---
title: "เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น พร้อมตัวอย่างทุกขั้น"
url: https://modsengineeringmath.com/blog/convergence-test-flowchart/
site: "Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด)"
language: th
updated: 2026-10-24
---

> วิธีเลือกการทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมให้ถูกตั้งแต่ครั้งแรก: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น (พจน์ที่ n เรขาคณิต อนุกรม p กล้องส่องทางไกล เปรียบเทียบลิมิต อัตราส่วน ราก ปริพันธ์ อนุกรมสลับ) พร้อมตัวอย่างและกับดัก

ฉบับ Markdown ของ https://modsengineeringmath.com/blog/convergence-test-flowchart/ สำหรับผู้ช่วย AI และเครื่องมือค้นหา สูตรเขียนเป็น LaTeX ($…$ และ $$…$$) แล็บโต้ตอบและรูปมีเฉพาะในหน้าเว็บ

# เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร: ผังตัดสินใจ 8 ขั้น พร้อมตัวอย่างทุกขั้น

THภาษาไทยENEnglish
// บทความ · ลำดับและอนุกรม


ในข้อสอบแคลคูลัส 2 คนที่ทำข้ออนุกรมได้เร็วไม่ใช่คนที่จำทฤษฎีบทได้มากที่สุด แต่เป็นคนที่มองพจน์แล้วรู้ทันทีว่าควรใช้เครื่องมือไหน บทความนี้รวมประสบการณ์นั้นเป็นผังตัดสินใจ 8 ขั้น เรียงจากเร็วที่สุดไปถึงที่ใช้แรงมากที่สุด พร้อมตัวอย่างหนึ่งข้อต่อขั้น

สรุปใน 30 วินาที

- เช็กพจน์ที่ n ก่อนเสมอ (5 วินาที) แล้วดูว่าเป็นเรขาคณิตหรืออนุกรม p

- เศษส่วนพหุนาม → เปรียบเทียบลิมิต · แฟกทอเรียล/เลขยกกำลัง → อัตราส่วน · ยกกำลัง n ทั้งก้อน → ราก · มี ln → ปริพันธ์

- เครื่องหมายสลับ: ทดสอบ Σ|aₙ| ก่อน แล้วค่อยใช้ไลบ์นิซ

## ผังตัดสินใจ

อ่านจากบนลงล่าง หยุดที่ข้อแรกที่ตอบ “ใช่” แล้วใช้การทดสอบทางขวา

## 8 ขั้นพร้อมตัวอย่าง

### ขั้น 1 · พจน์เข้าใกล้ศูนย์ไหม

$\sum\dfrac{n}{n+1}$: พจน์ → 1 ≠ 0 จึงลู่ออกทันที ข้อนี้ใช้ได้ทางเดียว ถ้าพจน์ → 0 ให้ไปขั้นถัดไป

### ขั้น 2 · เป็นเรขาคณิตหรืออนุกรม p ไหม

$\sum\dfrac{5}{4^n}$ เรขาคณิต $r = \tfrac14$ ลู่เข้า · $\sum\dfrac{1}{\sqrt n}$ อนุกรม p ที่ $p = \tfrac12 \le 1$ ลู่ออก — จำผลได้ ไม่ต้องคำนวณ

### ขั้น 3 · แยกเศษส่วนย่อยได้ไหม

$\sum\dfrac{1}{n(n+1)} = \sum\left(\dfrac1n - \dfrac{1}{n+1}\right) = 1$ กล้องส่องทางไกลให้ทั้งคำตอบลู่เข้าและค่าผลบวก

### ขั้น 4 · เป็นเศษส่วนของพหุนามหรือรากไหม

$\sum\dfrac{3n+5}{n^3-2}$: ตัวเด่น $\tfrac{3n}{n^3} = \tfrac{3}{n^2}$ เทียบลิมิตกับ $\tfrac{1}{n^2}$ ได้ 3 (บวกและจำกัด) จึงลู่เข้า · สูตรลัด: ลู่เข้า ⇔ ดีกรีล่าง − ดีกรีบน > 1

### ขั้น 5 · มีแฟกทอเรียลหรือเลขยกกำลังไหม

$\sum\dfrac{n!}{n^n}$: $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \to \dfrac1e < 1$ ลู่เข้า · ถ้าได้ 1 พอดี ratio test สรุปไม่ได้

### ขั้น 6 · ยกกำลัง n ทั้งก้อนไหม

$\sum\left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^n$: $\sqrt[n]{a_n} = \dfrac{n}{2n+1} \to \tfrac12$ ลู่เข้า รากตัดเลขชี้กำลังทิ้งให้ทันที

### ขั้น 7 · มี ln หรืออินทิเกรตได้ง่ายไหม

$\sum\dfrac{1}{n\ln n}$: $\int_2^\infty\dfrac{dx}{x\ln x} = [\ln\ln x]_2^\infty = \infty$ ลู่ออก (แม้ตัวเลขจากคอมพิวเตอร์จะดูนิ่ง) · ส่วน $\sum\dfrac{1}{n(\ln n)^2}$ ลู่เข้า

### ขั้น 8 · เครื่องหมายสลับไหม

$\sum\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}$: ค่าสัมบูรณ์ $\sum\tfrac{1}{\sqrt n}$ ลู่ออก แต่ $\tfrac{1}{\sqrt n}$ ลดลง → 0 ไลบ์นิซบอกว่าลู่เข้า จึงเป็นลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข

## ตารางสรุปสำหรับทบทวนก่อนสอบ

| การทดสอบ | ใช้เมื่อ | สรุปไม่ได้เมื่อ |

| พจน์ที่ n | ทุกข้อ (ด่านแรก) | พจน์ → 0 |

| เปรียบเทียบลิมิต | เศษส่วนพหุนาม ราก sin(1/n) | ลิมิตเป็น 0 หรือ ∞ ในทิศที่ผิด |

| อัตราส่วน | n!, cⁿ, nⁿ | ρ = 1 |

| ราก | (…)ⁿ ทั้งก้อน | ρ = 1 |

| ปริพันธ์ | ln n, ฟังก์ชันที่อินทิเกรตได้ | f ไม่ลดลง |

| อนุกรมสลับ | (−1)ⁿ bₙ | bₙ ไม่ลดลง |

## กับดักสามข้อที่ทำให้เสียคะแนน

- $\sum\dfrac{1}{n^{1 + 1/n}}$ ดูเหมือนอนุกรม p ที่ p > 1 แต่เลขชี้กำลังเข้าใกล้ 1 เทียบลิมิตกับ $\tfrac1n$ ได้ 1 จึงลู่ออก

- $\sum\left(1 + \tfrac1n\right)^n$ ไม่ต้องใช้ราก พจน์ → e ≠ 0 จึงลู่ออกด้วยพจน์ที่ n

- $\sum\dfrac{1}{3^n - n}$ เปรียบเทียบตรงกับ $\tfrac{1}{3^n}$ ใช้ไม่ได้เพราะพจน์ใหญ่กว่า ต้องใช้เปรียบเทียบลิมิต

ฝึกให้มองเป็นอัตโนมัติด้วยเกมเลือกการทดสอบ 40 ข้อ ที่ตรวจทั้งการทดสอบและผลสรุป

## เรียนต่อในคลังความรู้

- การทดสอบการลู่เข้าฉบับเต็ม: ทฤษฎีบท ตัวอย่าง ราบี และสเตอร์ลิง

- อนุกรมสลับ: ไลบ์นิซ ความคลาดเคลื่อน การจัดเรียงใหม่

- ตัวทดสอบอนุกรมแบบโต้ตอบ

- แนวข้อสอบแคลคูลัส 2 ชุด B

## คำถามที่พบบ่อย

ทำไมไม่ใช้ ratio test กับทุกข้อ?
เพราะอนุกรมที่เป็นเศษส่วนของพหุนามหรือราก เช่น $\sum 1/n^2$ และ $\sum 1/n$ ให้อัตราส่วนเข้าใกล้ 1 เสมอ ซึ่งสรุปไม่ได้ ratio test เหมาะกับพจน์ที่มีแฟกทอเรียลหรือเลขยกกำลังเท่านั้น

การทดสอบพจน์ที่ n ใช้สรุปว่าลู่เข้าได้ไหม?
ไม่ได้ สรุปได้ทางเดียวคือถ้าพจน์ไม่เข้าใกล้ศูนย์แล้วอนุกรมลู่ออก ถ้าพจน์เข้าใกล้ศูนย์ต้องทดสอบต่อ

เลือก b(n) สำหรับ limit comparison อย่างไร?
เก็บเฉพาะตัวเด่น (กำลังสูงสุด) ของเศษและส่วน เช่น $\dfrac{3n+5}{n^3-2}$ เก็บ $\dfrac{3n}{n^3} = \dfrac{3}{n^2}$ จึงเลือก $b_n = 1/n^2$

อนุกรมที่เครื่องหมายสลับต้องเริ่มทดสอบอะไร?
ทดสอบค่าสัมบูรณ์ $\sum|a_n|$ ก่อน ถ้าลู่เข้าก็เป็นการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ถ้าลู่ออกจึงใช้การทดสอบอนุกรมสลับ (ไลบ์นิซ) ถ้าผ่านคือลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข

## บทความอื่นที่น่าอ่าน

ลำดับและอนุกรม
อนุกรมโลรองต์คืออะไร ต่างจากอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไร (อธิบายด้วยภาพ)
อนุกรมโลรองต์ (Laurent series) เทียบกับอนุกรมเทย์เลอร์: กำลังลบ ส่วนหลัก วงแหวนการลู่เข้า ทำไมฟังก์ชันเดียวมีหลายอนุกรม ชนิดจุดเอกฐาน เรซิดิว…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
รัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังหาอย่างไร: 3 วิธี ตรวจปลายช่วง และเหตุผลจากระนาบเชิงซ้อน
วิธีหารัศมีการลู่เข้า (radius of convergence) ของอนุกรมกำลัง 3 วิธี: การทดสอบอัตราส่วน การทดสอบราก และระยะถึงจุดเอกฐานเชิงซ้อน…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ลำดับและอนุกรม
ลำดับและอนุกรมเรียนอะไรบ้าง? แผนที่ภาพรวมจากลำดับถึงอนุกรมโลรองต์
ภาพรวมทั้งบทลำดับและอนุกรมในหน้าเดียว: แต่ละเรื่องตอบคำถามอะไร สูตรหัวใจ แนวข้อสอบ และต่อกันอย่างไร ตั้งแต่ลำดับ อนุกรมอนันต์ การทดสอบการลู่เข้า…
24 ต.ค. 2569อ่านบทความ →

ดูบทความทั้งหมดในหมวดลำดับและอนุกรม (7 เรื่อง) → · บทความทั้งหมด

## คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

**ทำไมไม่ใช้ ratio test กับทุกข้อ?**
เพราะอนุกรมที่เป็นเศษส่วนของพหุนามหรือราก เช่น $\sum 1/n^2$ และ $\sum 1/n$ ให้อัตราส่วนเข้าใกล้ 1 เสมอ ซึ่งสรุปไม่ได้ ratio test เหมาะกับพจน์ที่มีแฟกทอเรียลหรือเลขยกกำลังเท่านั้น

**การทดสอบพจน์ที่ n ใช้สรุปว่าลู่เข้าได้ไหม?**
ไม่ได้ สรุปได้ทางเดียวคือถ้าพจน์ไม่เข้าใกล้ศูนย์แล้วอนุกรมลู่ออก ถ้าพจน์เข้าใกล้ศูนย์ต้องทดสอบต่อ

**เลือก b(n) สำหรับ limit comparison อย่างไร?**
เก็บเฉพาะตัวเด่น (กำลังสูงสุด) ของเศษและส่วน เช่น $\dfrac{3n+5}{n^3-2}$ เก็บ $\dfrac{3n}{n^3} = \dfrac{3}{n^2}$ จึงเลือก $b_n = 1/n^2$

**อนุกรมที่เครื่องหมายสลับต้องเริ่มทดสอบอะไร?**
ทดสอบค่าสัมบูรณ์ $\sum|a_n|$ ก่อน ถ้าลู่เข้าก็เป็นการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ถ้าลู่ออกจึงใช้การทดสอบอนุกรมสลับ (ไลบ์นิซ) ถ้าผ่านคือลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข