---
title: "วิธีหา Determinant และ Inverse Matrix (2×2 และ 3×3) พร้อมตัวอย่าง"
url: https://modsengineeringmath.com/blog/determinant-and-inverse-matrix/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-16
---

> สอนหาดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 และ 3×3 ด้วยโคแฟกเตอร์ และหาอินเวอร์สเมทริกซ์ด้วยสูตร adjugate พร้อมตัวอย่างตัวเลขที่ตรวจคำตอบด้วยการคูณกลับ และเงื่อนไขเมทริกซ์เอกฐาน

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/blog/determinant-and-inverse-matrix/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# วิธีหา Determinant และ Inverse Matrix (2×2 และ 3×3) พร้อมตัวอย่าง

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · พีชคณิตเชิงเส้น


ดีเทอร์มิแนนต์บอกว่าเมทริกซ์กลับด้านได้หรือไม่ ส่วนอินเวอร์สใช้แก้ระบบสมการ เช่น กระแสในวงจรหลายลูป บทความนี้ไล่วิธีคำนวณด้วยมือพร้อมตัวอย่างที่ตรวจด้วยการคูณกลับ

สรุปใน 30 วินาที

- 2×2: $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$

- 3×3: กระจายตามแถวแรกด้วยโคแฟกเตอร์ (เครื่องหมายสลับ $+\,-\,+$)

- อินเวอร์ส: $A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)$ มีได้เมื่อ $\det A\ne0$ เท่านั้น

## Determinant 2×2

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$$

ตัวอย่าง: $\det\begin{pmatrix}4&7\\2&6\end{pmatrix}=4\cdot6-7\cdot2=24-14=10$

## Determinant 3×3 ด้วยโคแฟกเตอร์

กระจายตามแถวแรก: ตัวประกอบแต่ละตัวคูณด้วยดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 ที่เหลือเมื่อตัดแถวและหลักของมันออก เครื่องหมายสลับ $+,-,+$

$$\det A=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13}$$

ตัวอย่าง

### $A=\begin{pmatrix}2&1&3\\0&-1&4\\1&2&5\end{pmatrix}$

-
$$\det A=2\begin{vmatrix}-1&4\\2&5\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}0&4\\1&5\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}0&-1\\1&2\end{vmatrix}$$

-
$$=2(-5-8)-1(0-4)+3(0+1)=-26+4+3$$

$\det A=-19$ (ไม่เป็นศูนย์ จึงมีอินเวอร์ส)

สำหรับ 3×3 ยังใช้วิธี Sarrus ได้: คัดลอกสองหลักแรกต่อท้าย รวมผลคูณเส้นทแยงลงทั้งสามเส้น ลบผลคูณเส้นทแยงขึ้นทั้งสามเส้น ได้ผลเท่ากัน

## Inverse 2×2 (สูตรลัด)

$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$$

สลับ $a$ กับ $d$ เปลี่ยนเครื่องหมาย $b$ และ $c$ แล้วหารด้วย determinant

ตัวอย่าง

### $N=\begin{pmatrix}4&7\\2&6\end{pmatrix}$

-
$$N^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}6&-7\\-2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.6&-0.7\\-0.2&0.4\end{pmatrix}$$

- ตรวจ แถวแรกของ $N$ คูณหลักแรกของ $N^{-1}$

$$4(0.6)+7(-0.2)=2.4-1.4=1$$

และ $4(-0.7)+7(0.4)=0$, $2(0.6)+6(-0.2)=0$, $2(-0.7)+6(0.4)=1$ จึงได้ $NN^{-1}=I$ ✓

## Inverse 3×3 ด้วย adjugate

ขั้นตอน: (1) หาเมทริกซ์โคแฟกเตอร์ $C$ (2) สลับแถวเป็นหลัก ได้ $\operatorname{adj}(A)=C^{T}$ (3) หารด้วย $\det A$

ต่อจากตัวอย่าง $A$ ข้างบน

### หา $A^{-1}$

- โคแฟกเตอร์ $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

$$C=\begin{pmatrix}-13&4&1\\1&7&-3\\7&-8&-2\end{pmatrix}$$

- สลับแถวเป็นหลัก

$$\operatorname{adj}(A)=C^{T}=\begin{pmatrix}-13&1&7\\4&7&-8\\1&-3&-2\end{pmatrix}$$

- หารด้วย $\det A=-19$

$$A^{-1}=\frac{1}{19}\begin{pmatrix}13&-1&-7\\-4&-7&8\\-1&3&2\end{pmatrix}$$

ตรวจ แถวแรกของ $A$ คูณหลักแรกของ $A^{-1}$: $\dfrac{1}{19}\big(2(13)+1(-4)+3(-1)\big)=\dfrac{19}{19}=1$ ✓ และแถวแรกคูณหลักที่สอง: $\dfrac{1}{19}\big(2(-1)+1(-7)+3(3)\big)=0$ ✓

## ใช้ทำอะไร

- แก้ระบบสมการ $A\mathbf{x}=\mathbf{b}\Rightarrow\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$ เช่น กระแสลูปในวงจรไฟฟ้าหลายลูป

- ตรวจการมีคำตอบเดียว ถ้า $\det A\ne0$ ระบบมีคำตอบเดียว

- ค่าเฉพาะ หาจาก $\det(A-\lambda I)=0$ ในการวิเคราะห์เสถียรภาพของระบบสเตตสเปซ

## เรียนต่อในคลังความรู้

- ดีเทอร์มิแนนต์: สมบัติ โคแฟกเตอร์ การดำเนินการแถว

- อินเวอร์สเมทริกซ์ ทั้ง adjugate และเกาส์–จอร์แดน

- แล็บเมทริกซ์: เครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำทีละขั้น

- ประยุกต์ในวงจรไฟฟ้าและระบบไฟฟ้ากำลัง

## คำถามที่พบบ่อย

Determinant เป็นศูนย์หมายความว่าอะไร?
เมทริกซ์เป็นเมทริกซ์เอกฐาน (singular) ไม่มีอินเวอร์ส และระบบสมการ $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ ไม่มีคำตอบเดียว คือไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบมากมาย แถวหรือหลักของเมทริกซ์ขึ้นต่อกันเชิงเส้น

ใช้วิธี Sarrus กับเมทริกซ์ 4×4 ได้ไหม?
ไม่ได้ วิธี Sarrus (ลากเส้นทแยง) ใช้ได้กับ 3×3 เท่านั้น เมทริกซ์ขนาดใหญ่กว่านั้นใช้การกระจายโคแฟกเตอร์ หรือการดำเนินการแถวจนเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยม

ทำไมหารด้วย determinant ตอนหาอินเวอร์ส?
เพราะ $A\,\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I$ จึงต้องหารด้วย $\det(A)$ เพื่อให้ได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ ซึ่งทำไม่ได้เมื่อ $\det(A)=0$

นิยมหาอินเวอร์สด้วยวิธีไหนในทางปฏิบัติ?
ในมือเขียนสำหรับ 2×2 ใช้สูตรลัด สำหรับ 3×3 ใช้ adjugate หรือการดำเนินการแถว (เกาส์–จอร์แดน) ในโปรแกรมคอมพิวเตอร์มักแก้ $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ ด้วยการแยกตัวประกอบโดยไม่คำนวณอินเวอร์สตรง ๆ เพื่อความแม่นยำ

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

พีชคณิตเชิงเส้น
กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้
สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง
สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
เรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ให้จบ: แผนที่ 7 ขั้นจาก ม.ปลาย สอบเข้ามหาวิทยาลัย ถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม
แผนที่การเรียนเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ คราเมอร์ และวิธีเชิงตัวเลขแบบเห็นภาพรวม ควรเรียนอะไรก่อนหลัง สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้แค่ไหน…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**Determinant เป็นศูนย์หมายความว่าอะไร?**
เมทริกซ์เป็นเมทริกซ์เอกฐาน (singular) ไม่มีอินเวอร์ส และระบบสมการ $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ ไม่มีคำตอบเดียว คือไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบมากมาย แถวหรือหลักของเมทริกซ์ขึ้นต่อกันเชิงเส้น

**ใช้วิธี Sarrus กับเมทริกซ์ 4×4 ได้ไหม?**
ไม่ได้ วิธี Sarrus (ลากเส้นทแยง) ใช้ได้กับ 3×3 เท่านั้น เมทริกซ์ขนาดใหญ่กว่านั้นใช้การกระจายโคแฟกเตอร์ หรือการดำเนินการแถวจนเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยม

**ทำไมหารด้วย determinant ตอนหาอินเวอร์ส?**
เพราะ $A\,\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I$ จึงต้องหารด้วย $\det(A)$ เพื่อให้ได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ ซึ่งทำไม่ได้เมื่อ $\det(A)=0$

**นิยมหาอินเวอร์สด้วยวิธีไหนในทางปฏิบัติ?**
ในมือเขียนสำหรับ 2×2 ใช้สูตรลัด สำหรับ 3×3 ใช้ adjugate หรือการดำเนินการแถว (เกาส์–จอร์แดน) ในโปรแกรมคอมพิวเตอร์มักแก้ $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ ด้วยการแยกตัวประกอบโดยไม่คำนวณอินเวอร์สตรง ๆ เพื่อความแม่นยำ