---
title: "สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง"
url: https://modsengineeringmath.com/blog/determinant-properties/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-25
---

> สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์ พร้อมตัวอย่างโจทย์และกับดักที่พบบ่อย

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/blog/determinant-properties/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · พีชคณิตเชิงเส้น


ข้อสอบเรื่องดีเทอร์มิแนนต์ส่วนใหญ่ไม่ได้ให้คำนวณจากตัวเลขตรง ๆ แต่ให้ $\det A$ มาเพียงค่าเดียว แล้วถามดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่สร้างจาก $A$ ทุกข้อแก้ได้ในบรรทัดเดียวถ้ารู้สมบัติ 12 ข้อนี้ ให้ $A, B$ เป็นเมทริกซ์ $n\times n$ และ $k$ เป็นค่าคงที่

สามสูตรที่ต้องจำให้ขึ้นใจ

- $\det(kA) = k^n\det A$ — เลขชี้กำลังคือขนาด $n$

- $\det(AB) = \det A\det B$ จึงได้ $\det A^{-1} = 1/\det A$ และ $\det A^m = (\det A)^m$

- $\det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-1}$

## ทำไมสมบัติเหล่านี้จึงจริง: ดีเทอร์มิแนนต์คือตัวคูณพื้นที่

เมทริกซ์ 2×2 เปลี่ยนสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งหน่วยเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน และ $|\det A|$ คือพื้นที่ของมัน (3×3 คือปริมาตร) เมื่อมองแบบนี้ สมบัติส่วนใหญ่ก็ชัดเจน เช่น ขยายทุกด้าน 2 เท่า พื้นที่โต $2^2$ เท่า ปริมาตรโต $2^3$ เท่า

ซ้าย: $\det A = 5$ คือพื้นที่ที่สี่เหลี่ยมหนึ่งหน่วยกลายเป็น · ขวา: คูณทุกแถวด้วย 2 พื้นที่โต $2^2$ เท่า

## ข้อ 1–6: การดำเนินการตามแถวและเมทริกซ์พิเศษ

- ทรานสโพส: $\det A^T = \det A$ — สมบัติทุกข้อของแถวจึงใช้กับหลักได้ด้วย

- สลับสองแถว: ค่าเปลี่ยนเครื่องหมาย

- คูณแถวหนึ่งด้วย $k$: ค่าถูกคูณด้วย $k$ (ดึงตัวร่วมออกได้ทีละแถว)

- บวกพหุคูณของแถวอื่น $R_i \leftarrow R_i + kR_j$: ค่าไม่เปลี่ยน — เครื่องมือหลักในการลดแถว

- แถวศูนย์ แถวซ้ำ หรือแถวเป็นสัดส่วนกัน: $\det = 0$

- เมทริกซ์สามเหลี่ยมหรือทแยงมุม: $\det$ = ผลคูณสมาชิกแนวทแยง

ตัวอย่าง

### ถ้า $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 5$ จงหา $\begin{vmatrix} 2a & 2b & 2c \\ g & h & i \\ d + 3a & e + 3b & f + 3c \end{vmatrix}$

- ดึง 2 ออกจากแถว 1 (ข้อ 3) · แถว 3 ลบพหุคูณของแถว 1 ได้ $(d, e, f)$ โดยค่าไม่เปลี่ยน (ข้อ 4)

- เหลือแถว $(a, b, c), (g, h, i), (d, e, f)$ สลับแถว 2 กับ 3 เครื่องหมายเปลี่ยน (ข้อ 2)

$2\times(-5) = -10$

## ข้อ 7–10: ค่าคงที่ ผลคูณ อินเวอร์ส และกำลัง

- $\det(kA) = k^n\det A$ — เพราะ $k$ อยู่ในทุกแถว $n$ แถว

- $\det(AB) = \det A\det B = \det(BA)$ แม้ $AB \ne BA$

- $\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A}$ — และ $A$ มีอินเวอร์สก็ต่อเมื่อ $\det A \ne 0$

- $\det(A^m) = (\det A)^m$

ตัวอย่าง

### $A$ เป็น $3\times3$ ที่ $\det A = 4$ จงหา $\det(2A^{-1}A^T)$

-
$$\det(2A^{-1}A^T) = 2^3\cdot\frac14\cdot4 = 8$$

8

## ข้อ 11: แอดจอยต์ (adj A) ที่นักเรียนพลาดบ่อย

จาก $A\operatorname{adj}A = (\det A)I$ หาดีเทอร์มิแนนต์ทั้งสองข้าง ได้ $\det A\cdot\det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^n$

$$\det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-1},\qquad \operatorname{adj}(kA) = k^{n-1}\operatorname{adj}A,\qquad \operatorname{adj}(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-2}A$$

ตัวอย่าง

### $A$ เป็น $3\times3$ ที่ $\det A = 3$ จงหา $\det(2\operatorname{adj}A)$ และ $\det(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A))$

-
$$\det(2\operatorname{adj}A) = 2^3\cdot3^{2} = 72$$

-
$$\det(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A)) = \det(3A) = 3^3\cdot3 = 81$$

72 และ 81

## ข้อ 12: สิ่งที่ “ไม่มี” สูตร

กับดักที่เจอทุกปี

- $\det(A + B) \ne \det A + \det B$ — ต้องบวกเมทริกซ์ก่อน (มีแค่สมบัติเชิงเส้นทีละแถว)

- $\det(kA) \ne k\det A$ และ $\det(\operatorname{adj}A) \ne \det A$ — เลขชี้กำลังขึ้นกับ $n$

- $\det(-A) = (-1)^n\det A$ — เมทริกซ์ 2×2 ได้ค่าเดิม แต่ 3×3 ได้เครื่องหมายตรงข้าม

- $|A|$ ไม่ใช่ค่าสัมบูรณ์ ดีเทอร์มิแนนต์ติดลบได้

เทคนิคเสริม: ถ้าทุกแถวมีผลบวกเท่ากัน ให้บวกทุกหลักเข้าหลักแรกแล้วดึงผลบวกนั้นออกมา จะได้ตัวประกอบทันที เช่น เมทริกซ์ที่แนวทแยงเป็น $a$ ตัวอื่นเป็น $b$ มี $\det = (a - b)^{n-1}(a + (n - 1)b)$

## อ่านต่อในคลังความรู้

- ดีเทอร์มิแนนต์ฉบับเต็ม: สูตรลัดออกสอบ D22–D25 และพิสูจน์

- อินเวอร์สของเมทริกซ์และแอดจอยต์

- แนวข้อสอบชุด A: สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 18 ข้อ

- บทความ: วิธีหา Determinant และ Inverse 2×2, 3×3

- บทความ: กฎของคราเมอร์ใช้อย่างไร

## คำถามที่พบบ่อย

det(2A) เท่ากับ 2 det A ใช่ไหม?
ไม่ใช่ การคูณเมทริกซ์ด้วย 2 คือคูณทุกแถวด้วย 2 และแต่ละแถวดึง 2 ออกมาได้หนึ่งครั้ง สำหรับเมทริกซ์ n×n จึงได้ det(2A) = 2ⁿ det A เช่น เมทริกซ์ 3×3 ได้ 8 det A

det(adj A) หาอย่างไร?
ใช้สูตร det(adj A) = (det A)ⁿ⁻¹ ซึ่งมาจาก A adj A = (det A)I เมื่อหาดีเทอร์มิแนนต์ทั้งสองข้างได้ det A · det(adj A) = (det A)ⁿ เช่น เมทริกซ์ 3×3 ที่ det A = −2 จะได้ det(adj A) = 4

det(A + B) เท่ากับ det A + det B ไหม?
ไม่เท่า ดีเทอร์มิแนนต์ไม่มีสมบัติการบวกทั้งเมทริกซ์ ต้องบวกเมทริกซ์ก่อนแล้วจึงหาดีเทอร์มิแนนต์ สมบัติเชิงเส้นมีเฉพาะการแยกทีละแถวเท่านั้น

การดำเนินการแถวแบบไหนไม่เปลี่ยนค่าดีเทอร์มิแนนต์?
การบวกพหุคูณของแถวหนึ่งเข้ากับอีกแถว (R_i ← R_i + kR_j) ไม่เปลี่ยนค่า ส่วนการสลับสองแถวเปลี่ยนเครื่องหมาย และการคูณแถวหนึ่งด้วย k ทำให้ค่าถูกคูณด้วย k

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

พีชคณิตเชิงเส้น
กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้
สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
เรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ให้จบ: แผนที่ 7 ขั้นจาก ม.ปลาย สอบเข้ามหาวิทยาลัย ถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม
แผนที่การเรียนเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ คราเมอร์ และวิธีเชิงตัวเลขแบบเห็นภาพรวม ควรเรียนอะไรก่อนหลัง สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้แค่ไหน…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
แรงก์ของเมทริกซ์ (ค่าลำดับขั้น) คืออะไร หาอย่างไร และบอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ
อธิบายแรงก์ (rank) หรือค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ให้เห็นภาพ วิธีหาด้วยการลดแถวและไมเนอร์ ใช้แรงก์ตัดสินว่าระบบสมการมีคำตอบเดียว ไม่จำกัด หรือไม่มี…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**det(2A) เท่ากับ 2 det A ใช่ไหม?**
ไม่ใช่ การคูณเมทริกซ์ด้วย 2 คือคูณทุกแถวด้วย 2 และแต่ละแถวดึง 2 ออกมาได้หนึ่งครั้ง สำหรับเมทริกซ์ n×n จึงได้ det(2A) = 2ⁿ det A เช่น เมทริกซ์ 3×3 ได้ 8 det A

**det(adj A) หาอย่างไร?**
ใช้สูตร det(adj A) = (det A)ⁿ⁻¹ ซึ่งมาจาก A adj A = (det A)I เมื่อหาดีเทอร์มิแนนต์ทั้งสองข้างได้ det A · det(adj A) = (det A)ⁿ เช่น เมทริกซ์ 3×3 ที่ det A = −2 จะได้ det(adj A) = 4

**det(A + B) เท่ากับ det A + det B ไหม?**
ไม่เท่า ดีเทอร์มิแนนต์ไม่มีสมบัติการบวกทั้งเมทริกซ์ ต้องบวกเมทริกซ์ก่อนแล้วจึงหาดีเทอร์มิแนนต์ สมบัติเชิงเส้นมีเฉพาะการแยกทีละแถวเท่านั้น

**การดำเนินการแถวแบบไหนไม่เปลี่ยนค่าดีเทอร์มิแนนต์?**
การบวกพหุคูณของแถวหนึ่งเข้ากับอีกแถว (R_i ← R_i + kR_j) ไม่เปลี่ยนค่า ส่วนการสลับสองแถวเปลี่ยนเครื่องหมาย และการคูณแถวหนึ่งด้วย k ทำให้ค่าถูกคูณด้วย k