---
title: "กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้"
url: https://modsengineeringmath.com/blog/cramers-rule/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-25
---

> สอนกฎของคราเมอร์แบบเห็นภาพ แทนหลักด้วยค่าคงที่แล้วหารดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่าง 2×2 และ 3×3 หาตัวแปรเดียว ที่มาของสูตร กรณี Δ = 0 โจทย์พารามิเตอร์ k และเหตุผลที่คอมพิวเตอร์ไม่ใช้กับระบบใหญ่

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/blog/cramers-rule/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# กฎของคราเมอร์ (Cramer's Rule) ใช้อย่างไร ทำไมถึงได้ และเมื่อไรไม่ควรใช้

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · พีชคณิตเชิงเส้น


กฎของคราเมอร์ให้สูตรตรงของตัวแปรแต่ละตัวในระบบสมการเชิงเส้น ไม่ต้องลดแถว ไม่ต้องหาอินเวอร์ส เหมาะมากกับข้อสอบที่ถามตัวแปรเพียงตัวเดียว แต่ก็มีข้อจำกัดที่ต้องรู้ บทความนี้สรุปทั้งวิธีใช้ ที่มา กรณีพิเศษ และขอบเขตการใช้งานในที่เดียว

สรุปใน 30 วินาที

- $x_i = \dfrac{\Delta_i}{\Delta}$ โดย $\Delta = \det A$ และ $\Delta_i$ คือ $\det$ ของ $A$ ที่แทนหลักที่ $i$ ด้วยค่าคงที่ $\mathbf b$

- ใช้ได้เมื่อ $A$ จัตุรัสและ $\Delta \ne 0$ · ถามตัวแปรเดียวใช้ดีเทอร์มิแนนต์แค่สองตัว

- ระบบใหญ่กว่า 3×3 หรือในโปรแกรม ใช้การกำจัดแบบเกาส์หรือ LU แทน

## สูตรในประโยคเดียว

หาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ $\Delta$ จากนั้นเอาค่าคงที่ทางขวาไปแทนหลักของตัวแปรที่ต้องการ หาดีเทอร์มิแนนต์ใหม่ $\Delta_i$ แล้วหารกัน

ระบบ 2×2 ตัวอย่าง: แทนหลักแรกด้วย $\mathbf b$ ได้ $\Delta_x$ แทนหลักที่สองได้ $\Delta_y$

$$\begin{aligned} 3x + 2y &= 7 \\ x - y &= -1 \end{aligned} \quad\Rightarrow\quad \Delta = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -5,\quad x = \frac{\begin{vmatrix} 7 & 2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix}}{-5} = \frac{-5}{-5} = 1,\quad y = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$$

## ระบบ 3×3: หาเฉพาะตัวแปรที่โจทย์ถาม

ตัวอย่าง

### หา $y$ จาก $2x + y - z = 3,\ x + 3y + 2z = 14,\ 3x - y + z = 2$

-
$$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 2(3 + 2) - 1(1 - 6) + (-1)(-1 - 9) = 25$$

-
$$\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 14 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2(14 - 4) - 3(1 - 6) + (-1)(2 - 42) = 75$$

$y = 75/25 = 3$ — ไม่ต้องหา $x$ และ $z$ เลย

ถ้าต้องการทุกตัวแปรของระบบ 3×3 ต้องใช้ดีเทอร์มิแนนต์ 4 ตัว ตรวจคำตอบด้วยการแทนกลับทุกครั้ง หรือใช้ เครื่องคิดเลขคราเมอร์แสดงวิธีทำ

## ทำไมสูตรนี้ถูก (พิสูจน์สองบรรทัด)

ให้ $X_i$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่แทนหลักที่ $i$ ด้วยเวกเตอร์คำตอบ $\mathbf x$ เมื่อคูณ $A$ เข้าไป หลักที่ $i$ จะกลายเป็น $A\mathbf x = \mathbf b$ ส่วนหลักอื่นยังเป็นหลักของ $A$ นั่นคือ $AX_i = A_i$ จากนั้นใช้สมบัติ $\det(AB) = \det A\det B$

$$\det A\cdot\det X_i = \det A_i,\qquad \det X_i = x_i \ \Rightarrow\ x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$$

อีกมุมหนึ่ง คราเมอร์คือการเขียน $\mathbf x = A^{-1}\mathbf b = \dfrac{\operatorname{adj}A\,\mathbf b}{\det A}$ ทีละตัวแปร คำตอบจึงเท่ากับวิธีอินเวอร์สเสมอ

## เมื่อ Δ = 0 และโจทย์พารามิเตอร์ k

ถ้า $\Delta = 0$ สูตรใช้ไม่ได้ ระบบอาจไม่มีคำตอบหรือมีไม่จำกัด ตัวอย่างที่ออกสอบบ่อย

$$\begin{aligned} kx + y &= 1 \\ x + ky &= 1 \end{aligned}\qquad \Delta = k^2 - 1,\quad \Delta_x = \Delta_y = k - 1$$

- $k \ne \pm1$: $x = y = \dfrac{1}{k + 1}$

- $k = 1$: $\Delta = \Delta_x = \Delta_y = 0$ สองสมการเป็นเส้นเดียวกัน → คำตอบไม่จำกัด

- $k = -1$: $\Delta = 0$ แต่ $\Delta_x = -2 \ne 0$ → เส้นขนาน → ไม่มีคำตอบ

กับดัก ห้ามตัดตัวประกอบ $(k - 1)$ ทิ้งก่อนตรวจกรณี $k = 1$ และสำหรับระบบ 3×3 แม้ $\Delta$ กับ $\Delta_i$ ทุกตัวเป็นศูนย์ ระบบก็ยังอาจไม่มีคำตอบได้ ต้องใช้แรงก์ตัดสิน

## เมื่อไรควรใช้ และเมื่อไรไม่ควรใช้

| ควรใช้ | ไม่ควรใช้ |

| ระบบ 2–3 ตัวแปร ทำมือ | ระบบตั้งแต่ 4 ตัวแปรขึ้นไป |

| ถามตัวแปรเดียว เช่น กระแสในเมชเดียว | $\Delta = 0$ หรือใกล้ศูนย์มาก |

| สัมประสิทธิ์เป็นตัวอักษร ($R$, $k$, $s$) อยากได้สูตรทั่วไป | จำนวนสมการไม่เท่าจำนวนตัวแปร |

| วงจร AC 2×2 ที่อิมพีแดนซ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน | งานคอมพิวเตอร์ที่ต้องการความเร็วและความแม่นเชิงตัวเลข |

ต้นทุนคือเหตุผลหลัก ถ้าหาดีเทอร์มิแนนต์ด้วยการกระจายโคแฟกเตอร์ คราเมอร์ใช้การคูณราว $(n + 1)!$ ครั้ง ระบบ 20 ตัวแปรจึงต้องคูณราว $5\times10^{19}$ ครั้ง (ราว 1,600 ปีที่พันล้านครั้งต่อวินาที) ขณะที่การกำจัดแบบเกาส์ใช้ราว $n^3/3 \approx 2{,}700$ ครั้ง รายละเอียดอยู่ใน ผลเฉลยเชิงตัวเลข

## อ่านต่อในคลังความรู้

- กฎของคราเมอร์ฉบับเต็ม: วงจรสามลูป วงจร AC และฟังก์ชันถ่ายโอน

- ดีเทอร์มิแนนต์: ซาร์รัส โคแฟกเตอร์ และสมบัติ

- วิธีเชิงตัวเลขที่ใช้แทนคราเมอร์ในระบบใหญ่

- แนวข้อสอบคราเมอร์และระบบสมการพร้อมเฉลย

- บทความ: สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ที่ออกสอบบ่อย

## คำถามที่พบบ่อย

กฎของคราเมอร์ใช้กับระบบแบบไหนได้?
ใช้ได้กับระบบที่จำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปร (เมทริกซ์สัมประสิทธิ์จัตุรัส) และดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์ ถ้า Δ = 0 ระบบอาจไม่มีคำตอบหรือมีไม่จำกัด ต้องตรวจด้วยการลดแถว

ทำไมกฎของคราเมอร์จึงเร็วในข้อสอบ?
เพราะถ้าโจทย์ถามเพียงตัวแปรเดียว ใช้ดีเทอร์มิแนนต์แค่สองตัว คือ Δ และ Δ ของตัวแปรนั้น ไม่ต้องแก้ทุกตัวแปรหรือหาอินเวอร์สทั้งเมทริกซ์ เหมาะกับระบบ 2–3 ตัวแปรที่ทำมือ

ทำไมโปรแกรมคอมพิวเตอร์ไม่ใช้กฎของคราเมอร์?
เพราะต้นทุนสูงมากเมื่อระบบใหญ่ ถ้าหาดีเทอร์มิแนนต์ด้วยโคแฟกเตอร์ ระบบ 20 ตัวแปรต้องคูณราว 5 × 10¹⁹ ครั้ง ส่วนการกำจัดแบบเกาส์ใช้ราว 2,700 ครั้ง และการกำจัดแบบเกาส์ที่สลับแถวยังเสถียรเชิงตัวเลขกว่า

ใช้คราเมอร์กับวงจรไฟฟ้ากระแสสลับได้ไหม?
ได้ ขั้นตอนมีแค่บวก ลบ คูณ หาร จึงใช้กับอิมพีแดนซ์ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ตรง ๆ และใช้กับตัวแปร s ของการแปลงลาปลาซได้ด้วย โดย Δ(s) = 0 คือสมการลักษณะเฉพาะของวงจร

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

พีชคณิตเชิงเส้น
สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ออกสอบบ่อย: det(kA), det(A⁻¹), det(adj A) และกับดักที่ต้องระวัง
สรุปสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 12 ข้อที่ใช้ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและคณิตศาสตร์วิศวกรรม การดำเนินการแถว det(kA) = kⁿ det A ผลคูณ อินเวอร์ส แอดจอยต์…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
เรียนเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ให้จบ: แผนที่ 7 ขั้นจาก ม.ปลาย สอบเข้ามหาวิทยาลัย ถึงคณิตศาสตร์วิศวกรรม
แผนที่การเรียนเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ คราเมอร์ และวิธีเชิงตัวเลขแบบเห็นภาพรวม ควรเรียนอะไรก่อนหลัง สอบเข้ามหาวิทยาลัยต้องรู้แค่ไหน…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

พีชคณิตเชิงเส้น
แรงก์ของเมทริกซ์ (ค่าลำดับขั้น) คืออะไร หาอย่างไร และบอกอะไรเกี่ยวกับระบบสมการ
อธิบายแรงก์ (rank) หรือค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ให้เห็นภาพ วิธีหาด้วยการลดแถวและไมเนอร์ ใช้แรงก์ตัดสินว่าระบบสมการมีคำตอบเดียว ไม่จำกัด หรือไม่มี…
25 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้น (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**กฎของคราเมอร์ใช้กับระบบแบบไหนได้?**
ใช้ได้กับระบบที่จำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปร (เมทริกซ์สัมประสิทธิ์จัตุรัส) และดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์ ถ้า Δ = 0 ระบบอาจไม่มีคำตอบหรือมีไม่จำกัด ต้องตรวจด้วยการลดแถว

**ทำไมกฎของคราเมอร์จึงเร็วในข้อสอบ?**
เพราะถ้าโจทย์ถามเพียงตัวแปรเดียว ใช้ดีเทอร์มิแนนต์แค่สองตัว คือ Δ และ Δ ของตัวแปรนั้น ไม่ต้องแก้ทุกตัวแปรหรือหาอินเวอร์สทั้งเมทริกซ์ เหมาะกับระบบ 2–3 ตัวแปรที่ทำมือ

**ทำไมโปรแกรมคอมพิวเตอร์ไม่ใช้กฎของคราเมอร์?**
เพราะต้นทุนสูงมากเมื่อระบบใหญ่ ถ้าหาดีเทอร์มิแนนต์ด้วยโคแฟกเตอร์ ระบบ 20 ตัวแปรต้องคูณราว 5 × 10¹⁹ ครั้ง ส่วนการกำจัดแบบเกาส์ใช้ราว 2,700 ครั้ง และการกำจัดแบบเกาส์ที่สลับแถวยังเสถียรเชิงตัวเลขกว่า

**ใช้คราเมอร์กับวงจรไฟฟ้ากระแสสลับได้ไหม?**
ได้ ขั้นตอนมีแค่บวก ลบ คูณ หาร จึงใช้กับอิมพีแดนซ์ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ตรง ๆ และใช้กับตัวแปร s ของการแปลงลาปลาซได้ด้วย โดย Δ(s) = 0 คือสมการลักษณะเฉพาะของวงจร