั้งฉาก |

## Dot product (ผลคูณเชิงสเกลาร์)

สำหรับ $\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)$ และ $\mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z)$ นำองค์ประกอบที่แกนเดียวกันมาคูณแล้วบวกกัน

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$$

จึงหามุมระหว่างเวกเตอร์ได้จาก $\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$ ถ้าค่าเป็นบวก มุมแหลม เป็นลบ มุมป้าน

ตัวอย่างงาน

### แรง 50 N ทำมุม 30° กับการเคลื่อนที่ 4 m

-
$$W=\mathbf{F}\cdot\mathbf{d}=|\mathbf{F}||\mathbf{d}|\cos\theta=50\times4\times\cos30^\circ$$

$W = 200\times0.866 \approx 173.2$ J (เฉพาะองค์ประกอบของแรงที่ขนานการเคลื่อนที่เท่านั้นที่ทำงาน)

## Cross product (ผลคูณเชิงเวกเตอร์)

ผลลัพธ์ตั้งฉากกับ $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ ทิศตามกฎมือขวา: ชี้นิ้วไปตาม $\mathbf{a}$ ม้วนไปหา $\mathbf{b}$ นิ้วโป้งชี้ทิศของ $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ คำนวณด้วยองค์ประกอบดังนี้

$$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}=(a_yb_z-a_zb_y)\,\mathbf{i}-(a_xb_z-a_zb_x)\,\mathbf{j}+(a_xb_y-a_yb_x)\,\mathbf{k}$$

ตัวอย่างแรงบิด

### ประแจยาว 0.3 m ออกแรง 100 N ตั้งฉากกับด้ามประแจ

-
$$\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F},\quad |\boldsymbol{\tau}|=rF\sin90^\circ=0.3\times100\times1$$

$|\boldsymbol{\tau}|=30$ N·m ทิศของแรงบิดตามแกนหมุนของน็อต ถ้าออกแรงเฉียง แรงบิดจะลดลงตาม $\sin\theta$

## ตัวอย่างเดียวกัน คำนวณทั้งสองแบบ

ให้ $\mathbf{a}=(2,3,1)$ และ $\mathbf{b}=(1,-1,4)$

- Dot product

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2(1)+3(-1)+1(4)=3$$

- Cross product

$$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\big(3\cdot4-1\cdot(-1),\; 1\cdot1-2\cdot4,\; 2\cdot(-1)-3\cdot1\big)=(13,\,-7,\,-5)$$

- มุมระหว่างเวกเตอร์ ด้วย $|\mathbf{a}|=\sqrt{14}$, $|\mathbf{b}|=\sqrt{18}$

$$\cos\theta=\frac{3}{\sqrt{14}\sqrt{18}}\approx0.189\;\Rightarrow\;\theta\approx79.1^\circ$$

- ตรวจด้วยขนาดของ cross product ต้องเท่ากับ $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$

$$|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=\sqrt{13^2+7^2+5^2}=\sqrt{243}\approx15.59$$

$\sqrt{14\times18}\,\sin79.1^\circ\approx15.87\times0.982\approx15.59$ ✓ และ $\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=2(13)+3(-7)+1(-5)=0$ ✓ (cross product ตั้งฉากกับ $\mathbf{a}$)

## ใช้ในงานไฟฟ้าอย่างไร

- กำลังไฟฟ้าจริง เมื่อมองเฟสเซอร์ของแรงดันและกระแส (ค่า RMS) เป็นเวกเตอร์ในระนาบ 2 มิติ กำลังจริง $P=VI\cos\varphi$ คือ dot product ของมัน

- แรงที่กระทำต่อลวดตัวนำ $\mathbf{F}=I\,\mathbf{L}\times\mathbf{B}$ และแรงลอเรนซ์ $\mathbf{F}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ เป็น cross product

- แรงบิดของมอเตอร์ $\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}$

## เรียนต่อในคลังความรู้

- Dot product: มุม งาน และภาพฉาย

- Cross product: กฎมือขวา แรงบิด พื้นที่

- สตูดิโอเวกเตอร์ 3 มิติ ลากเวกเตอร์แล้วดู dot และ cross ทันที

- เฟสเซอร์และการวิเคราะห์วงจร AC

## คำถามที่พบบ่อย

ผลลัพธ์ของ dot product และ cross product ต่างกันอย่างไร?
dot product ให้ค่าสเกลาร์ (ตัวเลขตัวเดียว) ส่วน cross product ให้เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสองและมีทิศตามกฎมือขวา ผลคูณ cross product ใช้ได้เฉพาะเวกเตอร์ 3 มิติ

ถ้า dot product เป็นศูนย์หมายความว่าอะไร?
เวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน (เมื่อทั้งคู่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์) เช่น แรงที่ตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ทำงานเป็นศูนย์

ถ้า cross product เป็นเวกเตอร์ศูนย์หมายความว่าอะไร?
เวกเตอร์ทั้งสองขนานกันหรืออยู่แนวเส้นตรงเดียวกัน เพราะ $\sin\theta = 0$

ทำไม cross product สลับลำดับแล้วเครื่องหมายเปลี่ยน?
เพราะทิศของผลลัพธ์กำหนดด้วยกฎมือขวา สลับลำดับ $\mathbf{b}\times\mathbf{a}$ ทิศจะกลับ จึงได้ $\mathbf{b}\times\mathbf{a}=-\,\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ ส่วน dot product สลับที่ได้

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

พีชคณิตเชิงเส้น
กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้
สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง
สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

วิธีเชิงตัวเลข
แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเชิงตัวเลข: เกาส์ LU จาโคบี หรือเกาส์-ไซเดล เลือกวิธีไหนดี
เปรียบเทียบวิธีเชิงตัวเลขสำหรับระบบสมการเชิงเส้นแบบเห็นภาพรวม การกำจัดแบบเกาส์กับการสลับแถว LU โชเลสกี จาโคบี เกาส์-ไซเดล SOR เงื่อนไขการลู่เข้า…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**ผลลัพธ์ของ dot product และ cross product ต่างกันอย่างไร?**
dot product ให้ค่าสเกลาร์ (ตัวเลขตัวเดียว) ส่วน cross product ให้เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสองและมีทิศตามกฎมือขวา ผลคูณ cross product ใช้ได้เฉพาะเวกเตอร์ 3 มิติ

**ถ้า dot product เป็นศูนย์หมายความว่าอะไร?**
เวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน (เมื่อทั้งคู่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์) เช่น แรงที่ตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ทำงานเป็นศูนย์

**ถ้า cross product เป็นเวกเตอร์ศูนย์หมายความว่าอะไร?**
เวกเตอร์ทั้งสองขนานกันหรืออยู่แนวเส้นตรงเดียวกัน เพราะ $\sin\theta = 0$

**ทำไม cross product สลับลำดับแล้วเครื่องหมายเปลี่ยน?**
เพราะทิศของผลลัพธ์กำหนดด้วยกฎมือขวา สลับลำดับ $\mathbf{b}\times\mathbf{a}$ ทิศจะกลับ จึงได้ $\mathbf{b}\times\mathbf{a}=-\,\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ ส่วน dot product สลับที่ได้